Εισαγωγή
Νωρίτερα φέτος, μια τριάδα μαθηματικών αποφάσισαν να κάνουν λεμόνια λεμονάδα - και κατέληξαν να κάνουν σημαντική πρόοδος σε ένα πρόβλημα που οι μαθηματικοί σκέφτονται εδώ και αιώνες.
Οι τρεις τους μόλις τελείωναν ένα έργο και σκέφτονταν τα επόμενα βήματα όταν, τέλη Μαρτίου, δύο από αυτούς — Levent Alpöge του Πανεπιστημίου του Χάρβαρντ και Άρι Σνίντμαν του Εβραϊκού Πανεπιστημίου της Ιερουσαλήμ — προσβλήθηκε από τον Covid-19, χωριστά αλλά σχεδόν ταυτόχρονα. Πολλοί άνθρωποι θα έκαναν ένα διάλειμμα υπό τέτοιες συνθήκες, αλλά το τρίτο μέλος της ομάδας, Manjul Bhargava του Πανεπιστημίου Πρίνστον, πρότεινε το αντίθετο. Η αύξηση των εβδομαδιαίων συναντήσεων Zoom σε τρεις ή τέσσερις φορές την εβδομάδα, πρότεινε, μπορεί να αποσπάσει την προσοχή των άρρωστων συνεργατών του από τα συμπτώματά τους. Η καραντίνα, αποφάσισαν οι τρεις, θα μπορούσε να είναι μια ευκαιρία να σκεφτούμε ανενόχλητοι.
Κατά τη διάρκεια αυτών των συναντήσεων, εξέτασαν ένα από τα παλαιότερα ερωτήματα στη θεωρία αριθμών: Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μπορούν να γραφτούν ως άθροισμα δύο κλασμάτων σε κύβους ή, όπως τους αποκαλούν οι μαθηματικοί, ορθολογικοί αριθμοί; Ο αριθμός 6, για παράδειγμα, μπορεί να γραφτεί ως (17/21)3 + (37/21)3, ενώ 13 = (7/3)3+(2/3)3.
Οι μαθηματικοί υποπτεύονται εδώ και δεκαετίες ότι οι μισοί από όλους τους ακέραιους αριθμούς μπορούν να γραφτούν με αυτόν τον τρόπο. Ακριβώς όπως με τους περιττούς και ζυγούς αριθμούς, αυτή η ιδιότητα φαίνεται να διαιρεί τους ακέραιους αριθμούς σε δύο ίσα στρατόπεδα: σε αυτούς που είναι το άθροισμα δύο κύβων και σε αυτούς που δεν είναι.
Κανείς όμως δεν μπόρεσε να το αποδείξει αυτό, ούτε καν να δώσει κάποιο όριο στην αναλογία των ακέραιων αριθμών που εμπίπτουν σε κάθε στρατόπεδο. Από όσο γνώριζαν οι μαθηματικοί, το στρατόπεδο που αποτελείται από αθροίσματα ορθολογικών κύβων μπορεί να είναι εξαφανιστικά μικρό — ή μπορεί να περιέχει σχεδόν κάθε ακέραιο αριθμό. Μαθηματικοί έχουν υπολογίσει ότι, αν κάτι που ονομάζεται εικασία Birch και Swinnerton-Dyer είναι αλήθεια (όπως πιστεύεται ευρέως), περίπου το 59% των αριθμών μέχρι τα 10 εκατομμύρια είναι το άθροισμα δύο λογικών κύβων. Αλλά τέτοια δεδομένα μπορούν, στην καλύτερη περίπτωση, να προσφέρουν υποδείξεις για το πώς μπορεί να συμπεριφέρεται η υπόλοιπη αριθμητική γραμμή.
Σε αντίθεση με τους περιττούς και ζυγούς αριθμούς, «αυτά τα δύο στρατόπεδα είναι λεπτές», είπε Μπάρι Μάζουρ του Χάρβαρντ. Δεν υπάρχει κανένα τεστ για τον προσδιορισμό των αριθμών σε ποιο στρατόπεδο που είναι γνωστό ότι λειτουργεί για όλους τους αριθμούς. Οι μαθηματικοί έχουν καταλήξει σε τεστ που είναι δυνατοί υποψήφιοι, αλλά προς το παρόν το καθένα έχει κάποιο μειονέκτημα — είτε οι μαθηματικοί δεν μπορούν να αποδείξουν ότι το τεστ θα καταλήγει πάντα σε ένα συμπέρασμα, είτε δεν μπορούν να αποδείξουν ότι το συμπέρασμα είναι σωστό.
Η δυσκολία κατανόησης των αθροισμάτων των κύβων, και των κυβικών εξισώσεων γενικότερα, ήταν «μια επαναλαμβανόμενη αμηχανία για τους θεωρητικούς αριθμών», είπε ο Bhargava. Αυτός κέρδισε το μετάλλιο Fields το 2014 εν μέρει για το έργο του για ορθολογικές λύσεις στις κυβικές εξισώσεις γνωστές ως ελλειπτικές καμπύλες, των οποίων τα αθροίσματα δύο κύβων αποτελούν ειδική περίπτωση.
Τώρα, σε ένα χαρτί Αναρτήθηκαν διαδικτυακά στα τέλη Οκτωβρίου, οι Alpöge, Bhargava και Shnidman έδειξαν ότι τουλάχιστον το 2/21 (περίπου 9.5%) και το πολύ 5/6 (περίπου 83%) των ακέραιων αριθμών μπορούν να γραφτούν ως το άθροισμα δύο κλασμάτων σε κύβους.
Το ζήτημα των ποσών των κύβων δεν είναι απλώς μια περιέργεια. Οι ελλειπτικές καμπύλες έχουν μια πλούσια περίπλοκη δομή που τις έχει ωθήσει στο κέντρο πολλών περιοχών τόσο των καθαρών όσο και των εφαρμοσμένων μαθηματικών, δίνοντας κυρίως τη δυνατότητα στους κρυπτογράφους να δημιουργήσουν ισχυρούς κρυπτογράφους. Η εικασία των Birch and Swinnerton-Dyer, το κεντρικό ερώτημα στο πεδίο, έχει ένα μπόνους 1 εκατομμυρίου δολαρίων στο κεφάλι της ως ένα από τα προβλήματα του Millennium Prize του Ινστιτούτου Clay Mathematics.
Το νέο έργο βασίζεται σε ένα σύνολο εργαλείων που έχει αναπτύξει η Bhargava τα τελευταία 20 χρόνια, μαζί με συνεργάτες, για να εξερευνήστε την πλήρη οικογένεια ελλειπτικών καμπυλών. Η κατανόηση των αθροισμάτων δύο κύβων σημαίνει ανάλυση μιας πολύ μικρότερης οικογένειας και «όσο μικρότερη είναι η οικογένεια, τόσο πιο δύσκολο είναι το πρόβλημα», είπε. Πίτερ Σάρνακ του Ινστιτούτου Προηγμένων Σπουδών στο Πρίνστον.
Αυτή η συγκεκριμένη οικογένεια φαινόταν «απρόσιτη», πρόσθεσε ο Sarnak. «Θα έλεγα: «Αυτό φαίνεται πολύ δύσκολο, πολύ δύσκολο».
Μετάβαση φάσης
Σε αντίθεση με τα αθροίσματα των κλασμάτων σε κύβους, τα οποία φαίνεται να είναι άφθονα, σχεδόν κανένας ακέραιος αριθμός δεν είναι το άθροισμα δύο τετραγωνικών κλασμάτων. Στις αρχές του 1600, οι μαθηματικοί Albert Girard και Pierre de Fermat είχαν βρει ένα απλό τεστ για να προσδιορίσουν ποιοι ακέραιοι αριθμοί είναι το άθροισμα δύο τετραγώνων: Παράγοντε τον αριθμό σας σε πρώτους και, στη συνέχεια, ελέγξτε τον εκθέτη κάθε πρώτου που έχει υπόλοιπο 3. Όταν το διαιρέσετε με το 4. Αν αυτοί οι εκθέτες είναι όλοι ζυγοί, ο αριθμός σας είναι το άθροισμα δύο τετραγωνικών κλασμάτων. αλλιώς, δεν είναι. Για παράδειγμα, 490 παράγοντες σε 21 × 51 × 72. Ο μόνος από αυτούς τους παράγοντες που έχει υπόλοιπο 3 όταν διαιρούμε με το 4 είναι το 7 και το 7 έχει άρτιο εκθέτη. Επομένως, το 490 είναι το άθροισμα δύο τετραγώνων (για τους περίεργους, ισούται με 72 + 212).
Η συντριπτική πλειονότητα των αριθμών αποτυγχάνει στη δοκιμή ζυγού εκθέτη. Εάν επιλέξετε έναν ακέραιο αριθμό τυχαία, η πιθανότητα να είναι το άθροισμα δύο τετραγωνικών κλασμάτων είναι ουσιαστικά μηδέν. Οι μαθηματικοί πιστεύουν ότι το ίδιο ισχύει για αθροίσματα δύο κλασμάτων που ανεβαίνουν στην τέταρτη δύναμη, ή στην πέμπτη δύναμη, ή σε οποιαδήποτε δύναμη μεγαλύτερη από τρεις. Μόνο με τα αθροίσματα των κύβων υπάρχει ξαφνικά αφθονία.
Οι μαθηματικοί έχουν συνηθίσει τις κυβικές εξισώσεις να συμπεριφέρονται διαφορετικά από αυτές όλων των άλλων δυνάμεων. Μεταξύ των εξισώσεων που αποτελούνται από δύο μεταβλητές (όπως οι εξισώσεις αθροίσματος δύο κύβων), οι εξισώσεις των οποίων ο υψηλότερος εκθέτης είναι 1 ή 2 τείνουν να γίνονται καλά κατανοητές - συνήθως είτε δεν έχουν ορθολογικές λύσεις είτε άπειρες πολλές, και είναι γενικά εύκολο να πείτε ποια. Εν τω μεταξύ, οι εξισώσεις των οποίων ο υψηλότερος εκθέτης είναι 4 ή μεγαλύτερος γενικά έχουν μόνο ένα πεπερασμένο ράντισμα των ορθολογικών λύσεων.
Οι κυβικές εξισώσεις, αντίθετα, μπορούν να έχουν πεπερασμένες πολλές λύσεις, άπειρες πολλές ή καθόλου. Αυτές οι εξισώσεις αντιπροσωπεύουν ένα είδος μετάβασης φάσης μεταξύ των εκθετών κάτω από το 3 και των παραπάνω, εμφανίζοντας φαινόμενα που δεν φαίνονται ποτέ σε αυτές τις άλλες ρυθμίσεις. «Οι κύβοι είναι διαφορετικοί από κάθε άποψη», είπε ο Mazur.
Σε αντίθεση με τις εξισώσεις με χαμηλότερους εκθέτες, οι κύβοι είναι εκπληκτικά δύσκολο να κατανοηθούν. Δεν υπάρχει γενική μέθοδος για την εύρεση ή ακόμα και την καταμέτρηση των ορθολογικών λύσεων στα κυβικά που έχει αποδειχθεί ότι λειτουργεί πάντα.
«Ακόμη και με όλη την υπολογιστική ισχύ που έχουμε, αν μου δώσετε μια ελλειπτική καμπύλη με πολύ μεγάλους συντελεστές, δεν ξέρω απαραίτητα πόσες ορθολογικές λύσεις έχει», είπε. Γουέι Χο, πρώην μαθητής του Bhargava που είναι επί του παρόντος επισκέπτης καθηγητής στο Ινστιτούτο Προηγμένων Σπουδών.
Στο πρόβλημα του αθροίσματος δύο κύβων, τα κλάσματα που εμπλέκονται μπορεί να είναι τεράστια: Ο αριθμός 2,803, για παράδειγμα, είναι το άθροισμα δύο κλασμάτων σε κύβους των οποίων ο παρονομαστής έχει 40 ψηφία το καθένα. Και μόλις κοιτάξουμε αριθμούς σε εκατομμύρια, είπε ο Bhargava, πολλά από τα κλάσματα «θα περιλάμβαναν περισσότερα ψηφία από όσα θα μπορούσαν να χωρέσουν σε όλο το χαρτί σε αυτόν τον κόσμο».
Πίνακες χαρτογράφησης
Επειδή οι ελλειπτικές καμπύλες είναι τόσο ακυβέρνητες, οι θεωρητικοί αριθμών αναζητούν τρόπους να τις συνδέσουν με πιο ελκόμενα αντικείμενα. Αυτόν τον Απρίλιο, ενώ ο Alpöge και ο Shnidman πολεμούσαν τον Covid, αυτοί και ο Bhargava χτίστηκαν πάνω στη δουλειά που ο τελευταίος είχε κάνει προηγουμένως με τον Ho και ανακάλυψαν ότι κάθε φορά που μια εξίσωση αθροίσματος κύβων έχει ορθολογικές λύσεις, υπάρχει ένας τρόπος να δημιουργήσουν τουλάχιστον ένα ειδικό 2 × 2 × 2 × 2 πίνακας — ένα τετραδιάστατο ανάλογο του πιο γνωστού δισδιάστατου πίνακα. «Ξεκινήσαμε να σχεδιάζουμε ένα σχέδιο για να μετρήσουμε αυτούς τους πίνακες 2 × 2 × 2 × 2», έγραψαν οι τρεις.
Για να το κάνει αυτό, η ομάδα βασίστηκε σε δύο κλασικά θέματα που το καθένα έχει μελετηθεί για περισσότερο από έναν αιώνα. Το ένα είναι η «γεωμετρία των αριθμών», η οποία περιλαμβάνει τον τρόπο μέτρησης σημείων πλέγματος μέσα σε διαφορετικά γεωμετρικά σχήματα. Αυτό το θέμα απολαμβάνει μια αναγέννηση στον τομέα των ελλειπτικών καμπυλών τα τελευταία 20 χρόνια, σε μεγάλο βαθμό λόγω της δουλειάς του Bhargava και των συνεργατών του.
Η άλλη τεχνική, γνωστή ως μέθοδος κύκλου, ξεκίνησε από το έργο του θρυλικού Ινδού μαθηματικού Srinivasa Ramanujan και του μακροχρόνιου συνεργάτη του GH Hardy στις αρχές του 20ου αιώνα. «Αυτή είναι η πρώτη σημαντική εφαρμογή συνδυασμού της μεθόδου του κύκλου με αυτές τις τεχνικές γεωμετρίας αριθμών», είπε ο Ho. «Αυτό το κομμάτι είναι πολύ ωραίο».
Χρησιμοποιώντας αυτές τις μεθόδους, το τρίο μπόρεσε να δείξει ότι για τουλάχιστον το 1/6 όλων των ακέραιων αριθμών, δεν υπάρχει πίνακας 2 × 2 × 2 × 2. Αυτό σημαίνει ότι για αυτούς τους αριθμούς, η εξίσωση του αθροίσματος των κύβων δεν έχει ορθολογικές λύσεις. Έτσι, όχι περισσότερο από τα 5/6 των ακεραίων, ή περίπου το 83%, δεν μπορεί να είναι το άθροισμα των κύβων δύο κλασμάτων.
Στην αντίστροφη κατεύθυνση, βρήκαν ότι τουλάχιστον τα 5/12 όλων των ακέραιων αριθμών έχουν ακριβώς έναν αντίστοιχο πίνακα. Είναι δελεαστικό να συμπεράνουμε ότι αυτοί οι αριθμοί είναι το άθροισμα δύο κύβων, αλλά αυτό δεν προκύπτει αυτόματα. Κάθε αριθμός που είναι το άθροισμα δύο κύβων έχει έναν πίνακα, αλλά αυτό δεν σημαίνει απαραίτητα ότι ισχύει το αντίστροφο: ότι κάθε αριθμός με έναν πίνακα είναι το άθροισμα δύο κύβων.
Οι Alpöge, Bhargava και Shnidman χρειάζονταν αυτό που οι ερευνητές της ελλειπτικής καμπύλης αποκαλούν θεώρημα αντίστροφης - κάτι που λαμβάνει πληροφορίες για μια κυβική εξίσωση και τις χρησιμοποιεί για να κατασκευάσει ορθολογικές λύσεις. Τα θεωρήματα αντιστροφής σχηματίζουν ένα ακμάζον υποπεδίο της θεωρίας των ελλειπτικών καμπυλών, έτσι το τρίο στράφηκε σε δύο από τους ειδικούς επαγγελματίες του υποπεδίου — Ashay Burungale του Πανεπιστημίου του Τέξας, του Όστιν και του Πρίνστον. Ο Burungale και ο Skinner μπόρεσαν να δείξουν ότι, τουλάχιστον μερικές φορές, εάν ένας ακέραιος αριθμός έχει έναν μόνο συσχετισμένο πίνακα, τότε αυτός ο αριθμός πρέπει να είναι το άθροισμα δύο λογικών κύβων. Το θεώρημά τους, το οποίο ουσιαστικά αποδεικνύει ένα σχετικό κομμάτι της εικασίας των Birch και Swinnerton-Dyer, εμφανίζεται στην δημοσίευση ως παράρτημα τριών σελίδων, το οποίο ο Sarnak περιγράφει ως θαυμάσιο από μόνο του.
Οι Burungale και Skinner δεν απέδειξαν το θεώρημά τους για κάθε ακέραιο αριθμό με ακριβώς έναν πίνακα - έπρεπε να επιβάλουν μια τεχνική συνθήκη που μείωσε το υποσύνολο 5/12 στο 2/21, ή περίπου στο 9.5% όλων των ακέραιων αριθμών. Αλλά ο Bhargava είναι αισιόδοξος ότι οι Burungale και Skinner, ή άλλοι ερευνητές στην περιοχή τους, θα φτάσουν στο υπόλοιπο 5/12 (περίπου 41% συνολικά) πριν από πολύ καιρό. «Οι τεχνικές τους γίνονται σταθερά πιο δυνατές», είπε ο Bhargava.
Για να αποδειχθεί η πλήρης εικασία - ότι ακριβώς οι μισοί από όλους τους ακέραιους αριθμούς είναι το άθροισμα δύο κύβων - θα απαιτήσει τελικά να αντιμετωπίσουμε το σύνολο των αριθμών που έχουν περισσότερους από έναν συσχετισμένους πίνακες. Αυτό το σύνολο, το οποίο ο Bhargava αποκαλεί «πολύ μουντό», περιλαμβάνει και αριθμούς που είναι το άθροισμα δύο κύβων και αυτούς που δεν είναι. Ο χειρισμός τέτοιων αριθμών θα απαιτήσει εντελώς νέες ιδέες, είπε.
Προς το παρόν, οι ερευνητές είναι στην ευχάριστη θέση να διευθετήσουν επιτέλους το ερώτημα για ένα σημαντικό ποσοστό ακέραιων αριθμών και είναι πρόθυμοι να διερευνήσουν περαιτέρω τις τεχνικές στην απόδειξη. «Είναι ένα από εκείνα τα όμορφα πράγματα: Μπορείτε να εξηγήσετε το αποτέλεσμα πολύ εύκολα, αλλά τα εργαλεία είναι πολύ, πάρα πολύ στην αιχμή της θεωρίας αριθμών», είπε ο Sarnak.
