Ο μαθηματικός που διαμόρφωσε τη θεωρία χορδών | Περιοδικό Quanta

Ο Eugenio Calabi ήταν γνωστός στους συναδέλφους του ως εφευρετικός μαθηματικός — «μεταμορφωτικά πρωτότυπος», όπως το είπε ο πρώην μαθητής του Xiuxiong Chen. Το 1953, ο Calabi άρχισε να συλλογίζεται μια κατηγορία σχημάτων που κανείς δεν είχε ποτέ πριν οραματιστεί. Άλλοι μαθηματικοί πίστευαν ότι η ύπαρξή τους ήταν αδύνατη. Αλλά μερικές δεκαετίες αργότερα, αυτά τα ίδια σχήματα έγιναν εξαιρετικά σημαντικά τόσο στα μαθηματικά όσο και στη φυσική. Τα αποτελέσματα κατέληξαν να έχουν πολύ ευρύτερη εμβέλεια από ό,τι οποιοσδήποτε, συμπεριλαμβανομένου του Calabi, είχε προβλέψει.

Ο Calabi ήταν 100 ετών όταν πέθανε στις 25 Σεπτεμβρίου, θρηνούμενος από τους συναδέλφους του ως ένας από τους γεωμέτρους με τη μεγαλύτερη επιρροή του 20ου αιώνα. «Σε πολλούς μαθηματικούς αρέσει να λύνουν προβλήματα που ολοκληρώνουν την εργασία σε ένα συγκεκριμένο θέμα», είπε ο Τσεν. «Ο Calabi ήταν κάποιος που του άρεσε να ξεκινά ένα θέμα».

Ο Jerry Kazdan, ο οποίος δίδαξε με τον Calabi στο Πανεπιστήμιο της Πενσυλβάνια για σχεδόν 60 χρόνια, είπε ότι ο συνάδελφός του «είχε έναν ιδιαίτερο τρόπο να βλέπει τα πράγματα. Η λιγότερο προφανής επιλογή ήταν το πώς εξασκούσε τα μαθηματικά». Μία από τις κύριες ασχολίες του Calabi, σύμφωνα με τον Kazdan, ήταν να «κάνει ενδιαφέρουσες ερωτήσεις που κανείς άλλος δεν σκεφτόταν». Οι απαντήσεις σε αυτές τις ερωτήσεις είχαν συχνά συνέπειες διαρκούς σημασίας.

Αν και ο Calabi συνέβαλε ζωτικής σημασίας σε πολλούς τομείς της γεωμετρίας, είναι περισσότερο γνωστός για την εικασία του 1953 σχετικά με μια ειδική κατηγορία πολλαπλών. Η πολλαπλή είναι μια επιφάνεια ή χώρος που μπορεί να υπάρχει σε οποιαδήποτε διάσταση, με ένα ουσιαστικό χαρακτηριστικό: Μια μικρή «γειτονιά» γύρω από κάθε σημείο της επιφάνειας φαίνεται επίπεδη. Η Γη, για παράδειγμα, φαίνεται στρογγυλή (σφαιρική) όταν την βλέπουμε από μακριά, αλλά ένα μικροσκοπικό κομμάτι εδάφους φαίνεται επίπεδο.

Στο μεταπτυχιακό σχολείο στο Πανεπιστήμιο του Πρίνστον, ο Calabi άρχισε να ενδιαφέρεται για τις πολλαπλότητες Kähler, που ονομάστηκαν από τον Γερμανό γεωμέτρη του 20ου αιώνα Erich Kähler. Οι πολλαπλές αυτού του τύπου είναι ομαλές, πράγμα που σημαίνει ότι δεν έχουν αιχμηρά ή οδοντωτά χαρακτηριστικά και διατίθενται μόνο σε ομοιόμορφες διαστάσεις — 2, 4, 6 και άνω.

Μια σφαίρα έχει σταθερή καμπυλότητα. Οπουδήποτε κι αν πάτε στην επιφάνεια, ανεξάρτητα από την κατεύθυνση που ξεκινήσατε, το μονοπάτι σας κάμπτεται το ίδιο. Αλλά γενικά, η καμπυλότητα των πολλαπλών μπορεί να ποικίλλει από το ένα σημείο στο άλλο. Υπάρχουν μερικοί διαφορετικοί τρόποι με τους οποίους οι μαθηματικοί μετρούν την καμπυλότητα. Ένα σχετικά απλό μέτρο που ονομάζεται καμπυλότητα Ricci είχε μεγάλο ενδιαφέρον για τον Calabi. Πρότεινε ότι οι πολλαπλότητες Kähler θα μπορούσαν να έχουν μηδενική καμπυλότητα Ricci σε κάθε σημείο, ακόμη και όταν ικανοποιούσαν δύο τοπολογικές συνθήκες που περιορίζουν συνολικά το σχήμα τους. Άλλοι γεωμέτροι θεώρησαν ότι τέτοια σχήματα ακούγονταν πολύ καλά για να είναι αληθινά.

Ο Shing-Tung Yau ήταν αρχικά μεταξύ των αμφισβητούμενων. Συνάντησε για πρώτη φορά την εικασία Calabi το 1970, όταν ήταν μεταπτυχιακός φοιτητής στο Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνια, στο Μπέρκλεϋ, και αμέσως συγκλονίστηκε. Για να αποδείξει κανείς ότι η εικασία ήταν αληθινή, όπως ο Calabi είχε διατυπώσει το πρόβλημα, έπρεπε να δείξουμε ότι μια λύση σε μια πολύ ακανθώδη εξίσωση μπορούσε να βρεθεί — ακόμα κι αν η εξίσωση δεν είχε λυθεί πλήρως. Αυτό ήταν ακόμα μια μεγάλη πρόκληση γιατί κανείς δεν είχε λύσει ποτέ μια εξίσωση αυτού του συγκεκριμένου τύπου πριν.

Αφού πέρασε μερικά χρόνια σκεπτόμενος το πρόβλημα, ο Yau ανακοίνωσε σε ένα συνέδριο γεωμετρίας το 1973 ότι είχε βρει αντιπαραδείγματα που έδειχναν ότι η εικασία ήταν ψευδής. Ο Calabi, που ήταν στο συνέδριο, δεν έφερε αντιρρήσεις εκείνη τη στιγμή. Λίγους μήνες αργότερα, αφού σκέφτηκε το θέμα, ζήτησε από τον Yau να διευκρινίσει το επιχείρημά του. Όταν ο Yau επανεξέτασε τους υπολογισμούς του, συνειδητοποίησε ότι είχε κάνει λάθος. Τα αντιπαραδείγματα δεν ίσχυαν, υποδηλώνοντας ότι τελικά η εικασία μπορεί να είναι σωστή.

Ο Yau πέρασε τα επόμενα τρία χρόνια αποδεικνύοντας την ύπαρξη της κατηγορίας πολλαπλών που είχε αρχικά προτείνει ο Calabi. Την ημέρα των Χριστουγέννων του 1976, ο Yau συναντήθηκε με τον Calabi και έναν άλλο μαθηματικό, ο οποίος επιβεβαίωσε την εγκυρότητα της απόδειξής του, αποδεικνύοντας τη μαθηματική ύπαρξη αντικειμένων που τώρα ονομάζονται πολλαπλές Calabi-Yau. Το 1982, ο Yau κέρδισε ένα μετάλλιο Fields, την υψηλότερη διάκριση στα μαθηματικά, εν μέρει χάρη σε αυτό το αποτέλεσμα.

Εκείνη την εποχή, οι φυσικοί που προσπαθούσαν να επινοήσουν θεωρίες που ενοποιούσαν τις δυνάμεις της φύσης άρχισαν να παίζουν με την ιδέα ότι τα θεμελιώδη σωματίδια όπως τα ηλεκτρόνια αποτελούνται στην πραγματικότητα από εξαιρετικά μικροσκοπικές δονούμενες χορδές. Διαφορετικά μοτίβα δόνησης εκδηλώνονται ως διαφορετικά σωματίδια. Για τεχνικούς λόγους, αυτοί οι κραδασμοί λειτουργούν σωστά μόνο σε 10 διαστάσεις.

Περιττό να πούμε ότι ο κόσμος δεν φαίνεται να είναι 10-διάστατος — φαίνεται να υπάρχουν μόνο τρεις διαστάσεις του χώρου και μία του χρόνου. Στα μέσα της δεκαετίας του 1980, ωστόσο, μια ομάδα φυσικών είχε συνειδητοποιήσει ότι οι έξι «επιπλέον» διαστάσεις του σύμπαντος μπορεί να κρύβονται σε ένα λεπτό πολλαπλότητα Calabi-Yau (λιγότερο από 10^-17 εκατοστά σε διάμετρο). Η θεωρία χορδών, όπως ονομαζόταν αυτό το φυσικό πλαίσιο, υποστήριξε επίσης ότι τα σωματίδια και οι δυνάμεις της φύσης υπαγορεύονταν από το σχήμα Calabi-Yau. Αυτή η θεωρία εξαρτιόταν από μια ιδιότητα που ονομάζεται υπερσυμμετρία, η οποία προέκυψε από τη συμμετρία που ήταν ήδη ενσωματωμένη σε μια πολλαπλότητα Kähler - ένας άλλος λόγος για τον οποίο οι πολλαπλότητες Calabi-Yau φάνηκαν να είναι οι κατάλληλες για τη θεωρία χορδών.

Μέχρι το 1984, ο Yau γνώριζε ήδη ότι ήταν δυνατό να κατασκευαστούν τουλάχιστον 10,000 διαφορετικά εξαδιάστατα σχήματα Calabi-Yau. Δεν είναι ξεκάθαρο αν ο κόσμος μας είναι κρυφά γεμάτος με πολλαπλούς Calabi-Yau - κρυμμένους σε διαστάσεις πολύ μικρές για να φαίνονται - αλλά κάθε χρόνο φυσικοί και μαθηματικοί δημοσιεύουν χιλιάδες έγγραφα που διερευνούν τις ιδιότητές τους.

Ο Yau είπε ότι ο όρος εμφανίζεται τόσο συχνά που μερικές φορές νομίζει ότι το μικρό του όνομα είναι Calabi. Από την πλευρά του, ο Calabi είπε το 2007, «Είμαι κολακευμένος από όλη την προσοχή που έχει λάβει αυτή η ιδέα», λόγω της σύνδεσης με τη θεωρία χορδών. «Αλλά δεν είχα καμία σχέση με αυτό. Όταν έθεσα για πρώτη φορά την εικασία, δεν είχε καμία σχέση με τη φυσική. Ήταν αυστηρά γεωμετρία».

Ο Calabi δεν ήταν πάντα αποφασισμένος να γίνει μαθηματικός. Το ταλέντο του φάνηκε νωρίς – ο πατέρας του, δικηγόρος, τον ρώτησε σχετικά με τους πρώτους αριθμούς όταν ήταν παιδί. Αλλά αποφάσισε να σπουδάσει χημικός μηχανικός όταν έφτασε στο Τεχνολογικό Ινστιτούτο της Μασαχουσέτης ως 16χρονος το 1939, αφού η οικογένειά του εγκατέλειψε την Ιταλία στην αρχή του Β' Παγκοσμίου Πολέμου. Κατά τη διάρκεια του πολέμου, υπηρέτησε ως μεταφραστής του αμερικανικού στρατού στη Γαλλία και τη Γερμανία. Αφού επέστρεψε στο σπίτι, εργάστηκε για λίγο ως χημικός μηχανικός πριν αποφασίσει να στραφεί στα μαθηματικά. Πήρε το διδακτορικό του στο Πρίνστον και κατείχε μια σειρά από θέσεις καθηγητών προτού προσγειωθεί στο Πεν το 1964, όπου θα παρέμενε.

Δεν έχασε ποτέ τον ενθουσιασμό του για τα μαθηματικά, συνεχίζοντας να διεξάγει έρευνα μέχρι τα 90 του. Ο Τσεν, ο πρώην μαθητής του, θυμήθηκε πώς ο Καλάμπι τον υποκλαπούσε στο ταχυδρομείο του τμήματος μαθηματικών ή στους διαδρόμους: Οι συνομιλίες τους μπορούσαν να διαρκέσουν για ώρες, με τον Καλάμπι να γράφει τύπους σε φακέλους, χαρτοπετσέτες, χαρτοπετσέτες ή άλλα κομμάτια χαρτιού.

Ο Yau έσωσε μερικές από τις χαρτοπετσέτες από τις ανταλλαγές του με τον Calabi. «Πάντα μάθαινα από τους τύπους που ήταν γραμμένοι πάνω τους, οι οποίοι μετέδιδαν την παράξενη αίσθηση γεωμετρικής διαίσθησης του Calabi», είπε ο Yau. «Ήταν πολύ γενναιόδωρος στο να μοιράζεται τις ιδέες του και δεν τον ενδιέφερε να πάρει τα εύσημα για αυτές. Απλώς πίστευε ότι το να κάνει μαθηματικά ήταν διασκεδαστικό».

Ο Calabi αποκάλεσε τα μαθηματικά το αγαπημένο του χόμπι. «Το να ακολουθείς τα χόμπι σου ως επάγγελμα είναι η εξαιρετική τύχη που είχα στη ζωή μου».

Quanta διεξάγει μια σειρά από έρευνες για την καλύτερη εξυπηρέτηση του κοινού μας. Πάρτε το δικό μας έρευνα αναγνωστών μαθηματικών και θα μπείτε για να κερδίσετε δωρεάν Quanta εμπόριο.