Ο χρωματισμός με αριθμούς αποκαλύπτει αριθμητικά μοτίβα σε κλάσματα

Ένα χρόνο αφότου ξεκίνησε το διδακτορικό του. στα μαθηματικά στο Πανεπιστήμιο McGill, ο Matt Bowen είχε ένα πρόβλημα. «Έδωσα τις κατατακτήριες εξετάσεις μου και τα πήγα απολύτως απαίσια», είπε. Ο Μπόουεν ήταν σίγουρος ότι οι βαθμολογίες του δεν αντανακλούσαν τις μαθηματικές του ικανότητες και αποφάσισε να το αποδείξει. Το περασμένο φθινόπωρο το έκανε, όταν αυτός και ο σύμβουλός του, Marcin Sabok, δημοσίευσε μια σημαντική πρόοδο στον τομέα γνωστό ως Θεωρία Ramsey.

Για σχεδόν έναν αιώνα, οι θεωρητικοί του Ramsey συγκεντρώνουν στοιχεία ότι η μαθηματική δομή παραμένει σε εχθρικές συνθήκες. Μπορεί να χωρίσουν μεγάλα σύνολα αριθμών όπως οι ακέραιοι ή τα κλάσματα ή να κόψουν τις συνδέσεις μεταξύ σημείων σε ένα δίκτυο. Στη συνέχεια βρίσκουν τρόπους να αποδείξουν ότι ορισμένες δομές είναι αναπόφευκτες, ακόμα κι αν προσπαθήσετε να αποφύγετε τη δημιουργία τους σπάζοντας ή κόβοντας σε φέτες με έξυπνο τρόπο.

Όταν οι θεωρητικοί του Ramsey μιλούν για τον διαχωρισμό ενός συνόλου αριθμών, χρησιμοποιούν συχνά τη γλώσσα του χρωματισμού. Επιλέξτε πολλά χρώματα: κόκκινο, μπλε και κίτρινο, για παράδειγμα. Τώρα αντιστοιχίστε ένα χρώμα σε κάθε αριθμό μιας συλλογής. Ακόμα κι αν το κάνετε αυτό με τυχαίο ή χαοτικό τρόπο, ορισμένα μοτίβα θα προκύψουν αναπόφευκτα, εφόσον χρησιμοποιείτε μόνο έναν πεπερασμένο αριθμό διαφορετικών χρωμάτων, ακόμα κι αν αυτός ο αριθμός είναι πολύ μεγάλος. Οι θεωρητικοί του Ramsey προσπαθούν να βρουν αυτά τα μοτίβα, αναζητώντας δομημένα σύνολα αριθμών που είναι «μονόχρωμα», που σημαίνει ότι τα στοιχεία τους έχουν αποδοθεί σε όλα το ίδιο χρώμα.

Τα πρώτα αποτελέσματα χρωματισμού ανάγονται στα τέλη του 19ου αιώνα. Μέχρι το 1916, ο Issai Schur είχε αποδείξει ότι όσο κι αν χρωματίσετε τους θετικούς ακέραιους αριθμούς (γνωστοί και ως φυσικοί αριθμοί), θα υπάρχει πάντα ένα ζευγάρι αριθμών x και y έτσι ώστε x, yκαι το άθροισμά τους x+y είναι όλα το ίδιο χρώμα. Καθ' όλη τη διάρκεια του 20ου αιώνα, οι μαθηματικοί συνέχισαν να εργάζονται σε προβλήματα χρωματισμού. Το 1974, Νιλ Χίντμαν επέκτεινε το αποτέλεσμα του Schur να περιλαμβάνει ένα άπειρο υποσύνολο των ακεραίων. Όπως το θεώρημα του Schur, το θεώρημα του Hindman ισχύει ανεξάρτητα από το πώς χρωματίζονται οι φυσικοί αριθμοί (με πεπερασμένο αριθμό κραγιόνια). Όχι μόνο αυτοί οι ακέραιοι στο σύνολο του Hindman έχουν το ίδιο χρώμα, αλλά αν συνοψίσετε οποιαδήποτε συλλογή τους, το αποτέλεσμα θα είναι επίσης αυτό το χρώμα. Τέτοια σύνολα μοιάζουν με τους ζυγούς αριθμούς στο ότι, όπως κάθε άθροισμα ζυγών αριθμών είναι πάντα άρτιο, έτσι και το άθροισμα οποιωνδήποτε αριθμών σε ένα από τα σύνολα του Hindman θα περιέχεται σε αυτό το σύνολο.

«Το θεώρημα του Χίντμαν είναι ένα καταπληκτικό κομμάτι μαθηματικών», είπε ο Σαμπόκ. «Είναι μια ιστορία για την οποία μπορούμε να κάνουμε ταινία».

Αλλά ο Χίντμαν πίστευε ότι περισσότερα ήταν δυνατά. Πίστευε ότι μπορούσες να βρεις ένα αυθαίρετα μεγάλο (αλλά πεπερασμένο) μονόχρωμο σύνολο που περιείχε όχι μόνο τα αθροίσματα των μελών του, αλλά και τα προϊόντα. «Έχω υποστηρίξει για δεκαετίες ότι αυτό είναι γεγονός», είπε, προσθέτοντας: «Δεν υποστηρίζω ότι μπορώ να το αποδείξω».

Η εικασία του Hindman

Εάν εγκαταλείψετε το άθροισμα και θέλετε μόνο να βεβαιωθείτε ότι τα προϊόντα έχουν το ίδιο χρώμα, είναι εύκολο να προσαρμόσετε το θεώρημα του Hindman χρησιμοποιώντας την εκθετικότητα για να μετατρέψετε τα αθροίσματα σε γινόμενα (όπως κάνει ένας κανόνας διαφάνειας).

Η πάλη με ποσά και προϊόντα ταυτόχρονα, ωστόσο, είναι πολύ πιο σκληρή. «Είναι πολύ δύσκολο να κάνεις αυτούς τους δύο να μιλήσουν μεταξύ τους», είπε Joel Moreira, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο του Warwick. «Κατανοώντας πώς σχετίζονται η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός — αυτή είναι, κατά κάποιο τρόπο, η βάση όλης της θεωρίας αριθμών, σχεδόν».

Ακόμη και μια απλούστερη εκδοχή που πρότεινε για πρώτη φορά ο Hindman τη δεκαετία του 1970 αποδείχθηκε πρόκληση. Υπέθεσε ότι κάθε χρωματισμός των φυσικών αριθμών πρέπει να περιέχει ένα μονοχρωματικό σύνολο της μορφής {x, y, xy, x+y} — δύο αριθμοί x και y, καθώς και το άθροισμα και το γινόμενο τους. «Οι άνθρωποι δεν σημείωσαν πραγματικά καμία πρόοδο σε αυτό το πρόβλημα για δεκαετίες», είπε ο Bowen. «Και τότε ξαφνικά, γύρω στο 2010, οι άνθρωποι άρχισαν να αποδεικνύουν όλο και περισσότερα πράγματα για αυτό».

Ο Bowen έμαθε για το {x, y, xy, x+y} πρόβλημα το 2016, το δεύτερο εξάμηνο του κολεγίου, όταν ένας από τους καθηγητές του στο Πανεπιστήμιο Carnegie Mellon περιέγραψε το πρόβλημα στην τάξη. Ο Μπόουεν εντυπωσιάστηκε από την απλότητά του. "Είναι ένα από αυτά τα ωραία πράγματα όπου είναι σαν, καλά, δεν ξέρω πολλά μαθηματικά, αλλά μπορώ να το καταλάβω αυτό", είπε.

Το 2017, ο Μορέιρα αποδείχθηκε ότι εσείς κουτί πάντοτε βρείτε ένα μονόχρωμο σύνολο που περιέχει τρία από τα τέσσερα επιθυμητά στοιχεία: x, xy, να x + y. Εν τω μεταξύ, ο Μπόουεν άρχισε να ασχολείται επιπόλαια με την ερώτηση κατά τη διάρκεια της τελευταίας του χρονιάς. «Δεν μπορούσα πραγματικά να λύσω το πρόβλημα», είπε. «Αλλά θα επέστρεφα σε αυτό κάθε έξι μήνες περίπου». Μετά την κακή του επίδειξη στο Ph.D. στις κατατακτήριες εξετάσεις το 2020, διπλασίασε τις προσπάθειές του. Λίγες μέρες αργότερα, απέδειξε το {x, y, xy, x+y} εικασία για την περίπτωση των δύο χρωμάτων, αποτέλεσμα που ο Ron Graham είχε ήδη αποδείξει στη δεκαετία του 1970 με τη βοήθεια ενός υπολογιστή.

Με αυτή την επιτυχία, ο Bowen συνεργάστηκε με τη Sabok για να επεκτείνει το αποτέλεσμα σε οποιοδήποτε αριθμό χρωμάτων. Γρήγορα όμως μπλέχτηκαν σε τεχνικές λεπτομέρειες. «Η πολυπλοκότητα του προβλήματος γίνεται εντελώς εκτός ελέγχου όταν ο αριθμός των χρωμάτων είναι μεγάλος», είπε ο Sabok. Για 18 μήνες, προσπάθησαν να απεγκλωβιστούν, με λίγη τύχη. «Κατά τη διάρκεια αυτού του ενάμιση έτους, είχαμε περίπου ένα εκατομμύριο λανθασμένες αποδείξεις», είπε ο Sabok.

Μια δυσκολία ειδικότερα εμπόδισε τους δύο μαθηματικούς να προχωρήσουν. Εάν επιλέξετε δύο ακέραιους αριθμούς τυχαία, πιθανότατα δεν θα μπορείτε να τους διαιρέσετε. Η διαίρεση λειτουργεί μόνο στη σπάνια περίπτωση όπου ο πρώτος αριθμός είναι πολλαπλάσιο του δεύτερου. Αυτό αποδείχθηκε εξαιρετικά περιοριστικό. Με αυτή τη συνειδητοποίηση, οι Bowen και Sabok στράφηκαν στην απόδειξη του {x, y, xy, x+y} εικασία στους ορθολογικούς αριθμούς (όπως αποκαλούν οι μαθηματικοί τα κλάσματα) αντί. Εκεί, οι αριθμοί μπορούν να διαιρεθούν με την εγκατάλειψη.

Η απόδειξη του Bowen και του Sabok είναι στην πιο κομψή της όταν όλα τα χρώματα που εμπλέκονται εμφανίζονται συχνά σε όλους τους ορθολογικούς αριθμούς. Τα χρώματα μπορούν να εμφανίζονται «συχνά» με πολλούς διαφορετικούς τρόπους. Μπορεί το καθένα να καλύπτει μεγάλα κομμάτια της αριθμητικής γραμμής. Ή μπορεί να σημαίνει ότι δεν μπορείτε να ταξιδέψετε πολύ μακριά κατά μήκος της αριθμητικής γραμμής χωρίς να δείτε κάθε χρώμα. Συνήθως, ωστόσο, τα χρώματα δεν συμμορφώνονται με τέτοιους κανόνες. Σε αυτές τις περιπτώσεις, μπορείτε να εστιάσετε σε μικρές περιοχές εντός των ορθολογικών αριθμών όπου τα χρώματα εμφανίζονται πιο συχνά, εξήγησε ο Sabok. «Εδώ ήρθε το μεγαλύτερο μέρος της δουλειάς», είπε.

Τον Οκτώβριο του 2022, οι Bowen και Sabok δημοσίευσαν μια απόδειξη ότι αν χρωματίσετε τους ρητούς αριθμούς με πεπερασμένα πολλά χρώματα, θα υπάρχει ένα σύνολο της μορφής {x, y, xy, x+y} του οποίου τα στοιχεία έχουν όλα το ίδιο χρώμα. «Είναι μια απίστευτα έξυπνη απόδειξη», είπε Imre Leader του Πανεπιστημίου του Κέιμπριτζ. «Χρησιμοποιεί γνωστά αποτελέσματα. Αλλά τα συνδυάζει με έναν απολύτως λαμπρό, πολύ πρωτότυπο, πολύ καινοτόμο τρόπο».

Πολλά ερωτήματα παραμένουν. Μπορεί ένας τρίτος αριθμός z να προστεθούν στη συλλογή, μαζί με τα συνακόλουθα ποσά και προϊόντα; Η ικανοποίηση των πιο τολμηρών προβλέψεων του Hindman θα σήμαινε την προσθήκη ενός τέταρτου, ενός πέμπτου και τελικά αυθαίρετα πολλών νέων αριθμών στην ακολουθία. Θα απαιτούσε επίσης τη μετάβαση από τους ορθολογικούς στους φυσικούς αριθμούς και την εύρεση ενός τρόπου γύρω από το αίνιγμα της διαίρεσης που εμπόδισε τις προσπάθειες του Bowen και του Sabok.

Ο Leader πιστεύει ότι με τους Moreira, Bowen και Sabok να εργάζονται όλοι για το πρόβλημα, αυτή η απόδειξη μπορεί να μην είναι μακριά. «Αυτοί οι τύποι φαίνονται ιδιαίτερα έξυπνοι στο να βρίσκουν νέους τρόπους να κάνουν πράγματα», είπε. «Έτσι είμαι κάπως αισιόδοξος ότι αυτοί ή κάποιοι από τους συναδέλφους τους μπορεί να το βρουν».

Ο Σαμπόκ είναι πιο προσεκτικός στις προβλέψεις του. Δεν αποκλείει όμως τίποτα. «Μια από τις γοητείες των μαθηματικών είναι ότι πριν πάρεις μια απόδειξη, όλα είναι πιθανά», είπε.