Κβαντικός αλγόριθμος Goemans-Williamson με τη δοκιμή Hadamard και τους κατά προσέγγιση περιορισμούς πλάτους

Κβαντικός αλγόριθμος Goemans-Williamson με τη δοκιμή Hadamard και τους κατά προσέγγιση περιορισμούς πλάτους

Χρονική σήμανση: 12 Ιουλίου 2023 8:29 π.μ.

Taylor L. Patti1,2, Jean Kossaifi2, Anima Anandkumar3,2και Susanne F. Yelin1

1Τμήμα Φυσικής, Πανεπιστήμιο Χάρβαρντ, Κέιμπριτζ, Μασαχουσέτη 02138, ΗΠΑ
2NVIDIA, Santa Clara, California 95051, Η.Π.Α
3Department of Computing + Mathematical Sciences (CMS), California Institute of Technology (Caltech), Pasadena, CA 91125 USA

Βρείτε αυτό το άρθρο ενδιαφέρουσα ή θέλετε να συζητήσετε; Scite ή αφήστε ένα σχόλιο για το SciRate.

Περίληψη

Τα ημικαθορισμένα προγράμματα είναι μέθοδοι βελτιστοποίησης με ένα ευρύ φάσμα εφαρμογών, όπως η προσέγγιση δύσκολων συνδυαστικών προβλημάτων. Ένα τέτοιο ημικαθορισμένο πρόγραμμα είναι ο αλγόριθμος Goemans-Williamson, μια δημοφιλής τεχνική χαλάρωσης ακεραίων. Εισάγουμε έναν μεταβλητό κβαντικό αλγόριθμο για τον αλγόριθμο Goemans-Williamson που χρησιμοποιεί μόνο $n{+}1$ qubits, έναν σταθερό αριθμό προετοιμασιών κυκλώματος και $text{poly}(n)$ τιμές προσδοκίας για την κατά προσέγγιση επίλυση ημικαθορισμένων προγραμμάτων με έως και $N=2^n$ μεταβλητές και $M sim O(N)$ περιορισμούς. Η αποτελεσματική βελτιστοποίηση επιτυγχάνεται με την κωδικοποίηση του αντικειμενικού πίνακα ως μια σωστά παραμετροποιημένη μονάδα που εξαρτάται από ένα βοηθητικό qubit, μια τεχνική γνωστή ως δοκιμή Hadamard. Η δοκιμή Hadamard μας δίνει τη δυνατότητα να βελτιστοποιήσουμε την αντικειμενική συνάρτηση υπολογίζοντας μόνο μια μεμονωμένη τιμή προσδοκίας του ancilla qubit, αντί να υπολογίζουμε χωριστά εκθετικά πολλές τιμές προσδοκίας. Παρομοίως, διευκρινίζουμε ότι οι περιορισμοί ημικαθορισμένου προγραμματισμού μπορούν να επιβληθούν αποτελεσματικά με την εφαρμογή μιας δεύτερης δοκιμής Hadamard, καθώς και με την επιβολή ενός πολυωνυμικού αριθμού περιορισμών πλάτους συμβολοσειράς Pauli. Αποδεικνύουμε την αποτελεσματικότητα του πρωτοκόλλου μας επινοώντας μια αποτελεσματική κβαντική υλοποίηση του αλγορίθμου Goemans-Williamson για διάφορα προβλήματα NP-hard, συμπεριλαμβανομένου του MaxCut. Η μέθοδός μας υπερβαίνει την απόδοση ανάλογων κλασικών μεθόδων σε ένα ποικίλο υποσύνολο καλά μελετημένων προβλημάτων MaxCut από τη βιβλιοθήκη GSet.

Κβαντικός αλγόριθμος Goemans-Williamson με τη δοκιμή Hadamard και τους περιορισμούς κατά προσέγγιση πλάτους PlatoBlockchain Data Intelligence. Κάθετη αναζήτηση. Ολα συμπεριλαμβάνονται.

Επιλεγμένη εικόνα: Διάγραμμα HTAAC-QSDP για τον αλγόριθμο Goemans-Williamson με $n=3$ μη βοηθητικά qubits. α) Ένα κλασικό πρόβλημα μεταβλητών $N$ (εδώ ένα πρόβλημα MaxCut $N$-vertex όπου $N=8$). Ο πίνακας βάρους $W$ χρησιμοποιείται για τη δημιουργία του ενιαίου $U_W$. β) Η δοκιμή Hadamard χρησιμοποιείται για την αποτελεσματική αξιολόγηση της αντικειμενικής συνάρτησης και των περιορισμών εξισορρόπησης πληθυσμού. Η κατάσταση $n$-qubit $|psirangle = U_V|mathbf{0}rangle$ προετοιμάζεται με ένα μεταβλητό κβαντικό κύκλωμα $U_V$. Το $n+1$th (βοηθητικό) qubit αρχικοποιείται ως $(|0rangle -i |1rangle)/sqrt{2}$. Στη συνέχεια, πραγματοποιείται η δοκιμή Hadamard: Το $U_W$ υλοποιείται ως ελεγχόμενη μονάδα που εξαρτάται από το βοηθητικό qubit, το οποίο στη συνέχεια μετράται για τον υπολογισμό του $langle sigma_{n+1} rangle_{W,t} = text{Im}[langle psi|U_W|psi rangle]$_{single_text ={1} |U_P|περιοχή psi]$. γ) Οι περιορισμοί των περιορισμών πλάτους $M=2^n$ SDP επιβάλλονται κατά προσέγγιση μόνο με περιορισμούς συμβολοσειράς $m sim{poly}(n)$ Pauli. Αυτά υπολογίζονται συλλέγοντας $n$-qubit μετρήσεις Pauli-$z$ και χρησιμοποιώντας οριακά στατιστικά στοιχεία για την εκτίμηση των τιμών προσδοκίας $m$.

Δημοφιλή περίληψη

Τα ημικαθορισμένα προγράμματα μας επιτρέπουν να προσεγγίσουμε ένα ευρύ φάσμα σκληρών προβλημάτων, συμπεριλαμβανομένων προβλημάτων NP-hard. Ένα τέτοιο ημικαθορισμένο πρόγραμμα είναι ο αλγόριθμος Goemans-Williamson, ο οποίος μπορεί να λύσει δύσκολα προβλήματα, όπως το MaxCut. Εισάγουμε έναν μεταβλητό κβαντικό αλγόριθμο για τον αλγόριθμο Goemans-Williamson που χρησιμοποιεί μόνο $n{+}1$ qubits, έναν σταθερό αριθμό προετοιμασιών κυκλώματος και έναν πολυωνυμικό αριθμό τιμών προσδοκίας για να λύσει κατά προσέγγιση ημικαθορισμένα προγράμματα με εκθετικό αριθμό μεταβλητών και περιορισμών. Κωδικοποιούμε το πρόβλημα σε ένα κβαντικό κύκλωμα (ή ενιαίο) και το διαβάζουμε σε ένα μόνο βοηθητικό qubit, μια τεχνική γνωστή ως δοκιμή Hadamard. Ομοίως, διευκρινίζουμε ότι οι περιορισμοί του προβλήματος μπορούν να επιβληθούν με 1) μια δεύτερη δοκιμή Hadamard και 2) έναν πολυωνυμικό αριθμό περιορισμών συμβολοσειράς Pauli. Αποδεικνύουμε την αποτελεσματικότητα του πρωτοκόλλου μας επινοώντας μια αποτελεσματική κβαντική υλοποίηση του αλγορίθμου Goemans-Williamson για διάφορα προβλήματα NP-hard, συμπεριλαμβανομένου του MaxCut. Η μέθοδός μας υπερβαίνει την απόδοση ανάλογων κλασικών μεθόδων σε ένα ποικίλο υποσύνολο καλά μελετημένων προβλημάτων MaxCut.

► Δεδομένα BibTeX

► Αναφορές

[1] Stephen P. Boyd και Lieven Vandenberghe. "Κυρτή βελτιστοποίηση". Cambridge Press. (2004).
https: / / doi.org/ 10.1017 / CBO9780511804441

[2] Michel X. Goemans. «Ημικαθορισμένος προγραμματισμός στη συνδυαστική βελτιστοποίηση». Mathematical Programming 79, 143–161 (1997).
https: / / doi.org/ 10.1007 / BF02614315

[3] Lieven Vandenberghe και Stephen Boyd. «Εφαρμογές ημικαθορισμένου προγραμματισμού». Applied Numerical Mathematics 29, 283–299 (1999).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​S0168-9274(98)00098-1

[4] Wenjun Li, Yang Ding, Yongjie Yang, R. Simon Sherratt, Jong Hyuk Park και Jin Wang. «Παραμετροποιημένοι αλγόριθμοι θεμελιωδών προβλημάτων np-σκληρού: μια έρευνα». Ανθρωποκεντρικές Επιστήμες Υπολογιστών και Πληροφοριών 10, 29 (2020).
https: / / doi.org/ 10.1186 / s13673-020-00226-w

[5] Κρίστοφ Χέλμπεργκ. «Ημικαθορισμένος προγραμματισμός για συνδυαστική βελτιστοποίηση». Konrad-Zuse-Zentrum γούνα Informationstechnik Berlin. (2000).
https: / / doi.org/ 10.1007 / BF02614315

[6] Michel X. Goemans και David P. Williamson. «Βελτιωμένοι αλγόριθμοι προσέγγισης για προβλήματα μέγιστης κοπής και ικανοποίησης με χρήση ημικαθορισμένου προγραμματισμού». J. ACM 42, 1115-1145 (1995).
https: / / doi.org/ 10.1145 / 227683.227684

[7] Florian A. Potra και Stephen J. Wright. «Μέθοδοι εσωτερικού σημείου». Journal of Computational and Applied Mathematics 124, 281–302 (2000).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​S0377-0427(00)00433-7

[8] Haotian Jiang, Tarun Kathuria, Yin Tat Lee, Swati Padmanabhan και Zhao Song. «Μια ταχύτερη μέθοδος εσωτερικού σημείου για ημικαθορισμένο προγραμματισμό». Το 2020 IEEE 61ο ετήσιο συμπόσιο για τα θεμέλια της επιστήμης των υπολογιστών (FOCS). Σελίδες 910–918. IEEE (2020).
https: / / doi.org/ 10.1109 / FOCS46700.2020.00089

[9] Baihe Huang, Shunhua Jiang, Zhao Song, Runzhou Tao και Ruizhe Zhang. «Ταχύτερη επίλυση του sdp: Ένα ισχυρό πλαίσιο ipm και αποτελεσματική εφαρμογή». Το 2022 IEEE 63rd Annual Symposium on Foundations of Computer Science (FOCS). Σελίδες 233–244. IEEE (2022).
https: / / doi.org/ 10.1109 / FOCS54457.2022.00029

[10] David P. Williamson και David B. Shmoys. «Ο σχεδιασμός των αλγορίθμων προσέγγισης». Cambridge University Press. (2011).
https: / / doi.org/ 10.1017 / CBO9780511921735

[11] Nikolaj Moll, Παναγιώτης Μπαρκούτσος, Lev S Bishop, Jerry M Chow, Andrew Cross, Daniel J Egger, Stefan Filipp, Andreas Fuhrer, Jay M Gambetta, Marc Ganzhorn, κ.ά. «Κβαντική βελτιστοποίηση με χρήση μεταβλητών αλγορίθμων σε βραχυπρόθεσμες κβαντικές συσκευές». Quantum Science and Technology 3, 030503 (2018).
https: / / doi.org/ 10.1088 / 2058-9565 / aab822

[12] Edward Farhi, Jeffrey Goldstone, Sam Gutmann και Michael Sipser. «Κβαντικός υπολογισμός με αδιαβατική εξέλιξη» (2000). arXiv:quant-ph/​0001106.
arXiv: quant-ph / 0001106

[13] Tameem Albash και Daniel A. Lidar. «Αδιαβατικός κβαντικός υπολογισμός». Rev. Mod. Phys. 90, 015002 (2018).
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.90.015002

[14] Sepehr Ebadi, Alexander Keesling, Madelyn Cain, Tout T Wang, Harry Levine, Dolev Bluvstein, Giulia Semeghini, Ahmed Omran, JG Liu, Rhine Samajdar, κ.ά. «Κβαντική βελτιστοποίηση μέγιστου ανεξάρτητου συνόλου με χρήση συστοιχιών ατόμων rydberg». Science 376, 1209–1215 (2022).
https://doi.org/​10.1126/​science.abo6587

[15] Tadashi Kadowaki και Hidetoshi Nishimori. «Κβαντική ανόπτηση στο εγκάρσιο μοντέλο». Phys. Rev. Ε 58, 5355-5363 (1998).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevE.58.5355

[16] Ελίζαμπεθ Γκίμπνεϊ. «Αναβάθμιση κύματος D: Πώς οι επιστήμονες χρησιμοποιούν τον πιο αμφιλεγόμενο κβαντικό υπολογιστή στον κόσμο». Nature 541 (2017).
https://doi.org/​10.1038/​541447b

[17] Edward Farhi, Jeffrey Goldstone και Sam Gutmann. "Ένας κβαντικός αλγόριθμος βελτιστοποίησης κατά προσέγγιση". arXiv (2014). arXiv:1411.4028.
https://doi.org/​10.48550/​arXiv.1411.4028
arXiv: 1411.4028

[18] Juan M Arrazola, Ville Bergholm, Kamil Brádler, Thomas R Bromley, Matt J Collins, Ish Dhand, Alberto Fumagalli, Thomas Gerrits, Andrey Goussev, Lukas G Helt, et al. «Κβαντικά κυκλώματα με πολλά φωτόνια σε ένα προγραμματιζόμενο νανοφωτονικό τσιπ». Nature 591, 54–60 (2021).
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s41586-021-03202-1

[19] Fernando GSL Brandão, Amir Kalev, Tongyang Li, Cedric Yen-Yu Lin, Krysta M. Svore και Xiaodi Wu. «Quantum SDP Solvers: Large Speed-Ups, Optimality, and Applications to Quantum Learning». 46th International Colloquium on Automata, Languages, and Programming (ICALP 2019) 132, 27:1–27:14 (2019).
https: / / doi.org/ 10.4230 / LIPIcs.ICALP.2019.27

[20] Joran Van Apeldoorn και András Gilyén. «Βελτιώσεις στην κβαντική επίλυση sdp με εφαρμογές». In Proceedings of the 46th International Colloquium on Automata, Languages, and Programming (2019).
https://doi.org/ 10.4230/LIPICS.ICALP.2019.99

[21] Joran van Apeldoorn, Andràs Gilyèn, Sander Gribling και Ronald de Wolf. "Κβαντικοί επιλύτες sdp: Καλύτερα άνω και κάτω όρια". Quantum 4, 230 (2020).
https:/​/​doi.org/​10.22331/​q-2020-02-14-230

[22] Fernando GSL Brandão και Krysta M. Svore. «Κβαντικές επιταχύνσεις για την επίλυση ημικαθοριστικών προγραμμάτων». Το 2017 IEEE 58th Annual Symposium on Foundations of Computer Science (FOCS). Σελίδες 415–426. (2017).
https: / / doi.org/ 10.1109 / FOCS.2017.45

[23] Fernando GS L. Brandão, Richard Kueng και Daniel Stilck França. «Ταχύτερες κβαντικές και κλασικές προσεγγίσεις SDP για τετραγωνική δυαδική βελτιστοποίηση». Quantum 6, 625 (2022).
https:/​/​doi.org/​10.22331/​q-2022-01-20-625

[24] Dhrumil Patel, Patrick J. Coles και Mark M. Wilde. «Μεταβλητοί κβαντικοί αλγόριθμοι για ημικαθορισμένο προγραμματισμό» (2021). arXiv:2112.08859.
arXiv: 2112.08859

[25] Anirban N. Chowdhury, Guang Hao Low και Nathan Wiebe. "Ένας μεταβλητός κβαντικός αλγόριθμος για την προετοιμασία κβαντικών καταστάσεων gibbs" (2020). arXiv:2002.00055.
arXiv: 2002.00055

[26] Taylor L Patti, Omar Shehab, Khadijeh Najafi και Susanne F Yelin. «Βελτιωμένοι μεταβλητοί κβαντικοί αλγόριθμοι της αλυσίδας Markov Monte Carlo». Quantum Science and Technology 8, 015019 (2022).
https://doi.org/​10.1088/​2058-9565/​aca821

[27] Youle Wang, Guangxi Li και Xin Wang. «Παρασκευή μεταβλητής κβαντικής κατάστασης gibbs με μια περικομμένη σειρά taylor». Εφαρμογή φυσικής αναθεώρησης 16, 054035 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevApplied.16.054035

[28] Sanjeev Arora, Elad Hazan και Satyen Kale. «Η μέθοδος ενημέρωσης πολλαπλασιαστικών βαρών: Ένας μετα-αλγόριθμος και εφαρμογές». Theory of Computing 8, 121–164 (2012).
https: / / doi.org/ 10.4086 / toc.2012.v008a006

[29] Ιορδάνης Κερενίδης και Anupam Prakash. «Μια μέθοδος κβαντικού εσωτερικού σημείου για lps και sdps». ACM Transactions on Quantum Computing 1 (2020).
https: / / doi.org/ 10.1145 / 3406306

[30] Brandon Augustino, Giacomo Nannicini, Tamás Terlaky και Luis F. Zuluaga. «Μέθοδοι κβαντικού εσωτερικού σημείου για ημικαθορισμένη βελτιστοποίηση» (2022). arXiv:2112.06025.
arXiv: 2112.06025

[31] M. Cerezo, Andrew Arrasmith, Ryan Babbush, Simon C. Benjamin, Suguru Endo, Keisuke Fujii, Jarrod R. McClean, Kosuke Mitarai, Xiao Yuan, Lukasz Cincio και Patrick J. Coles. «Μεταβλητοί κβαντικοί αλγόριθμοι». Nature Reviews Physics 3, 625–644 (2021).
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s42254-021-00348-9

[32] Kishor Bharti, Tobias Haug, Vlatko Vedral και Leong-Chuan Kwek. «Θορυβώδης κβαντικός αλγόριθμος μέσης κλίμακας για ημικαθορισμένο προγραμματισμό». Phys. Αναθ. Α 105, 052445 (2022).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.105.052445

[33] Lennart Bittel και Martin Kliesch. «Η εκπαίδευση σε μεταβλητούς κβαντικούς αλγόριθμους είναι np-hard». Phys. Αναθ. Lett. 127, 120502 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.127.120502

[34] Jarrod R. McClean, Sergio Boixo, Vadim N. Smelyanskiy, Ryan Babbush και Hartmut Neven. «Άγονα οροπέδια σε τοπία εκπαίδευσης κβαντικών νευρωνικών δικτύων». Nature Communications 9, 4812 (2018).
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s41467-018-07090-4

[35] Carlos Ortiz Marrero, Mária Kieferová και Nathan Wiebe. «Άγονα οροπέδια που προκαλούνται από εμπλοκή». PRX Quantum 2, 040316 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PRXQuantum.2.040316

[36] Taylor L. Patti, Khadijeh Najafi, Xun Gao και Susanne F. Yelin. «Η διαπλοκή επινόησε τον μετριασμό άγονου οροπεδίου». Phys. Rev. Res. 3, 033090 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevResearch.3.033090

[37] Arthur Pesah, M. Cerezo, Samson Wang, Tyler Volkoff, Andrew T. Sornborger και Patrick J. Coles. «Απουσία άγονων οροπέδων σε κβαντικά συνελικτικά νευρωνικά δίκτυα». Phys. Απ. Χ 11, 041011 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevX.11.041011

[38] Dorit Aharonov, Vaughan Jones και Zeph Landau. «Ένας πολυωνυμικός κβαντικός αλγόριθμος για την προσέγγιση του πολυωνύμου jones». Algorithmica 55, 395–421 (2009).
https:/​/​doi.org/​10.1007/​s00453-008-9168-0

[39] Clayton W. Commander. «Πρόβλημα μέγιστου κοψίματος, πρόβλημα μέγιστου περικοπής, μέγιστο περικοπής». Σελίδες 1991–1999. Springer US. Boston, MA (2009).
https:/​/​doi.org/​10.1007/​978-0-387-74759-0_358

[40] Steven J. Benson, Yinyu Yeb και Xiong Zhang. «Μικτός γραμμικός και ημικαθορισμένος προγραμματισμός για συνδυαστική και τετραγωνική βελτιστοποίηση». Optimization Methods and Software 11, 515–544 (1999).
https: / / doi.org/ 10.1080 / 10556789908805761

[41] Changhui Choi και Yinyu Ye. «Επίλυση αραιών ημικαθοριστικών προγραμμάτων χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο διπλής κλίμακας με επαναληπτικό λύτη». Manuscript, Department of Management Sciences, University of Iowa, Iowa City, IA 52242 (2000). url: web.stanford.edu/​ yyye/​yyye/​cgsdp1.pdf.
https://web.stanford.edu/​~yyye/​yyye/​cgsdp1.pdf

[42] Angelika Wiegele. "Biq mac Library – μια συλλογή από max-cut και τετραγωνικά στιγμιότυπα προγραμματισμού 0-1 μεσαίου μεγέθους". Alpen-Adria-Universität Klagenfurt (2007). url: biqmac.aau.at/​biqmaclib.pdf.
https://biqmac.aau.at/​biqmaclib.pdf

[43] Stefan H. Schmieta. «Η βιβλιοθήκη dimacs μικτών ημικαθοριστικών-τετραγωνικών-γραμμικών προγραμμάτων». 7η Πρόκληση Εφαρμογής DIMACS (2007). url: http://archive.dimacs.rutgers.edu.
http://archive.dimacs.rutgers.edu

[44] Yoshiki Matsuda. «Συγκριτική αξιολόγηση του προβλήματος μέγιστης περικοπής στην προσομοιωμένη μηχανή διχοτόμησης». Μεσαίο (2019). url: medium.com/​toshiba-sbm/​benchmarking-the-max-cut-problem-on-the-simulated-bifurcation-machine-e26e1127c0b0.
https:/​/​medium.com/​toshiba-sbm/​benchmarking-the-max-cut-problem-on-the-simulated-bifurcation-machine-e26e1127c0b0

[45] RM Karp. «Αναγωγιμότητα μεταξύ συνδυαστικών προβλημάτων». Springer US. Boston, MA (1972).

[46] Δημήτρης Π Μπερτσέκας. «Περιορισμένη βελτιστοποίηση και μέθοδοι πολλαπλασιαστή lagrange». Ακαδημαϊκός Τύπος. (1982).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​C2013-0-10366-2

[47] G Mauro D'Ariano, Matteo GA Paris και Massimiliano F Sacchi. «Κβαντική τομογραφία». Προόδους στην απεικόνιση και τη φυσική των ηλεκτρονίων 128, 206–309 (2003).
https://doi.org/​10.48550/​arXiv.quant-ph/​0302028
arXiv: quant-ph / 0302028

[48] Alessandro Bisio, Giulio Chiribella, Giacomo Mauro D'Ariano, Stefano Facchini και Paolo Perinotti. «Βέλτιστη κβαντική τομογραφία». IEEE Journal of Selected Topics in Quantum Electronics 15, 1646–1660 (2009).
https: / / doi.org/ 10.1109 / JSTQE.2009.2029243

[49] Max S. Kaznady και Daniel FV James. «Αριθμητικές στρατηγικές για την κβαντική τομογραφία: Εναλλακτικές στην πλήρη βελτιστοποίηση». Phys. Αναθ. Α 79, 022109 (2009).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.79.022109

[50] Χαβιέρ Πένια. «Σύγκλιση μεθόδων πρώτης τάξης μέσω του κυρτού συζυγούς». Operations Research Letters 45, 561–564 (2017).
https: / / doi.org/ 10.1016 / j.orl.2017.08.013

[51] Alan Frieze και Mark Jerrum. «Βελτιωμένοι αλγόριθμοι προσέγγισης για maxk-cut και max disection». Algorithmica 18, 67–81 (1997).
https: / / doi.org/ 10.1007 / BF02523688

[52] Κλαρκ Ντέιβιντ Τόμσον. «Μια θεωρία πολυπλοκότητας για το vlsi». Διδακτορική διατριβή. Πανεπιστήμιο Κάρνεγκυ Μέλλον. (1980). url: dl.acm.org/​doi/​10.5555/​909758.
https: / / dl.acm.org/ doi / 10.5555 / 909758

[53] Chu Min Li και Felip Manya. «Maxsat, σκληροί και μαλακοί περιορισμοί». Στο Εγχειρίδιο ικανοποίησης. Σελίδες 903–927. IOS Press (2021).
https:/​/​doi.org/​10.3233/​978-1-58603-929-5-613

[54] Nicholas J Higham. "Υπολογισμός του πλησιέστερου πίνακα συσχέτισης - ένα πρόβλημα από τα οικονομικά". IMA journal of Numerical Analysis 22, 329–343 (2002).
https://doi.org/​10.1093/​imanum/​22.3.329

[55] Tadayoshi Fushiki. «Εκτίμηση θετικών ημικαθοριστικών πινάκων συσχέτισης με χρήση κυρτού τετραγωνικού ημιορισμένου προγραμματισμού». Neural Computation 21, 2028–2048 (2009).
https://doi.org/​10.1162/​neco.2009.04-08-765

[56] Todd MJ. «Μια μελέτη των κατευθύνσεων αναζήτησης σε μεθόδους αρχέγονου-διπλού εσωτερικού σημείου για ημικαθορισμένο προγραμματισμό». Μέθοδοι βελτιστοποίησης και λογισμικό 11, 1–46 (1999).
https: / / doi.org/ 10.1080 / 10556789908805745

[57] Ρότζερ Φλέτσερ. «Λειτουργίες ποινής». Mathematical Programming The State of the Art: Bonn 1982Σελίδες 87–114 (1983).
https:/​/​doi.org/​10.1007/​978-3-642-68874-4_5

[58] Robert M Freund. «Μέθοδοι ποινής και φραγμού για περιορισμένη βελτιστοποίηση». Σημειώσεις Διαλέξεων, Ινστιτούτο Τεχνολογίας της Μασαχουσέτης (2004). url: ocw.mit.edu/​courses/​15-084j-nonlinear-programming-spring-2004.
https://ocw.mit.edu/​courses/​15-084j-nonlinear-programming-spring-2004

[59] Eric Ricardo Anschuetz. «Κρίσιμα σημεία σε κβαντικά παραγωγικά μοντέλα». Σε Διεθνές Συνέδριο Μαθησιακών Αναπαραστάσεων. (2022). url: openreview.net/​forum?id=2f1z55GVQN.
https://​/​openreview.net/​forum?id=2f1z55GVQN

[60] Αμίρ Μπεκ. «Μέθοδοι πρώτης τάξης στη βελτιστοποίηση». ΣΙΑΜ. (2017).
https: / / doi.org/ 10.1137 / 1.9781611974997

[61] Sanjeev Arora και Satyen Kale. «Μια συνδυαστική, αρχέγονη-διπλή προσέγγιση σε ημικαθορισμένα προγράμματα». J. ACM 63 (2016).
https: / / doi.org/ 10.1145 / 2837020

[62] Taylor L. Patti, Jean Kossaifi, Susanne F. Yelin και Anima Anandkumar. "Tensorly-quantum: Κβαντική μηχανική μάθηση με μεθόδους τανυστήρα" (2021). arXiv:2112.10239.
arXiv: 2112.10239

[63] Jean Kossaifi, Γιάννης Παναγάκης, Anima Anandkumar και Maja Pantic. "Tensorly: Tensor Learning in python". Journal of Machine Learning Research 20, 1–6 (2019). url: http://jmlr.org/​papers/​v20/​18-277.html.
http://​jmlr.org/​papers/​v20/​18-277.html

[64] cuQuantum Team. "Nvidia/​cuquantum: cuquantum v22.11" (2022).

[65] Diederik P. Kingma και Jimmy Ba. «Adam: A μέθοδος για στοχαστική βελτιστοποίηση» (2017). arXiv:1412.6980.
arXiv: 1412.6980

[66] Μπραχίμ Τσαουράρ. «Ένας γραμμικός αλγόριθμος χρόνου για μια παραλλαγή του προβλήματος μέγιστης περικοπής σε παράλληλες γραφικές παραστάσεις». Advances in Operations Research (2017).
https: / / doi.org/ 10.1155 / 2017/1267108

[67] Γιούρι Μακαρίτσεφ. «Μια σύντομη απόδειξη του κριτηρίου επιπεδότητας γραφήματος του Kuratowski». Journal of Graph Theory 25, 129–131 (1997).
<a href="https://doi.org/10.1002/(SICI)1097-0118(199706)25:23.0.CO;2-O”>https:/​/​doi.org/​10.1002/​(SICI)1097-0118(199706)25:2<129::AID-JGT4>3.0.CO;2-O

[68] Μπέλα Μπολόμπας. "Η εξέλιξη των τυχαίων γραφημάτων - η γιγάντια συνιστώσα". Σελίδα 130–159. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press. (2001). 2 έκδοση.
https: / / doi.org/ 10.1017 / CBO9780511814068.008

[69] Sanjeev Arora, David Karger και Marek Karpinski. «Σχήματα πολυωνυμικής προσέγγισης χρόνου για πυκνές περιπτώσεις προβλημάτων np-σκληρού». Journal of computer and system Sciences 58, 193–210 (1999).
https: / / doi.org/ 10.1006 / jcss.1998.1605

[70] Ρικ Ντάρετ. «Τυχαία γραφήματα Erdös–rényi». Σελίδα 27–69. Σειρά Cambridge στα Στατιστικά και Πιθανοτικά Μαθηματικά. Cambridge University Press. (2006).
https: / / doi.org/ 10.1017 / CBO9780511546594.003

[71] Gary Chartrand και Ping Zhang. «Θεωρία χρωματικών γραφημάτων». Τέιλορ και Φράνσις. (2008).
https: / / doi.org/ 10.1201 / 9781584888017

[72] Τζον βαν ντε Βέτερινγκ. "Zx-λογισμός για τον εργαζόμενο κβαντικό επιστήμονα υπολογιστών" (2020). arXiv:2012.13966.
arXiv: 2012.13966

[73] Alexander Cowtan, Silas Dilkes, Ross Duncan, Will Simmons και Seyon Sivarajah. «Σύνθεση gadget φάσης για ρηχά κυκλώματα». Electronic Proceedings in Theoretical Computer Science 318, 213–228 (2020).
https: / / doi.org/ 10.4204 / eptcs.318.13

[74] Andrew M. Childs, Yuan Su, Minh C. Tran, Nathan Wiebe και Shuchen Zhu. «Θεωρία του λάθους trotter με την κλιμάκωση του commutator». Phys. Αναθ. Χ 11, 011020 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevX.11.011020

[75] Joseph W Britton, Brian C Sawyer, Adam C Keith, CC Joseph Wang, James K Freericks, Hermann Uys, Michael J Biercuk και John J Bollinger. «Σχεδιασμένες δισδιάστατες αλληλεπιδράσεις σε έναν κβαντικό προσομοιωτή παγιδευμένων ιόντων με εκατοντάδες περιστροφές». Nature 484, 489–492 (2012).
https: / / doi.org/ 10.1038 / nature10981

[76] Hannes Bernien, Sylvain Schwartz, Alexander Keesling, Harry Levine, Ahmed Omran, Hannes Pichler, Soonwon Choi, Alexander S Zibrov, Manuel Endres, Markus Greiner, κ.ά. «Διερεύνηση δυναμικής πολλών σωμάτων σε έναν κβαντικό προσομοιωτή 51 ατόμων». Nature 551, 579–584 (2017).
https: / / doi.org/ 10.1038 / nature24622

[77] Gheorghe-Sorin Paraoanu. «Πρόσφατη πρόοδος στην κβαντική προσομοίωση με χρήση υπεραγώγιμων κυκλωμάτων». Journal of Low Temperature Physics 175, 633–654 (2014).
https:/​/​doi.org/​10.1007/​s10909-014-1175-8

[78] Katsuki Fujisawa, Hitoshi Sato, Satoshi Matsuoka, Toshio Endo, Makoto Yamashita και Maho Nakata. «Γενικός επιλύτης υψηλής απόδοσης για εξαιρετικά μεγάλης κλίμακας ημικαθορισμένα προβλήματα προγραμματισμού». Στο SC '12: Πρακτικά του Διεθνούς Συνεδρίου για Υπολογιστές Υψηλής Απόδοσης, Δικτύωση, Αποθήκευση και Ανάλυση. Σελίδες 1–11. (2012).
https: / / doi.org/ 10.1109 / SC.2012.67

[79] Adrian S. Lewis και Michael L. Overton. «Βελτιστοποίηση ιδιοτιμών». Acta Numerica 5, 149–190 (1996).
https: / / doi.org/ 10.1017 / S0962492900002646

[80] Xiaosi Xu, Jinzhao Sun, Suguru Endo, Ying Li, Simon C. Benjamin και Xiao Yuan. «Μεταβλητοί αλγόριθμοι για γραμμική άλγεβρα». Science Bulletin 66, 2181–2188 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1016 / j.scib.2021.06.023

Αναφέρεται από

Δεν ήταν δυνατή η λήψη Crossref αναφερόμενα δεδομένα κατά την τελευταία προσπάθεια 2023-07-12 14:07:40: Δεν ήταν δυνατή η λήψη των αναφερόμενων δεδομένων για το 10.22331 / q-2023-07-12-1057 από την Crossref. Αυτό είναι φυσιολογικό αν το DOI καταχωρήθηκε πρόσφατα. Επί SAO / NASA ADS δεν βρέθηκαν δεδομένα σχετικά με την αναφορά έργων (τελευταία προσπάθεια 2023-07-12 14:07:40).

Αυτό το Βιβλίο δημοσιεύεται στο Quantum στο πλαίσιο του Creative Commons Attribution 4.0 Διεθνής (CC BY 4.0) άδεια. Τα πνευματικά δικαιώματα παραμένουν στους κατόχους των πρωτότυπων δικαιωμάτων πνευματικής ιδιοκτησίας όπως οι δημιουργοί ή τα ιδρύματά τους

Σφραγίδα ώρας:

Περισσότερα από Quantum Journal