Εισαγωγή
Στους αλγόριθμους, όπως και στη ζωή, η αρνητικότητα μπορεί να είναι μια έλξη.
Εξετάστε το πρόβλημα της εύρεσης της συντομότερης διαδρομής μεταξύ δύο σημείων σε ένα γράφημα — ένα δίκτυο κόμβων που συνδέονται με συνδέσμους ή ακμές. Συχνά, αυτές οι ακμές δεν είναι εναλλάξιμες: Ένα γράφημα θα μπορούσε να αντιπροσωπεύει έναν οδικό χάρτη στον οποίο ορισμένοι δρόμοι είναι πιο αργοί από άλλους ή έχουν υψηλότερα διόδια. Οι επιστήμονες υπολογιστών υπολογίζουν αυτές τις διαφορές συνδυάζοντας κάθε άκρη με ένα «βάρος» που ποσοτικοποιεί το κόστος μετακίνησης σε αυτό το τμήμα — είτε αυτό το κόστος αντιπροσωπεύει χρόνο, χρήμα ή κάτι άλλο. Από τη δεκαετία του 1950, ήξεραν πώς να βρίσκουν τα συντομότερα μονοπάτια ουσιαστικά όσο το δυνατόν πιο γρήγορα θεωρητικά, υποθέτοντας ότι όλα τα βάρη είναι θετικοί αριθμοί.
Ωστόσο, σε ορισμένα γραφήματα τα βάρη μπορεί να είναι αρνητικά - το να ταξιδεύετε σε ένα τμήμα μπορεί να αντισταθμίσει το κόστος της διέλευσης ενός άλλου. Σκεφτείτε, για παράδειγμα, έναν οδηγό παράδοσης που πρέπει να εξισορροπήσει το κόστος του φυσικού αερίου και τα διόδια (που αντιπροσωπεύονται με θετικά βάρη) με τα έσοδα από τη μεταφορά δεμάτων (που αντιπροσωπεύονται από αρνητικά βάρη). Σε τέτοιες περιπτώσεις, ο ταχύτερος γνωστός αλγόριθμος συντομότερης διαδρομής δεν λειτουργεί. Για δεκαετίες, οι γρήγοροι αλγόριθμοι για την εύρεση συντομότερων μονοπατιών σε γραφήματα αρνητικού βάρους παρέμειναν άπιαστοι.
Τώρα μια τριάδα επιστημόνων υπολογιστών έχει λύσει αυτό το μακροχρόνιο πρόβλημα. Το νέο τους αλγόριθμος, που βρίσκει τα συντομότερα μονοπάτια μέσα από ένα γράφημα από έναν δεδομένο κόμβο «πηγής» σε κάθε άλλο κόμβο, ταιριάζει σχεδόν με την ταχύτητα που πέτυχαν οι αλγόριθμοι θετικού βάρους πριν από πολύ καιρό.
Επιπλέον, η νέα προσέγγιση χρησιμοποιεί μαθηματικές τεχνικές δεκαετιών, αποφεύγοντας πιο εξελιγμένες μεθόδους που έχουν κυριαρχήσει στη σύγχρονη έρευνα στη θεωρία γραφημάτων.
«Απλά δεν μπορούσα να πιστέψω ότι υπάρχει ένας τόσο απλός αλγόριθμος», είπε Maximilian Probst Gutenberg, επιστήμονας υπολογιστών στο Ελβετικό Ομοσπονδιακό Ινστιτούτο Τεχνολογίας της Ζυρίχης. «Όλα υπάρχουν εδώ και 40 χρόνια. Απλώς χρειάστηκε κάποιος να είναι πραγματικά έξυπνος και αποφασισμένος να τα κάνει όλα να δουλέψουν».
Τα όρια της απληστίας
Η ιστορία ξεκινά το 1956, όταν ο Ολλανδός επιστήμονας υπολογιστών Edsger Dijkstra ανέπτυξε έναν γρήγορο αλγόριθμο για να βρει τα συντομότερα μονοπάτια σε ένα γράφημα με μόνο θετικά βάρη. Για να το καταλάβετε, φανταστείτε να ξεκινάτε από την πηγή και να εξερευνάτε το γράφημα έναν κόμβο τη φορά, σημειώνοντας τα βάρη των ακμών που ανακαλύφθηκαν πρόσφατα καθώς προχωράτε. Κάθε φορά που επισκέπτεστε έναν κόμβο, κάντε προκαταρκτικές εκτιμήσεις των συντομότερων μονοπατιών από την πηγή προς κάθε έναν από τους γείτονες του νέου κόμβου, ενημερώνοντας τυχόν υπάρχουσες εκτιμήσεις εάν έχετε βρει μια νέα συντομότερη διαδρομή. Για να αποφασίσετε ποιον ανεξερεύνητο κόμβο θα επισκεφθείτε στη συνέχεια, χρησιμοποιήστε αυτό που ονομάζεται άπληστη στρατηγική: Μεταβείτε σε όποιον είναι πιο κοντά στην πηγή σύμφωνα με την τρέχουσα εκτίμηση σας.
Με θετικά βάρη, η διαδρομή που ακολουθεί ο αλγόριθμος του Dijkstra για να επισκεφθεί κάθε κόμβο για πρώτη φορά είναι πραγματικά η συντομότερη. Είναι πιο εύκολο να δεις ότι αυτό ισχύει από το πρώτο κιόλας βήμα. Φανταστείτε δύο κόμβους Α και Β που συνδέονται με μια άκρη με βάρος 2. Εάν ο Α είναι ο κόμβος πηγής και κάθε άλλη άκρη που τον αγγίζει έχει μεγαλύτερο βάρος, τότε η άμεση διαδρομή από το Α στο Β πρέπει να είναι η συντομότερη δυνατή διαδρομή που συνδέει αυτά τα δύο σημεία , αφού το πρώτο τμήμα οποιασδήποτε άλλης διαδρομής θα ήταν ήδη μεγαλύτερο. Παρόμοιος συλλογισμός λειτουργεί σε κάθε βήμα. Ο αλγόριθμος δεν χρειάζεται ποτέ να κοιτάξει πίσω, επομένως είναι εγγυημένο ότι θα τελειώσει αφού τρέξει το γράφημα μία φορά — αυτό τον κάνει τόσο γρήγορο.
Αλλά τα αρνητικά βάρη δημιουργούν πρόβλημα για την άπληστη στρατηγική του Dijkstra. Σκεφτείτε ξανά το πρόγραμμα οδήγησης παράδοσης. Μια απευθείας διαδρομή από το Α στο Β που έχει ένα μικρό κέρδος μπορεί να αποφέρει λιγότερα χρήματα από μια κυκλική διαδρομή που έχει κάπου μεγάλη απόδοση. "Δεν μπορείτε να λαμβάνετε αποφάσεις μόνο με βάση τις τοπικές πληροφορίες", είπε Sanjeev Khanna, επιστήμονας υπολογιστών στο Πανεπιστήμιο της Πενσυλβάνια. «Μπορεί να χρειαστεί να κάνετε πολλές φαινομενικά μη βέλτιστες κινήσεις για να πάρετε τελικά μια πραγματική ανταμοιβή».
Για δεκαετίες, επιστήμονες υπολογιστών που εργάζονταν σε γραφήματα αρνητικού βάρους προσπάθησαν να ταιριάξουν την ταχύτητα του αλγορίθμου του Dijkstra με παρόμοιους «συνδυαστικούς» αλγόριθμους. Αυτές περιλαμβάνουν διακριτές πράξεις - όπως μέτρηση δυνατοτήτων, τροποποίηση βαρών και επιλεκτική διαγραφή ακμών - που αντικατοπτρίζουν τη διακριτή δομή του υποκείμενου γραφήματος. Ωστόσο, η πρόοδος επιβραδύνθηκε τη δεκαετία του 1990. Πιο πρόσφατα, οι ερευνητές χρησιμοποίησαν αλγόριθμους «συνεχούς βελτιστοποίησης», οι οποίοι δανείζονται κόλπα από τον λογισμό. Δυστυχώς, οι επιταχύνσεις που προέκυψαν έχουν περιοριστεί και συχνά έχουν το κόστος της απλότητας.
Σπάστε τον Κύκλο
Το καλοκαίρι του 2021, δύο επιστήμονες υπολογιστών που έγιναν συνάδελφοι στο Πανεπιστήμιο της Κοπεγχάγης — Danupon Nanongkai και Κρίστιαν Βουλφ-Νίλσεν — αναζητούσαν ένα θέμα για ένα κοινό ερευνητικό έργο. «Ο Κρίστιαν είπε: «Ω, παρεμπιπτόντως, ήμουν σε διακοπές και γι' αυτό προσπαθούσα να σκεφτώ κάτι πολύ φιλόδοξο», θυμάται ο Νανονγκκάι, ο οποίος τώρα βρίσκεται στο Ινστιτούτο Πληροφορικής Max Planck στο Saarbrucken της Γερμανίας. Εγκαταστάθηκαν στο πρόβλημα των συντομότερων μονοπατιών αρνητικού βάρους και κάλεσαν Άαρον Μπερνστάιν του πανεπιστημίου Rutgers για να τους συμμετάσχουν.
Και οι τρεις ερευνητές ήταν ειδικοί σε αλγόριθμους συνδυαστικών γραφημάτων για άλλα προβλήματα και ήθελαν να δουν πόσο μακριά μπορούσαν να τα φτάσουν αυτές οι σχετικά αρχαίες προσεγγίσεις. «Υπάρχει πράγματι μια κάποια ελευθερία στην εργασία πάνω σε ένα πρόβλημα που είναι φιλόδοξο και είναι ανοιχτό εδώ και πολύ καιρό», είπε ο Bernstein.
Το τρίο ξεκίνησε αγνοώντας προσωρινά ένα υποσύνολο πιθανών γραφημάτων: αυτά που περιέχουν αρνητικούς κύκλους. Αυτά είναι μονοπάτια που επιστρέφουν στο σημείο όπου ξεκίνησαν αφού περάσουν από μια σειρά ακμών των οποίων τα βάρη αθροίζονται σε έναν αρνητικό αριθμό. Σε ένα γράφημα με αρνητικούς κύκλους προσβάσιμους από το σημείο εκκίνησης, η έννοια της συντομότερης διαδρομής καταρρέει, καθώς μπορείτε να κάνετε την απόσταση από οποιονδήποτε κόμβο όσο αρνητική (ή όσο κερδοφόρα) θέλετε, κάνοντας επαναλαμβανόμενους γύρους γύρω από τον αρνητικό κύκλο πριν κατευθύνεστε προς τον προορισμό σας.
Οι ερευνητές υποψιάζονταν ότι τα μεγάλα αρνητικά μονοπάτια ήταν κυρίως υπεύθυνα για τη δυσκολία του προβλήματος. Άρχισαν λοιπόν να επικεντρώνονται σε στενά συμπλέγματα κοντινών κόμβων, που δεν μπορούν να περιέχουν μεγάλες αρνητικές διαδρομές: Αυτό συμβαίνει γιατί εάν δύο σημεία συνδέονται με μια σύντομη θετική διαδρομή, η προσθήκη μιας μεγάλης αρνητικής διαδρομής μεταξύ τους θα δημιουργούσε έναν αρνητικό κύκλο. Μέσα σε ένα στενό σύμπλεγμα, «το γεγονός ότι όλοι είναι κοντά μαζί με θετική έννοια πραγματικά σας δίνει χρήσιμες πληροφορίες και για τα αρνητικά άκρα», είπε ο Bernstein. «Σας λέει ότι τα πράγματα δεν μπορούν να είναι πολύ αρνητικά».
Τα περισσότερα γραφήματα περιέχουν πολλές τέτοιες σφιχτοδεμένες συστάδες που συνδέονται ελάχιστα μεταξύ τους. Αν οι ερευνητές μπορούσαν να εντοπίσουν με ακρίβεια όλα τα σμήνη, υποψιάζονταν ότι θα μπορούσαν να αναπτύξουν έναν τρόπο να βρουν γρήγορα τα συντομότερα μονοπάτια μέσα σε κάθε ένα. Από εκεί, μπορεί να έχουν ευκολότερο χρόνο να συνδέσουν μεμονωμένα συμπλέγματα και να βρουν τα συντομότερα μονοπάτια στο αρχικό γράφημα. Αλλά αυτό θα απαιτούσε γρήγορα τον εντοπισμό των περιοχών οποιουδήποτε γραφήματος στα οποία οι κόμβοι είναι κοντά μεταξύ τους — κάτι που δεν ήξεραν πώς να κάνουν. Το κλειδί αποδείχθηκε ότι ήταν μια τεχνική που προήλθε από έναν εντελώς διαφορετικό κλάδο της θεωρίας γραφημάτων.
Κοπή γραφημάτων
Στη δεκαετία του 1980, επιστήμονες υπολογιστών ανέπτυξαν μια τεχνική που ονομάζεται αποσύνθεση χαμηλής διαμέτρου για να διακρίνουν σφιχτά συμπλέγματα σε ένα γράφημα και να προσδιορίζουν τις άκρες που πρέπει να διαγραφούν για να διαχωριστούν αυτά τα συμπλέγματα. Αυτή η τεχνική παρέχει έναν τρόπο για τη διαίρεση των γραφημάτων σε ανεξάρτητα τμήματα. Εφευρέθηκε για να διευκολύνει τους «κατανεμημένους» αλγόριθμους, στους οποίους οι υπολογισμοί εκτελούνται παράλληλα σε διαφορετικά μέρη ενός γραφήματος, επομένως ήταν λιγότερο προφανώς χρήσιμος για αλγόριθμους συντομότερης διαδρομής, οι οποίοι δεν έχουν αυτήν την ιδιότητα.
Οι Bernstein, Nanongkai και Wulff-Nilsen συνειδητοποίησαν ότι η αποσύνθεση χαμηλής διαμέτρου θα μπορούσε να τους βοηθήσει να αναγνωρίσουν συστάδες χωρίς πολύ συγκεντρωμένη αρνητικότητα. Δυστυχώς, οι τυπικοί αλγόριθμοι αποσύνθεσης χαμηλής διαμέτρου λειτουργούν μόνο σε μη κατευθυνόμενα γραφήματα - αυτά στα οποία κάθε άκρη μπορεί να διασχιστεί και προς τις δύο κατευθύνσεις. Το πρόβλημα με τις συντομότερες διαδρομές αρνητικού βάρους, εν τω μεταξύ, έχει νόημα μόνο σε κατευθυνόμενα γραφήματα, στα οποία κάθε άκρη είναι μονόδρομος. (Διαφορετικά, ένα μόνο μη κατευθυνόμενο αρνητικό άκρο θα δημιουργούσε έναν αρνητικό κύκλο που θα αποτελείται από επαναλαμβανόμενα άλματα εμπρός και πίσω σε αυτό το άκρο.) Εάν οι ερευνητές ήθελαν να χρησιμοποιήσουν αποσύνθεση χαμηλής διαμέτρου, θα έπρεπε να το προσαρμόσουν.
Αυτό έκαναν στη νέα τους εφημερίδα. Εμπνευσμένη από προηγούμενη δουλειά στην οποία ο Bernstein και ο Wulff-Nilsen είχαν συνεργαστεί με τον Probst Gutenberg, ανέπτυξαν μια διαδικασία θραύσης για κατευθυνόμενα γραφήματα ανάλογα με την αποσύνθεση χαμηλής διαμέτρου. Η διαδικασία τεμαχίζει ένα αυθαίρετο κατευθυνόμενο γράφημα σε μια σειρά από σφιχτά δεμένα συμπλέγματα χρησιμοποιώντας μια τυχαία διαδικασία για τη διαγραφή μόνο μιας χούφτας άκρων. Στη συνέχεια, αυτά τα συμπλέγματα συνδέονται με ένα αραιότερο δίκτυο στο οποίο όλες οι ακμές δείχνουν προς την ίδια κατεύθυνση. Αυτό το είδος δικτύου ονομάζεται κατευθυνόμενο άκυκλο γράφημα ή DAG.
Σκεφτείτε ένα DAG σαν ένα ρέμα στο οποίο το νερό μπορεί να ρέει σε διαφορετικά μονοπάτια: Κάποια μονοπάτια ρέουν από διαφορετικές πηγές, άλλα ξεπετάγονται προς διαφορετικές κατευθύνσεις και άλλα μπορεί να χωριστούν και να συγχωνευθούν ξανά μεταξύ τους. Αλλά τίποτα δεν ρέει ποτέ προς τα πίσω, επομένως δεν υπάρχουν κύκλοι. Αυτό καθιστά πολύ πιο εύκολη την εργασία με τα DAG.
Οι ερευνητές γνώριζαν από καιρό πώς να βρίσκουν γρήγορα τα συντομότερα μονοπάτια σε DAG ακόμη και με αρνητικά βάρη. Έτσι, η τεχνική του σπασίματος έδωσε τη δυνατότητα στους τρεις ερευνητές να μειώσουν οποιοδήποτε κατευθυνόμενο γράφημα σε έναν συνδυασμό δύο ειδικών περιπτώσεων - DAGs και σφιχτών συστάδων - που ήταν εύκολο να χειριστούν το καθένα.
Ο νέος αλγόριθμος συντομότερων διαδρομών χρησιμοποιεί επανειλημμένα τη διαδικασία σπασίματος για να σπάσει ένα γράφημα σε συμπλέγματα που συνδέονται με ένα DAG. Στη συνέχεια διασπά αυτά τα συμπλέγματα ολοένα και περισσότερο. Στο τέλος της διαδικασίας, οι συστάδες στο πιο εσωτερικό επίπεδο συνδέονται όσο το δυνατόν στενότερα. Μέρος του λόγου που ο αλγόριθμος είναι τόσο γρήγορος είναι ότι δεν χρειάζονται πολλές επαναλήψεις για να αναλυθεί πλήρως ακόμη και ένα πολύ μεγάλο γράφημα, όπως δεν χρειάζεται πολύς χρόνος για να μειώσετε έναν μεγάλο αριθμό σε λογικό μέγεθος εάν διαιρέσετε επανειλημμένα το μισό.
Με το γράφημα πλήρως αναλυμένο με αυτόν τον τρόπο, οι ερευνητές μπορούσαν να βρουν γρήγορα τα συντομότερα μονοπάτια σε κάθε τμήμα του γραφήματος. Για τα σφιχτά συμπλέγματα στο πιο εσωτερικό επίπεδο της δομής του ένθετου γραφήματος, αυτό ήταν εύκολο - ουσιαστικά δεν τους είχε απομείνει αρνητισμός. Και οι ερευνητές ήξεραν ήδη πώς να βρίσκουν τα συντομότερα μονοπάτια στα τμήματα DAG που τους ενώνουν.
Τέλος, ο αλγόριθμος προσθέτει πίσω τις ακμές που εξαλείφθηκαν από τη διαδικασία ρήξης και υπολογίζει τα αποτελέσματά τους στα συντομότερα μονοπάτια. Οι ερευνητές απέδειξαν ότι η διαδικασία τους για τυχαία διαγραφή ακμών θα απαιτούσε σχεδόν πάντα λίγες μόνο διαγραφές για την εξάλειψη των «προς τα πίσω» άκρων - το είδος που θα μετέτρεπε το DAG τους σε ένα γράφημα με μεγάλους κύκλους. Αυτό κατέστησε εξαιρετικά απίθανο ότι οποιαδήποτε συντομότερη διαδρομή θα περνούσε από πάρα πολλά τέτοια προς τα πίσω τμήματα, έτσι θα μπορούσαν να λύσουν αυτό το δύσκολο τελικό βήμα συνδυάζοντας δύο μεθόδους σχολικών βιβλίων από τη δεκαετία του 1950: τον αλγόριθμο του Dijkstra και τον πρώτο αλγόριθμο που αναπτύχθηκε για γραφήματα αρνητικού βάρους.
«Είναι μια εξαιρετικά έξυπνη σύνθεση αυτών των ιδεών», είπε ο Khanna. Ο αλγόριθμος είναι ο πρώτος για γραφήματα αρνητικού βάρους που εκτελείται σε «σχεδόν γραμμικό» χρόνο — πράγμα που σημαίνει ότι ο χρόνος εκτέλεσης του είναι σχεδόν ανάλογος με τον χρόνο που απαιτείται απλώς για να μετρηθούν όλες οι ακμές, όσο πιο γρήγορος θα μπορούσε να είναι.
Και τι γίνεται με τα γραφήματα με αρνητικούς κύκλους, τα οποία οι ερευνητές αποφάσισαν να αγνοήσουν στην αρχή; Αφού έβαλαν τις τελευταίες πινελιές στον αλγόριθμο των συντομότερων μονοπατιών τους, έδειξαν ότι θα μπορούσε επίσης να λειτουργήσει ως ένας γρήγορος αλγόριθμος για τον εντοπισμό αρνητικών κύκλων. Ουσιαστικά κανένα γράφημα δεν ήταν πέρα για πέρα.
Παράλληλες διαδρομές
Ο Bernstein παρουσίασε το αποτέλεσμα της ομάδας στο συνέδριο του 2022 Foundations of Computer Science, όπου το χειρόγραφό τους που περιγράφει τον νέο αλγόριθμο θεωρήθηκε μία από τις δύο καλύτερες εργασίες. ο άλλο χαρτί έτυχε επίσης να περιγράψει έναν νέο αλγόριθμο σχεδόν γραμμικού χρόνου για την επίλυση ενός μακροχρόνιου προβλήματος στη θεωρία γραφημάτων.
Αυτός ο αλγόριθμος, που αναπτύχθηκε από τον Probst Gutenberg και πέντε άλλους ερευνητές, αντιμετώπισε ένα γενικότερο πρόβλημα που ονομάζεται ροή ελάχιστου κόστους, στο οποίο ο στόχος είναι να βελτιστοποιηθεί η μεταφορά μέσω πολλών διαδρομών παράλληλα, και κάθε άκρη έχει μια μέγιστη χωρητικότητα καθώς και ένα σχετικό κόστος . Τα προβλήματα συντομότερων διαδρομών είναι μια ειδική περίπτωση ροής ελάχιστου κόστους, επομένως ο νέος αλγόριθμος ροής ελάχιστου κόστους θα μπορούσε επίσης να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση του προβλήματος συντομότερων μονοπατιών αρνητικού βάρους σε σχεδόν γραμμικό χρόνο, αν και με μια ριζικά διαφορετική προσέγγιση.
Η ομάδα που εργάζεται για τη ροή ελάχιστου κόστους ανέπτυξε τον γρήγορο αλγόριθμο γενικής χρήσης χρησιμοποιώντας μια περίπλοκη σύνθεση συνδυαστικών και συνεχών τεχνικών βελτιστοποίησης που τον καθιστά δυσκίνητο στην πράξη, τουλάχιστον επί του παρόντος. Ο συνδυαστικός αλγόριθμος του Bernstein και των συνεργατών του, αν και περιορίζεται σε ένα πιο συγκεκριμένο πρόβλημα, επιτυγχάνει σχεδόν γραμμικό χρόνο εκτέλεσης χωρίς να θυσιάζει την απλότητα.
«Αυτό είναι το εκπληκτικό σε αυτό το χαρτί», είπε ο Probst Gutenberg. "Μπορείτε να το εξηγήσετε σε έναν προπτυχιακό φοιτητή και μπορείτε επίσης να το εφαρμόσετε στον υπολογιστή σας."
Ως αποτέλεσμα, αυτός ο νέος αλγόριθμος έχει αναζωογονήσει το ενδιαφέρον για συνδυαστικές προσεγγίσεις σε άλλα προβλήματα στη θεωρία γραφημάτων. Μένει να δούμε ποια προβλήματα μπορούν να λυθούν γρήγορα χρησιμοποιώντας καθαρά συνδυαστικούς αλγόριθμους και ποια πραγματικά απαιτούν τις συνεχείς τεχνικές που αναπτύχθηκαν τα τελευταία 20 χρόνια.
«Αυτή είναι μια φιλοσοφική ερώτηση που προσπαθώ να καταλάβω», είπε ο Nanongkai. «Αυτό το πρόβλημα της συντομότερης διαδρομής δίνει κάποια ελπίδα».
- SEO Powered Content & PR Distribution. Ενισχύστε σήμερα.
- Platoblockchain. Web3 Metaverse Intelligence. Ενισχύθηκε η γνώση. Πρόσβαση εδώ.
- πηγή: https://www.quantamagazine.org/finally-a-fast-algorithm-for-shortest-paths-on-negative-graphs-20230118/
- 20 χρόνια
- 2021
- 2022
- a
- Σχετικά
- Σύμφωνα με
- Λογαριασμός
- επιτευχθεί
- απέναντι
- πραγματικά
- απεριοδικός
- προσαρμόσει
- Προσθέτει
- Μετά το
- κατά
- αλγόριθμος
- αλγόριθμοι
- Όλα
- ήδη
- πάντοτε
- φιλόδοξος
- Αρχαίος
- και
- Άλλος
- χώρια
- πλησιάζω
- προσεγγίσεις
- γύρω
- συσχετισμένη
- πίσω
- Υπόλοιπο
- βασίζονται
- επειδή
- γίνονται
- πριν
- ξεκίνησε
- Πιστεύω
- Bernstein
- ΚΑΛΎΤΕΡΟΣ
- μεταξύ
- Πέρα
- Μεγάλος
- δανείζομαι
- Υποκατάστημα
- Διακοπή
- φρένα
- Σπασμένος
- υπολογίζει
- που ονομάζεται
- Χωρητικότητα
- περίπτωση
- περιπτώσεις
- ορισμένες
- CIS
- Κλεισιμο
- στενά
- συστάδα
- συνεργάστηκαν
- συναδέλφους
- συνδυασμός
- συνδυάζοντας
- Ελάτε
- υπολογισμοί
- υπολογιστή
- Πληροφορική
- Συμπυκνωμένος
- Διάσκεψη
- συνδεδεμένος
- Συνδετικός
- Εξετάστε
- Αποτελείται από
- συνεχής
- Κόστος
- θα μπορούσε να
- δημιουργία
- Ρεύμα
- Τη στιγμή
- Τομή
- κύκλους
- DAG
- δεκαετίες
- αποφάσισε
- αποφάσεις
- διανομή
- περιγράφουν
- προορισμός
- αποφασισμένος
- ανάπτυξη
- αναπτύχθηκε
- DID
- διαφορές
- διαφορετικές
- δύσκολος
- κατευθύνει
- κατεύθυνση
- ανακάλυψαν
- απόσταση
- Όχι
- Μην
- κάτω
- οδηγός
- Ολλανδικά
- κάθε
- κερδίζουν
- ευκολότερη
- πιο εύκολη
- άκρη
- αποτελέσματα
- την εξάλειψη
- εξαλειφθεί
- ενεργοποιημένη
- εξ ολοκλήρου
- κατ 'ουσίαν,
- εκτίμηση
- εκτιμήσεις
- Even
- ΠΑΝΤΑ
- όλοι
- υφιστάμενα
- υπάρχει
- εμπειρογνώμονες
- Εξηγήστε
- Εξερευνώντας
- εξαιρετικά
- διευκολύνω
- ανεμιστήρας
- FAST
- ταχύτερα
- Ομοσπονδιακός
- λίγοι
- τελικός
- Τελικά
- Εύρεση
- εύρεση
- ευρήματα
- Όνομα
- πρώτη φορά
- ροή
- Ροές
- Συγκέντρωση
- Βρέθηκαν
- Ιδρύματα
- Ελευθερία
- από
- πλήρως
- περαιτέρω
- GAS
- General
- γενικού σκοπού
- Germany
- παίρνω
- δεδομένου
- δίνει
- Go
- γκολ
- γραφική παράσταση
- γραφικές παραστάσεις
- Άπληστος
- εγγυημένη
- Gutenberg
- Ήμισυ
- χούφτα
- λαβή
- συνέβη
- Επικεφαλίδα
- βοήθεια
- υψηλότερο
- ελπίζω
- Πως
- Πώς να
- Ωστόσο
- HTML
- HTTPS
- ιδεών
- προσδιορίσει
- εφαρμογή
- in
- Εισόδημα
- ανεξάρτητος
- ατομικές
- πληροφορίες
- εμπνευσμένος
- παράδειγμα
- Ινστιτούτο
- τόκος
- Επινοηθείσα
- εμπλέκω
- IT
- επαναλήψεις
- ενταχθούν
- ενώνει
- Κλειδί
- Είδος
- Ξέρω
- γνωστός
- large
- μεγαλύτερος
- Επίπεδο
- ζωή
- Περιωρισμένος
- όρια
- ΣΥΝΔΕΣΜΟΙ
- τοπικός
- Μακριά
- πολύς καιρός
- μακροχρόνια
- πλέον
- ματιά
- που
- κάνω
- ΚΑΝΕΙ
- Κατασκευή
- τρόπος
- πολοί
- χάρτη
- Ταίριασμα
- μαθηματικός
- max
- ανώτατο όριο
- μέσα
- Εν τω μεταξύ,
- πηγαίνω
- μέθοδοι
- ενδέχεται να
- ΜΟΝΤΕΡΝΑ
- χρήματα
- περισσότερο
- κινήσεις
- κίνηση
- σχεδόν
- αρνητικός
- γείτονες
- Δίχτυα
- δίκτυο
- Νέα
- επόμενη
- κόμβος
- κόμβων
- Εννοια
- αριθμός
- αριθμοί
- όφσετ
- ONE
- ανοίξτε
- λειτουργίες
- βελτιστοποίηση
- Βελτιστοποίηση
- πρωτότυπο
- προέκυψε
- ΑΛΛΑ
- Άλλα
- αλλιώς
- Packages
- αντιστοίχιση
- Χαρτί
- χαρτιά
- Παράλληλο
- μέρος
- εξαρτήματα
- Πέρασμα
- Το παρελθόν
- μονοπάτι
- Πενσυλβάνια
- επιλέξτε
- Πλάτων
- Πληροφορία δεδομένων Plato
- Πλάτωνα δεδομένα
- Σημείο
- σημεία
- θετικός
- δυνατότητες
- δυνατός
- πρακτικά
- πρακτική
- παρουσιάζονται
- Πρόβλημα
- προβλήματα
- διαδικασια μας
- Κέρδος
- επικερδής
- Πρόοδος
- σχέδιο
- περιουσία
- αποδείχθηκε
- παρέχει
- καθαρώς
- Βάζοντας
- Quantamamagazine
- ερώτηση
- γρήγορα
- ριζικά
- τυχαίος
- ταχέως
- φθάσουν
- πραγματικός
- συνειδητοποίησα
- λόγος
- λογικός
- πρόσφατα
- μείωση
- αντανακλούν
- περιοχές
- σχετικά
- παρέμεινε
- λείψανα
- επανειλημμένες
- ΚΑΤ 'ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ
- εκπροσωπώ
- εκπροσωπούνται
- αντιπροσωπεύει
- απαιτούν
- απαιτείται
- έρευνα
- ερευνητές
- υπεύθυνος
- περιορισμένος
- αποτέλεσμα
- με αποτέλεσμα
- Ανταμοιβή
- δρόμος
- Διαδρομή
- τρέξιμο
- τρέξιμο
- Πανεπιστήμιο Rutgers
- θυσιάζοντας
- Είπε
- ίδιο
- Επιστήμη
- Επιστήμονας
- επιστήμονες
- αναζήτηση
- τμήματα
- τμήμα
- τμήματα
- αίσθηση
- Σειρές
- Πάγια
- διάφοροι
- Κοντά
- παρόμοιες
- Απλούς
- απλότητα
- αφού
- ενιαίας
- Μέγεθος
- small
- So
- SOLVE
- Επίλυση
- μερικοί
- Κάποιος
- κάτι
- κάπου
- εξελιγμένα
- Πηγή
- Πηγές
- ειδική
- συγκεκριμένες
- ταχύτητα
- ΣΗΜΑΙΝΩ
- διαίρεση
- πρότυπο
- Εκκίνηση
- ξεκίνησε
- Ξεκινήστε
- Βήμα
- Ακόμη
- Ιστορία
- Στρατηγική
- μετάδοση
- δρόμος
- δομή
- Φοιτητής
- τέτοιος
- καλοκαίρι
- Ελβετός
- Πάρτε
- παίρνει
- λήψη
- τεχνικές
- Τεχνολογία
- λέει
- εγχειρίδιο
- Η
- Το γράφημα
- Η Πηγη
- τους
- πράγματα
- τρία
- Μέσω
- ώρα
- προς την
- μαζι
- πολύ
- τοπικός
- αφορών
- μεταφορά
- Ταξίδια
- ταλαιπωρία
- αληθής
- ΣΤΡΟΦΗ
- Γύρισε
- υποκείμενες
- καταλαβαίνω
- πανεπιστήμιο
- ενημέρωση
- χρήση
- διακοπές
- πρακτικώς
- ήθελε
- Νερό
- webp
- βάρος
- Τι
- αν
- Ποιό
- Ο ΟΠΟΊΟΣ
- εντός
- χωρίς
- Εργασία
- εργαζόμενος
- λειτουργεί
- θα
- χρόνια
- Εσείς
- Σας
- zephyrnet
- Ζυρίχη