Στο τέλος του blockbuster της Marvel Εκδικητές: Endgame, ένα προηχογραφημένο ολόγραμμα του Τόνι Σταρκ αποχαιρετά τη μικρή του κόρη λέγοντας: «Σ’ αγαπώ 3,000». Η συγκινητική στιγμή απηχεί μια παλαιότερη σκηνή στην οποία οι δυο τους ασχολούνται με το παιχνιδιάρικο τελετουργικό πριν τον ύπνο της ποσοτικοποίησης της αγάπης τους ο ένας για τον άλλον. Σύμφωνα με τον Robert Downey Jr., τον ηθοποιό που υποδύεται τον Stark, η σειρά εμπνεύστηκε από παρόμοιες ανταλλαγές με τα δικά του παιδιά.
Το παιχνίδι μπορεί να είναι ένας διασκεδαστικός τρόπος για να εξερευνήσετε μεγάλους αριθμούς:
"Σ 'αγαπώ 10."
«Αλλά σε αγαπώ 100».
«Λοιπόν, σε αγαπώ 101!»
Αυτός είναι ακριβώς ο τρόπος με τον οποίο το "googolplex" έγινε δημοφιλής λέξη στο σπίτι μου. Αλλά όλοι γνωρίζουμε πού οδηγεί τελικά αυτό το επιχείρημα:
"Σ'αγαπώ άπειρα!"
"Ω! ναι? Σε αγαπώ άπειρα συν 1!»
Είτε είναι στην παιδική χαρά είτε πριν τον ύπνο, τα παιδιά αντιμετωπίζουν την έννοια του άπειρου πολύ πριν από το μάθημα των μαθηματικών και είναι κατανοητό ότι αναπτύσσουν μια γοητεία με αυτή τη μυστηριώδη, περίπλοκη και σημαντική ιδέα. Μερικά από αυτά τα παιδιά μεγαλώνουν για να γίνουν μαθηματικοί γοητευμένοι με το άπειρο, και κάποιοι από αυτούς τους μαθηματικούς ανακαλύπτουν νέα και εκπληκτικά πράγματα για το άπειρο.
Ίσως γνωρίζετε ότι ορισμένα σύνολα αριθμών είναι απείρως μεγάλα, αλλά ξέρατε ότι ορισμένα άπειρα είναι μεγαλύτερα από άλλα; Και ότι δεν είμαστε σίγουροι αν υπάρχουν άλλα άπειρα ανάμεσα στα δύο που γνωρίζουμε καλύτερα; Οι μαθηματικοί συλλογίζονται αυτό το δεύτερο ερώτημα για τουλάχιστον έναν αιώνα, και ορισμένες πρόσφατες εργασίες έχουν αλλάξει τον τρόπο που οι άνθρωποι σκέφτονται για το θέμα.
Για να αντιμετωπίσουμε ερωτήσεις σχετικά με το μέγεθος των άπειρων συνόλων, ας ξεκινήσουμε με σύνολα που είναι πιο εύκολο να μετρηθούν. Ένα σύνολο είναι μια συλλογή αντικειμένων ή στοιχείων και ένα πεπερασμένο σύνολο είναι απλώς ένα σύνολο που περιέχει πεπερασμένα πολλά αντικείμενα.
Ο προσδιορισμός του μεγέθους ενός πεπερασμένου συνόλου είναι εύκολος: Απλώς μετρήστε τον αριθμό των στοιχείων που περιέχει. Εφόσον το σύνολο είναι πεπερασμένο, ξέρετε ότι θα σταματήσετε να μετράτε τελικά και όταν τελειώσετε, γνωρίζετε το μέγεθος του σετ σας.
Αυτή η στρατηγική δεν λειτουργεί με άπειρα σύνολα. Εδώ είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών, που συμβολίζεται με ℕ. (Μερικοί μπορεί να υποστηρίξουν ότι το μηδέν δεν είναι φυσικός αριθμός, αλλά αυτή η συζήτηση δεν επηρεάζει τις έρευνές μας για το άπειρο.)
$latexmathbb{N} = {0,1,2,3,4,5,…}$
Ποιο είναι το μέγεθος αυτού του σετ; Δεδομένου ότι δεν υπάρχει μεγαλύτερος φυσικός αριθμός, η προσπάθεια μέτρησης του αριθμού των στοιχείων δεν θα λειτουργήσει. Μια λύση είναι απλά να δηλώσετε ότι το μέγεθος αυτού του άπειρου συνόλου είναι «άπειρο», κάτι που δεν είναι λάθος, αλλά όταν αρχίζετε να εξερευνάτε άλλα άπειρα σύνολα, συνειδητοποιείτε ότι δεν είναι και πολύ σωστό.
Εξετάστε το σύνολο των πραγματικών αριθμών, που είναι όλοι οι αριθμοί που μπορούν να εκφραστούν σε μια δεκαδική επέκταση, όπως 7, 3.2, −8.015, ή μια άπειρη επέκταση όπως $latexsqrt{2} = 1.414213…$. Δεδομένου ότι κάθε φυσικός αριθμός είναι επίσης πραγματικός αριθμός, το σύνολο των πραγματικών είναι τουλάχιστον τόσο μεγάλο όσο το σύνολο των φυσικών αριθμών, και έτσι πρέπει επίσης να είναι άπειρο.
Αλλά υπάρχει κάτι που δεν ικανοποιεί το να δηλώνουμε ότι το μέγεθος του συνόλου των πραγματικών αριθμών είναι το ίδιο «άπειρο» που χρησιμοποιείται για να περιγράψει το μέγεθος των φυσικών αριθμών. Για να δείτε γιατί, επιλέξτε οποιουσδήποτε δύο αριθμούς, όπως το 3 και το 7. Ανάμεσα σε αυτούς τους δύο αριθμούς θα υπάρχουν πάντα πεπερασμένα πολλοί φυσικοί αριθμοί: Εδώ είναι οι αριθμοί 4, 5 και 6. Αλλά πάντα θα υπάρχουν άπειροι πραγματικοί αριθμοί μεταξύ τους, αριθμοί όπως 3.001, 3.01, π, 4.01023, 5.666… και ούτω καθεξής.
Είναι αξιοσημείωτο ότι, ανεξάρτητα από το πόσο κοντά είναι δύο διαφορετικοί πραγματικοί αριθμοί μεταξύ τους, θα υπάρχουν πάντα άπειροι πραγματικοί αριθμοί ενδιάμεσα. Αυτό από μόνο του δεν σημαίνει ότι τα σύνολα των πραγματικών αριθμών και των φυσικών αριθμών έχουν διαφορετικά μεγέθη, αλλά υποδηλώνει ότι υπάρχει κάτι θεμελιωδώς διαφορετικό σε αυτά τα δύο άπειρα σύνολα που δικαιολογεί περαιτέρω διερεύνηση.
Ο μαθηματικός Georg Cantor το διερεύνησε στα τέλη του 19ου αιώνα. Έδειξε ότι αυτά τα δύο άπειρα σύνολα έχουν πραγματικά διαφορετικά μεγέθη. Για να κατανοήσουμε και να εκτιμήσουμε πώς το έκανε αυτό, πρώτα πρέπει να καταλάβουμε πώς να συγκρίνουμε άπειρα σύνολα. Το μυστικό είναι ένα βασικό στοιχείο των μαθηματικών μαθημάτων παντού: συναρτήσεις.
Υπάρχουν πολλοί διαφορετικοί τρόποι σκέψης για συναρτήσεις — σημειογραφία συναρτήσεων όπως $latex f(x) = x^2 +1$, γραφήματα παραβολών στο καρτεσιανό επίπεδο, κανόνες όπως "πάρτε την είσοδο και προσθέστε 3 σε αυτήν" — αλλά εδώ θα σκεφτούμε μια συνάρτηση ως έναν τρόπο να ταιριάξουμε τα στοιχεία ενός συνόλου με τα στοιχεία ενός άλλου.
Ας πάρουμε ένα από αυτά τα σύνολα ως ℕ, το σύνολο των φυσικών αριθμών. Για το άλλο σετ, που θα καλέσουμε S, θα πάρουμε όλους τους ζυγούς φυσικούς αριθμούς. Εδώ είναι τα δύο σετ μας:
$latexmathbb{N} = {0,1,2,3,4,…}$ $latex S= {0,2,4,6,8,…}$
Υπάρχει μια απλή συνάρτηση που μετατρέπει τα στοιχεία του ℕ σε στοιχεία του S: $latex f(x) = 2x$. Αυτή η συνάρτηση απλώς διπλασιάζει τις εισόδους της, οπότε αν σκεφτούμε τα στοιχεία του ℕ ως εισόδους του $latex f(x)$ (ονομάζουμε το σύνολο εισόδων μιας συνάρτησης "τομέα"), οι έξοδοι θα είναι πάντα στοιχεία του S. Για παράδειγμα, $latex f(0)=0$, $latex f(1) = 2$, $latex f(2) = 4$, $latex f(3) = 6$ και ούτω καθεξής.
Μπορείτε να το οπτικοποιήσετε ευθυγραμμίζοντας τα στοιχεία των δύο συνόλων δίπλα-δίπλα και χρησιμοποιώντας βέλη για να υποδείξετε πώς η συνάρτηση $latex f$ μετατρέπει τις εισόδους από ℕ σε εξόδους στο S.
Παρατηρήστε πώς το $latex f(x)$ εκχωρεί ακριβώς ένα στοιχείο του S σε κάθε στοιχείο του ℕ. Αυτό κάνουν οι συναρτήσεις, αλλά το $latex f(x)$ το κάνει με έναν ειδικό τρόπο. Πρώτον, το $latex f$ εκχωρεί τα πάντα S σε κάτι σε ℕ. Χρησιμοποιώντας την ορολογία συνάρτησης, λέμε ότι κάθε στοιχείο του S είναι η «εικόνα» ενός στοιχείου του ℕ κάτω από τη συνάρτηση $latex f$. Για παράδειγμα, ο ζυγός αριθμός 3,472 είναι μέσα S, και μπορούμε να βρούμε ένα x σε ℕ έτσι ώστε $latex f(x) = 3,472$ (δηλαδή 1,736). Σε αυτήν την περίπτωση λέμε ότι η συνάρτηση $latex f(x)$ αντιστοιχίζεται με ℕ S. Ένας πιο φανταχτερός τρόπος για να το πούμε είναι ότι η συνάρτηση $latex f(x)$ είναι "surjective". Όπως και να το περιγράψετε, αυτό που είναι σημαντικό είναι το εξής: Καθώς η συνάρτηση $latex f(x)$ μετατρέπει τις εισόδους από ℕ σε εξόδους στο S, τίποτα μέσα S χάνεται στη διαδικασία.
Το δεύτερο ιδιαίτερο πράγμα σχετικά με τον τρόπο με τον οποίο το $latex f(x)$ εκχωρεί εξόδους σε εισόδους είναι ότι κανένα στοιχείο στο ℕ δεν μετατρέπεται στο ίδιο στοιχείο στο S. Εάν δύο αριθμοί είναι διαφορετικοί, τότε τα διπλά τους είναι διαφορετικά. Το 5 και το 11 είναι διαφορετικοί φυσικοί αριθμοί στο ℕ και οι έξοδοι τους σε S είναι επίσης διαφορετικά: 10 και 22. Σε αυτήν την περίπτωση λέμε ότι το $latex f(x)$ είναι "1-προς-1" (επίσης γράφεται "1-1"), και περιγράφουμε το $latex f(x)$ ως «ενέσιμη». Το κλειδί εδώ είναι ότι δεν υπάρχει τίποτα S χρησιμοποιείται δύο φορές: Κάθε στοιχείο μέσα S ζευγαρώνεται με ένα μόνο στοιχείο στο ℕ.
Αυτά τα δύο χαρακτηριστικά του $latex f(x)$ συνδυάζονται με ισχυρό τρόπο. Η συνάρτηση $latex f(x)$ δημιουργεί μια τέλεια αντιστοίχιση μεταξύ των στοιχείων του ℕ και των στοιχείων του S. Το γεγονός ότι το $latex f(x)$ είναι "onto" σημαίνει ότι όλα είναι μέσα S έχει έναν συνεργάτη στο ℕ και το γεγονός ότι το $latex f(x)$ είναι 1-προς-1 σημαίνει ότι τίποτα στο S έχει δύο συνεργάτες στο ℕ. Εν ολίγοις, η συνάρτηση $latex f(x)$ ζευγαρώνει κάθε στοιχείο του ℕ με ακριβώς ένα στοιχείο του S.
Μια συνάρτηση που είναι ταυτόχρονα ενεστιακή και επιθετική ονομάζεται bijection και μια bijection δημιουργεί μια αντιστοιχία 1 προς 1 μεταξύ των δύο συνόλων. Αυτό σημαίνει ότι κάθε στοιχείο σε ένα σύνολο έχει ακριβώς έναν συνεργάτη στο άλλο σύνολο, και αυτός είναι ένας τρόπος για να δείξουμε ότι δύο άπειρα σύνολα έχουν το ίδιο μέγεθος.
Εφόσον η συνάρτησή μας $latex f(x)$ είναι μια διχοτόμηση, αυτό δείχνει ότι τα δύο άπειρα σύνολα ℕ και S έχουν το ίδιο μέγεθος. Αυτό μπορεί να φαίνεται περίεργο: Τελικά, κάθε ζυγός φυσικός αριθμός είναι ο ίδιος ένας φυσικός αριθμός, επομένως το ℕ περιέχει τα πάντα S κι αλλα. Δεν θα έπρεπε αυτό να κάνει το ℕ μεγαλύτερο από S? Αν είχαμε να κάνουμε με πεπερασμένα σύνολα, η απάντηση θα ήταν ναι. Αλλά ένα άπειρο σύνολο μπορεί να περιέχει εντελώς ένα άλλο και μπορεί να έχουν το ίδιο μέγεθος, έτσι όπως το "άπειρο συν 1" δεν είναι στην πραγματικότητα μεγαλύτερο ποσό αγάπης από το απλό παλιό "άπειρο". Αυτή είναι μόνο μία από τις πολλές εκπληκτικές ιδιότητες των άπειρων συνόλων.
Μια ακόμη μεγαλύτερη έκπληξη μπορεί να είναι ότι υπάρχουν άπειρα σετ διαφορετικών μεγεθών. Νωρίτερα εξερευνήσαμε τις διαφορετικές φύσεις των άπειρων συνόλων πραγματικών και φυσικών αριθμών και ο Cantor απέδειξε ότι αυτά τα δύο άπειρα σύνολα έχουν διαφορετικά μεγέθη. Το έκανε με το λαμπρό, και διάσημο, διαγώνιο επιχείρημά του.
Εφόσον υπάρχουν άπειροι πραγματικοί αριθμοί μεταξύ οποιωνδήποτε δύο διαφορετικών πραγματικών, ας εστιάσουμε προς το παρόν στους άπειρους πραγματικούς αριθμούς μεταξύ μηδέν και 1. Καθένας από αυτούς τους αριθμούς μπορεί να θεωρηθεί ως μια (πιθανώς άπειρη) δεκαδική επέκταση, όπως αυτή.
Εδώ το $latex a_1, a_2, a_3$ και ούτω καθεξής είναι μόνο τα ψηφία του αριθμού, αλλά θα απαιτήσουμε να μην είναι όλα τα ψηφία μηδέν, ώστε να μην συμπεριλάβουμε τον ίδιο τον αριθμό μηδέν στο σύνολο μας.
Το διαγώνιο επιχείρημα ξεκινά ουσιαστικά με το ερώτημα: Τι θα συνέβαινε αν υπήρχε μια διχοτόμηση μεταξύ των φυσικών αριθμών και αυτών των πραγματικών αριθμών; Εάν υπήρχε μια τέτοια συνάρτηση, τα δύο σύνολα θα είχαν το ίδιο μέγεθος και θα μπορούσατε να χρησιμοποιήσετε τη συνάρτηση για να αντιστοιχίσετε κάθε πραγματικό αριθμό μεταξύ μηδέν και 1 με έναν φυσικό αριθμό. Θα μπορούσατε να φανταστείτε μια ταξινομημένη λίστα των αντιστοιχιών, όπως αυτή.
Η ιδιοφυΐα του διαγώνιου επιχειρήματος είναι ότι μπορείτε να χρησιμοποιήσετε αυτήν τη λίστα για να δημιουργήσετε έναν πραγματικό αριθμό που δεν μπορεί να είναι στη λίστα. Ξεκινήστε να δημιουργείτε έναν πραγματικό αριθμό ψηφίο ανά ψηφίο με τον ακόλουθο τρόπο: Κάντε το πρώτο ψηφίο μετά την υποδιαστολή κάτι διαφορετικό από $latex a_1$, κάντε το δεύτερο ψηφίο κάτι διαφορετικό από $latex b_2$, κάντε το τρίτο ψηφίο κάτι διαφορετικό από $latex c_3 $, και ούτω καθεξής.
Αυτός ο πραγματικός αριθμός ορίζεται από τη σχέση του με τη διαγώνιο της λίστας. Είναι στη λίστα; Δεν μπορεί να είναι ο πρώτος αριθμός στη λίστα, καθώς έχει διαφορετικό πρώτο ψηφίο. Ούτε μπορεί να είναι ο δεύτερος αριθμός στη λίστα, καθώς έχει διαφορετικό δεύτερο ψηφίο. Στην πραγματικότητα, δεν μπορεί να είναι το nο αριθμός σε αυτή τη λίστα, γιατί έχει διαφορετικό nτο ψηφίο. Και αυτό ισχύει για όλους n, επομένως αυτός ο νέος αριθμός, που είναι μεταξύ μηδέν και 1, δεν μπορεί να είναι στη λίστα.
Αλλά όλοι οι πραγματικοί αριθμοί μεταξύ μηδέν και 1 υποτίθεται ότι ήταν στη λίστα! Αυτή η αντίφαση προκύπτει από την υπόθεση ότι υπάρχει διχοτόμηση μεταξύ των φυσικών αριθμών και των πραγματικών μεταξύ μηδέν και 1, και επομένως δεν μπορεί να υπάρξει τέτοια διχοτόμηση. Αυτό σημαίνει ότι αυτά τα άπειρα σετ έχουν διαφορετικά μεγέθη. Λίγη περισσότερη δουλειά με συναρτήσεις (δείτε τις ασκήσεις) μπορεί να δείξει ότι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών έχει το ίδιο μέγεθος με το σύνολο όλων των πραγματικών μεταξύ μηδέν και 1, και έτσι οι πραγματικοί, που περιέχουν τους φυσικούς αριθμούς, πρέπει να είναι ένα μεγαλύτερο άπειρο σύνολο.
Ο τεχνικός όρος για το μέγεθος ενός άπειρου συνόλου είναι η "καρδιναλότητά του". Το διαγώνιο επιχείρημα δείχνει ότι η καρδινικότητα των πραγματικών είναι μεγαλύτερη από την καρδινάτητα των φυσικών αριθμών. Η καρδινικότητα των φυσικών αριθμών γράφεται $latex aleph_0$, προφέρεται "aleph naught". Σε μια τυπική άποψη των μαθηματικών, αυτός είναι ο μικρότερος άπειρος καρδινάλιος.
Ο επόμενος άπειρος καρδινάλιος είναι το $latex aleph_1$ ("aleph one") και μια απλά διατυπωμένη ερώτηση έχει εκνευρίσει τους μαθηματικούς για περισσότερο από έναν αιώνα: Είναι το $latex aleph_1$ η ιδιότητα των πραγματικών αριθμών; Με άλλα λόγια, υπάρχουν άλλα άπειρα μεταξύ των φυσικών και των πραγματικών αριθμών; Ο Κάντορ σκέφτηκε ότι η απάντηση ήταν όχι — ένας ισχυρισμός που έγινε γνωστός ως το υπόθεση συνεχούς — αλλά δεν μπόρεσε να το αποδείξει. Στις αρχές του 1900 αυτό το ερώτημα θεωρήθηκε τόσο σημαντικό που όταν ο David Hilbert συνέταξε τη διάσημη λίστα του με τα 23 σημαντικά ανοιχτά προβλήματα στα μαθηματικά, η υπόθεση του συνεχούς ήταν νούμερο ένα.
Εκατό χρόνια αργότερα, έχει σημειωθεί μεγάλη πρόοδος, αλλά αυτή η πρόοδος έχει οδηγήσει σε νέα μυστήρια. Το 1940 ο διάσημος λογικός Το απέδειξε ο Kurt Gödel ότι, σύμφωνα με τους κοινώς αποδεκτούς κανόνες της θεωρίας συνόλων, είναι αδύνατο να αποδειχθεί ότι υπάρχει ένα άπειρο μεταξύ αυτού των φυσικών αριθμών και αυτού των πραγματικών. Αυτό μπορεί να φαίνεται σαν ένα μεγάλο βήμα προς την απόδειξη ότι η υπόθεση του συνεχούς είναι αληθινή, αλλά δύο δεκαετίες αργότερα ο μαθηματικός Paul Cohen αποδείχθηκε ότι είναι αδύνατο να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει τέτοιο άπειρο! Αποδεικνύεται ότι η υπόθεση του συνεχούς δεν μπορεί να αποδειχθεί με τον ένα ή τον άλλο τρόπο.
Μαζί αυτά τα αποτελέσματα καθιέρωσαν την «ανεξαρτησία» της υπόθεσης του συνεχούς. Αυτό σημαίνει ότι οι κοινά αποδεκτοί κανόνες των συνόλων απλώς δεν λένε αρκετά για να μας πουν εάν υπάρχει ή όχι ένα άπειρο μεταξύ των φυσικών αριθμών και των πραγματικών. Αλλά αντί να αποθαρρύνει τους μαθηματικούς στην επιδίωξή τους να κατανοήσουν το άπειρο, τους οδήγησε σε νέες κατευθύνσεις. Οι μαθηματικοί αναζητούν τώρα νέους θεμελιώδεις κανόνες για άπειρα σύνολα που μπορούν να εξηγήσουν αυτό που είναι ήδη γνωστό για το άπειρο και να βοηθήσουν στην κάλυψη των κενών.
Το να λέμε «Η αγάπη μου για σένα είναι ανεξάρτητη από τα αξιώματα» μπορεί να μην είναι τόσο διασκεδαστικό όσο να πεις «Σ' αγαπώ άπειρα συν 1», αλλά ίσως θα βοηθήσει την επόμενη γενιά μαθηματικών που αγαπούν το άπειρο να κοιμηθεί καλά.
Ασκήσεις
1. Έστω $latex T = {1,3,5,7,…}$, το σύνολο των θετικών περιττών φυσικών αριθμών. Είναι T μεγαλύτερο από, μικρότερο ή ίδιο με το ℕ, το σύνολο των φυσικών αριθμών;
2. Βρείτε μια αντιστοιχία 1 προς 1 μεταξύ του συνόλου των φυσικών αριθμών, ℕ, και του συνόλου των ακεραίων $latexmathbb{Z}={…,-3,-2,-1,0,1,2,3, …}$.
3. Βρείτε μια συνάρτηση $latex f(x)$ που είναι μια διχοτόμηση μεταξύ του συνόλου των πραγματικών αριθμών μεταξύ μηδέν και 1 και του συνόλου των πραγματικών αριθμών μεγαλύτερου από το μηδέν.
4. Βρείτε μια συνάρτηση που είναι διχοτόμηση μεταξύ του συνόλου των πραγματικών αριθμών μεταξύ μηδέν και 1 και του συνόλου όλων των πραγματικών αριθμών.
Κάντε κλικ για απάντηση 1:
Κάντε κλικ για απάντηση 2:
Μπορείτε επίσης να προσπαθήσετε να ορίσετε μια συνάρτηση που ταιριάζει με τα στοιχεία. Αυτή η λειτουργία,
$latexf(n) =αρχίζουν{περιπτώσεις}
frac{n+1}{2} &text{αν τα $n$ είναι περίεργα}
-frac{n}{2} &text{αν τα $n$ είναι ζυγά}
end{cases}$
αντιστοιχίζει το ℕ στο $latexmathbb{Z}$ και είναι 1-1. Υπάρχουν λοιπόν τόσοι ακέραιοι όσοι και οι φυσικοί αριθμοί, ένα άλλο περίεργο κατόρθωμα του άπειρου.
Κάντε κλικ για απάντηση 3:
Υπάρχουν πολλές δυνατότητες, αλλά μια απλή είναι $latex f(x) = frac{x}{1-x}$. Κάθε θετικός πραγματικός αριθμός είναι η εικόνα κάτω από το $latex f(x)$ ενός πραγματικού αριθμού μεταξύ μηδέν και 1. Για παράδειγμα, για να βρείτε τον αριθμό που έχει συζευχθεί, ας πούμε, με το 102, απλώς ορίστε το $latex 102 = frac{x}{ 1-x}$ και λύστε για x:
$latex 102 = frac{x}{1-x}$
$latex 102(1-x) = x$
$latex 102=103x$
$latex x=frac{102}{103}$
Παρατηρήστε ότι το x που βρήκαμε είναι μεταξύ μηδέν και 1, όπως απαιτείται. Έτσι, για οποιονδήποτε αριθμό, όπως το 102, μπορούμε να βρούμε μια είσοδο που αντιστοιχίζεται σε αυτόν, κάτι που υποδηλώνει ότι το $latex f(x)$ είναι επιφανειακό. Ένας τρόπος για να δείτε ότι το $latex f(x)$ είναι επίσης ενέσιμο (1-1) είναι να το σχηματίσετε γραφικά και να παρατηρήσετε ότι περνάει τη δοκιμή οριζόντιας γραμμής: κάθε οριζόντια γραμμή στο καρτεσιανό επίπεδο διέρχεται από το γράφημα του $latex f( x)$ το πολύ μία φορά, που σημαίνει ότι δεν χρησιμοποιείται καμία έξοδος δύο φορές.
Κάντε κλικ για απάντηση 4:
Όπως και με την άσκηση 3, υπάρχουν πολλές συναρτήσεις που μπορούν να λειτουργήσουν, αλλά μια τυπική προσέγγιση είναι η χρήση μετασχηματισμού της εφαπτομένης συνάρτησης. Για τον τομέα $latex -frac{π}{2}
Μπορείτε να αλλάξετε τον τομέα αυτής της συνάρτησης με έναν μετασχηματισμό. Για παράδειγμα, μπορούμε να συρρικνώσουμε τον τομέα από $latex -frac{π}{2} < x
