Βρέθηκαν «Murmurations» ελλειπτικής καμπύλης με AI Take Flight | Περιοδικό Quanta

Οι ελλειπτικές καμπύλες είναι από τα πιο συναρπαστικά αντικείμενα στα σύγχρονα μαθηματικά. Δεν φαίνονται περίπλοκα, αλλά αποτελούν έναν δρόμο ταχείας κυκλοφορίας μεταξύ των μαθηματικών που μαθαίνουν πολλοί άνθρωποι στο γυμνάσιο και της έρευνας των μαθηματικών στην πιο δυσάρεστη μορφή τους. Ήταν κεντρικά για την περίφημη απόδειξη του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά του Andrew Wiles τη δεκαετία του 1990. Αποτελούν βασικά εργαλεία στη σύγχρονη κρυπτογραφία. Και το 2000, το Clay Mathematics Institute ονόμασε α εικασίες για τις στατιστικές από ελλειπτικές καμπύλες ένα από τα επτά «Προβλήματα του Βραβείου Χιλιετίας», καθένα από τα οποία φέρει βραβείο 1 εκατομμυρίου δολαρίων για τη λύση του. Αυτή η εικασία, που αποτολμήθηκε για πρώτη φορά από Μπράιαν Μπιρτς και Peter Swinnerton-Dyer στη δεκαετία του 1960, δεν έχει ακόμη αποδειχθεί.

Η κατανόηση των ελλειπτικών καμπυλών είναι μια προσπάθεια υψηλού στοιχήματος που ήταν κεντρική στα μαθηματικά. Έτσι, το 2022, όταν μια διατλαντική συνεργασία χρησιμοποίησε στατιστικές τεχνικές και τεχνητή νοημοσύνη για να ανακαλύψει εντελώς απροσδόκητα μοτίβα σε ελλειπτικές καμπύλες, ήταν μια ευπρόσδεκτη, αν και απροσδόκητη, συνεισφορά. «Ήταν απλώς θέμα χρόνου πριν η μηχανική μάθηση προσγειωθεί στο κατώφλι μας με κάτι ενδιαφέρον», είπε Πίτερ Σάρνακ, μαθηματικός στο Ινστιτούτο Προηγμένων Σπουδών και στο Πανεπιστήμιο Πρίνστον. Αρχικά, κανείς δεν μπορούσε να εξηγήσει γιατί υπάρχουν τα μοτίβα που ανακαλύφθηκαν πρόσφατα. Έκτοτε, σε μια σειρά πρόσφατων εργασιών, οι μαθηματικοί άρχισαν να ξεκλειδώνουν τους λόγους πίσω από τα μοτίβα, που ονομάστηκαν «μουρμούρες» για την ομοιότητά τους με τα ρευστά σχήματα των ψαρονιών που συρρέουν, και άρχισαν να αποδεικνύουν ότι δεν πρέπει να εμφανίζονται μόνο στο συγκεκριμένο παραδείγματα που εξετάστηκαν το 2022, αλλά σε ελλειπτικές καμπύλες γενικότερα.

Η σημασία του να είσαι ελλειπτικός

Για να κατανοήσουμε ποια είναι αυτά τα μοτίβα, πρέπει να βάλουμε μια μικρή βάση για το τι είναι οι ελλειπτικές καμπύλες και πώς οι μαθηματικοί τις κατηγοριοποιούν.

Μια ελλειπτική καμπύλη συσχετίζει το τετράγωνο μιας μεταβλητής, που συνήθως γράφεται ως y, στην τρίτη δύναμη ενός άλλου, που συνήθως γράφεται ως x: y² = x³ + Ax + B, για κάποιο ζευγάρι αριθμών A και B, Εφ 'όσον A και B πληρούν μερικές απλές προϋποθέσεις. Αυτή η εξίσωση ορίζει μια καμπύλη που μπορεί να γραφτεί στο επίπεδο, όπως φαίνεται παρακάτω. (Παρά την ομοιότητα στα ονόματα, μια έλλειψη δεν είναι ελλειπτική καμπύλη.)

Αν και απλές, οι ελλειπτικές καμπύλες αποδεικνύονται απίστευτα ισχυρά εργαλεία για τους θεωρητικούς αριθμών - μαθηματικούς που αναζητούν μοτίβα στους ακέραιους αριθμούς. Αντί να αφήνουμε τις μεταβλητές x και y κυμαίνονται σε όλους τους αριθμούς, στους μαθηματικούς αρέσει να τους περιορίζουν σε διαφορετικά συστήματα αριθμών, τα οποία ονομάζουν ορίζοντας μια καμπύλη «πάνω» από ένα δεδομένο σύστημα αριθμών. Οι ελλειπτικές καμπύλες που περιορίζονται στους ρητούς αριθμούς - αριθμοί που μπορούν να γραφτούν ως κλάσματα - είναι ιδιαίτερα χρήσιμες. «Οι ελλειπτικές καμπύλες πάνω από τους πραγματικούς ή τους μιγαδικούς αριθμούς είναι αρκετά βαρετές», είπε ο Sarnak. «Είναι μόνο οι ορθολογικοί αριθμοί που είναι βαθιές».

Εδώ είναι ένας τρόπος που είναι αλήθεια. Εάν σχεδιάσετε μια ευθεία γραμμή μεταξύ δύο ορθολογικών σημείων σε μια ελλειπτική καμπύλη, το μέρος όπου αυτή η γραμμή τέμνει ξανά την καμπύλη θα είναι επίσης ορθολογική. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε αυτό το γεγονός για να ορίσετε την «προσθήκη» σε μια ελλειπτική καμπύλη, όπως φαίνεται παρακάτω.

Τραβήξτε μια γραμμή μεταξύ P και Q. Αυτή η γραμμή θα τέμνει την καμπύλη σε ένα τρίτο σημείο, R. (Οι μαθηματικοί έχουν ένα ειδικό κόλπο για να αντιμετωπίσουν την περίπτωση όπου η ευθεία δεν τέμνει την καμπύλη προσθέτοντας ένα «σημείο στο άπειρο».) Η αντανάκλαση του R σε όλη την x-άξονας είναι το άθροισμά σας P + Q. Μαζί με αυτήν την πράξη πρόσθεσης, όλες οι λύσεις της καμπύλης σχηματίζουν ένα μαθηματικό αντικείμενο που ονομάζεται ομάδα.

Οι μαθηματικοί το χρησιμοποιούν για να ορίσουν την «κατάταξη» μιας καμπύλης. ο κατάταξη μιας καμπύλης σχετίζεται με τον αριθμό των ορθολογικών λύσεων που έχει. Οι καμπύλες κατάταξης 0 έχουν πεπερασμένο αριθμό λύσεων. Οι καμπύλες με υψηλότερη κατάταξη έχουν άπειρους αριθμούς λύσεων των οποίων η σχέση μεταξύ τους χρησιμοποιώντας την πράξη πρόσθεσης περιγράφεται από την κατάταξη.

Οι τάξεις δεν είναι καλά κατανοητές. Οι μαθηματικοί δεν έχουν πάντα τρόπο να τα υπολογίζουν και δεν ξέρουν πόσο μεγάλα μπορούν να γίνουν. (Η μεγαλύτερη ακριβής κατάταξη που είναι γνωστή για μια συγκεκριμένη καμπύλη είναι 20.) Παρόμοιες καμπύλες μπορεί να έχουν εντελώς διαφορετικές βαθμίδες.

Οι ελλειπτικές καμπύλες έχουν επίσης μεγάλη σχέση με τους πρώτους αριθμούς, οι οποίοι διαιρούνται μόνο με το 1 και τους εαυτούς τους. Συγκεκριμένα, οι μαθηματικοί εξετάζουν τις καμπύλες σε πεπερασμένα πεδία — συστήματα κυκλικής αριθμητικής που ορίζονται για κάθε πρώτο αριθμό. Ένα πεπερασμένο πεδίο είναι σαν ένα ρολόι με τον αριθμό των ωρών ίσο με τον πρώτο: Αν συνεχίσετε να μετράτε προς τα πάνω, οι αριθμοί ξεκινούν από την αρχή. Στο πεπερασμένο πεδίο για το 7, για παράδειγμα, 5 συν 2 ισούται με μηδέν και 5 συν 3 ισούται με 1.

Μια ελλειπτική καμπύλη έχει μια συσχετισμένη ακολουθία αριθμών, που ονομάζεται a_p, που σχετίζεται με τον αριθμό των λύσεων που υπάρχουν στην καμπύλη στο πεπερασμένο πεδίο που ορίζεται από τον πρώτο p. Ένα μικρότερο a_p σημαίνει περισσότερες λύσεις. ένα μεγαλύτερο a_p σημαίνει λιγότερες λύσεις. Αν και η κατάταξη είναι δύσκολο να υπολογιστεί, η ακολουθία a_p είναι πολύ πιο εύκολο.

Με βάση πολυάριθμους υπολογισμούς που έγιναν σε έναν από τους πρώτους υπολογιστές, οι Birch και Swinnerton-Dyer υπέθεσαν μια σχέση μεταξύ της τάξης μιας ελλειπτικής καμπύλης και της ακολουθίας a_p. Όποιος μπορεί να αποδείξει ότι είχε δίκιο θα κερδίσει ένα εκατομμύριο δολάρια και τη μαθηματική αθανασία.

Εμφανίζεται ένα μοτίβο έκπληξη

Μετά την έναρξη της πανδημίας, Γιανγκ-Χούι Χε, ερευνητής στο Ινστιτούτο Μαθηματικών Επιστημών του Λονδίνου, αποφάσισε να αντιμετωπίσει μερικές νέες προκλήσεις. Είχε σπουδάσει φυσική στο κολέγιο και είχε πάρει το διδακτορικό του από το Τεχνολογικό Ινστιτούτο της Μασαχουσέτης στη μαθηματική φυσική. Όμως ενδιαφερόταν όλο και περισσότερο για τη θεωρία αριθμών και δεδομένων των αυξανόμενων δυνατοτήτων της τεχνητής νοημοσύνης, σκέφτηκε ότι θα δοκίμαζε τις δυνάμεις του στη χρήση της τεχνητής νοημοσύνης ως εργαλείου για την εύρεση απροσδόκητων μοτίβων στους αριθμούς. (Ήταν ήδη χρησιμοποιώντας μηχανική μάθηση να ταξινομήσει Πολλαπλοί Calabi-Yau, μαθηματικές δομές που χρησιμοποιούνται ευρέως στη θεωρία χορδών.)

Τον Αύγουστο του 2020, καθώς η πανδημία βάθυνε, το Πανεπιστήμιο του Νότιγχαμ τον φιλοξένησε για ένα διαδικτυακή συζήτηση. Ήταν απαισιόδοξος για την πρόοδό του και για την ίδια τη δυνατότητα να χρησιμοποιήσει τη μηχανική μάθηση για να αποκαλύψει νέα μαθηματικά. «Η αφήγησή του ήταν ότι η θεωρία αριθμών ήταν δύσκολη γιατί δεν μπορούσες να μάθεις πράγματα μηχανικά στη θεωρία αριθμών», είπε. Τόμας Όλιβερ, ένας μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο του Westminster που ήταν στο κοινό. Όπως θυμάται, «Δεν μπορούσα να βρω τίποτα γιατί δεν ήμουν ειδικός. Δεν χρησιμοποιούσα καν τα σωστά πράγματα για να το δω αυτό».

Ο Όλιβερ και Kyu-Hwan Lee, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο του Κονέκτικατ, άρχισε να συνεργάζεται με τον Χε. «Αποφασίσαμε να το κάνουμε αυτό απλώς για να μάθουμε τι ήταν η μηχανική μάθηση, αντί να μελετήσουμε σοβαρά τα μαθηματικά», είπε ο Όλιβερ. «Αλλά γρήγορα ανακαλύψαμε ότι μπορούσες να μάθεις μηχανικά πολλά πράγματα».

Ο Oliver και ο Lee του πρότειναν να εφαρμόσει τις τεχνικές του για εξέταση L-συναρτήσεις, άπειρες σειρές στενά συνδεδεμένες με ελλειπτικές καμπύλες μέσω της ακολουθίας a_p. Θα μπορούσαν να χρησιμοποιήσουν μια ηλεκτρονική βάση δεδομένων με ελλειπτικές καμπύλες και τις σχετικές τους L-λειτουργίες που ονομάζονται το LMFDB να εκπαιδεύσουν τους ταξινομητές μηχανικής μάθησης. Εκείνη την εποχή η βάση δεδομένων είχε λίγο πάνω από 3 εκατομμύρια ελλειπτικές καμπύλες πάνω από τις ορθολογικές. Μέχρι τον Οκτώβριο του 2020 είχαν ένα χαρτί που χρησιμοποίησε πληροφορίες που αντλήθηκαν από L-συναρτήσεις για την πρόβλεψη μιας συγκεκριμένης ιδιότητας των ελλειπτικών καμπυλών. Τον Νοέμβριο μοιράστηκαν άλλο χαρτί που χρησιμοποίησε τη μηχανική μάθηση για να ταξινομήσει άλλα αντικείμενα στη θεωρία αριθμών. Μέχρι τον Δεκέμβριο κατάφεραν προβλέψει τις τάξεις των ελλειπτικών καμπυλών με υψηλή ακρίβεια.

Αλλά δεν ήταν σίγουροι γιατί οι αλγόριθμοι μηχανικής μάθησης τους λειτουργούσαν τόσο καλά. Ο Lee ζήτησε από τον προπτυχιακό φοιτητή του Alexey Pozdnyakov να δει αν μπορούσε να καταλάβει τι συνέβαινε. Όπως συμβαίνει, το LMFDB ταξινομεί τις ελλειπτικές καμπύλες σύμφωνα με μια ποσότητα που ονομάζεται αγωγός, η οποία συνοψίζει πληροφορίες σχετικά με τους πρώτους αριθμούς για τους οποίους μια καμπύλη αποτυγχάνει να συμπεριφέρεται καλά. Έτσι, ο Pozdnyakov προσπάθησε να εξετάσει μεγάλους αριθμούς καμπυλών με παρόμοιους αγωγούς ταυτόχρονα - ας πούμε, όλες τις καμπύλες με αγωγούς μεταξύ 7,500 και 10,000.

Αυτό ανήλθε σε περίπου 10,000 καμπύλες συνολικά. Περίπου οι μισοί από αυτούς είχαν κατάταξη 0 και οι μισοί βαθμολογίες 1. (Οι υψηλότερες βαθμίδες είναι εξαιρετικά σπάνιες.) Στη συνέχεια υπολόγισε τον μέσο όρο των τιμών του a_p για όλες τις καμπύλες κατάταξης 0, ξεχωριστά κατά μέσο όρο a_p για όλες τις καμπύλες κατάταξης 1 και σχεδίασε τα αποτελέσματα. Τα δύο σετ κουκκίδων σχημάτισαν δύο ευδιάκριτα, εύκολα αναγνωρίσιμα κύματα. Αυτός ήταν ο λόγος για τον οποίο οι ταξινομητές μηχανικής μάθησης ήταν σε θέση να προσδιορίσουν σωστά τις τάξεις συγκεκριμένων καμπυλών.

«Στην αρχή ένιωσα χαρούμενος που ολοκλήρωσα την αποστολή», είπε ο Ποζντνιάκοφ. «Αλλά ο Kyu-Hwan αναγνώρισε αμέσως ότι αυτό το μοτίβο ήταν εκπληκτικό και τότε ήταν πραγματικά συναρπαστικό».

Ο Λι και ο Όλιβερ ήταν ενθουσιασμένοι. «Ο Alexey μας έδειξε την εικόνα και είπα ότι μοιάζει με αυτό που κάνουν τα πουλιά», είπε ο Oliver. «Και μετά ο Kyu-Hwan το έψαξε και είπε ότι λέγεται μουρμούρα, και μετά ο Yang είπε ότι πρέπει να καλέσουμε την εφημερίδα»Μουρμούρες ελλειπτικών καμπυλών. ""

Ανέβασαν το έγγραφό τους τον Απρίλιο του 2022 και το διαβίβασαν σε μια χούφτα άλλους μαθηματικούς, περιμένοντας νευρικά να τους πουν ότι η λεγόμενη «ανακάλυψή» τους ήταν γνωστή. Ο Όλιβερ είπε ότι η σχέση ήταν τόσο ορατή που θα έπρεπε να είχε γίνει αντιληπτή εδώ και πολύ καιρό.

Σχεδόν αμέσως, η προεκτύπωση συγκέντρωσε ενδιαφέρον, ιδιαίτερα από Άντριου Σάδερλαντ, ερευνητής στο MIT που είναι ένας από τους διαχειριστές του LMFDB. Ο Σάδερλαντ συνειδητοποίησε ότι 3 εκατομμύρια ελλειπτικές καμπύλες δεν ήταν αρκετές για τους σκοπούς του. Ήθελε να κοιτάξει πολύ μεγαλύτερες σειρές αγωγών για να δει πόσο ισχυρές ήταν οι μουρμούρες. Έβγαλε δεδομένα από μια άλλη τεράστια αποθήκη με περίπου 150 εκατομμύρια ελλειπτικές καμπύλες. Ακόμα ανικανοποίητος, στη συνέχεια έβγαλε δεδομένα από διαφορετικό αποθετήριο με 300 εκατομμύρια καμπύλες.

«Αλλά ακόμη και αυτά δεν ήταν αρκετά, οπότε υπολόγισα στην πραγματικότητα ένα νέο σύνολο δεδομένων με πάνω από ένα δισεκατομμύριο ελλειπτικές καμπύλες, και αυτό χρησιμοποίησα για να υπολογίσω τις εικόνες πραγματικά υψηλής ανάλυσης», είπε ο Σάδερλαντ. Οι μουρμούρες φάνηκαν είτε είχε κατά μέσο όρο πάνω από 15,000 ελλειπτικές καμπύλες τη φορά ή ένα εκατομμύριο τη φορά. Το σχήμα παρέμεινε το ίδιο ακόμα και όταν κοίταζε τις καμπύλες σε όλο και μεγαλύτερους πρώτους αριθμούς, ένα φαινόμενο που ονομάζεται αναλλοίωτη κλίμακα. Ο Σάδερλαντ συνειδητοποίησε επίσης ότι οι μουρμούρες δεν είναι μοναδικές για τις ελλειπτικές καμπύλες, αλλά εμφανίζονται και γενικότερα L-λειτουργίες. έγραψε μια επιστολή που συνοψίζει τα ευρήματά του και το έστειλε στον Σαρνάκ και Μάικλ Ρούμπινσταϊν στο Πανεπιστήμιο του Βατερλό.

"Εάν υπάρχει μια γνωστή εξήγηση για αυτό, περιμένω ότι θα το μάθετε", έγραψε ο Σάδερλαντ.

Δεν το έκαναν.

Εξήγηση του Μοτίβου

Οι Lee, He και Oliver οργάνωσαν ένα εργαστήριο για τις μουρμούρες τον Αύγουστο του 2023 στο Ινστιτούτο Υπολογιστικής και Πειραματικής Έρευνας στα Μαθηματικά (ICERM) του Πανεπιστημίου Brown. Ήρθαν ο Σάρνακ και ο Ρουμπινστάιν, όπως και ο μαθητής του Σαρνάκ Νίνα Ζουμπριλίνα.

Η Zubrilina παρουσίασε την έρευνά της για τα μοτίβα μουρμούρα αρθρωτές μορφές, ειδικές σύνθετες συναρτήσεις που, όπως οι ελλειπτικές καμπύλες, έχουν συσχετιστεί L-λειτουργίες. Σε αρθρωτές μορφές με μεγάλους αγωγούς, τα μουρμουρίσματα συγκλίνουν σε μια σαφώς καθορισμένη καμπύλη, αντί να σχηματίζουν ένα ευδιάκριτο αλλά διάσπαρτο σχέδιο. Σε ένα χαρτί Δημοσιεύτηκε στις 11 Οκτωβρίου 2023, η Zubrilina απέδειξε ότι αυτό το είδος μουρμούρας ακολουθεί μια ρητή φόρμουλα που ανακάλυψε.

«Το μεγάλο επίτευγμα της Νίνας είναι ότι της έχει δοθεί μια φόρμουλα για αυτό. Το ονομάζω τύπος πυκνότητας μουρμούρας Zubrilina», είπε ο Sarnak. «Χρησιμοποιώντας πολύ εξελιγμένα μαθηματικά, έχει αποδείξει έναν ακριβή τύπο που ταιριάζει απόλυτα στα δεδομένα».

Ο τύπος της είναι περίπλοκος, αλλά ο Sarnak το χαιρετίζει ως ένα σημαντικό νέο είδος συνάρτησης, συγκρίσιμο με τις συναρτήσεις Airy που ορίζουν λύσεις σε διαφορικές εξισώσεις που χρησιμοποιούνται σε διάφορα περιβάλλοντα στη φυσική, που κυμαίνονται από την οπτική έως την κβαντική μηχανική.

Αν και η φόρμουλα της Zubrilina ήταν η πρώτη, ακολούθησαν και άλλες. «Κάθε εβδομάδα τώρα, κυκλοφορεί ένα νέο χαρτί», είπε ο Σαρνάκ, «που χρησιμοποιεί κυρίως τα εργαλεία της Ζουμπριλίνα, εξηγώντας άλλες πτυχές των μουρμουριών».

Τζόναθαν Μπόμπερ, Άντριου Μπούκερ και Μιν Λι του Πανεπιστημίου του Μπρίστολ, μαζί με David Lowry-Duda του ICERM, απέδειξε την ύπαρξη διαφορετικού τύπου μουρμούρα σε αρθρωτές μορφές στο άλλη μια εφημερίδα του Οκτωβρίου. Και οι Kyu-Hwan Lee, Oliver και Pozdnyakov απέδειξε την ύπαρξη από μουρμούρες σε αντικείμενα που ονομάζονται χαρακτήρες Dirichlet που σχετίζονται στενά με L- Λειτουργίες.

Ο Σάδερλαντ εντυπωσιάστηκε από τη σημαντική δόση τύχης που είχε οδηγήσει στην ανακάλυψη των μουρμούρων. Εάν τα δεδομένα της ελλειπτικής καμπύλης δεν είχαν παραγγελθεί από τον αγωγό, οι μουρμούρες θα είχαν εξαφανιστεί. «Ήταν τυχεροί που έπαιρναν δεδομένα από το LMFDB, τα οποία ήταν προδιαλεγμένα σύμφωνα με τον αγωγό», είπε. «Είναι αυτό που συσχετίζει μια ελλειπτική καμπύλη με την αντίστοιχη αρθρωτή μορφή, αλλά αυτό δεν είναι καθόλου προφανές. … Δύο καμπύλες των οποίων οι εξισώσεις μοιάζουν πολύ μπορούν να έχουν πολύ διαφορετικούς αγωγούς». Για παράδειγμα, ο Σάδερλαντ το σημείωσε y² = x³ - 11x Το + 6 έχει αγωγό 17, αλλά γυρίζοντας το σύμβολο μείον σε ένα σύμβολο συν, y² = x³ + 11x + 6 έχει αγωγό 100,736.

Ακόμη και τότε, οι μουρμούρες βρέθηκαν μόνο λόγω της απειρίας του Pozdnyakov. «Δεν νομίζω ότι θα το βρίσκαμε χωρίς αυτόν», είπε ο Όλιβερ, «επειδή οι ειδικοί παραδοσιακά κανονικοποιούν a_p να έχει απόλυτη τιμή 1. Αλλά δεν τις ομαλοποίησε… έτσι οι ταλαντώσεις ήταν πολύ μεγάλες και ορατές».

Τα στατιστικά μοτίβα που χρησιμοποιούν οι αλγόριθμοι τεχνητής νοημοσύνης για την ταξινόμηση των ελλειπτικών καμπυλών ανά κατάταξη υπάρχουν σε έναν χώρο παραμέτρων με εκατοντάδες διαστάσεις - πάρα πολλές για να ταξινομηθούν οι άνθρωποι στο μυαλό τους, πόσο μάλλον να οραματιστούν, σημείωσε ο Oliver. Αλλά αν και η μηχανική μάθηση βρήκε τις κρυφές ταλαντώσεις, «μόνο αργότερα καταλάβαμε ότι ήταν οι μουρμούρες».

Σημείωση του συντάκτη: Ο Andrew Sutherland, ο Kyu-Hwan Lee και η βάση δεδομένων L-functions and modular forms (LMFDB) έχουν λάβει χρηματοδότηση από το Ίδρυμα Simons, το οποίο χρηματοδοτεί επίσης αυτήν την εκδοτικά ανεξάρτητη έκδοση. Οι αποφάσεις χρηματοδότησης του Simons Foundation δεν επηρεάζουν την κάλυψή μας. Περισσότερες πληροφορίες είναι διαθέσιμες εδώ.