Όταν ο Daniel Larsen ήταν στο γυμνάσιο, άρχισε να σχεδιάζει σταυρόλεξα. Έπρεπε να στρώσει το χόμπι πάνω από τα άλλα ενδιαφέροντά του: σκάκι, προγραμματισμός, πιάνο, βιολί. Προκρίθηκε δύο φορές για το Scripps National Spelling Bee κοντά στην Ουάσιγκτον, DC, αφού κέρδισε τον περιφερειακό του διαγωνισμό. «Εστιάζεται σε κάτι, και είναι απλά μπαμ, μπαμ, μπαμ, μέχρι να τα καταφέρει», είπε η μητέρα του Λάρσεν, η Άιελετ Λίντενστρος. Τα πρώτα του σταυρόλεξα απορρίφθηκαν από μεγάλες εφημερίδες, αλλά το συνέχισε και τελικά έσπασε. Μέχρι σήμερα, κατέχει το ρεκόρ για το νεότερο άτομο που δημοσιεύει σταυρόλεξο Οι Νιου Γιορκ Ταιμς, σε ηλικία 13 ετών. «Είναι πολύ επίμονος», είπε ο Lindenstrauss.
Ωστόσο, η πιο πρόσφατη εμμονή του Λάρσεν αισθάνθηκε διαφορετική, «πιο μακρύτερη και πιο έντονη από τα περισσότερα από τα άλλα έργα του», είπε. Για περισσότερο από ενάμιση χρόνο, ο Λάρσεν δεν μπορούσε να σταματήσει να σκέφτεται ένα συγκεκριμένο μαθηματικό πρόβλημα.
Είχε τις ρίζες του σε ένα ευρύτερο ερώτημα, ένα ερώτημα που ο μαθηματικός Carl Friedrich Gauss θεωρούσε ότι ήταν από τα πιο σημαντικά στα μαθηματικά: πώς να διακρίνουμε έναν πρώτο αριθμό (έναν αριθμό που διαιρείται μόνο με το 1 και τον εαυτό του) από έναν σύνθετο αριθμό. Για εκατοντάδες χρόνια, οι μαθηματικοί αναζητούσαν έναν αποτελεσματικό τρόπο για να το κάνουν. Το πρόβλημα έχει επίσης γίνει επίκαιρο στο πλαίσιο της σύγχρονης κρυπτογραφίας, καθώς μερικά από τα πιο ευρέως χρησιμοποιούμενα κρυπτοσυστήματα σήμερα περιλαμβάνουν την εκτέλεση αριθμητικής με τεράστιους πρώτους αριθμούς.
Πάνω από έναν αιώνα πριν, σε αυτή την αναζήτηση για ένα γρήγορο, ισχυρό τεστ πρωταρχικότητας, οι μαθηματικοί έπεσαν πάνω σε μια ομάδα ταραχοποιών - αριθμούς που παραπλανούν τις δοκιμές για να πιστέψουν ότι είναι πρώτοι, παρόλο που δεν είναι. Αυτοί οι ψευδοπρώτοι, γνωστοί ως αριθμοί Carmichael, ήταν ιδιαίτερα δύσκολο να κατανοηθούν. Μόνο στα μέσα της δεκαετίας του 1990, για παράδειγμα, οι μαθηματικοί απέδειξαν ότι υπάρχουν άπειροι από αυτούς. Το να μπορούμε να πούμε κάτι περισσότερο για το πώς κατανέμονται κατά μήκος της αριθμητικής γραμμής έχει δημιουργήσει μια ακόμη μεγαλύτερη πρόκληση.
Μετά ήρθε ο Λάρσεν με μια νέα απόδειξη περίπου αυτό, ένα εμπνευσμένο από πρόσφατες εποχικές εργασίες σε έναν διαφορετικό τομέα της θεωρίας αριθμών. Τότε ήταν μόλις 17 ετών.
Η σπίθα
Μεγαλώνοντας στο Μπλούμινγκτον της Ιντιάνα, ο Λάρσεν έλκονταν πάντα από τα μαθηματικά. Οι γονείς του, και οι δύο μαθηματικοί, μύησαν τον ίδιο και τη μεγαλύτερη αδερφή του στο θέμα όταν ήταν μικροί. (Τώρα κάνει διδακτορικό στα μαθηματικά.) Όταν ο Larsen ήταν 3 ετών, θυμάται ο Lindenstrauss, άρχισε να της κάνει φιλοσοφικές ερωτήσεις σχετικά με τη φύση του άπειρου. «Σκέφτηκα ότι αυτό το παιδί έχει μαθηματικό μυαλό», είπε Lindenstrauss, καθηγητής στο Πανεπιστήμιο της Ιντιάνα.
Στη συνέχεια, πριν από μερικά χρόνια - την εποχή που ήταν βυθισμένος στα ορθογραφικά και σταυρόλεξά του - συνάντησε ένα ντοκυμαντέρ Σχετικά με εμάς Γιτανγκ Ζανγκ, ένας άγνωστος μαθηματικός που σηκώθηκε από την αφάνεια το 2013 μετά αποδεικνύοντας ένα ορόσημο αποτέλεσμα που βάζει ένα άνω όριο στα κενά μεταξύ διαδοχικών πρώτων αριθμών. Κάτι έκανε κλικ στον Λάρσεν. Δεν μπορούσε να σταματήσει να σκέφτεται τη θεωρία αριθμών και το σχετικό πρόβλημα που ο Zhang και άλλοι μαθηματικοί εξακολουθούσαν να ελπίζουν να λύσουν: την εικασία των δίδυμων πρώτων, η οποία δηλώνει ότι υπάρχουν άπειρα ζεύγη πρώτων που διαφέρουν μόνο κατά 2.
Μετά το έργο του Zhang, το οποίο έδειξε ότι υπάρχουν άπειρα ζεύγη πρώτων που διαφέρουν κατά λιγότερο από 70 εκατομμύρια, άλλοι πήδηξαν μέσα για να χαμηλώσει αυτό το όριο ακόμη περισσότερο. Μέσα σε μήνες, οι μαθηματικοί Τζέιμς Μάναρντ και Τερένς Τάο ανεξάρτητα απέδειξε μια ακόμη ισχυρότερη δήλωση σχετικά με τα κενά μεταξύ των πρώτων. Αυτή η διαφορά έχει από τότε συρρικνωθεί σε 246.
Ο Λάρσεν ήθελε να κατανοήσει μερικά από τα μαθηματικά που κρύβουν το έργο του Μέιναρντ και του Τάο, «αλλά ήταν σχεδόν αδύνατο για μένα», είπε. Τα χαρτιά τους ήταν πολύ περίπλοκα. Ο Λάρσεν προσπάθησε να διαβάσει σχετικό έργο, για να το βρει επίσης αδιαπέραστο. Το συνέχισε, πηδώντας από το ένα αποτέλεσμα στο άλλο, ώσπου τελικά, τον Φεβρουάριο του 2021, βρήκε ένα χαρτί που το βρήκε όμορφο και κατανοητό. Το θέμα του: Αριθμοί Carmichael, αυτοί οι παράξενοι σύνθετοι αριθμοί που μερικές φορές θα μπορούσαν να περάσουν ως πρώτοι.
Όλα εκτός από τον Prime
Στα μέσα του 17ου αιώνα, ο Γάλλος μαθηματικός Pierre de Fermat έγραψε ένα γράμμα στον φίλο και έμπιστο Frénicle de Bessy, στο οποίο ανέφερε αυτό που αργότερα θα ονομαζόταν το «μικρό του θεώρημα». Αν N είναι ένας πρώτος αριθμός, λοιπόν bN - b είναι πάντα πολλαπλάσιο του N, οτι και αν γινει b είναι. Για παράδειγμα, το 7 είναι πρώτος αριθμός και ως αποτέλεσμα το 27 – Το 2 (που ισούται με 126) είναι πολλαπλάσιο του 7. Ομοίως, το 37 – Το 3 είναι πολλαπλάσιο του 7 και ούτω καθεξής.
Οι μαθηματικοί είδαν τη δυνατότητα για ένα τέλειο τεστ για το εάν ένας δεδομένος αριθμός είναι πρώτος ή σύνθετος. Ήξεραν ότι αν N είναι πρωταρχικός, bN - b είναι πάντα πολλαπλάσιο του N. Κι αν ίσχυε και το αντίστροφο; Αν δηλαδή bN - b είναι πολλαπλάσιο του N για όλες τις αξίες του b, πρέπει N να είσαι πρωταρχικός;
Δυστυχώς, αποδείχθηκε ότι σε πολύ σπάνιες περιπτώσεις, N μπορεί να ικανοποιήσει αυτήν την προϋπόθεση και να εξακολουθεί να είναι σύνθετη. Ο μικρότερος τέτοιος αριθμός είναι 561: Για κάθε ακέραιο b, b561 - b είναι πάντα πολλαπλάσιο του 561, παρόλο που το 561 δεν είναι πρώτος. Αριθμοί όπως αυτοί ονομάστηκαν από τον μαθηματικό Robert Carmichael, ο οποίος συχνά πιστώνεται ότι δημοσίευσε το πρώτο παράδειγμα το 1910 (αν και ο Τσέχος μαθηματικός Václav Šimerka ανακάλυψε ανεξάρτητα παραδείγματα το 1885).
Οι μαθηματικοί ήθελαν να κατανοήσουν καλύτερα αυτούς τους αριθμούς που μοιάζουν τόσο πολύ με τα πιο θεμελιώδη αντικείμενα στη θεωρία αριθμών, τους πρώτους. Αποδείχθηκε ότι το 1899 - μια δεκαετία πριν από το αποτέλεσμα του Carmichael - ένας άλλος μαθηματικός, ο Alwin Korselt, είχε βρει έναν ισοδύναμο ορισμό. Απλώς δεν ήξερε αν υπήρχαν αριθμοί που ταίριαζαν στο λογαριασμό.
Σύμφωνα με το κριτήριο του Korselt, ένας αριθμός N είναι ένας αριθμός Carmichael εάν και μόνο εάν ικανοποιεί τρεις ιδιότητες. Πρώτον, πρέπει να έχει περισσότερους από έναν πρωταρχικούς παράγοντες. Δεύτερον, κανένας κύριος παράγοντας δεν μπορεί να επαναληφθεί. Και τρίτον, για κάθε προνομιακό p που χωρίζει N, p – 1 διαιρεί επίσης N – 1. Σκεφτείτε ξανά τον αριθμό 561. Είναι ίσος με 3 × 11 × 17, επομένως ικανοποιεί σαφώς τις δύο πρώτες ιδιότητες στη λίστα του Korselt. Για να εμφανίσετε την τελευταία ιδιότητα, αφαιρέστε 1 από κάθε πρώτο παράγοντα για να λάβετε 2, 10 και 16. Επιπλέον, αφαιρέστε το 1 από το 561. Και οι τρεις μικρότεροι αριθμοί είναι διαιρέτες του 560. Ο αριθμός 561 είναι επομένως αριθμός Carmichael.
Αν και οι μαθηματικοί υποψιάζονταν ότι υπάρχουν άπειροι αριθμοί Carmichael, υπάρχουν σχετικά λίγοι σε σύγκριση με τους πρώτους, γεγονός που καθιστούσε δύσκολο τον προσδιορισμό τους. Στη συνέχεια, το 1994, ο Red Alford, Andrew Granville και Καρλ Πομεράνς δημοσίευσε μια σημαντική ανακάλυψη χαρτί στο οποίο απέδειξαν τελικά ότι υπάρχουν όντως άπειρες από αυτές τις ψευδοπρωτικές.
Δυστυχώς, οι τεχνικές που ανέπτυξαν δεν τους επέτρεψαν να πουν τίποτα για το πώς έμοιαζαν αυτοί οι αριθμοί Carmichael. Εμφανίστηκαν σε ομάδες κατά μήκος της αριθμητικής γραμμής, με μεγάλα κενά ενδιάμεσα; Ή θα μπορούσατε πάντα να βρείτε έναν αριθμό Carmichael σε σύντομο χρονικό διάστημα; «Θα σκεφτόσασταν αν μπορέσετε να αποδείξετε ότι υπάρχουν άπειρα πολλά από αυτά», είπε ο Γκράνβιλ, «σίγουρα θα πρέπει να είστε σε θέση να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν μεγάλα κενά μεταξύ τους, ότι θα πρέπει να είναι σχετικά καλά διαχωρισμένα».
Συγκεκριμένα, ο ίδιος και οι συν-συγγραφείς του ήλπιζαν να αποδείξουν μια δήλωση που αντικατόπτριζε αυτή την ιδέα — ότι δεδομένου ενός αρκετά μεγάλου αριθμού X, θα υπάρχει πάντα ένας αριθμός Carmichael μεταξύ X και 2X. «Είναι ένας άλλος τρόπος έκφρασης του πόσο πανταχού παρόντα είναι», είπε ο Jon Grantham, μαθηματικός στο Ινστιτούτο Αμυντικών Αναλύσεων που έχει κάνει σχετική εργασία.
Αλλά για δεκαετίες, κανείς δεν μπορούσε να το αποδείξει. Οι τεχνικές που αναπτύχθηκαν από τους Alford, Granville και Pomerance «μας επέτρεψαν να δείξουμε ότι θα υπήρχαν πολλοί αριθμοί Carmichael», είπε ο Pomerance, «αλλά δεν μας επέτρεψαν πραγματικά να έχουμε μεγάλο έλεγχο σχετικά με το πού θα ήταν. ”
Στη συνέχεια, τον Νοέμβριο του 2021, ο Γκράνβιλ άνοιξε ένα email από τον Λάρσεν, τότε 17 ετών και στο τελευταίο έτος του γυμνασίου. ΕΝΑ χαρτί ήταν συνημμένο — και προς έκπληξη του Γκράνβιλ, φαινόταν σωστό. «Δεν ήταν το πιο εύκολο που διαβάστηκε ποτέ», είπε. «Όταν όμως το διάβασα, ήταν ξεκάθαρο ότι δεν μπέρδευε. Είχε λαμπρές ιδέες».
Ο Pomerance, ο οποίος διάβασε μια μεταγενέστερη έκδοση του έργου, συμφώνησε. «Η απόδειξη του είναι πραγματικά πολύ προχωρημένη», είπε. «Θα ήταν ένα χαρτί που κάθε μαθηματικός θα ήταν πραγματικά περήφανος να είχε γράψει. Και εδώ το γράφει ένα παιδί γυμνασίου».
Το κλειδί για την απόδειξη του Λάρσεν ήταν η δουλειά που τον είχε προσελκύσει αρχικά στους αριθμούς Carmichael: τα αποτελέσματα των Maynard και Tao στα αρχικά κενά.
Απίθανο — Όχι αδύνατο
Όταν ο Λάρσεν ξεκίνησε για πρώτη φορά να δείξει ότι μπορείτε πάντα να βρείτε έναν αριθμό Carmichael σε σύντομο χρονικό διάστημα, «φαινόταν ότι ήταν τόσο προφανώς αλήθεια, πόσο δύσκολο μπορεί να είναι να αποδειχθεί;» αυτός είπε. Γρήγορα συνειδητοποίησε ότι θα μπορούσε να είναι πραγματικά πολύ δύσκολο. «Αυτό είναι ένα πρόβλημα που δοκιμάζει την τεχνολογία της εποχής μας», είπε.
Στην εργασία τους το 1994, οι Alford, Granville και Pomerance είχαν δείξει πώς να δημιουργήσουν άπειρους αριθμούς Carmichael. Αλλά δεν είχαν καταφέρει να ελέγξουν το μέγεθος των πρώτων που χρησιμοποίησαν για να τους κατασκευάσουν. Αυτό θα έπρεπε να κάνει ο Λάρσεν για να δημιουργήσει αριθμούς Carmichael που ήταν σχετικά κοντά σε μέγεθος. Η δυσκολία του προβλήματος ανησύχησε τον πατέρα του, Μάικλ Λάρσεν. «Δεν πίστευα ότι ήταν αδύνατο, αλλά σκέφτηκα ότι ήταν απίθανο να πετύχει», είπε. «Είδα πόσο χρόνο ξόδευε σε αυτό… και ένιωσα ότι θα ήταν καταστροφικό για αυτόν να δώσει τόσο πολύ από τον εαυτό του σε αυτό και να μην το πάρει».
Ωστόσο, ήξερε καλύτερα από το να προσπαθήσει να αποτρέψει τον γιο του. «Όταν ο Ντάνιελ δεσμεύεται για κάτι που τον ενδιαφέρει πραγματικά, μένει με αυτό» είπε.
Έτσι, ο Λάρσεν επέστρεψε στα χαρτιά του Μέιναρντ — ειδικότερα, στην εργασία που δείχνει ότι εάν παίρνετε ορισμένες ακολουθίες αρκετών αριθμών, κάποιο υποσύνολο αυτών των αριθμών πρέπει να είναι πρώτοι. Ο Larsen τροποποίησε τις τεχνικές του Maynard για να τις συνδυάσει με τις μεθόδους που χρησιμοποιούσαν οι Alford, Granville και Pomerance. Αυτό του επέτρεψε να διασφαλίσει ότι οι πρώτοι με τους οποίους κατέληγε θα διέφεραν σε μέγεθος — αρκετά ώστε να παράγει αριθμούς Carmichael που θα εμπίπτουν στα διαστήματα που ήθελε.
"Έχει περισσότερο έλεγχο στα πράγματα από ό, τι είχαμε ποτέ", είπε ο Granville. Και αυτό το πέτυχε μέσα από μια ιδιαίτερα έξυπνη χρήση του έργου του Maynard. «Δεν είναι εύκολο… να χρησιμοποιήσετε αυτήν την πρόοδο σε μικρά κενά μεταξύ των πρώτων», είπε Kaisa Matomäki, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο του Τούρκου στη Φινλανδία. «Είναι πολύ ωραίο που μπορεί να το συνδυάσει με αυτήν την ερώτηση σχετικά με τους αριθμούς Carmichael».
Στην πραγματικότητα, το επιχείρημα του Λάρσεν δεν του επέτρεψε απλώς να δείξει ότι ένας αριθμός Carmichael πρέπει πάντα να εμφανίζεται μεταξύ X και 2X. Η απόδειξη του λειτουργεί και για πολύ μικρότερα διαστήματα. Οι μαθηματικοί ελπίζουν τώρα ότι θα βοηθήσει επίσης να αποκαλυφθούν άλλες πτυχές της συμπεριφοράς αυτών των παράξενων αριθμών. «Είναι μια διαφορετική ιδέα», είπε Τόμας Ράιτ, μαθηματικός στο Wofford College της Νότιας Καρολίνας που εργάζεται σε ψευδοπρωτικούς αριθμούς. «Αλλάζει πολλά πράγματα σχετικά με το πώς μπορούμε να αποδείξουμε πράγματα για τους αριθμούς Carmichael».
Ο Γκράνθαμ συμφώνησε. «Τώρα μπορείς να κάνεις πράγματα που δεν είχες σκεφτεί ποτέ», είπε.
Ο Λάρσεν, εν τω μεταξύ, μόλις ξεκίνησε την πρώτη του χρονιά στο Ινστιτούτο Τεχνολογίας της Μασαχουσέτης. Δεν είναι σίγουρος ποιο πρόβλημα θα μπορούσε να αντιμετωπίσει στη συνέχεια, αλλά είναι πρόθυμος να μάθει τι υπάρχει εκεί έξω. «Απλώς παρακολουθώ μαθήματα… και προσπαθώ να είμαι ανοιχτόμυαλος», είπε.
«Τα έκανε όλα αυτά χωρίς προπτυχιακή εκπαίδευση», είπε ο Grantham. «Μπορώ μόνο να φανταστώ τι θα κάνει στο μεταπτυχιακό».
