Η απλή γεωμετρία πίσω από τα μπράουνι ψησίματος και ίσων περιοχών

Η Τζίνα, η φοιτήτρια γεωμετρίας, έμεινε ξύπνια πολύ αργά χθες το βράδυ κάνοντας τα μαθήματά της ενώ παρακολουθούσε Ο Μεγάλος Βρετανός ψήνει μακριά, οπότε όταν τελικά πήγε για ύπνο το νυσταγμένο μυαλό της ήταν ακόμα γεμάτο cupcakes και πυξίδες. Αυτό οδήγησε σε ένα πολύ ασυνήθιστο όνειρο.

Η Τζίνα βρέθηκε ως κριτής του Great Brownie Bake Off στο Imaginary University, ένα σχολείο όπου οι μαθητές μαθαίνουν πολλή γεωμετρία αλλά πολύ λίγη αριθμητική. Ομάδες μαθητών της Imaginary U ανατέθηκαν να φτιάξουν το μεγαλύτερο μπράουνι που μπορούσαν και εναπόκειτο στην Τζίνα να καθορίσει τον νικητή.

Η ομάδα Alpha ήταν η πρώτη που τερμάτισε και παρουσίασε με περηφάνια το ορθογώνιο μπράουνι της για κρίση. Η Τζίνα έβγαλε έναν χάρακα και μέτρησε το μπράουνι: Είχε μήκος 16 ίντσες και πλάτος 9 ίντσες. Η ομάδα Beta ακολούθησε γρήγορα με το τετράγωνο μπράουνι της, το οποίο είχε 12 ίντσες σε κάθε πλευρά. Τότε άρχισαν τα δεινά.

«Το μπράουνι μας είναι πολύ μεγαλύτερο από το δικό σου», είπε ο αρχηγός της ομάδας Alpha. «Το δικό μας είναι σαφώς μεγαλύτερο, άρα εμείς είμαστε οι νικητές!»

"Αλλά η κοντή πλευρά του ορθογωνίου σας είναι πολύ μικρότερη από την πλευρά του τετραγώνου μας", είπε ένας εκπρόσωπος της Ομάδας Beta. «Η πλατεία μας είναι σαφώς μεγαλύτερη. Κερδίσαμε!»

Η Τζίνα βρήκε περίεργο να μαλώνει γι' αυτό. «Η περιοχή του ορθογώνιου μπράουνι είναι 9 επί 16, δηλαδή 144 τετραγωνικές ίντσες», είπε. «Η περιοχή του τετράγωνου μπράουνι είναι 12 επί 12, που είναι επίσης 144 τετραγωνικές ίντσες. Τα μπράουνις έχουν το ίδιο μέγεθος: Είναι γραβάτα».

Και οι δύο ομάδες έδειχναν σαστισμένες. «Δεν καταλαβαίνω τι εννοείτε με τον όρο «καιροί», είπε ένας μαθητής, ο οποίος δεν είχε διδαχτεί ποτέ τον πολλαπλασιασμό. «Ούτε εγώ», είπε ένας άλλος. Ένας τρίτος είπε: «Άκουσα για φοιτητές στο Complex College που μετρούσαν την περιοχή μια φορά, αλλά τι σημαίνει αυτό;» Το Imaginary University ήταν πράγματι ένα περίεργο μέρος, ακόμα και όπως πάνε τα όνειρα.

Τι έπρεπε να κάνει η Τζίνα; Πώς θα μπορούσε να πείσει τις ομάδες ότι τα brownies τους είχαν το ίδιο μέγεθος αν δεν καταλάβαιναν πώς να μετρούν το εμβαδόν και να πολλαπλασιάζουν τους αριθμούς; Ευτυχώς, η Τζίνα είχε μια ιδιοφυή ιδέα. «Δώσε μου ένα μαχαίρι», είπε.

Η Τζίνα μέτρησε 12 ίντσες κάτω από τη μακριά πλευρά του ορθογώνιου μπράουνι και έκανε ένα κόψιμο παράλληλα με τη κοντή πλευρά. Αυτό μετέτρεψε το μεγάλο ορθογώνιο σε δύο μικρότερα: το ένα είχε διαστάσεις 9 επί 12 και το άλλο 9 επί 4. Με τρία γρήγορα κοψίματα μετέτρεψε το κομμάτι 9 επί 4 σε τρία μικρότερα κομμάτια 3 επί 4. Μια μικρή αναδιάταξη είχε ως αποτέλεσμα να ακούγονται ωχ και αχ από το πλήθος: η Τζίνα είχε μετατρέψει το ορθογώνιο σε ένα ακριβές αντίγραφο του τετραγώνου.

Και οι δύο ομάδες έπρεπε τώρα να συμφωνήσουν ότι τα μπράουνις τους είχαν το ίδιο μέγεθος. Τέμνοντας το ένα και αναδιατάσσοντάς το για να σχηματίσει το άλλο, η Τζίνα έδειξε ότι τα δύο μπράουνις καταλάμβαναν την ίδια συνολική επιφάνεια. Ανατομές όπως αυτή έχουν χρησιμοποιηθεί στη γεωμετρία για χιλιάδες χρόνια για να δείξουν ότι οι αριθμοί έχουν το ίδιο μέγεθος και υπάρχουν πολλά αξιοσημείωτα αποτελέσματα σχετικά με τις ανατομές και την ισοδυναμία. Ακόμη και σήμερα οι μαθηματικοί εξακολουθούν να χρησιμοποιούν ανατομή και αναδιάταξη για να κατανοήσουν πλήρως πότε ορισμένα σχήματα είναι ισοδύναμα, οδηγώντας σε μερικά εκπληκτικά πρόσφατα αποτελέσματα.

Πιθανότατα έχετε δει γεωμετρικές ανατομές στο μάθημα των μαθηματικών κατά την ανάπτυξη των τύπων εμβαδών για βασικά σχήματα. Για παράδειγμα, μπορεί να θυμάστε ότι το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου είναι ίσο με το μήκος της βάσης του επί το ύψος του: Αυτό συμβαίνει επειδή ένα παραλληλόγραμμο μπορεί να τεμαχιστεί και να αναδιαταχθεί σε ορθογώνιο.

Αυτή η ανατομή δείχνει ότι το εμβαδόν του παραλληλογράμμου είναι ίσο με το εμβαδόν ενός ορθογωνίου με την ίδια βάση και ύψος, το οποίο, όπως γνωρίζει όποιος δεν παρακολούθησε το Imaginary University, είναι το γινόμενο αυτών των δύο αριθμών.

Μιλώντας για το Imaginary U, το Great Brownie Bake Off μόλις ζεσταινόταν. Η ομάδα Gamma πλησίασε με ένα μεγάλο τριγωνικό μπράουνι. «Εδώ είναι ο νικητής», ανακοίνωσαν με τόλμη. «Και οι δύο πλευρές μας είναι πολύ μακρύτερες από τις άλλες».

Η Τζίνα μέτρησε τα πλάγια. “Και αυτό έχει την ίδια περιοχή!” αναφώνησε εκείνη. «Αυτό είναι ένα ορθογώνιο τρίγωνο, και τα πόδια είναι 18 και 16, και έτσι η περιοχή είναι…» Η Τζίνα σταμάτησε για λίγο, παρατηρώντας τα μπερδεμένα βλέμματα στα πρόσωπα όλων. «Ω, δεν πειράζει. Δώσε μου μόνο το μαχαίρι».

Η Τζίνα έκοψε επιδέξια σε φέτες από το μέσο της υποτείνουσας μέχρι το μέσο του μακρύτερου ποδιού, στη συνέχεια περιέστρεψε το νεοσχηματισμένο τρίγωνο έτσι ώστε να κάνει ένα τέλειο ορθογώνιο όταν φωλιάζεται στο μεγαλύτερο κομμάτι.

«Αυτό ακριβώς είναι το μπράουνι μας!» φώναξε η ομάδα Alpha. Σίγουρα, το παραλληλόγραμμο που προέκυψε ήταν 9 επί 16: ακριβώς το ίδιο μέγεθος με το δικό τους.

Η ομάδα Beta είχε τις αμφιβολίες της. «Αλλά πώς συγκρίνεται αυτό το τρίγωνο με το δικό μας τετράγωνο;» ρώτησε ο αρχηγός της ομάδας τους.

Η Τζίνα ήταν έτοιμη για αυτό. «Γνωρίζουμε ήδη ότι το ορθογώνιο και το τετράγωνο έχουν το ίδιο μέγεθος, επομένως από μεταβατικότητα, το τρίγωνο και το τετράγωνο έχουν το ίδιο μέγεθος». Η μεταβατικότητα είναι μια από τις πιο σημαντικές ιδιότητες της ισότητας: Λέει ότι αν a = b και b = c, Τότε a = c. Η Τζίνα συνέχισε, «Εάν η περιοχή του πρώτου μπράουνι είναι ίση με την περιοχή του δεύτερου και η περιοχή του δεύτερου μπράουνι είναι ίση με την περιοχή του τρίτου, το πρώτο και το τρίτο μπράουνι πρέπει επίσης να έχουν ίσες επιφάνειες».

Αλλά η Τζίνα διασκέδαζε πάρα πολύ με τις ανατομές για να σταματήσει εκεί. «Ή θα μπορούσαμε απλώς να κάνουμε μερικές ακόμη περικοπές».

Πρώτα η Τζίνα γύρισε το ορθογώνιο που ήταν παλαιότερα τρίγωνο. Στη συνέχεια το έκοψε χρησιμοποιώντας ακριβώς το ίδιο μοτίβο που είχε χρησιμοποιήσει στο ορθογώνιο του Team Alpha.

Στη συνέχεια έδειξε πώς αυτή η νέα ανατομή του τριγώνου της Ομάδας Gamma θα μπορούσε να μετατραπεί στο τετράγωνο της Ομάδας Βήτα, ακριβώς όπως είχε κάνει με το ορθογώνιο της Ομάδας Άλφα.

Σε αυτήν την περίπτωση λέμε ότι το τρίγωνο και το τετράγωνο είναι «ψαλίδι ίσα»: Μπορείτε να φανταστείτε ότι χρησιμοποιείτε ψαλίδι για να κόψετε μια φιγούρα σε πεπερασμένα πολλά κομμάτια που μπορούν στη συνέχεια να αναδιαταχθούν για να σχηματίσουν την άλλη. Στην περίπτωση του τριγώνου και του τετραγώνου, τα brownies δείχνουν ακριβώς πώς λειτουργεί αυτή η ευθυγράμμιση του ψαλιδιού.

Παρατηρήστε ότι το μοτίβο λειτουργεί προς οποιαδήποτε κατεύθυνση: Θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για να μετατρέψει το τρίγωνο σε τετράγωνο ή το τετράγωνο σε τρίγωνο. Με άλλα λόγια, η ευθυγράμμιση του ψαλιδιού είναι συμμετρική: Εάν το σχήμα Α είναι ψαλίδι σύμφωνο με το σχήμα Β, τότε το σχήμα Β είναι επίσης ψαλίδι σύμφωνο με το σχήμα Α.

Στην πραγματικότητα, το παραπάνω επιχείρημα που περιλαμβάνει το τρίγωνο, το ορθογώνιο και το τετράγωνο δείχνει ότι η ευθυγράμμιση του ψαλιδιού είναι επίσης μεταβατική. Εφόσον το τρίγωνο είναι ψαλίδι ίσο με το ορθογώνιο και το ορθογώνιο είναι ψαλίδι ίσο με το τετράγωνο, το τρίγωνο είναι ψαλίδι ίσο με το τετράγωνο. Η απόδειξη είναι στα μοτίβα: Απλώς επικαλύψτε τα στο ενδιάμεσο σχήμα, όπως έγινε με το παραλληλόγραμμο παραπάνω.

Εάν κόψετε το τρίγωνο σε κομμάτια που κάνουν το ορθογώνιο και μετά κόψετε το ορθογώνιο σε κομμάτια που κάνουν το τετράγωνο, τα κομμάτια που προκύπτουν μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να σχηματίσουν οποιοδήποτε από τα τρία σχήματα.

Το γεγονός ότι η ευθυγράμμιση του ψαλιδιού είναι μεταβατική βρίσκεται στο επίκεντρο ενός εκπληκτικού αποτελέσματος: Αν δύο πολύγωνα έχουν το ίδιο εμβαδόν, τότε είναι ίσα με ψαλίδια. Αυτό σημαίνει ότι, λαμβάνοντας υπόψη οποιαδήποτε δύο πολύγωνα με την ίδια περιοχή, μπορείτε πάντα να κόψετε το ένα σε έναν πεπερασμένο αριθμό κομματιών και να τα αναδιατάξετε για να φτιάξετε το άλλο.

Η απόδειξη αυτού του αξιοσημείωτου θεωρήματος είναι επίσης εξαιρετικά απλή. Αρχικά, κόψτε κάθε πολύγωνο σε τρίγωνα.

Δεύτερον, μετατρέψτε κάθε τρίγωνο σε ένα ορθογώνιο, παρόμοιο με το πώς η Τζίνα αναδιάταξε το τριγωνικό μπράουνι.

Τώρα έρχεται το δύσκολο τεχνικό μέρος: Μετατρέψτε κάθε ορθογώνιο σε ένα νέο ορθογώνιο πλάτους μίας μονάδας.

Για να το κάνετε αυτό, αρχίστε να κόβετε κομμάτια από το ορθογώνιο που έχουν πλάτος μία μονάδα.

Εάν μπορείτε να κόψετε το ορθογώνιο σε έναν αναπόσπαστο αριθμό κομματιών πλάτους 1, τελειώσατε: Απλώς τοποθετήστε τα το ένα πάνω στο άλλο. Διαφορετικά, σταματήστε να κόβετε όταν το τελευταίο κομμάτι έχει πλάτος μεταξύ 1 και 2 μονάδων και τοποθετήστε το υπόλοιπο το ένα πάνω στο άλλο.

Μην ανησυχείτε εάν το ίδιο το ορθογώνιο έχει πλάτος μικρότερο από 1 μονάδα: Απλώς κόψτε το στη μέση και χρησιμοποιήστε τα δύο κομμάτια για να φτιάξετε ένα νέο ορθογώνιο διπλάσιο και μισό πιο παχύ. Επαναλάβετε όσο χρειάζεται μέχρι να έχετε ένα ορθογώνιο πλάτους μεταξύ 1 και 2 μονάδων.

Τώρα φανταστείτε ότι αυτό το τελικό ορθογώνιο έχει ύψος h και πλάτος w, με 1 w < 2. Θα κόψουμε αυτό το ορθογώνιο και θα το αναδιατάξουμε σε ορθογώνιο με πλάτος 1 και ύψος h × w. Για να το κάνετε αυτό, επικαλύψτε το h × w ορθογώνιο με το επιθυμητό hw × 1 παραλληλόγραμμο σαν αυτό.

Στη συνέχεια κόψτε από γωνία σε γωνία κατά μήκος της διακεκομμένης γραμμής και κόψτε το μικρό τρίγωνο κάτω δεξιά ακολουθώντας τη δεξιά άκρη του hw × 1 ορθογώνιο.

Αυτό κόβει το h × w ορθογώνιο σε τρία κομμάτια που μπορούν να αναδιαταχθούν σε ένα hw × 1 ορθογώνιο. (Η αιτιολόγηση αυτής της τελικής ανατομής απαιτεί μερικά έξυπνα επιχειρήματα που περιλαμβάνουν παρόμοια τρίγωνα. Δείτε τις παρακάτω ασκήσεις για λεπτομέρειες.)

Τέλος, βάλτε αυτό το τελευταίο ορθογώνιο στην κορυφή της στοίβας και μετατρέψατε με επιτυχία αυτό το πολύγωνο - πραγματικά, οποιοδήποτε πολύγωνο - σε ένα ορθογώνιο πλάτους 1.

Τώρα αν το εμβαδόν του αρχικού πολυγώνου ήταν A, τότε το ύψος αυτού του ορθογωνίου πρέπει να είναι A, άρα κάθε πολύγωνο με εμβαδόν A είναι ψαλίδι ίσο με ένα ορθογώνιο με πλάτος 1 και ύψος A. Αυτό σημαίνει ότι αν δύο πολύγωνα έχουν εμβαδόν A, τότε είναι και τα δύο ψαλίδια ίσα με το ίδιο ορθογώνιο, άρα λόγω μεταβατικότητας είναι ψαλίδια ίσα μεταξύ τους. Αυτό δείχνει ότι κάθε πολύγωνο με εμβαδόν A είναι ψαλίδι σύμφωνο με κάθε άλλο πολύγωνο με εμβαδόν A.

Αλλά ακόμη και αυτό το δυνατό αποτέλεσμα δεν ήταν αρκετό για να ολοκληρώσει με επιτυχία την κρίση του Brownie Bake Off του Imaginary University. Υπήρχε ακόμη μία είσοδος και κανείς δεν εξεπλάγη με το τι εμφανίστηκε η ομάδα Pi.

Τη στιγμή που η Τζίνα είδε αυτόν τον κύκλο να έρχεται, ξύπνησε από το όνειρό της με κρύο ιδρώτας. Ήξερε ότι ήταν αδύνατο να κόψει έναν κύκλο σε πεπερασμένα πολλά κομμάτια και να τα αναδιατάξει ώστε να σχηματίσουν ένα τετράγωνο, ένα ορθογώνιο ή οποιοδήποτε πολύγωνο. Το 1964 οι μαθηματικοί Lester Dubins, Morris Hirsch και Jack Karush απέδειξαν ότι ένας κύκλος δεν είναι ψαλίδι σύμφωνος με κανένα πολύγωνο. Το όνειρο της Τζίνας είχε μετατραπεί σε γεωμετρικό εφιάλτη.

Αλλά όπως φαίνεται να κάνουν πάντα, οι μαθηματικοί μετέτρεψαν αυτό το εμπόδιο σε νέα μαθηματικά. Το 1990 ο Miklós Laczkovich απέδειξε ότι είναι δυνατό να τεμαχίσετε έναν κύκλο και να τον αναδιατάξετε σε τετράγωνο, αρκεί να χρησιμοποιήσετε άπειρα μικρά, απείρως αποσυνδεδεμένα, άπειρα οδοντωτά κομμάτια που δεν θα μπορούσαν να παραχθούν με ένα ψαλίδι.

Όσο εκπληκτικό και συναρπαστικό κι αν ήταν το αποτέλεσμα του Laczkovich, απέδειξε μόνο ότι μια τέτοια αποσύνθεση είναι θεωρητικά δυνατή. Δεν εξηγούσε πώς να κατασκευαστούν τα κομμάτια, μόνο ότι μπορούσαν να υπάρχουν. Εκεί μπήκαν οι Andras Máthé, Oleg Pikhurko και Jonathan Noel: Στις αρχές του 2022 δημοσίευσε ένα χαρτί στο οποίο ταίριαξαν με το επίτευγμα του Laczkovich, αλλά με κομμάτια που είναι δυνατό να οπτικοποιηθούν.

Δυστυχώς, δεν θα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το αποτέλεσμά τους για να διευθετήσετε τυχόν προβλήματα ψησίματος μπράουνι. Το ψαλίδι από μόνο του δεν μπορεί να δημιουργήσει το 10²⁰⁰ κομμάτια που χρειάζονται για την αποσύνθεσή τους. Αλλά είναι ένα ακόμη βήμα προς τα εμπρός για την απάντηση σε μια μακρά σειρά ερωτήσεων που ξεκίνησαν όταν ο Αρχιμήδης εφηύρε ή ανακάλυψε για πρώτη φορά το $latex pi$. Και μας κάνει να κινούμαστε προς την εφεύρεση ή την ανακάλυψη νέων μαθηματικών που οι προηγούμενες γενιές δεν μπορούσαν να ονειρευτούν.

Ασκήσεις

1. Εξηγήστε πώς ξέρουμε ότι στην παραγωγή του τύπου εμβαδού για ένα παραλληλόγραμμο, το τρίγωνο που αποκόψαμε ταιριάζει απόλυτα στο χώρο στην άλλη πλευρά του παραλληλογράμμου.

2. Εξηγήστε γιατί οποιοδήποτε τρίγωνο μπορεί να τεμαχιστεί σε ορθογώνιο.

Για τις ασκήσεις 3 και 4, εξετάστε το διάγραμμα που χρησιμοποιείται για να δείξετε ότι α h × w ορθογώνιο είναι ψαλίδι σύμφωνο με ένα hw × 1 ορθογώνιο, με σημειωμένα σημεία.

3. Εξηγήστε γιατί $λάτεξ τρίγωνο$ XYQ είναι παρόμοιο με το $lateextriangle$ ABX. Τι κάνει αυτό το μήκος QY?

4. Εξηγήστε γιατί $λάτεξ τρίγωνο$ PCX είναι σύμφωνο με το τρίγωνο $latex$ AZQ.