Συγκρούονται οι πιθανότητες και η θεωρία αριθμών — σε μια στιγμή

Οι φιλοδοξίες τους ήταν πάντα υψηλές. Όταν ο Will Sawin και η Melanie Matchett Wood άρχισαν να συνεργάζονται για πρώτη φορά το καλοκαίρι του 2020, ξεκίνησαν να επανεξετάσουν τα βασικά συστατικά ορισμένων από τις πιο δελεαστικές εικασίες στη θεωρία αριθμών. Τα θέματα της προσοχής τους, οι ομάδες τάξης, σχετίζονται στενά με βασικές ερωτήσεις σχετικά με το πώς λειτουργεί η αριθμητική όταν οι αριθμοί επεκτείνονται πέρα ​​από τους ακέραιους. Sawin, στο Πανεπιστήμιο Κολούμπια και Ξύλο, στο Χάρβαρντ, ήθελε να κάνει προβλέψεις για δομές που είναι ακόμη πιο γενικές και μαθηματικά εκφοβιστικές από την ομάδα της τάξης.

Πριν ακόμη ολοκληρώσουν τη διατύπωση των προβλέψεών τους, τον Οκτώβριο απέδειξαν α νέο αποτέλεσμα που επιτρέπει στους μαθηματικούς να εφαρμόσουν ένα από τα πιο χρήσιμα εργαλεία της θεωρίας πιθανοτήτων όχι μόνο σε ομάδες κλάσεων, αλλά και σε συλλογές αριθμών, δικτύων και πολλών άλλων μαθηματικών αντικειμένων.

«Αυτό θα είναι απλώς το θεμελιώδες χαρτί στο οποίο στρέφονται όλοι όταν αρχίσουν να σκέφτονται αυτά τα προβλήματα», είπε. Ντέιβιντ Ζούρεικ-Μπράουν, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο Emory. «Δεν είναι πια σαν να πρέπει να εφεύρεις πράγματα από το μηδέν».

Μια Ταξική Πράξη

Μια ομάδα τάξης είναι ένα παράδειγμα ενός δομημένου μαθηματικού συνόλου που ονομάζεται ομάδα. Οι ομάδες περιλαμβάνουν πολλά γνωστά σύνολα, όπως τους ακέραιους αριθμούς. Αυτό που κάνει τους ακέραιους αριθμούς μια ομάδα, και όχι απλώς ένα σύνολο αριθμών, είναι ότι μπορείτε να προσθέσετε τα στοιχεία τους μαζί και να πάρετε έναν άλλο ακέραιο. Γενικά, ένα σύνολο είναι μια ομάδα εάν συνοδεύεται από κάποια λειτουργία που, όπως η πρόσθεση, συνδυάζει δύο στοιχεία σε ένα τρίτο στοιχείο με τρόπο που ικανοποιεί ορισμένες βασικές απαιτήσεις. Για παράδειγμα, θα πρέπει να υπάρχει μια έκδοση μηδέν, ένα στοιχείο που δεν αλλάζει κανένα από τα άλλα.

Οι ακέραιοι, τους οποίους οι μαθηματικοί συνήθως αποκαλούν $latex mathbb{Z}$, είναι άπειροι. Αλλά πολλές ομάδες έχουν έναν πεπερασμένο αριθμό στοιχείων. Για παράδειγμα, για να δημιουργήσετε μια ομάδα που έχει τέσσερα στοιχεία, σκεφτείτε το σύνολο {0, 1, 2, 3}. Αντί να κάνετε κανονική πρόσθεση, διαιρέστε το άθροισμα οποιωνδήποτε δύο αριθμών με το 4 και πάρτε το υπόλοιπο. (Σύμφωνα με αυτούς τους κανόνες, 2 + 2 = 0 και 2 + 3 = 1.) Αυτή η ομάδα ονομάζεται $latex mathbb{Z}/4mathbb{Z}$.

Γενικά, αν θέλετε να δημιουργήσετε μια ομάδα με στοιχεία $latex n$, μπορείτε να περάσετε τους αριθμούς από το μηδέν n – 1 και λάβετε υπόψη το υπόλοιπο κατά τη διαίρεση με n. Η ομάδα που προκύπτει ονομάζεται $latex mathbb{Z}/nmathbb{Z}$, αν και αυτή δεν είναι πάντα η μόνη ομάδα με n στοιχεία.

Η ομάδα τάξης εμφανίζεται όταν οι θεωρητικοί αριθμών διερευνούν τη δομή των αριθμών πέρα ​​από τους ακέραιους. Για να γίνει αυτό, προσθέτουν νέους αριθμούς στους ακέραιους αριθμούς, όπως π.χ i (η τετραγωνική ρίζα του −1), $latex sqrt{5}$ ή ακόμα και $latex sqrt{–5}$.

«Τα πράγματα που έχουμε συνηθίσει για τους αριθμούς δεν ισχύουν πλέον σε αυτό το πλαίσιο. Ή τουλάχιστον, δεν είναι απαραίτητα αληθινά», είπε Ιορδανία Έλενμπεργκ, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο του Ουισκόνσιν, Μάντισον.

Συγκεκριμένα, η παραγοντοποίηση λειτουργεί διαφορετικά στις επεκτάσεις των ακεραίων. Εάν επιμείνετε μόνο στους ακέραιους αριθμούς, οι αριθμοί μπορούν να παραγοντοποιηθούν σε πρώτους (αριθμοί που μπορούν να διαιρεθούν μόνο με τον εαυτό τους και 1) με έναν μόνο τρόπο. Για παράδειγμα, το 6 είναι 2 × 3 και δεν μπορεί να συνυπολογιστεί σε άλλους πρώτους αριθμούς. Αυτή η ιδιότητα ονομάζεται μοναδική παραγοντοποίηση.

Αλλά αν προσθέσετε $latex sqrt{–5}$ στο σύστημα αριθμών σας, δεν έχετε πλέον μοναδική παραγοντοποίηση. Μπορείτε να συνυπολογίσετε το 6 σε πρώτους με δύο διαφορετικούς τρόπους. Είναι ακόμα 2 × 3, αλλά είναι επίσης $latex (1 + sqrt{–5})$ × $latex (1 – sqrt{–5})$.

Οι ομάδες κλάσεων δημιουργούνται από τέτοιες επεκτάσεις στους ακέραιους αριθμούς. «Οι ομάδες τάξης είναι απίστευτα σημαντικές», είπε ο Wood. «Και λοιπόν είναι φυσικό να αναρωτιόμαστε: Πώς είναι συνήθως;»

Το μέγεθος της ομάδας κλάσης που σχετίζεται με οποιαδήποτε επέκταση των ακεραίων είναι ένα βαρόμετρο για το πόσο διασπάται η μοναδική παραγοντοποίηση. Αν και οι μαθηματικοί έχουν αποδείξει ότι οι ομάδες τάξεων είναι πάντα πεπερασμένες, το να καταλάβουμε τη δομή και το μέγεθός τους είναι πολύπλοκο. Γι' αυτό το 1984 ο Henri Cohen και ο Henrik Lenstra τόλμησε μερικές εικασίες. Οι εικασίες τους, που τώρα ονομάζονται ευρετικές Cohen-Lenstra, αφορούσαν όλες τις ομάδες τάξης που εμφανίζονται όταν προσθέτετε νέες τετραγωνικές ρίζες στους ακέραιους αριθμούς. Εάν συγκεντρώνονταν όλες αυτές οι ομάδες τάξης, οι Cohen και Lenstra πρότειναν απαντήσεις σε ερωτήσεις όπως: Ποιο ποσοστό από αυτές περιέχουν την ομάδα $latex mathbb{Z}/3mathbb{Z}$; Ή $latex mathbb{Z}/7mathbb{Z}$; Ή κάποιος άλλος γνωστός τύπος πεπερασμένης ομάδας;

Οι Cohen και Lenstra ώθησαν τους θεωρητικούς αριθμών να εξετάσουν όχι μόνο μεμονωμένα παραδείγματα ομάδων τάξης, αλλά στατιστικά στοιχεία που αποτελούν τη βάση των ομάδων τάξης στο σύνολό τους. Οι προβλέψεις τους βασίστηκαν σε ένα όραμα των μαθηματικών ως ένα σύμπαν με μοτίβα που πρέπει να αποκαλυφθούν σε κάθε επίπεδο.

Σχεδόν 40 χρόνια αργότερα, οι ευρετικές αρχές Cohen-Lenstra πιστεύεται ευρέως ότι είναι αληθινές, αν και κανείς δεν έχει πλησιάσει να τις αποδείξει. Ο αντίκτυπός τους στα μαθηματικά ήταν απτός, δήλωσε ο Nigel Boston, ομότιμος καθηγητής στο Πανεπιστήμιο του Wisconsin, Madison. «Αυτό που ανακαλύφθηκε είναι αυτός ο καταπληκτικός ιστός», είπε. «Υπάρχει αυτή η τεράστια υποδομή του τρόπου με τον οποίο πιστεύουμε ότι είναι δομημένος ο κόσμος».

Το μόνο παιχνίδι στην πόλη

Ανίκανοι να αντιμετωπίσουν άμεσα την ευρετική, οι μαθηματικοί βρήκαν πιο λυμένα προβλήματα που ήλπιζαν ότι θα φώτιζαν την κατάσταση. Από αυτή την εργασία, προέκυψε ένα χρήσιμο σύνολο μεγεθών που οι μαθηματικοί άρχισαν να αποκαλούν στιγμές, σύμφωνα με έναν όρο που χρησιμοποιείται στη θεωρία πιθανοτήτων.

Κατά πάσα πιθανότητα, οι στιγμές μπορούν να σας βοηθήσουν να επεξεργαστείτε τις κατανομές πίσω από τυχαίους αριθμούς. Για παράδειγμα, εξετάστε την κατανομή της ημερήσιας υψηλής θερμοκρασίας την 1η Ιανουαρίου στη Νέα Υόρκη — τις πιθανότητες ότι την 1η Ιανουαρίου του επόμενου έτους, θα είναι 10 βαθμοί Φαρενάιτ, ή 40 βαθμοί, ή 70 ή 120. Το μόνο που χρειάζεται να δουλέψετε με δεδομένα παρελθόντος: ιστορικό του ημερήσιου υψηλού την 1η Ιανουαρίου κάθε χρόνο από την αρχή της καταγεγραμμένης ιστορίας.

Αν υπολογίσετε τον μέσο όρο αυτών των θερμοκρασιών, θα μάθετε λίγα, αλλά όχι τα πάντα. Μια μέση υψηλή θερμοκρασία 40 βαθμών δεν σας λέει τις πιθανότητες η θερμοκρασία να είναι πάνω από 50 βαθμούς ή κάτω από 20.

Αλλά αυτό αλλάζει εάν σας δοθούν περισσότερες πληροφορίες. Συγκεκριμένα, μπορείτε να μάθετε τον μέσο όρο του τετραγώνου της θερμοκρασίας, μια ποσότητα που είναι γνωστή ως η δεύτερη στιγμή της κατανομής. (Ο μέσος όρος είναι η πρώτη στιγμή.) Ή μπορείτε να μάθετε τον μέσο όρο των κύβων, ο οποίος είναι γνωστός ως η τρίτη στιγμή, ή ο μέσος όρος των τέταρτων δυνάμεων — η τέταρτη στιγμή.

Μέχρι τη δεκαετία του 1920, οι μαθηματικοί είχαν καταλάβει ότι αν οι στιγμές σε αυτή τη σειρά αυξάνονται αρκετά αργά, τότε η γνώση όλων των στιγμών σάς επιτρέπει να συμπεράνετε ότι μόνο μία πιθανή κατανομή έχει αυτές τις στιγμές. (Αν και αυτό δεν σας επιτρέπει απαραίτητα να υπολογίσετε απευθείας αυτήν την κατανομή.)

"Αυτό είναι πραγματικά αδιανόητο", είπε ο Wood. «Αν σκεφτείτε μια συνεχή διανομή, έχει κάποιο σχήμα. Αισθάνεται κάπως σαν να έχει περισσότερα από όσα μπορεί απλώς να αποτυπωθεί σε μια ακολουθία αριθμών».

Οι μαθηματικοί που ενδιαφέρονται για την ευρετική Cohen-Lenstra ανακάλυψαν ότι, όπως οι στιγμές στη θεωρία πιθανοτήτων θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν για να φτάσουν σε μια κατανομή πιθανοτήτων, οι στιγμές που ορίζονται με συγκεκριμένο τρόπο για τις ομάδες τάξης μπορούν να είναι ένας φακός μέσω του οποίου μπορούμε να δούμε το μέγεθος και τη δομή τους . Ο Jacob Tsimerman, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο του Τορόντο, είπε ότι δεν μπορεί να φανταστεί πώς θα μπορούσε να υπολογιστεί άμεσα η κατανομή των μεγεθών των ομάδων τάξης. Η χρήση των στιγμών, είπε, είναι «περισσότερο από ευκολότερη. Είναι το μόνο παιχνίδι στην πόλη».

Αυτή η μαγική στιγμή

Ενώ κάθε στιγμή της πιθανότητας σχετίζεται με έναν ακέραιο — την τρίτη δύναμη, την τέταρτη δύναμη, και ούτω καθεξής— οι νέες ποσότητες που εισάγονται από τους θεωρητικούς αριθμών αντιστοιχούν το καθένα σε μια ομάδα. Αυτές οι νέες στιγμές εξαρτώνται από το γεγονός ότι συχνά μπορείτε να μειώσετε μια ομάδα σε μια μικρότερη ομάδα συμπτύσσοντας διαφορετικά στοιχεία μαζί.

Για να υπολογίσετε τη στιγμή που σχετίζεται με μια ομάδα G, πάρτε όλες τις πιθανές ομάδες κλάσεων — μία για κάθε νέα τετραγωνική ρίζα που προσθέτετε στους ακέραιους αριθμούς. Για κάθε ομάδα τάξης, μετρήστε τον αριθμό των διαφορετικών τρόπων με τους οποίους μπορείτε να την συμπτύξετε G. Στη συνέχεια, πάρτε τον μέσο όρο αυτών των αριθμών. Αυτή η διαδικασία μπορεί να φαίνεται περίπλοκη, αλλά είναι πολύ πιο εύκολο να δουλέψεις από την πραγματική κατανομή πίσω από τις προβλέψεις των Cohen και Lenstra. Αν και τα ίδια τα ευρετικά Cohen-Lenstra είναι πολύπλοκα να δηλωθούν, οι στιγμές της κατανομής που προβλέπουν είναι όλες 1.

«Αυτό σε κάνει να σκέφτεσαι, ουάου, ίσως οι στιγμές είναι ο φυσικός τρόπος για να το προσεγγίσεις», είπε η Έλενμπεργκ. «Φαίνεται πιο πιστευτό να μπορείς να αποδείξεις ότι κάτι είναι ίσο με 1 παρά να αποδείξεις ότι είναι ίσο με κάποιο τρελό άπειρο γινόμενο».

Όταν οι μαθηματικοί μελετούν κατανομές σε ομάδες, (ομάδες τάξης ή με άλλο τρόπο) καταλήγουν σε μια εξίσωση για κάθε ομάδα G, με τις πιθανότητες να αντιπροσωπεύουν τώρα, ας πούμε, το ποσοστό των ομάδων τάξης που μοιάζουν με $latex mathbb{Z}/3mathbb{Z}$. Με άπειρες πολλές εξισώσεις και άπειρες πιθανές ομάδες τάξης, είναι δύσκολο να λυθούν οι πιθανότητες. Δεν είναι προφανές ότι έχει νόημα να το κάνουμε.

«Όταν έχεις άπειρα ποσά, τα πράγματα μπορεί να πάνε στραβά», είπε ο Γουντ.

Ωστόσο, οι μαθηματικοί, ανίκανοι ακόμα να βρουν άλλους δρόμους για τη μελέτη των κατανομών, συνέχισαν να επιστρέφουν στο πρόβλημα της στιγμής. Σε εργασία που δημοσιεύτηκε στο Χρονικά των Μαθηματικών το 2016, η Ellenberg, μαζί με τους Akshay Venkatesh και Craig Westerland, χρησιμοποιημένες στιγμές να μελετήσει τα στατιστικά στοιχεία των ομάδων τάξης σε ένα ελαφρώς διαφορετικό περιβάλλον από αυτό που είχαν σκεφτεί οι Cohen και Lenstra. Αυτή η ιδέα ήταν επαναχρησιμοποιηθούν διάφοροι φορές. Αλλά κάθε φορά που οι ερευνητές χρησιμοποιούσαν τις στιγμές, στηρίζονταν στις ιδιορρυθμίες του συγκεκριμένου προβλήματός τους για να αποδείξουν ότι το άπειρο σύνολο των εξισώσεων είχε μια λύση. Αυτό σήμαινε ότι οι τεχνικές τους δεν ήταν μεταβιβάσιμες. Ο επόμενος μαθηματικός που χρειαζόταν να χρησιμοποιήσει στιγμές θα έπρεπε να λύσει ξανά το πρόβλημα της στιγμής.

Στην αρχή της συνεργασίας τους, ο Sawin και ο Wood σχεδίαζαν επίσης να ακολουθήσουν αυτή τη διαδρομή. Θα χρησιμοποιούσαν στιγμές για να κάνουν προβλέψεις σχετικά με το πώς διανέμονταν πιο περίπλοκες εκδόσεις ομάδων τάξης. Αλλά περίπου ένα χρόνο μετά το έργο τους, έστρεψαν την εστίασή τους στο ίδιο το πρόβλημα της στιγμής.

Παραγκωνισμένος

Οι συνάδελφοι περιγράφουν τον Sawin και τον Wood ως ασυνήθιστα παθιασμένους με τη δουλειά τους. «Είναι και οι δύο πολύ έξυπνοι. Αλλά υπάρχουν πολλοί έξυπνοι άνθρωποι», είπε ο Zureick-Brown. «Έχουν αυτή τη θετική στάση απέναντι στο να κάνουν μαθηματικά».

Αρχικά, ο Sawin και ο Wood ήθελαν να χρησιμοποιήσουν στιγμές για να διευρύνουν τις προβλέψεις Cohen-Lenstra σε νέες ρυθμίσεις. Σύντομα όμως έμειναν δυσαρεστημένοι με την επιχειρηματολογία τους για το στιγμιαίο πρόβλημα. «Είχαμε την ανάγκη να γράφουμε παρόμοια επιχειρήματα επανειλημμένα», θυμάται ο Sawin. Επιπλέον, πρόσθεσε, η μαθηματική γλώσσα που χρησιμοποιούσαν «δεν φαινόταν να βρίσκεται στο επίκεντρο αυτού που έκανε το επιχείρημα… Οι ιδέες ήταν εκεί, αλλά απλώς δεν είχαμε βρει τον σωστό τρόπο να τις εκφράσουμε».

Ο Sawin και ο Wood έσκαψαν βαθύτερα την απόδειξή τους, προσπαθώντας να καταλάβουν τι ήταν πραγματικά κάτω από όλα αυτά. Κατέληξαν σε μια απόδειξη που έλυνε το πρόβλημα της στιγμής όχι μόνο για τη συγκεκριμένη εφαρμογή τους, αλλά για οποιαδήποτε κατανομή ομάδων — και για κάθε είδους άλλες μαθηματικές δομές.

Χωρίζουν το πρόβλημα σε μικρά, διαχειρίσιμα βήματα. Αντί να προσπαθήσουν να λύσουν ολόκληρη την κατανομή πιθανοτήτων με μία κίνηση, εστίασαν μόνο σε ένα μικρό κομμάτι των στιγμών.

Για παράδειγμα, για να λυθεί το πρόβλημα της στιγμής για μια κατανομή πιθανότητας σε ομάδες, κάθε στιγμή θα συσχετιστεί με μια ομάδα G. Στην αρχή, ο Sawin και ο Wood θα εξέταζαν ένα σύστημα εξισώσεων που περιλάμβανε μόνο τις στιγμές για μια περιορισμένη λίστα ομάδων. Στη συνέχεια, πρόσθεταν σιγά σιγά ομάδες στη λίστα, κοιτάζοντας όλο και περισσότερες στιγμές κάθε φορά. Κάνοντας σταδιακά το πρόβλημα πιο περίπλοκο, έκαναν κάθε βήμα σε ένα επιλύσιμο πρόβλημα. Σιγά σιγά, έφτιαξαν μια πλήρη λύση του προβλήματος της στιγμής.

«Αυτή η σταθερή λίστα μοιάζει με τα γυαλιά που φοράτε και όσο περισσότερες ομάδες είστε διατεθειμένοι να εξετάσετε, τόσο καλύτερα είναι τα γυαλιά σας», εξήγησε ο Wood.

Όταν τελικά ξεσκόνισαν και τις τελευταίες εξωγενείς λεπτομέρειες, βρέθηκαν με ένα επιχείρημα του οποίου οι έλικες έφτασαν στα μαθηματικά. Το αποτέλεσμά τους λειτούργησε για ομάδες τάξης, για ομάδες που σχετίζονται με γεωμετρικά σχήματα, για δίκτυα κουκκίδων και γραμμών, καθώς και για άλλα σύνολα με μεγαλύτερη μαθηματική πολυπλοκότητα. Σε όλες αυτές τις περιπτώσεις, οι Sawin και Wood βρήκαν μια φόρμουλα που παίρνει ένα σύνολο στιγμών και φτύνει τη διανομή που έχει αυτές τις στιγμές (εφόσον οι στιγμές δεν μεγαλώνουν πολύ γρήγορα, μεταξύ άλλων απαιτήσεων).

«Είναι πολύ στο στυλ της Melanie», είπε η Ellenberg. «Για να πούμε, «Ας αποδείξουμε ένα πολύ γενικό θεώρημα που χειρίζεται πολλές διαφορετικές περιπτώσεις με ομοιόμορφο και κομψό τρόπο».

Ο Sawin και ο Wood επιστρέφουν στον αρχικό τους στόχο. Στις αρχές Ιανουαρίου μοιράστηκαν ένα νέο έγγραφο που διορθώνει λανθασμένες προβλέψεις Cohen-Lenstra που έγινε στα τέλη της δεκαετίας του 1980 από τον Κοέν και τον συνάδελφό του Ζακ Μαρτινέ. Από εκεί και πέρα, έχουν ακόμα περισσότερα αποτελέσματα στην ουρά τους, με σχέδια να επεκτείνουν τα ευρετικά σε ακόμα περισσότερες νέες καταστάσεις. «Δεν ξέρω αν αυτό το έργο θα τελειώσει ποτέ», είπε ο Sawin.

Το πρόβλημα της στιγμής που έλυσαν οι Sawin και Wood ήταν «κάπως ένα αγκάθι στο πίσω μέρος του κεφαλιού σας για πολλές διαφορετικές ερωτήσεις», είπε ο Tsimerman. «Νομίζω ότι πολλοί μαθηματικοί θα αναπνεύσουν ανακούφιση».