Εισαγωγή
Είναι ο αγώνας πρωταθλήματος της Imaginary Math League, όπου οι Atlanta Algebras θα αντιμετωπίσουν τους Carolina Cross Products. Οι δύο ομάδες δεν έχουν παίξει μεταξύ τους αυτή τη σεζόν, αλλά νωρίτερα μέσα στη χρονιά η Ατλάντα νίκησε τους Μπρούκλιν Μπίσεκτερς με σκορ 10 προς 5 και το Μπρούκλιν νίκησε την Καρολίνα με σκορ 7 προς 3. Μας δίνει αυτό κάποια εικόνα για το ποιος θα πάρει τον τίτλο;
Λοιπόν, εδώ είναι μια γραμμή σκέψης. Αν η Ατλάντα κέρδισε το Μπρούκλιν, τότε η Ατλάντα είναι καλύτερη από το Μπρούκλιν και αν το Μπρούκλιν κέρδισε την Καρολίνα, τότε το Μπρούκλιν είναι καλύτερο από την Καρολίνα. Έτσι, αν η Ατλάντα είναι καλύτερη από το Μπρούκλιν και το Μπρούκλιν είναι καλύτερο από την Καρολίνα, τότε η Ατλάντα θα πρέπει να είναι καλύτερη από την Καρολίνα και να κερδίσει το πρωτάθλημα.
Εάν παίζετε ανταγωνιστικά παιχνίδια ή αθλήματα, γνωρίζετε ότι η πρόβλεψη του αποτελέσματος ενός αγώνα δεν είναι ποτέ τόσο απλή. Αλλά από καθαρά μαθηματική άποψη, αυτό το επιχείρημα έχει κάποια ελκυστικότητα. Χρησιμοποιεί μια σημαντική ιδέα στα μαθηματικά, γνωστή ως μεταβατικότητα, μια γνωστή ιδιότητα που μας επιτρέπει να κατασκευάζουμε σειρές συγκρίσεων μεταξύ των σχέσεων. Η μεταβατικότητα είναι μια από εκείνες τις μαθηματικές ιδιότητες που είναι τόσο θεμελιώδεις που μπορεί να μην την παρατηρήσετε καν.
Για παράδειγμα, η ισότητα των αριθμών είναι μεταβατική. Αυτό σημαίνει ότι αν το γνωρίζουμε a = b και b = c, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι a = c. Η σχέση «μεγαλύτερο από» είναι επίσης μεταβατική: Για πραγματικούς αριθμούς, αν a > b και b > c, Τότε a > c. Όταν οι σχέσεις είναι μεταβατικές, μπορούμε να τις συγκρίνουμε και να τις συνδυάσουμε, δημιουργώντας μια σειρά αντικειμένων. Αν η Άννα είναι ψηλότερη από τον Μπέντζι και ο Μπέντζι από τον Καρλ, τότε μπορούμε να παραγγείλουμε τα τρία με βάση το ύψος τους: A, B, C. Η μεταβατικότητα βρίσκεται επίσης πίσω από το αφελές επιχείρημά μας ότι αν A είναι καλύτερο από B και B είναι καλύτερο από C, Τότε A είναι καλύτερο από C.
Η μεταβατικότητα είναι παρούσα στην ισότητα, την ομοιότητα, την ομοιότητα, ακόμη και τον παραλληλισμό. Είναι μέρος όλων των βασικών μαθηματικών που κάνουμε, κάτι που τα κάνει ιδιαίτερα μαθηματικά ενδιαφέροντα όταν δεν είναι εκεί. Όταν οι αναλυτές κατατάσσουν ομάδες, οι οικονομολόγοι μελετούν τις προτιμήσεις των καταναλωτών ή οι πολίτες ψηφίζουν τους υποψηφίους που προτιμούν, η έλλειψη μεταβατικότητας μπορεί να οδηγήσει σε εκπληκτικά αποτελέσματα. Για να κατανοήσουν καλύτερα αυτά τα είδη συστημάτων, οι μαθηματικοί μελετούν τα «αδιάβατα ζάρια» για πάνω από 50 χρόνια και πρόσφατο έγγραφο από τη διαδικτυακή μαθηματική συνεργασία που είναι γνωστή ως το έργο Polymath έχει προωθήσει αυτήν την κατανόηση. Για να καταλάβουμε πώς είναι η αδιαλλαξία, ας δημιουργήσουμε ένα δικό μας πρωτάθλημα και ας παίξουμε γύρω μας.
Στο νέο μας πρωτάθλημα μαθηματικών, οι παίκτες διαγωνίζονται γυρίζοντας προσαρμοσμένα νομίσματα και συγκρίνοντας τα αποτελέσματα. Παίκτης ας πούμε A έχει ένα νόμισμα με τον αριθμό 10 στη μία όψη και τον αριθμό 6 στην άλλη, και παίκτης BΤο κέρμα του έχει τους αριθμούς 8 και 3. Θα υποθέσουμε ότι τα νομίσματα είναι δίκαια — που σημαίνει ότι κάθε όψη είναι εξίσου πιθανό να εμφανίζεται όταν τα νομίσματα αναστρέφονται — και θα αναπαραστήσουμε τους αριθμούς στα νομίσματα έτσι.
Σε ένα παιχνίδι, οι παίκτες γυρίζουν τα νομίσματά τους και όποιος το κέρμα δείχνει τον μεγαλύτερο αριθμό είναι ο νικητής. Ποιος θα κερδίσει πότε A παίζει B?
Φυσικά, εξαρτάται. Ωρες ωρες A θα κερδίσει, μερικές φορές B Θα κερδίσω. Αλλά δεν είναι δύσκολο να το δεις αυτό A ευνοείται να κερδίσει εναντίον B. Υπάρχουν τέσσερις τρόποι που θα μπορούσε να εξελιχθεί το παιχνίδι και A κερδίζει σε τρία από αυτά.
Έτσι στο παιχνίδι του A έναντι B, A έχει 75% πιθανότητες να κερδίσει.
Τώρα C έρχεται και προκλήσεις B σε ένα παιχνίδι. CΤο νόμισμα έχει ένα 5 στη μια όψη και ένα 4 στην άλλη. Και πάλι υπάρχουν τέσσερις πιθανότητες.
Εδώ B και C ο καθένας κερδίζει δύο από τους τέσσερις αγώνες, οπότε θα κερδίσει ο καθένας το 50% των αγώνων. B και C ταιριάζουν ομοιόμορφα.
Τώρα, τι θα περιμένατε να συμβεί πότε A και C παίζω? Καλά, A συνήθως χτυπάει B, να B ταιριάζει ομοιόμορφα με C, οπότε φαίνεται λογικό να το περιμένουμε A μάλλον θα ευνοηθεί κατά C.
Αλλά A είναι κάτι παραπάνω από αγαπημένο. A κυριαρχεί C, κερδίζοντας το 100% του χρόνου.
Αυτό μπορεί να φαίνεται εκπληκτικό, αλλά μαθηματικά δεν είναι δύσκολο να καταλάβουμε γιατί συμβαίνει. CΟι αριθμοί του είναι ενδιάμεσα Bέτσι C κερδίζει ανά πάσα στιγμή B ανατρέπει τον μικρότερο αριθμό τους. Αλλά CΟι αριθμοί του είναι και οι δύο παρακάτω Aέτσι C δεν θα κερδίσει ποτέ αυτό το ματς. Αυτό το παράδειγμα δεν παραβιάζει την ιδέα της μεταβατικότητας, αλλά δείχνει ότι τα πράγματα μπορεί να είναι πιο περίπλοκα από A > B > C. Μια μικρή αλλαγή στο παιχνίδι μας δείχνει πόσο πιο περίπλοκο μπορεί να είναι.
Οι ανταγωνιστές μας κουράζονται γρήγορα από το παιχνίδι ανατροπής νομισμάτων δύο όψεων, καθώς είναι εύκολο να το κατανοήσετε πλήρως μαθηματικά (δείτε τις ασκήσεις στο τέλος της στήλης για περισσότερες λεπτομέρειες), οπότε το πρωτάθλημα αποφασίζει να αναβαθμίσει σε νομίσματα τριών όψεων. (Ένα από τα οφέλη του να παίζεις σε ένα φανταστικό πρωτάθλημα μαθηματικών είναι ότι όλα είναι δυνατά.)
Εδώ είναι A και Bνομίσματα του:
Ποιος ευνοείται σε ένα παιχνίδι μεταξύ A και B? Λοιπόν, υπάρχουν τρία αποτελέσματα για Aρίψη κέρματος και τρία για B, που οδηγεί σε εννέα πιθανά αποτελέσματα παιχνιδιού τα οποία μπορούμε εύκολα να χαρτογραφήσουμε.
Υποθέτοντας πάλι ότι όλα τα αποτελέσματα είναι εξίσου πιθανά, A κτυπά B σε πέντε από τα εννέα αποτελέσματα. Αυτό σημαίνει A θα πρέπει να κερδίσει $latex frac{5}{9} περίπου $55% του χρόνου, έτσι A ευνοείται κατά B.
Αισθάνονται λίγο απογοητευμένοι για τις προοπτικές τους, B προκλήσεις C σε ένα παιχνίδι. CΟι αριθμοί του φαίνονται παρακάτω. Σου αρέσει Bοι πιθανότητες του;
Και πάλι, υπάρχουν εννέα πιθανά αποτελέσματα σε ένα παιχνίδι B έναντι C, έτσι μπορούμε απλώς να τα απαριθμήσουμε.
Μπορούμε να το δούμε B φαίνεται αρκετά καλή κόντρα C. Σε πέντε από τα εννέα πιθανά αποτελέσματα, B κερδίζει. Έτσι B ευνοείται κατά C.
Φτωχό C τώρα πρέπει να παίξει A. Με A ευνοήθηκε κατά B και B ευνοήθηκε κατά C, τι κάνει η ευκαιρία C πρέπει να κερδίσει; Ένα αρκετά καλό, όπως αποδεικνύεται.
Σε πέντε από τα εννέα πιθανά αποτελέσματα εδώ, C κτυπά A. Αυτό σημαίνει ότι C ευνοείται κατά A, Αν και Aευνοείται κατά B και B ευνοείται κατά C.
Αυτό είναι ένα παράδειγμα αμετάβατου συστήματος. Με πιο τεχνικούς όρους, η σχέση «ευνοούμενος» στο παιχνίδι μας δεν είναι μεταβατική: A ευνοείται κατά B, να B ευνοείται κατά C, Αλλά A δεν ευνοείται απαραίτητα κατά C.
Δεν το βλέπουμε συχνά στα μαθηματικά, αλλά αυτού του είδους η συμπεριφορά δεν θα ξάφνιαζε τους λάτρεις των σπορ. Αν οι Γίγαντες κέρδιζαν τους Αετούς και οι Αετοί τους Καουμπόηδες, οι Καουμπόηδες θα μπορούσαν κάλλιστα να νικήσουν τους Γίγαντες. Υπάρχουν πολλοί παράγοντες που συμβάλλουν στο αποτέλεσμα ενός ατομικού παιχνιδιού. Οι ομάδες μπορούν να γίνουν καλύτερες με την εξάσκηση ή να μείνουν στάσιμες αν δεν καινοτομήσουν. Οι παίκτες μπορούν να αλλάξουν ομάδα. Λεπτομέρειες όπως η τοποθεσία του παιχνιδιού — εντός ή εκτός έδρας — ή το πόσο πρόσφατα έπαιξαν οι ομάδες μπορούν να επηρεάσουν το ποιος κερδίζει και ποιος χάνει.
Αλλά αυτό το απλό παράδειγμα δείχνει ότι υπάρχουν και καθαρά μαθηματικοί λόγοι πίσω από αυτό το είδος της αδιαλλαξίας. Και αυτή η καθαρά μαθηματική θεώρηση έχει κάτι κοινό με τους πραγματικούς περιορισμούς του ανταγωνισμού: τα matchups.
Εδώ είναι οι αριθμοί για A, B και C.
Όταν τα βλέπουμε δίπλα-δίπλα, είναι ευκολότερο να καταλάβουμε γιατί συμβαίνει η αδιαλλαξία σε αυτήν την κατάσταση. Αν και B ευνοείται να κερδίσει εναντίον C, CΟι δύο μεσαίου-υψηλοί αριθμοί του - το 7 και το 6 - τους δίνουν ένα πλεονέκτημα έναντι A ότι B δεν έχει. Αν και A ευνοείται κατά B και B ευνοείται κατά C, C ταιριάζουν με A καλύτερα από B κάνει. Αυτό είναι παρόμοιο με το πώς μια αθλητική ομάδα αουτσάιντερ μπορεί να ταιριάξει καλά με έναν ανώτερο αντίπαλο επειδή το στυλ παιχνιδιού της είναι δύσκολο να χειριστεί αυτή η ομάδα ή επειδή ένας παίκτης ή προπονητής τους δίνει πλεονέκτημα έναντι του συγκεκριμένου αντιπάλου.
Το γεγονός ότι τα αθλήματα είναι αμετάβατα είναι μέρος αυτού που τα κάνει διασκεδαστικά και συναρπαστικά. Άλλωστε, αν A κτυπά B και B κτυπά C, C δεν πρόκειται απλώς να χάσει λόγω της μεταβατικότητας όταν αντιμετωπίζουν A. Στον ανταγωνισμό όλα μπορούν να συμβούν. Όπως πολλοί σχολιαστές έχουν πει μετά από μια αναστάτωση, «Γι’ αυτό παίζουν το παιχνίδι».
Και γι' αυτό παίζουμε με τα μαθηματικά. Για να βρείτε τι είναι διασκεδαστικό, συναρπαστικό και εκπληκτικό. Οτιδήποτε μπορεί να συμβεί.
Εισαγωγή
Ασκήσεις
1. Ας υποθέσουμε ότι δύο παίκτες παίζουν το παιχνίδι με δύο όψεις και οι τέσσερις αριθμοί από τα δύο νομίσματα είναι όλοι διαφορετικοί. Υπάρχουν ουσιαστικά μόνο έξι πιθανά σενάρια για το ποιος κερδίζει και πόσο συχνά. Τι είναι?
Κάντε κλικ για απάντηση 1:
Υποθέτω AΟι δύο αριθμοί του είναι $latex a_1$ και $latex a_2$, με $latex a_1 > a_2$, και BΟι αριθμοί του είναι $latex b_1 > b_2$. Τα έξι ενδεχόμενα είναι:
1. $latex a_1 > a_2 > b_1 > b_2$: Ο A κερδίζει 100% των περιπτώσεων.
2. $latex a_1 > b_1 > a_2 > b_2$: Ο A κερδίζει το 75% του χρόνου.
3. $latex b_1 > a_1 > a_2 > b_2$: Ο A κερδίζει το 50% του χρόνου
4. $latex a_1 > b_1 > b_2 > a_2$: Ο A κερδίζει το 50% του χρόνου
5. $latex b_1 > a_1 > b_2 > a_2$: Ο A κερδίζει το 25% των περιπτώσεων.
6. $latex b_1 > b_2 > a_1 > a_2$: Ο A κερδίζει 0% του χρόνου.
Εισαγωγή
2. Στο σενάριο παιχνιδιού τριών όψεων που περιγράφεται παραπάνω, βρείτε ένα διαφορετικό νόμισμα τριών όψεων για C ούτως ώστε B εξακολουθεί να ευνοείται κατά C και C εξακολουθεί να ευνοείται κατά A.
Κάντε κλικ για απάντηση 2:
Ένα τέτοιο παράδειγμα είναι
Προσέξτε το τώρα B κτυπά C $latex frac{2}{3}$ του χρόνου, ενώ C κτυπά A $latex frac{5}{9}$ της εποχής.
Εισαγωγή
3. Αποδείξτε ότι σε ένα παιχνίδι δύο όψεων νομισμάτων, είναι αδύνατο να έχετε τρεις παίκτες A, B, C έτσι ώστε A ευνοείται κατά B, B ευνοείται κατά C, να C ευνοείται κατά A.
Κάντε κλικ για απάντηση 3:
Με λίγη δουλειά (όπως στη λύση της άσκησης 1) μπορείτε να διαπιστώσετε το γεγονός ότι ο αντίπαλός σας θα ευνοηθεί εναντίον σας εάν και μόνο εάν έχετε τον μικρότερο από τους τέσσερις αριθμούς. Έτσι, εάν A ευνοείται κατά B, Τότε B έχει τον μικρότερο από τους τέσσερις αριθμούς. Κι αν B ευνοείται κατά C, Τότε C έχει τον μικρότερο από αυτούς τους τέσσερις αριθμούς. Ετσι, CΟ μικρότερος αριθμός είναι μικρότερος από B's μικρότερος αριθμός, που είναι μικρότερος και από τους δύο Aτους αριθμούς του. Επειδή η σχέση «λιγότερο από» για πραγματικούς αριθμούς είναι μεταβατική, C έχει τον μικρότερο αριθμό στο matchup με A, και έτσι εάν A ευνοείται κατά B και B ευνοείται κατά C, Τότε A θα ευνοείται πάντα κατά C.
- SEO Powered Content & PR Distribution. Ενισχύστε σήμερα.
- PlatoData.Network Vertical Generative Ai. Ενδυναμώστε τον εαυτό σας. Πρόσβαση εδώ.
- PlatoAiStream. Web3 Intelligence. Ενισχύθηκε η γνώση. Πρόσβαση εδώ.
- PlatoESG. Ανθρακας, Cleantech, Ενέργεια, Περιβάλλον, Ηλιακός, Διαχείριση των αποβλήτων. Πρόσβαση εδώ.
- PlatoHealth. Ευφυΐα βιοτεχνολογίας και κλινικών δοκιμών. Πρόσβαση εδώ.
- πηγή: https://www.quantamagazine.org/the-surprisingly-simple-math-behind-puzzling-matchups-20240125/
- :έχει
- :είναι
- :δεν
- :που
- ][Π
- $UP
- 1
- 10
- 50
- 50 χρόνια
- 7
- 8
- a
- Σχετικα
- πάνω από
- απέναντι
- προηγμένες
- Πλεονέκτημα
- Μετά το
- πάλι
- κατά
- Όλα
- επιτρέπει
- κατά μήκος
- Επίσης
- Αν και
- πάντοτε
- an
- Αναλυτές
- και
- απάντηση
- κάθε
- οτιδήποτε
- έφεση
- εμφανίζομαι
- ΕΙΝΑΙ
- επιχείρημα
- γύρω
- AS
- υποθέτω
- At
- μακριά
- βασικός
- BE
- κτύπησε
- επειδή
- ήταν
- συμπεριφορά
- πίσω
- παρακάτω
- οφέλη
- Καλύτερα
- μεταξύ
- Κομμάτι
- και οι δύο
- Brooklyn
- αλλά
- by
- CAN
- Μπορεί να πάρει
- υποψηφίους
- , Καρλ
- προκλήσεις
- πρωτάθλημα
- ευκαιρία
- πιθανότητα
- αλλαγή
- Διάγραμμα
- Οι πολίτες
- προπονητής
- Κρυπτονόμισμα
- Κέρματα
- συνεργατική
- Στήλη
- συνδυασμός
- έρχεται
- σχολιαστής
- Κοινός
- συγκρίνουν
- συγκρίνοντας
- συγκρίσεις
- συναρπαστικό
- ανταγωνίζονται
- ανταγωνισμός
- ανταγωνιστική
- ανταγωνιστές
- εντελώς
- περίπλοκος
- καταλήγω
- εξέταση
- περιορισμούς
- κατασκευάσει
- καταναλωτής
- συμβάλλει
- θα μπορούσε να
- Πορεία
- δημιουργία
- Σταυρός
- έθιμο
- εξαρτάται
- περιγράφεται
- καθέκαστα
- διαφορετικές
- δύσκολος
- do
- κάνει
- Όχι
- κυριαρχεί
- Μην
- κάτω
- δυο
- κάθε
- Νωρίτερα
- ευκολότερη
- εύκολα
- εύκολος
- οικονομολόγοι
- άκρη
- τέλος
- ισότητα
- εξίσου
- ειδικά
- κατ 'ουσίαν,
- εγκαθιδρύω
- Even
- εξίσου
- παράδειγμα
- Άσκηση
- αναμένω
- Πρόσωπο
- γεγονός
- παράγοντες
- έκθεση
- οικείος
- ανεμιστήρες
- Αγαπημένα
- αισθάνεται
- Εύρεση
- πέντε
- Αναρρίπτω
- Περνάει
- Για
- μορφή
- θεμελιακών
- τέσσερα
- από
- διασκέδαση
- παιχνίδι
- Games
- παίρνω
- γίγαντες
- Δώστε
- δίνει
- μετάβαση
- καλός
- λαβή
- συμβαίνω
- συμβαίνει
- Σκληρά
- Έχω
- ύψος
- εδώ
- υψηλότερο
- Αρχική
- Πως
- HTTPS
- ιδέα
- if
- φανταστικός
- Επίπτωση
- σημαντικό
- αδύνατος
- in
- ατομικές
- νεωτερίζω
- διορατικότητα
- ενδιαφέρον
- σε
- IT
- μόλις
- Είδος
- Ξέρω
- γνωστός
- Έλλειψη
- οδηγήσει
- που οδηγεί
- Λιγκ
- μείον
- Μου αρέσει
- Πιθανός
- γραμμή
- Λιστα
- λίγο
- τοποθεσία
- κοιτάζοντας
- ΦΑΊΝΕΤΑΙ
- Χάνει
- πλήθος
- χαμηλότερα
- περιοδικό
- ΚΑΝΕΙ
- πολοί
- Ταίριασμα
- συμφωνημένα
- σπίρτα
- μαθηματικά
- μαθηματικός
- Μαθηματικά
- μαθηματικά
- Ενδέχεται..
- νόημα
- μέσα
- ενδέχεται να
- περισσότερο
- πολύ
- αναγκαίως
- ποτέ
- Νέα
- εννέα
- Ειδοποίηση..
- τώρα
- αριθμός
- αριθμοί
- αντικειμένων
- of
- off
- συχνά
- on
- ONE
- διαδικτυακά (online)
- αποκλειστικά
- or
- τάξη
- ΑΛΛΑ
- δικός μας
- έξω
- Αποτέλεσμα
- αποτελέσματα
- επί
- δική
- μέρος
- Ειδικότερα
- Πλάτων
- Πληροφορία δεδομένων Plato
- Πλάτωνα δεδομένα
- Δοκιμάστε να παίξετε
- έπαιξε
- παίχτης
- παίκτες
- παιχνίδι
- παίζει
- δυνατότητες
- δυνατός
- πρακτική
- προβλέποντας
- προτιμήσεις
- προτιμάται
- παρόν
- αρκετά
- πιθανώς
- Προϊόντα
- σχέδιο
- ιδιότητες
- περιουσία
- προοπτικές
- Αποδείξτε
- καθαρώς
- γρήγορα
- κατατάσσουν
- πραγματικός
- πραγματικό κόσμο
- λογικός
- λόγους
- πρόσφατα
- σχέση
- σχέση
- Σχέσεις
- εκπροσωπώ
- Αποτελέσματα
- Είπε
- λένε
- σενάριο
- σενάρια
- σκορ
- Εποχή
- δείτε
- φαίνομαι
- φαίνεται
- αίσθηση
- θα πρέπει να
- δείχνουν
- παρουσιάζεται
- Δείχνει
- πλευρά
- παρόμοιες
- Απλούς
- κατάσταση
- ΕΞΙ
- μικρότερος
- So
- λύση
- μερικοί
- κάτι
- μερικές φορές
- Αθλητισμός
- λιμνάζω
- άποψη
- Ακόμη
- ειλικρινής
- Μελέτη
- μελετώντας
- στυλ
- τέτοιος
- ανώτερος
- έκπληξη
- εκπληκτικός
- σύστημα
- συστήματα
- Πάρτε
- ομάδες
- Τεχνικός
- όροι
- από
- ότι
- Η
- Τα νομίσματα
- τους
- Τους
- τότε
- Εκεί.
- Αυτοί
- αυτοί
- πράγματα
- αυτό
- εκείνοι
- αν και?
- σκέψη
- τρία
- Ετσι
- ώρα
- ελαστικών
- Τίτλος
- προς την
- πολύ
- Τινάσσω
- μετατρέπει
- δύο
- καταλαβαίνω
- κατανόηση
- αναβάθμισης
- us
- χρησιμοποιεί
- συνήθως
- Εναντίον
- πολύ
- Δες
- Ψηφίστε
- τρόπους
- we
- webp
- ΛΟΙΠΌΝ
- Τι
- πότε
- Ποιό
- ενώ
- Ο ΟΠΟΊΟΣ
- WHY
- θα
- νίκη
- νικητής
- νίκη
- Κερδίζει
- με
- Εργασία
- θα
- έτος
- χρόνια
- Εσείς
- Σας
- zephyrnet