Πλακάκια Αϊνστάιν – το εκπληκτικό σχήμα «Καπέλου» που δεν επαναλαμβάνεται ποτέ!

Πλακάκια Αϊνστάιν – το εκπληκτικό σχήμα «Καπέλου» που δεν επαναλαμβάνεται ποτέ!

Χρονική σήμανση: 4 Απριλίου 2023 12:59 μ.μ.
by Πολ Ντόκλιν

Τα μαθηματικά είναι ένα σύνθετο και εσωτερικό πεδίο που στηρίζει την επιστήμη και τη μηχανική, ιδίως συμπεριλαμβανομένων των κλάδων της κρυπτογραφίας και της ασφάλειας στον κυβερνοχώρο.

(Εκεί… έχουμε προσθέσει μια αναφορά στην κυβερνοασφάλεια, δικαιολογώντας έτσι το υπόλοιπο αυτού του άρθρου.)

Το θέμα των μαθηματικών έχει μελετηθεί εκτενώς και ένθερμα από τουλάχιστον την αρχαία Βαβυλωνιακή εποχή και τα ονόματα πολλών διάσημων μαθηματικών έχουν μπει στο καθημερινό μας λεξιλόγιο, με φράσεις όπως π.χ. Πυθαγόρειος τρίγωνα (αυτά που έχουν ορθή γωνία), Καρτεσιανό γεωμετρία (εργασία με σχήματα σε επίπεδες επιφάνειες), υπολογιστής αλγόριθμοι (ακολουθίες εντολών που λειτουργούν επαναληπτικά ή επαναληπτικά για τον υπολογισμό ενός αποτελέσματος) και Penrose πλακάκια.

Τα πλακάκια Penrose, αν τα έχετε συναντήσει ποτέ, ανακαλύφθηκαν από τον Sir Roger Penrose τη δεκαετία του 1970 και ασχολήθηκαν με συναρπαστικούς και ασυνήθιστους τρόπους κάλυψης επιφανειών σε συνδυασμούς σχημάτων.

Σε περίπτωση που αναρωτιέστε γιατί η λέξη αλγόριθμος δεν έχει κεφαλαίο γράμμα όπως τα άλλα, γιατί δεν είναι ακριβής απόδοση ενός αρχικού ονόματος, αλλά λέξη που προέρχεται από Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi, ένας σημαντικός μαθηματικός, γεωγράφος και αστρονόμος που έζησε πριν από περίπου 1200 χρόνια σε μια περιοχή ανατολικά της Κασπίας Θάλασσας και νότια της Θάλασσας της Αράλης, μια περιοχή που χωρίζεται τώρα μεταξύ του Ουζμπεκιστάν και του Τουρκμενιστάν.

Τα πλακάκια έγιναν funky

Οι επιφάνειες με πλακάκια, φυσικά, είναι κοινές, για παράδειγμα σε μπάνια, κουζίνες και διαδρόμους.

Και στις στέγες, φυσικά, αλλά θα αγνοήσουμε τα κεραμίδια στέγης σε αυτό το άρθρο, επειδή είναι σχεδιασμένα να επικαλύπτονται, ώστε να κρατούν τη βροχή χωρίς να χρειάζεται να σφραγίζονται μεμονωμένα το ένα πάνω στο άλλο.

Ακόμη και οι χώροι με μοκέτα είναι συχνά πλακάκια, ειδικά στα γραφεία, έτσι ώστε μέρη του δαπέδου να μπορούν να ξαναστρωθούν χωρίς να σκιστούν και να αντικατασταθούν τα ελαφρώς χρησιμοποιημένα χαλιά γύρω από τα φθαρμένα μέρη.

Αν έχετε επισκεφθεί ποτέ τα κεντρικά γραφεία της Sophos στο Ηνωμένο Βασίλειο, για παράδειγμα, θα ξέρετε ότι πρόκειται για μια εν πολλοίς ανοιχτή περιοχή που καλύπτεται από τετράγωνα πλακάκια χαλιού σε διάφορες απαλές αποχρώσεις του μπλε και του ανοιχτού πράσινου:

Πλακάκια Αϊνστάιν – το εκπληκτικό σχήμα «Καπέλου» που δεν επαναλαμβάνεται ποτέ! Ευφυΐα Δεδομένων PlatoBlockchain. Κάθετη αναζήτηση. Ολα συμπεριλαμβάνονται.

Όπως μπορείτε να δείτε, τα τετράγωνα πλακίδια σχηματίζουν αυτό που είναι γνωστό ως α περιοδικό μοτίβο, που σημαίνει ότι το μοτίβο επαναλαμβάνεται κάθε τόσο.

Στο παραπάνω παράδειγμα, το ακριβές πλέγμα που χρησιμοποιείται στη διάταξη διασφαλίζει ότι το μοτίβο επαναλαμβάνεται και στις δύο διαστάσεις αφού μετακινηθεί μόνο ένα τετράγωνο πάνω, κάτω, αριστερά ή δεξιά.

Πιο πολύπλοκα και οπτικά ελκυστικά μοτίβα, τα οποία ωστόσο είναι περιοδικά πλακάκια επειδή επαναλαμβάνονται συνεχώς, μπορούν να γίνουν με κανονικούς συνδυασμούς απλών σχημάτων, όπως το επτά-πεντάγωνο:

Πλακάκια Αϊνστάιν – το εκπληκτικό σχήμα «Καπέλου» που δεν επαναλαμβάνεται ποτέ! Ευφυΐα Δεδομένων PlatoBlockchain. Κάθετη αναζήτηση. Ολα συμπεριλαμβάνονται.

Ή το ρόμβο-τρι-εξάγωνο:

Πλακάκια Αϊνστάιν – το εκπληκτικό σχήμα «Καπέλου» που δεν επαναλαμβάνεται ποτέ! Ευφυΐα Δεδομένων PlatoBlockchain. Κάθετη αναζήτηση. Ολα συμπεριλαμβάνονται.

Πλακάκια Penrose

Αυτό μας φέρνει στα πλακάκια Penrose.

Αν και ο Sir Roger Penrose είναι πιθανώς πιο διάσημος ως ο νικητής του Βραβείου Νόμπελ Φυσικής το 2020, είναι επίσης γνωστός για το έργο του στην ειδική κατηγορία μοτίβων πλακιδίων που είναι γνωστά απεριοδικά πλακάκια.

Σε αντίθεση με τα περιοδικά πλακάκια, που επαναλαμβάνονται κάθε τόσο, τα απεριοδικά πλακάκια δεν επαναλαμβάνονται ποτέ, ανεξάρτητα από το πόσο προσεκτικά επιλέγετε το επόμενο κομμάτι που θα τοποθετήσετε και πού θα το τοποθετήσετε…

…παρόλο που τα πλακάκια βασίζονται σε έναν πεπερασμένο αριθμό σχημάτων και καλύπτουν μια άπειρη επιφάνεια χωρίς κενά ή επικαλύψεις.

Οι περιοδικές παραθέσεις μοιάζουν λίγο με ορθολογικούς αριθμούς (κλάσματα που βασίζονται σε έναν ακέραιο αριθμό διαιρούμενο με έναν άλλο), καθώς τελικά επαναλαμβάνονται ό,τι κι αν κάνετε.

Αν διαιρέσετε το 22 με το 7, για παράδειγμα, θα λάβετε περίπου 3.142..., ωφέλιμα κοντά στην τιμή του Pi, που είναι περίπου 3.14159…

Αλλά το 22/7 βγαίνει στην πραγματικότητα ως 3.142857142857142857… και αυτό το μοτίβο 142857 συνεχίζει να επαναλαμβάνεται για πάντα, επειδή ο αριθμός είναι η αναλογία (άρα η περιγραφή ρητός αριθμός) δύο ακέραιων αριθμών.

Αντίθετα, η πραγματική τιμή του Pi είναι παράλογος: δεν μπορεί να μειωθεί σε αναλογία και η τιμή του σε δεκαδικό δεν εμπίπτει ποτέ σε επαναλαμβανόμενο μοτίβο.

Τι γίνεται με ένα παρόμοιο είδος ακολουθίας που δεν επαναλαμβάνεται ποτέ που βασίζεται όχι σε αριθμητικές τιμές αλλά σε σχήματα;

Θα χρειαστείτε έναν άπειρο αριθμό διαφορετικών σχημάτων για να εγγυηθείτε ένα μοτίβο που δεν επαναλήφθηκε ποτέ ή θα μπορούσατε να ολοκληρώσετε την (ομολογουμένως ατελείωτη) εργασία πλακιδίων με ένα πεπερασμένο σύνολο πλακιδίων;

Η Penrose πήρε τον αριθμό των διαφορετικών σχημάτων που απαιτούνται για να εγγυηθούν τα μη επαναλαμβανόμενα πλακάκια σε μόλις δύο, αλλά το ερώτημα παραμένει από τότε: Μπορείτε να βρείτε ένα μόνο σχήμα, ένα μόνο πλακίδιο, που μπορεί να απλωθεί επανειλημμένα για να καλύψει μια άπειρη επιφάνεια χωρίς να επαναληφθεί ποτέ;

Σε αυτό που θεωρείται ως μαθηματικό λογοπαίγνιο, αυτό το Άγιο Δισκοπότηρο των πλακιδίων είναι γνωστό ως an Αϊνστάιν, που σημαίνει «ένα σχήμα» στα γερμανικά, αλλά απηχεί και το όνομα Albert Einstein, του E=mc2 φήμη.

Παρουσιάζοντας… το καπέλο

Λοιπόν, μια μαθηματική τετράδα με επικεφαλής έναν Βρετανό ερευνητή σχήματος που ονομάζεται David Smith, ισχυρίζεται ότι οι Αϊνστάιν υπάρχουν και αποκάλυψε ένα triskaidecagon (είναι μια φιγούρα 13 πλευρών) που έχουν ονομάσει Καπέλο.

Ισχυρίζονται ότι έχουν αποδείξει ότι το Καπέλο δημιουργεί το πολυπόθητο αποτέλεσμα ενός απεριοδικού σχεδίου, από μόνο του:

Πλακάκια Αϊνστάιν – το εκπληκτικό σχήμα «Καπέλου» που δεν επαναλαμβάνεται ποτέ! Ευφυΐα Δεδομένων PlatoBlockchain. Κάθετη αναζήτηση. Ολα συμπεριλαμβάνονται.

Με απλά λόγια, εάν πλακάκια στο πάτωμά σας, ή στη βεράντα σας, ή στο δρόμο σας ή ακόμα και στο τοπικό γήπεδο ποδοσφαίρου με πλακάκια καπέλων…

…θα καλύψετε τελικά ολόκληρη την επιφάνεια με ένα σχέδιο που δεν επαναλαμβάνεται ποτέ.

Παρ' όλα αυτά που εμφανίζει διάφορα "υπο-σχέδια" και προφανείς ομοιότητες με τον εαυτό σας καθώς κατασκευάζετε το έργο τέχνης σας με βάση το καπέλο, αυτό είναι το Pi των πλακιδίων δαπέδου: δοκιμάστε όπως θέλετε, δεν θα έχετε ποτέ ένα κανονικό, περιοδικό μοτίβο από το.

Τι να κάνω;

Δεν πρόκειται καν να επιχειρήσουμε μια περιγραφή του απόδειξη εδώ –με κάθε ειλικρίνεια, δεν έχουμε καταφέρει ακόμα να το χωνέψουμε μόνοι μας– οπότε θα σας προτείνουμε απλώς να μελετήστε το στον δικό σου χρόνο. (Ίσως να αφιερώσετε ένα μακρύ Σαββατοκύριακο για την εργασία;

Αλλά αν θέλετε να παίξετε με την έννοια των απεριοδικών πλακιδίων, γιατί να μην ψήσετε μόνοι σας μερικά μπισκότα καπέλο ή μπισκότα αν είστε από τη Βόρεια Αμερική;

Εάν έχετε έναν τρισδιάστατο εκτυπωτή, μπορείτε να κατεβάσετε ένα σχέδιο για να φτιάξετε το δικό σας κόφτη ζαχαροπλαστικής σε σχήμα καπέλου!

Σφραγίδα ώρας:

Περισσότερα από Γυμνή ασφάλεια