Πώς μπορεί κάποιος να μιλήσει με βεβαιότητα για το άπειρο; Τι μπορούμε πραγματικά να γνωρίζουμε για τους μυστηριώδεις πρώτους αριθμούς χωρίς να τους γνωρίζουμε όλους; Όπως οι επιστήμονες χρειάζονται δεδομένα για να αξιολογήσουν τις υποθέσεις τους, οι μαθηματικοί χρειάζονται στοιχεία για να αποδείξουν ή να διαψεύσουν εικασίες. Αλλά τι μετράει ως απόδειξη στο άυλο πεδίο της θεωρίας αριθμών; Σε αυτό το επεισόδιο, ο Steven Strogatz μιλά με Μέλανι Μάτσετ Γουντ, καθηγητής μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο του Χάρβαρντ, για να μάθει πώς η πιθανότητα και η τυχαιότητα μπορούν να συμβάλουν στην τεκμηρίωση των στεγανών επιχειρημάτων που απαιτούνται από τους μαθηματικούς.
Ακούστε Apple Podcasts, Spotify, Podcasts Google, Ράπτων, Συντονιστείτε ή την αγαπημένη σας εφαρμογή podcasting, ή μπορείτε μεταδώστε το από Quanta.
Αντίγραφο
Στίβεν Στροτζάτζ (00:02): Είμαι ο Steve Strogatz, και αυτό είναι The Joy of Why, ένα podcast από Quanta Magazine που σας οδηγεί σε μερικά από τα μεγαλύτερα αναπάντητα ερωτήματα στα μαθηματικά και τις επιστήμες σήμερα. Σε αυτό το επεισόδιο, θα μιλήσουμε για στοιχεία στα μαθηματικά. Τι είδους αποδείξεις χρησιμοποιούν οι μαθηματικοί; Τι τους κάνει να υποψιαστούν ότι κάτι μπορεί να είναι αλήθεια, πριν έχουν μια στεγανή απόδειξη;
(00:26) Μπορεί να ακούγεται σαν παράδοξο, αλλά αποδεικνύεται ότι ο συλλογισμός που βασίζεται στη θεωρία των πιθανοτήτων, στη μελέτη της τύχης και της τυχαιότητας, μπορεί μερικές φορές να οδηγήσει σε αυτό που αναζητούν πραγματικά οι μαθηματικοί, που είναι η βεβαιότητα, όχι μόνο η πιθανότητα. Για παράδειγμα, στον κλάδο των μαθηματικών που είναι γνωστός ως θεωρία αριθμών, υπάρχει μακρά ιστορία χρήσης της τυχαιότητας για να βοηθήσει τους μαθηματικούς να μαντέψουν τι είναι αλήθεια. Τώρα, η πιθανότητα χρησιμοποιείται για να τους βοηθήσει να αποδείξουν τι είναι αλήθεια.
(00:53) Θα εστιάσουμε εδώ στους πρώτους αριθμούς. Μάλλον θυμάστε τους πρώτους αριθμούς, σωστά; Τους έμαθες στο σχολείο. Πρώτος αριθμός είναι ένας ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος από το 1 που μπορεί να διαιρεθεί μόνο με το 1 και τον εαυτό του. Για παράδειγμα, 7 ή 11. Αυτοί είναι πρώτοι αριθμοί, αλλά το 15 δεν είναι επειδή το 15 μπορεί να διαιρεθεί ομοιόμορφα με το 3 ή με το 5. Θα μπορούσατε να σκεφτείτε τους πρώτους αριθμούς σαν τα στοιχεία του περιοδικού πίνακα της χημείας, με την έννοια ότι είναι τα αδιαίρετα άτομα που απαρτίζουν όλους τους άλλους αριθμούς.
(01:27) Οι πρώτοι αριθμοί φαίνονται σαν να είναι απλοί, αλλά μερικά από τα μεγαλύτερα μυστήρια στα μαθηματικά είναι ερωτήσεις σχετικά με τους πρώτους αριθμούς. Σε ορισμένες περιπτώσεις, ερωτήσεις που υπάρχουν εδώ και εκατοντάδες χρόνια. Υπάρχει πραγματικά κάτι πολύ λεπτό με τους πρώτους. Μοιάζουν να ζουν σε ένα σύνορο μεταξύ τάξης και τυχαίας. Ο καλεσμένος μου σήμερα θα μας βοηθήσει να καταλάβουμε περισσότερα για τη φύση των αποδεικτικών στοιχείων στα μαθηματικά, και ειδικά πώς και γιατί η τυχαιότητα μπορεί να μας πει τόσα πολλά για τους πρώτους αριθμούς και γιατί τα μοντέλα που βασίζονται σε πιθανότητες μπορούν να είναι τόσο χρήσιμα στην αιχμή της θεωρίας αριθμών. Μαζί μου τώρα για να συζητήσουμε όλα αυτά είναι η Μέλανι Μάτσετ Γουντ, καθηγήτρια μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο του Χάρβαρντ. Καλώς ήρθες Melanie!
Μέλανι Μάτσετ Γουντ (02:09): Γεια, είναι καλό να σας μιλήσω.
Strogatz (02:11): Είναι πολύ καλό που μιλάω μαζί σου, είμαι μεγάλος θαυμαστής. Ας μιλήσουμε για τα μαθηματικά και την επιστήμη σε σχέση το ένα με το άλλο, επειδή οι λέξεις συχνά συνηθίζονται μεταξύ τους, και όμως οι τεχνικές που χρησιμοποιούμε για να καταλήξουμε στην απόδειξη και τη βεβαιότητα στα μαθηματικά είναι κάπως διαφορετικές από αυτές που προσπαθούμε να κάνουμε στην επιστήμη. Για παράδειγμα, όταν μιλάμε για συλλογή αποδεικτικών στοιχείων στα μαθηματικά, πώς είναι το ίδιο ή πώς διαφέρει από τη συλλογή στοιχείων με την επιστημονική μέθοδο στην επιστήμη;
Ξύλο (02:38): Μια μαθηματική απόδειξη είναι ένα απολύτως αεροστεγές, πλήρες λογικό επιχείρημα ότι κάποιος μαθηματικός ισχυρισμός πρέπει να είναι έτσι και δεν θα μπορούσε να είναι αλλιώς. Έτσι, σε αντίθεση με μια επιστημονική θεωρία - που μπορεί να είναι η καλύτερη που έχουμε με βάση τα στοιχεία που έχουμε σήμερα, αλλά θα έχουμε περισσότερα στοιχεία, ξέρετε, στα επόμενα 10 χρόνια και ίσως υπάρξει μια νέα θεωρία - μια μαθηματική απόδειξη λέει ότι κάποια δήλωση πρέπει να είναι έτσι, δεν μπορούμε να ανακαλύψουμε ότι θα είναι λάθος σε 10 ή 20 χρόνια.
Strogatz (03:17): Λοιπόν, τι είδους πράγματα θεωρούνται ως αποδεικτικά στοιχεία στα μαθηματικά;
Ξύλο (03:19): Έτσι μπορεί να δείτε ότι κάτι ισχύει σε πολλά παραδείγματα. Και με βάση αυτό είναι αλήθεια σε πολλά παραδείγματα, που θα μπορούσατε να πείτε ότι θα ήταν απόδειξη αυτού του γεγονότος, μπορείς να κάνεις μια εικασία, αυτό που οι μαθηματικοί θα αποκαλούσαν εικασία, εικασία ότι κάτι είναι αλήθεια. Αλλά τότε, αυτό που θα ήθελαν οι μαθηματικοί θα ήταν μια απόδειξη ότι αυτό που είδατε να λειτουργεί σε τόσα πολλά παραδείγματα θα λειτουργούσε πάντα με τον τρόπο που ισχυρίζεστε.
Strogatz (03:49): Σωστά, πολύ διαφορετικό από το βάρος των αποδεικτικών στοιχείων. Αυτή είναι μια δήλωση ότι υπάρχει ένας λόγος για τον οποίο κάτι θα ισχύει για πάντα, για πάντα, σε κάθε περίπτωση.
Ξύλο (03:58): Και όχι μόνο «α, καλά, έχω κοιτάξει ένα εκατομμύριο περιπτώσεις και είναι αλήθεια σε κάθε μία από αυτές». Κάτι που είναι ένας λόγος να μαντέψουμε ή να υποθέσουμε ότι είναι πάντα αλήθεια. Αλλά στα μαθηματικά, κάνουμε μια διάκριση μεταξύ μιας τέτοιας εικασίας που θα μπορούσε να βασίζεται σε πολλές περιπτώσεις ή στοιχεία, και στο να έχουμε ένα θεώρημα ή μια απόδειξη, ένα επιχείρημα που σας λέει ότι θα λειτουργήσει σε κάθε περίπτωση, ακόμα και σε αυτές που έχετε δεν προσπάθησα.
Strogatz (04:25): Τώρα, είναι απλώς ότι οι μαθηματικοί είναι σχολαστικοί από τη φύση τους, ή υπάρχουν περιπτώσεις όπου κάτι που φαινόταν ότι ήταν αληθινό, μέχρι πολύ μεγάλο αριθμό πιθανοτήτων, κατέληξε να μην είναι αληθινό πέρα από κάποιο άλλο μεγάλο αριθμό ?
Ξύλο (04:39): Ω, αυτό είναι μια μεγάλη ερώτηση. Λοιπόν, ορίστε ένα παράδειγμα που μου αρέσει, γιατί μου αρέσουν οι πρώτοι αριθμοί. Έτσι, καθώς προχωράτε στους πρώτους αριθμούς - 2, 3, 5, 7 - ένα από τα πράγματα που θα μπορούσατε να κάνετε, μπορείτε να κοιτάξετε και να πείτε, "α, διαιρούνται με το 2;" Και αυτό αποδεικνύεται ότι δεν είναι πολύ ενδιαφέρον. Μετά το 2, κανένα από αυτά δεν διαιρείται με το 2. Είναι όλοι, είναι όλοι περιττοί.
(05:10) Και τότε μπορεί να σκεφτείτε, "καλά, διαιρούνται με το 3;" Και φυσικά μετά το 3 δεν διαιρούνται ούτε με το 3, αφού είναι πρώτοι. Ωστόσο, μπορεί να παρατηρήσετε ότι μερικά από αυτά, όταν τα διαιρέσετε με το 3, παίρνετε ένα υπόλοιπο 1, ότι είναι 1 περισσότερο από πολλαπλάσιο του 3. Έτσι πράγματα όπως το 7, το οποίο είναι 1 μεγαλύτερο από το 6 ή το 13 , που είναι 1 μεγαλύτερος από το 12. Και μερικοί από αυτούς τους πρώτους, όπως 11 ή 17, που είναι 2 περισσότεροι από 15, θα έχουν υπόλοιπο 2 όταν τους διαιρέσετε με το 3, επειδή είναι 2 περισσότεροι από ένα πολλαπλάσιο του 3.
(05:47) Και έτσι μπορείτε να σκεφτείτε αυτές τις πρωτιές σε ομάδες. Η ομάδα 1 είναι όλες αυτές που είναι κατά 1 περισσότερες από πολλαπλάσιο του 3 και η ομάδα 2 είναι όλες αυτές που είναι 2 περισσότερες από πολλαπλάσιο του 3. Και καθώς περνάτε από τους πρώτους και απαριθμείτε τους πρώτους, θα μπορούσατε να αναφέρετε όλα τα πρώτοι και θα μπορούσατε να μετρήσετε, και να δείτε πόσοι είναι στην Ομάδα 1 και πόσοι στην Ομάδα 2. Και αν κάνατε αυτόν τον απολογισμό μέχρι τα 600 δισεκατομμύρια, σε κάθε σημείο, σε κάθε αριθμό έως 600 δισεκατομμύρια, θα διαπιστώσατε ότι υπάρχουν περισσότεροι πρώτοι πρώτοι της Ομάδας 2 από τους πρώτους της Ομάδας 1. Έτσι, μπορείτε φυσικά να υποθέσετε, με βάση αυτά τα στοιχεία, ότι θα υπάρχουν πάντα περισσότεροι πρώτοι πρώτοι της Ομάδας 2 από τους πρώτους της Ομάδας 1.
Strogatz (06:33): Σίγουρα. Ακούγεται εντελώς.
Ξύλο: Αποδεικνύεται, σε έναν αριθμό γύρω στα 608 δισεκατομμύρια-κάτι, ξεχνάω τον ακριβή αριθμό, αλλάζει.
Strogatz (06:46): Ω, έλα.
Ξύλο: Ναι, αλλάζει πραγματικά. Και τώρα ξαφνικά, η Ομάδα 1 προηγείται. Λοιπόν, αυτό είναι ένα -
Strogatz (06:53): Περιμένετε ένα λεπτό. Περιμένετε, αλλά αυτό είναι εκπληκτικό. Τι — τώρα, αλλάζουν συνέχεια; Ξέρουμε τι συμβαίνει καθώς συνεχίζετε; Αλλάζουν συνέχεια;
Ξύλο (07:01): Ναι, υπέροχη ερώτηση. Οπότε, πράγματι, είναι θεώρημα ότι θα αλλάζουν απείρως συχνά τα leads.
Strogatz (07:07): Αλήθεια;
Ξύλο: Έτσι θα συνεχίσουν να ανταλλάσσουν τους δυνητικούς πελάτες. Αλλά είναι ένα πραγματικά υπέροχο παράδειγμα να κρατάτε στο πίσω μέρος του μυαλού σας όταν μελετάτε τους πρώτους αριθμούς, ότι μόνο και μόνο επειδή κάτι ήταν αλήθεια για τις πρώτες 600 δισεκατομμύρια περιπτώσεις δεν σημαίνει ότι θα είναι πάντα αληθινό.
Strogatz (07:25): Ω, ουάου. Ομορφη. Εντάξει. Λοιπόν, όπως γενικά, πώς φτάνουμε από μια εικασία σε μια απόδειξη;
Ξύλο (07:31): Εξαρτάται πολύ από την περίπτωση. Εννοώ ότι υπάρχουν πολλές περιπτώσεις μαθηματικών που έχουμε εικασίες και δεν έχουμε αποδείξεις. Επομένως, δεν υπάρχει κάποια απλή συνταγή για να φτάσουμε από μια εικασία σε μια απόδειξη, διαφορετικά δεν θα είχαμε τόσα πολλά διάσημα ανοιχτά προβλήματα όπου, ξέρετε, υπάρχουν μερικές — κάποιες εικασίες ότι οι άνθρωποι πιστεύουν ότι κάτι λειτουργεί με συγκεκριμένο τρόπο, αλλά εμείς δεν δεν το ξέρω σίγουρα. Αλλά, ξέρετε, μερικές φορές η εικασία μπορεί να προτείνει λόγους ότι κάτι είναι αλήθεια. Μερικές φορές είναι απλώς η μαθηματική θεωρία, που βασίζεται σε ολοένα και περισσότερη μαθηματική θεωρία που αναπτύσσουν οι άνθρωποι εδώ και εκατοντάδες χρόνια, μας δίνει αρκετά εργαλεία και δομή για να δουλέψουμε για να καταλάβουμε πράγματα που καταλήγουμε σε μια απόδειξη. Αλλά δεν είναι ότι η εικασία οδηγεί απαραίτητα στην απόδειξη. Η εικασία μπορεί να εμπνεύσει τους ανθρώπους να προσπαθήσουν να βρουν την απόδειξη, αλλά ο τρόπος με τον οποίο προκύπτει η απόδειξη μπορεί να είναι εντελώς διαφορετικός από την ίδια την εικασία.
Strogatz (08:31): Ναι, με ενδιαφέρει να απαριθμήσω ή να απαριθμήσω τα είδη των αποδεικτικών στοιχείων που στερούνται απόδειξης, που οδηγούν τους ανθρώπους να έχουν τη σιγουριά ότι αξίζει να προσπαθήσουν να αναζητήσουν μια απόδειξη.
Ξύλο (08:41): Ναι, ένα άλλο πράγμα που θα μπορούσαμε να ονομάσουμε ως απόδειξη που δεν είναι απλώς παραδείγματα θα ήταν ένα ευρετικό. Ένα ευρετικό μπορεί να είναι κάτι σαν επιχείρημα, εκτός από ένα πολύ χαμηλότερο επίπεδο αυστηρότητας. Είναι σαν, αυτό φαίνεται εντάξει; Δεν «έχω σίγουρα βεβαιώσει αυτό το γεγονός πέρα από κάθε αμφιβολία;» αλλά "το κάνει - ναι, φαίνεται αρκετά εύλογο." Έτσι, μια ευρετική μπορεί να είναι μια γραμμή συλλογισμού που φαίνεται αρκετά εύλογη, ξέρετε, αλλά δεν είναι στην πραγματικότητα ένα αυστηρό επιχείρημα. Αυτό λοιπόν είναι ένα είδος αποδείξεων.
(09:12) Μερικές φορές κάποιος μπορεί να έχει ένα μοντέλο που πιστεύουμε ότι αποτυπώνει τα βασικά στοιχεία του μαθηματικού συστήματος που προσπαθούμε να καταλάβουμε, και έτσι στη συνέχεια θα υποθέσετε ότι το σύστημά σας έχει την ίδια συμπεριφορά με το μοντέλο σας.
Strogatz (09:30): Εντάξει. Σε κάποιο σημείο, θέλω να ακούσω μερικά παραδείγματα μοντέλων και εικασιών και, ξέρετε, στον βαθμό στον οποίο λειτουργούν ή δεν λειτουργούν σε ορισμένες ερωτήσεις ή όχι σε άλλες, αλλά, αν δεν σας πειράζει, θα Θέλω να επιστρέψω μόνο σε μερικά μικρά προσωπικά πράγματα, κάπως, γιατί εδώ μιλάμε για αριθμούς, και είσαι θεωρητικός αριθμών. Οι άνθρωποι μπορεί να μην γνωρίζουν πολλούς θεωρητικούς αριθμών στην καθημερινή τους ζωή. Λοιπόν, αναρωτιέμαι αν θα μπορούσατε να μας πείτε τι είναι η θεωρία αριθμών, και επίσης, γιατί το βρίσκετε ενδιαφέρον; Γιατί ήρθες να το μελετήσεις;
Ξύλο (10:02) Λοιπόν, η θεωρία αριθμών είναι η μαθηματική μελέτη των ακέραιων αριθμών. Έτσι, σκεφτείτε 1, 2, 3, 4, 5. Και, συγκεκριμένα, ένα από τα σημαντικά πράγματα στους ακέραιους αριθμούς είναι οι πρώτοι αριθμοί. Όπως εξήγησες, ακριβώς στην αρχή, είναι τα δομικά στοιχεία από τα οποία μπορούμε, μέσω του πολλαπλασιασμού, να δημιουργήσουμε όλους τους άλλους αριθμούς. Επειδή λοιπόν η θεωρία αριθμών ασχολείται με όλους αυτούς τους ακέραιους αριθμούς, ασχολείται επίσης με τα δομικά στοιχεία τους, τους πρώτους αριθμούς και τον τρόπο με τον οποίο άλλοι αριθμοί παράγονται σε πρώτους και πώς είναι χτισμένα - από τους πρώτους.
Strogatz (10:37): Λοιπόν, η θεωρία αριθμών, για τους σκοπούς μας σήμερα, υποθέτω, θα είναι η μελέτη των ακέραιων αριθμών, με ιδιαίτερο ενδιαφέρον για τους πρώτους αριθμούς. Φαίνεται σαν μια πολύ καλή αρχή. Υποθέτω ότι είναι κάτι περισσότερο από αυτό. Αλλά ίσως αυτός είναι ένας καλός ορισμός για εμάς τώρα. Νομίζεις?
Ξύλο (10:50): Αυτό είναι ένα καλό, αυτό είναι μια καλή αρχή. Εννοώ, από εκεί, κάποιος εξερευνά περισσότερα πράγματα όπως, καλά, τι γίνεται αν αρχίσετε να εξετάζετε συστήματα αριθμών που είναι πιο περίπλοκα από τους ακέραιους αριθμούς; Όπως ξεκινάτε να βάζετε άλλους αριθμούς, όπως την τετραγωνική ρίζα του 2, τότε τι συμβαίνει με τους πρώτους αριθμούς και την παραγοντοποίηση; Οδηγείτε σε περαιτέρω ερωτήσεις. Αλλά ειλικρινά, υπάρχουν πολλά πλούσια και όμορφα μαθηματικά μόνο στους ακέραιους αριθμούς και τους πρώτους.
Strogatz (11:16): Λοιπόν, έχοντας αυτό κατά νου, γιατί το βρίσκετε επιτακτικό; Γιατί σας αρέσει η μελέτη της θεωρίας αριθμών; Τι σας τράβηξε σε αυτό;
Ξύλο (11:22): Νομίζω ότι μου αρέσει που οι ερωτήσεις μπορεί να είναι τόσο συγκεκριμένες. Ξέρεις, πάω και μιλάω με παιδιά δημοτικού. Και μπορώ να τους πω, ξέρετε, μερικά από τα πράγματα που σκέφτομαι. Οπότε, είναι διασκεδαστικό για μένα να δουλεύω σε κάτι που από τη μια οι ερωτήσεις μπορεί να είναι τόσο συγκεκριμένες, αλλά από την άλλη το παζλ της προσπάθειας να το λύσω μπορεί να είναι τόσο δύσκολο. Εννοώ ότι οι άνθρωποι προσπαθούν να απαντήσουν σε ερωτήσεις για τους ακέραιους αριθμούς, για τους πρώτους για κυριολεκτικά χιλιάδες χρόνια.
(11:54) Και υπάρχουν πολλοί κλάδοι των μαθηματικών. Ένα από τα σημαντικά μέρη της σύγχρονης θεωρίας αριθμών είναι ότι για να σημειωθεί πρόοδος σε αυτά τα επίμονα παλιά ερωτήματα που οι άνθρωποι εργάζονται για τόσο καιρό, χρειάζεται να φέρει κανείς νέες ιδέες και να κάνει συνδέσεις με άλλα μέρη των μαθηματικών. Έτσι, παρόλο που θα αποκαλούσα τον εαυτό μου θεωρητικό αριθμών, χρησιμοποιώ μαθηματικά από όλα τα διαφορετικά είδη πεδίων. Από τη μελέτη, ξέρετε, τη γεωμετρία και την τοπολογία και τα σχήματα των χώρων μέχρι την πιθανότητα και τη μελέτη της τυχαιότητας. Χρησιμοποιώ όλα τα είδη μαθηματικών, αλλά για να προσπαθήσω να πω κάτι για πράγματα όπως ακέραιους και πρώτους αριθμούς και παραγοντοποίηση.
Strogatz (12:36): Ναι, μου αρέσει αυτό το όραμα των μαθηματικών ως αυτό το γιγάντιο διασυνδεδεμένο δίκτυο ιδεών, και μπορείτε να θέλετε να ζήσετε σε ένα συγκεκριμένο μέρος του που είναι το αγαπημένο σας. Αλλά έχετε αναφέρει τους πρώτους αριθμούς ως μια συγκεκριμένη περιοχή ενδιαφέροντος στη θεωρία αριθμών, το πιο θεμελιώδες μέρος της, πραγματικά. Τι είναι δύσκολο για αυτούς; Δεν είναι ακόμα σαφές, στη συζήτησή μας, τι είναι τόσο μυστήριο εκεί; Όπως τα έχουμε ορίσει, θα μπορούσαμε πιθανώς να συνεχίσουμε να τα απαριθμούμε, υποθέτω. Ποια είναι μερικά από αυτά τα προβλήματα στα οποία αναφέρεστε και είναι εκατοντάδων ετών;
Ξύλο (13:05): Λοιπόν, μια από τις μεγαλύτερες και πιο σημαντικές ερωτήσεις, που είναι ίσως περίπου 120 ετών περίπου, είναι, είπατε, «α, θα μπορούσατε να τις απαριθμήσετε. Αν το έκανες αυτό, πόσους θα έβρισκες;» Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι απαριθμήσατε τους πρώτους, μέχρι εκατό, ή χίλια, ή εκατό χιλιάδες, ή ένα εκατομμύριο, ένα δισεκατομμύριο. Καθώς απαριθμείτε πρώτους αριθμούς μέχρι ολοένα και μεγαλύτερους αριθμούς, πόσοι από αυτούς τους αριθμούς από τους οποίους περνάτε θα είναι πραγματικά πρώτοι; Έτσι, η κατανόηση αυτής της ποσότητας είναι πραγματικά η καρδιά του την υπόθεση Riemann, το οποίο είναι ένα από το Clay Math Institute Προβλήματα του Βραβείου Χιλιετίας, υπάρχει ένα έπαθλο εκατομμυρίων δολαρίων για μια απάντηση. Είναι μια από τις πιο διάσημες ερωτήσεις και δεν έχουμε ιδέα πώς να το κάνουμε, και πραγματικά αφορά το ερώτημα, όταν απαριθμήσετε αυτούς τους πρώτους αριθμούς, πόσους θα βρείτε;
Strogatz (13:58): Εντάξει. Είναι αστείο, σωστά; Επειδή, καθώς ξεκινάτε να φτιάχνετε τη λίστα, ακόμα κι αν κάποιος άρχισε να απαριθμεί επιπόλαια τους αριθμούς που είναι πρώτοι μέχρι το 100 — παρατηρείτε μερικά αστεία πράγματα. Όπως, στην αρχή 11 και 13, έχουν 2 διαφορά μεταξύ τους. Δεκαπέντε, καλά, αυτό δεν λειτουργεί, γιατί διαιρείται με το 5 και το 3. Τότε το 17, άρα υπάρχει ένα κενό 4 τώρα, μεταξύ 13 και 17. Αλλά τότε το 19 είναι πάλι κοντά. Δεν ξέρω, εννοώ, άρα η απόσταση μεταξύ των πρώτων μπορεί να είναι κάπως ανώμαλη. Όπως μερικές φορές υπάρχει ένα πολύ μεγάλο κενό εκεί μέσα, και μερικές φορές είναι ακριβώς το ένα δίπλα στο άλλο, μόλις 2 μεταξύ τους.
Ξύλο (14:31): Ναι, η κατανόηση αυτής της απόστασης και αυτών των κενών ήταν επίσης ένα μεγάλο θέμα ενδιαφέροντος. Έχει σημειωθεί αξιοσημείωτη πρόοδος την τελευταία δεκαετία στην κατανόηση της απόστασης μεταξύ των πρώτων. Αλλά υπάρχει ακόμα μια πραγματικά δελεαστική, βασική ερώτηση στην οποία δεν γνωρίζουμε την απάντηση. Αναφέρατε λοιπόν ότι αυτοί οι πρώτοι, 11 και 13, απέχουν μόλις 2 μεταξύ τους. Άρα τέτοιοι πρώτοι ονομάζονται δίδυμοι πρώτοι. Δεν θα μπορούσαμε να περιμένουμε ότι οι πρώτοι θα πλησιάζουν περισσότερο από το 2, αφού μετά το 2, πρέπει να είναι όλοι μονοί. Εδώ είναι μια ανοιχτή ερώτηση στα μαθηματικά, που σημαίνει ότι δεν ξέρουμε την απάντηση, και αυτή είναι: Υπάρχουν άπειρα ζεύγη δίδυμων πρώτων? Και έτσι εδώ, υπάρχει μια εικασία, η εικασία θα ήταν, ναι. Εννοώ, όχι μόνο υπάρχει μια εικασία ότι «ναι, θα πρέπει να συνεχίζονται για πάντα, και θα πρέπει πάντα να υπάρχουν περισσότερα», αλλά υπάρχει ακόμη και μια εικασία σχετικά με το πόσους θα βρείτε καθώς προχωράτε. Αλλά αυτό είναι εντελώς ανοιχτό. Από όσο γνωρίζουμε, θα μπορούσε να είναι ότι μόλις φτάσετε σε έναν πραγματικά μεγάλο αριθμό, απλώς σταματούν και δεν βρίσκετε καθόλου άλλα ζεύγη δίδυμων πρώτων.
Strogatz (15:40): Υπάρχει κάτι πολύ ποιητικό σε αυτό, συγκινητικό, αυτή η σκέψη, όπως, ότι θα μπορούσε να είναι το τέλος της γραμμής κάποια στιγμή. Θέλω να πω, κανένας από εμάς δεν το πιστεύει αυτό. Αλλά είναι πιθανό, υποθέτω, είναι κατανοητό ότι υπάρχει κάποιο τελευταίο μοναχικό ζευγάρι διδύμων που κουκουλώνονται στο σκοτάδι, εκεί έξω, ξέρετε, στην αριθμητική γραμμή.
Ξύλο (15:57): Ναι, θα μπορούσε να υπάρχει. Και, ξέρετε, ως μαθηματικοί, θα λέγαμε, ξέρετε, δεν ξέρουμε. Ακόμα κι αν μπορούσατε να φτιάξετε ένα γράφημα καθώς προχωράτε για το πόσα βρήκατε, αν σχεδιάσετε αυτό το γράφημα, φαίνεται ότι σίγουρα σίγουρα ανεβαίνει και ανεβαίνει με ρυθμό που ποτέ - ποτέ δεν θα γύριζε. Αλλά υποθέτω ότι αυτό είναι μέρος της διαφοράς μεταξύ των μαθηματικών και της επιστήμης είναι ότι κρατάμε αυτόν τον σκεπτικισμό και λέμε, καλά, δεν ξέρουμε. Εννοώ, ίσως κάποια στιγμή, το γράφημα απλώς γυρίζει, και δεν υπάρχουν άλλα.
Strogatz (16:29): Λοιπόν, αυτό — μου αρέσει η εικόνα σας εκεί για ένα γράφημα, γιατί νομίζω ότι όλοι μπορούν να συσχετιστούν με αυτήν την ιδέα, τη δημιουργία ενός γραφήματος, τη δημιουργία κάποιου είδους γραφήματος. Ξέρετε, θεωρώντας τους πρώτους ως κάτι σαν δεδομένα. Και, και έτσι νομίζω ότι αυτή είναι ίσως η κατάλληλη στιγμή για να στραφούμε, να αρχίσουμε να μιλάμε για τη θεωρία πιθανοτήτων. Και φαίνεται λίγο περίεργο να μιλάμε για πιθανότητες και στατιστικά στοιχεία σε σχέση με τους πρώτους, επειδή δεν υπάρχει καμία πιθανότητα να εμπλακεί εδώ. Οι πρώτοι καθορίζονται από τον ορισμό που δώσαμε, ότι δεν διαιρούνται. Ωστόσο, οι μαθηματικοί και οι θεωρητικοί αριθμών, όπως εσείς, έχουν χρησιμοποιήσει στατιστικά ή πιθανολογικά επιχειρήματα στη σκέψη για τους πρώτους. Αναρωτιέμαι αν θα μπορούσατε να σκιαγραφήσετε κάτι τέτοιο για μένα χρησιμοποιώντας το χτύπημα νομισμάτων και να επιστρέψω στο — τι λέγαμε στην αρχή, μονούς και ζυγούς αριθμούς.
Ξύλο (17:14): Εντάξει. Έτσι, σε αντίθεση με τους πρώτους, καταλαβαίνουμε πολύ καλά το μοτίβο των περιττών και ζυγών αριθμών. Πηγαίνουν μονές, ζυγές, μονές, ζυγές, φυσικά. Αλλά ας υποθέσουμε ότι δεν καταλάβαμε αυτό το μοτίβο. Και το χρησιμοποιούμε για να καταλάβουμε πόσους περιττούς αριθμούς μπορεί να βρείτε αν κοιτάζατε όλους τους αριθμούς μέχρι το ένα εκατομμύριο. Θα μπορούσατε να φανταστείτε, δεδομένου ότι υπάρχουν δύο πιθανότητες, ένας αριθμός θα μπορούσε να είναι μονός ή ένας αριθμός θα μπορούσε να είναι άρτιος, ότι ίσως κάποιος πήγε και έριξε ένα νόμισμα για κάθε αριθμό, και αν το κέρμα έβγαινε στις κεφαλές, ο αριθμός ήταν μονός. Και αν το κέρμα έβγαινε στην ουρά, ο αριθμός ήταν ζυγός. Και έτσι θα μπορούσατε να βάλετε το άτομο που γυρίζει τα κέρματα να περπατά κατά μήκος της αριθμητικής γραμμής, γυρίζοντας ένα νόμισμα σε κάθε αριθμό, και εμφανίζεται, ας πούμε, είτε να δηλώσει αυτόν τον αριθμό μονό ή ζυγό.
(18:03) Τώρα, από τη μια πλευρά, αυτό είναι ανοησία. Από την άλλη πλευρά, το μοντέλο ανατροπής νομισμάτων θα κάνει κάποια πράγματα σωστά. Για παράδειγμα, αν πείτε, ξέρετε, χονδρικά, πόσοι από τους αριθμούς μέχρι το ένα εκατομμύριο είναι ζυγοί; Γνωρίζουμε ότι περίπου ο αριθμός των ανατροπών κερμάτων που, ας πούμε, θα ανέβουν στην ουρά, εάν κάνετε έναν τεράστιο αριθμό ανατροπών νομισμάτων, όπως ένα εκατομμύριο, είναι περίπου το μισό από αυτά. Και έτσι, αυτό το μοντέλο, όσο ανόητο κι αν είναι, μπορεί να κάνει κάποιες προβλέψεις σωστά. Και πρέπει να πω ότι αυτό μπορεί να ακούγεται ανόητο, γιατί γνωρίζουμε ήδη την απάντηση σε αυτή την ερώτηση. Η ιδέα είναι ότι κατασκευάζουμε μοντέλα για πιο περίπλοκα μοτίβα, όπως εκεί όπου εμφανίζονται οι πρώτοι μεταξύ των αριθμών, αντί μόνο εκεί που εμφανίζονται οι πιθανότητες.
Strogatz (18:55): Ναι. Θέλω να πω, νομίζω ότι πρέπει να το υπογραμμίσουμε - πόσο βαθιά μυστηριώδεις είναι οι πρώτοι. Δεν υπάρχει τύπος για τους πρώτους αριθμούς, όπως υπάρχει τύπος για περιττούς αριθμούς. Όπως αν νομίζετε, ω, έλα, αυτό είναι — μιλάμε πραγματικά για παράλογα πράγματα εδώ, είναι πραγματικά πολύ πολύτιμο να έχουμε αυτά τα στατιστικά μοντέλα που μπορούν να προβλέψουν ιδιότητες που είναι μέσες ιδιότητες. Όπως το ανάλογο του, οι μισοί αριθμοί μικρότεροι από έναν μεγάλο αριθμό θα είναι περιττοί. Αυτό είναι κάτι που, στην περίπτωση των πρώτων, είναι μια πολύ σοβαρή, ενδιαφέρουσα ερώτηση. Ποιο κλάσμα αριθμών μικρότεροι από μεγάλο αριθμό είναι πρώτοι; Και, όπως λέτε, μπορείτε να φτιάξετε ένα στατιστικό μοντέλο που να το κάνει σωστά. Και μετά τι, αυτό το ίδιο μοντέλο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψει στη συνέχεια πόσοι δίδυμοι πρώτοι θα ήταν λιγότεροι από έναν μεγάλο αριθμό; Το ίδιο μοντέλο κάνει καλή δουλειά σε αυτή την περίπτωση;
Ξύλο (19:41): Έτσι, στην περίπτωση των πρώτων, αν κατασκευάζαμε ένα μοντέλο — ξέρετε, και υπάρχει ένα μοντέλο που χρησιμοποιούν οι μαθηματικοί που ονομάζεται το μοντέλο Cramér των πρώτων — αν φτιάχναμε ένα μοντέλο των πρώτων αριθμών όπου φανταζόμαστε κάποιον να περπατά κατά μήκος της αριθμητικής γραμμής και σε κάθε αριθμό, ξέρετε, να γυρίζει ένα νόμισμα, ας πούμε, για να αποφασίσουμε αν αυτός ο αριθμός ήταν πρώτος ή όχι πρώτος, θα ενσωματώσει όσα περισσότερα γνωρίζουμε για τους πρώτους σε αυτό το μοντέλο. Πρώτα απ 'όλα, γνωρίζουμε ότι οι μεγάλοι αριθμοί είναι λιγότερο πιθανό να είναι πρώτοι από τους μικρότερους. Άρα αυτά τα νομίσματα θα έπρεπε να σταθμιστούν. Και θα κάναμε — θα έπρεπε να προσπαθήσουμε να βάλουμε ακριβώς τις σταθμίσεις που αναμένουμε. Και ξέρουμε πράγματα όπως, δεν μπορείς να έχεις δύο πρώτους αριθμούς ο ένας δίπλα στον άλλο, γιατί ο ένας από αυτούς θα πρέπει να είναι περιττός και ο ένας θα πρέπει να είναι άρτιος. Το βάλαμε λοιπόν στο μοντέλο. Και μετά υπάρχουν περισσότερα πράγματα που γνωρίζουμε για τους πρώτους.
(20:37) Έτσι το μοντέλο είναι κάτι που ξεκινά με αυτό το μοντέλο που ανατρέπει νομίσματα, αλλά στη συνέχεια τροποποιείται από όλους αυτούς τους άλλους κανόνες και όλα τα άλλα πράγματα που γνωρίζουμε για τους πρώτους. Και μόλις βάλετε όλα εκείνα τα πράγματα που ξέρουμε στο μοντέλο, ρωτάτε αυτό το χτύπημα των νομισμάτων, ξέρετε, μοντέλο, καλά, βλέπετε, απείρως συχνά, τα νομίσματα να βγαίνουν στην πρώτη γραμμή με μόλις 2 διαφορά μεταξύ τους; Και το μοντέλο σου λέει, ω, ναι, το βλέπουμε αυτό. Στην πραγματικότητα, το βλέπουμε με αυτόν τον πολύ συγκεκριμένο ρυθμό που μπορούμε να σας δώσουμε έναν τύπο. Και στη συνέχεια, αν γράψετε γραφικά τον αριθμό των πραγματικών δίδυμων πρώτων πρώτων, στους πραγματικούς αριθμούς, όπου δεν υπάρχουν κέρματα αναποδογυρισμένα, σε σχέση με αυτό που προβλέπει το μοντέλο, θα δείτε ότι το μοντέλο σας δίνει μια πολύ ακριβή πρόβλεψη για τον αριθμό των ζευγών των δίδυμων πρώτων. θα το βρεις όσο προχωράς. Και μετά σκέφτεσαι, ξέρεις, ίσως αυτό το μοντέλο ξέρει για τι πράγμα μιλάει.
Strogatz (21:31): Αυτό είναι υπέροχο. Θέλω να πω, αυτό είναι κάπως σημαντικό, αυτό που μόλις φτάσαμε εκεί, ότι — δεν χρησιμοποιήσατε ακόμα τη λέξη υπολογιστές. Αλλά υποθέτω ότι δεν το κάνετε με το χέρι. Τα άτομα που απαριθμούν τους δίδυμους πρώτους αριθμούς, δεν ξέρω, για ποιο πράγμα μιλάμε; Τρισ τρισεκατομμύρια τρισεκατομμύρια; Δηλαδή, αυτά είναι μεγάλα νούμερα για τα οποία μιλάμε, έτσι δεν είναι;
Ξύλο (21:49): Λοιπόν, για την απαρίθμηση των δίδυμων πρώτων αριθμών, δηλαδή — θα γινόταν από υπολογιστή, απολύτως. Αλλά για την κατασκευή αυτού του μοντέλου και τη δημιουργία της φόρμουλας που δίνει το μοντέλο. Ξέρετε, αυτό γίνεται με το χέρι, ουσιαστικά, από μαθηματικούς που σκέφτονται το μοντέλο και το καταλαβαίνουν.
Strogatz (22:07): Είναι πολύ ωραίο. Εκεί λοιπόν το μοντέλο δείχνει τα πράγματά του, ώστε το μοντέλο να μπορεί πραγματικά να προβλέψει τι βλέπει ο υπολογιστής. Και δεν απαιτεί υπολογιστή για να κάνει αυτή την πρόβλεψη. Αυτό μπορεί να γίνει με το χέρι, από ανθρώπους και μπορεί πραγματικά να οδηγήσει σε αποδείξεις. Εκτός από το ότι είναι αποδείξεις των ιδιοτήτων του μοντέλου, όχι απαραίτητα ακόμη αποδείξεις του πράγματος που σας ενδιαφέρει.
Ξύλο (22:28): Σωστά. Και κάποια στιγμή σταματάει ο υπολογιστής. Ξέρετε, υπάρχει μόνο τόση υπολογιστική ισχύς. Αλλά αυτή η φόρμουλα που θα παίρνατε, που θα σας έδινε το μοντέλο, που θα μπορούσατε να αποδείξετε ότι ισχύει, και πάλι, για αυτήν την κατάσταση ανατροπής του μοντέλου, αυτή η φόρμουλα θα συνεχίσει να ισχύει. Μπορείτε να βάλετε όλο και μεγαλύτερους αριθμούς σε αυτόν τον τύπο, πολύ μεγαλύτερους από ό,τι θα μπορούσε να υπολογίσει ποτέ ο υπολογιστής σας.
Strogatz (22:53): Μας είπατε λοιπόν λίγο για το πώς η τυχαιότητα μπορεί να βοηθήσει να δώσουμε μοντέλα με ενδιαφέροντα φαινόμενα στη θεωρία αριθμών, και είμαι σίγουρος ότι ισχύει και σε άλλα μέρη των μαθηματικών. Υπάρχουν ορισμένες περιπτώσεις όπου μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την τυχαιότητα για να παρέχετε πραγματικές αποδείξεις, όχι μόνο μοντέλα;
Ξύλο (23:10): Απολύτως. Ένας άλλος κλάδος των μαθηματικών ονομάζεται θεωρία πιθανοτήτων. Και στη θεωρία πιθανοτήτων, αποδεικνύουν θεωρήματα για τυχαία συστήματα και πώς συμπεριφέρονται. Και μπορεί να σκεφτείτε ότι, καλά, αν ξεκινήσετε με κάτι τυχαίο, και κάνετε κάτι με αυτό, θα έχετε πάντα κάτι τυχαίο. Αλλά ένα από τα εξαιρετικά όμορφα πράγματα που βρίσκει κανείς στη θεωρία πιθανοτήτων είναι ότι μερικές φορές μπορείς να βγάλεις κάτι ντετερμινιστικό από κάτι τυχαίο.
Strogatz (23:45): Λοιπόν, πώς λειτουργεί αυτό; Σαν τι?
Ξύλο (23:48): Ναι. Έτσι έχετε δει την καμπύλη του κουδουνιού, ή την κανονική κατανομή, θα την αποκαλούσαν οι μαθηματικοί. Εμφανίζεται παντού στη φύση. Όπως φαίνεται αν κοιτάξετε την αρτηριακή πίεση των ανθρώπων, τα βάρη του μωρού κατά τη γέννηση ή κάτι τέτοιο. Και μπορεί να σκεφτείτε, ω, αυτή η καμπύλη καμπάνας, ότι αυτό είναι ένα, είναι ένα γεγονός της φύσης. Αλλά στην πραγματικότητα, υπάρχει ένα θεώρημα, που ονομάζεται θεώρημα κεντρικού ορίου στη θεωρία πιθανοτήτων, που σας λέει ότι στην πραγματικότητα, αυτή η καμπύλη καμπάνας είναι κατά κάποια έννοια, όχι ένα γεγονός της φύσης, αλλά ένα γεγονός των μαθηματικών. Το θεώρημα του κεντρικού ορίου σας λέει ότι εάν συνδυάσετε μια ολόκληρη δέσμη μικρών τυχαίων εφέ ανεξάρτητα, ότι η έξοδος τους θα ταιριάζει πάντα με μια συγκεκριμένη κατανομή. Αυτό το σχήμα, αυτή η καμπύλη καμπάνας. Τα μαθηματικά, και η θεωρία των πιθανοτήτων, μπορούν να αποδείξουν ότι αν έχετε — αν συνδυάσετε πολλά μικρά ανεξάρτητα τυχαία πράγματα, το αποτέλεσμα όλου αυτού του συνδυασμού θα σας δώσει μια κατανομή που μοιάζει με αυτήν την καμπύλη καμπάνας. Και έτσι — ακόμα κι αν δεν ξέρετε πώς ήταν οι είσοδοι. Και αυτό είναι ένα πραγματικά ισχυρό θεώρημα και ένα πραγματικά ισχυρό εργαλείο στα μαθηματικά.
Strogatz (25:05): Ναι, σίγουρα είναι. Και μου άρεσε η έμφασή σου στο ότι δεν χρειάζεται να ξέρεις τι συμβαίνει με τα μικρά εφέ. Ότι αυτό, κατά κάποιο τρόπο, ξεπλένεται. Αυτές οι πληροφορίες δεν χρειάζονται. Η καμπύλη καμπάνας είναι προβλέψιμη, ακόμα κι αν δεν ξέρετε ποια είναι η φύση των μικρών εφέ. Αρκεί να είναι πολλά και να είναι λίγα. Και δεν επηρεάζουν ο ένας τον άλλον, σωστά, είναι ανεξάρτητοι, κατά κάποιο τρόπο.
Ξύλο (25:27): Ναι, απολύτως. Και έτσι αυτή είναι μια ιδέα, ξέρετε, μερικές φορές ονομάζεται καθολικότητα στη θεωρία πιθανοτήτων, ότι υπάρχουν ορισμένα είδη μηχανών που αν βάλετε πολλές τυχαίες εισόδους, μπορείτε να προβλέψετε την έξοδο. Όπως, για παράδειγμα, ότι θα λάβατε αυτήν την καμπύλη καμπάνας ή αυτή την κανονική κατανομή, ακόμα κι αν δεν ξέρετε τι βάζετε στο μηχάνημα. Και αυτό είναι απίστευτα ισχυρό όταν υπάρχουν πράγματα που δεν καταλαβαίνουμε πολύ καλά, γιατί —
Strogatz (25:56): Μα, λοιπόν, μου λες — ω, συγγνώμη που σε κόβω — αλλά μου λες ότι αυτό συμβαίνει και στη θεωρία αριθμών τώρα; Ότι κατά κάποιο τρόπο κάνουμε την ιδέα της καθολικότητας να εμφανιστεί στη θεωρία αριθμών; Ή ονειρεύομαι;
Ξύλο (26:09): Λοιπόν, σε κάποιο βαθμό, θα έλεγα ότι είναι ένα όνειρό μου που ξεκινά. Ξέρετε, απλά, κάνουμε τα πρώτα βήματα για να το δούμε να υλοποιείται. Οπότε δεν είναι μόνο το όνειρό σου, είναι και το δικό μου όνειρο. Κάποια από τη δουλειά που κάνω σήμερα και πάνω στην οποία δουλεύουμε οι συνεργάτες μου και εγώ προσπαθούμε να κάνουμε αυτό το όνειρο πραγματικότητα, ώστε μερικές από αυτές τις μπερδεμένες ερωτήσεις σχετικά με τους αριθμούς που δεν ξέρουμε την απάντηση, ίσως θα μπορούσαμε Καταλάβετε ότι υπάρχουν μοτίβα που βγαίνουν, όπως μια καμπύλη καμπάνας, σαν μια κανονική κατανομή, που μπορούμε να αποδείξουμε ότι βγήκαν από το μηχάνημα ακόμα κι αν δεν ξέρουμε τι μυστήρια μπήκαν.
Strogatz (26:55): Λοιπόν, είναι ένα πολύ εμπνευσμένο, συναρπαστικό όραμα, στην πραγματικότητα, και ελπίζω ότι όλα θα πραγματοποιηθούν. Ευχαριστούμε πολύ που μας μίλησες σήμερα, Μέλανι.
Ξύλο (27:03): Ευχαριστώ. Αυτό ήταν πολύ διασκεδαστικό.
Αναγγέλων (27:06): Αν θέλετε The Joy of Why, ελέγξτε το Το περιοδικό Quanta Science Podcast, με οικοδεσπότη εμένα, τη Susan Valot, μια από τις παραγωγές αυτής της εκπομπής. Επίσης, πείτε στους φίλους σας για αυτό το podcast και κάντε μας ένα like ή ακολουθήστε όπου ακούτε. Βοηθά τους ανθρώπους να βρουν The Joy of Why podcast.
Strogatz (27: 26): The Joy of Why είναι ένα podcast από Quanta Magazine, μια εκδοτικά ανεξάρτητη έκδοση που υποστηρίζεται από το Ίδρυμα Simons. Οι αποφάσεις χρηματοδότησης από το Ίδρυμα Simons δεν επηρεάζουν την επιλογή θεμάτων, προσκεκλημένων ή άλλων συντακτικών αποφάσεων σε αυτό το podcast ή σε Quanta Magazine. The Joy of Why Παράγεται από τη Susan Valot και την Polly Stryker. Οι συντάκτες μας είναι οι John Rennie και Thomas Lin, με την υποστήριξη των Matt Carlstrom, Annie Melchor και Leila Sloman. Η θεματική μας μουσική συντέθηκε από τον Richie Johnson. Το λογότυπό μας είναι του Jackie King και το artwork για τα επεισόδια είναι των Michael Driver και Samuel Velasco. Είμαι ο οικοδεσπότης σου, Steve Strogatz. Εάν έχετε οποιεσδήποτε ερωτήσεις ή σχόλια για εμάς, στείλτε μας email στο quanta@simonsfoundation.org. Ευχαριστώ που άκουσες.
