Εισαγωγή
Η θεωρία των κόμβων ξεκίνησε ως μια προσπάθεια κατανόησης της θεμελιώδους σύνθεσης του σύμπαντος. Το 1867, όταν οι επιστήμονες προσπαθούσαν εναγωνίως να καταλάβουν τι θα μπορούσε να εξηγήσει όλα τα διαφορετικά είδη ύλης, ο Σκωτσέζος μαθηματικός και φυσικός Peter Guthrie Tait έδειξε στον φίλο και συμπατριώτη του Sir William Thomson τη συσκευή του για τη δημιουργία δακτυλίων καπνού. Ο Τόμσον —που αργότερα έγινε Λόρδος Κέλβιν (ομώνυμος της κλίμακας θερμοκρασίας) — γοητεύτηκε από τα μαγευτικά σχήματα των δαχτυλιδιών, τη σταθερότητά τους και τις αλληλεπιδράσεις τους. Η έμπνευσή του τον οδήγησε σε μια εκπληκτική κατεύθυνση: Ίσως, σκέφτηκε, όπως οι δακτύλιοι καπνού ήταν δίνες στον αέρα, τα άτομα ήταν δακτύλιοι δίνης με κόμπους στον φωτεινό αιθέρα, ένα αόρατο μέσο μέσω του οποίου, πίστευαν οι φυσικοί, διαδόθηκε το φως.
Αν και αυτή η ιδέα της βικτωριανής εποχής μπορεί τώρα να ακούγεται γελοία, δεν ήταν μια επιπόλαιη έρευνα. Αυτή η θεωρία δίνης είχε πολλά να τη συστήσει: Η τεράστια ποικιλία των κόμβων, ο καθένας ελαφρώς διαφορετικός, φαινόταν να αντικατοπτρίζει τις διαφορετικές ιδιότητες των πολλών χημικών στοιχείων. Η σταθερότητα των δακτυλίων στροβιλισμού μπορεί επίσης να παρέχει τη μονιμότητα που απαιτούν τα άτομα.
Η θεωρία του Vortex κέρδισε την έλξη στην επιστημονική κοινότητα και ενέπνευσε τον Tait να αρχίσει να ταξινομεί όλους τους κόμβους, δημιουργώντας αυτό που ήλπιζε ότι θα ισοδυναμούσε με έναν πίνακα στοιχείων. Φυσικά, τα άτομα δεν είναι κόμβοι και δεν υπάρχει αιθέρας. Στα τέλη της δεκαετίας του 1880, ο Thomson εγκατέλειπε σταδιακά τη θεωρία του στροβίλου, αλλά μέχρι τότε ο Tait είχε αιχμαλωτιστεί από τη μαθηματική κομψότητα των κόμβων του και συνέχισε το έργο του για την καταγραφή. Στην πορεία, καθιέρωσε το μαθηματικό πεδίο της θεωρίας των κόμβων.
Όλοι είμαστε εξοικειωμένοι με τους κόμπους - κρατούν παπούτσια στα πόδια μας, βάρκες ασφαλισμένες στις αποβάθρες και ορειβάτες από τα βράχια κάτω. Αλλά αυτοί οι κόμβοι δεν είναι ακριβώς αυτό που οι μαθηματικοί (συμπεριλαμβανομένου του Tait) θα αποκαλούσαν κόμπο. Αν και ένα μπερδεμένο καλώδιο προέκτασης μπορεί να φαίνεται κομμένο, είναι πάντα δυνατό να το ξεμπλέξετε. Για να δημιουργήσετε έναν μαθηματικό κόμπο, πρέπει να συνδέσετε τα ελεύθερα άκρα του κορδονιού για να σχηματίσετε έναν κλειστό βρόχο.
Επειδή τα σκέλη ενός κόμπου είναι εύκαμπτα σαν χορδή, οι μαθηματικοί βλέπουν τη θεωρία των κόμβων ως υποπεδίο του τοπολογία, η μελέτη των εύπλαστων σχημάτων. Μερικές φορές είναι δυνατό να ξεμπερδέψουμε έναν κόμπο, έτσι ώστε να γίνει ένας απλός κύκλος, τον οποίο ονομάζουμε "unknot". Αλλά πιο συχνά, το ξεμπλέξιμο ενός κόμπου είναι αδύνατο.
Οι κόμποι μπορούν επίσης να συνδυαστούν για να σχηματίσουν νέους κόμπους. Για παράδειγμα, ο συνδυασμός ενός απλού κόμπου γνωστού ως τριφυλλιού με την κατοπτρική του εικόνα δημιουργεί έναν τετράγωνο κόμπο. (Και αν ενώσετε δύο ίδιους κόμπους τριφυλλιού, κάνετε έναν κόμπο γιαγιά.)
Χρησιμοποιώντας ορολογία από τον κόσμο των αριθμών, οι μαθηματικοί λένε ότι το τρίφυλλο είναι ένας πρώτος κόμπος, ο τετράγωνος κόμπος είναι σύνθετος και, όπως ο αριθμός 1, ο μη κόμπος δεν είναι κανένας από τους δύο. Αυτή η αναλογία υποστηρίχθηκε περαιτέρω το 1949 όταν ο Horst Schubert απέδειξε ότι κάθε κόμβος είτε είναι πρώτος είτε μπορεί να αποσυντεθεί μοναδικά σε πρώτους κόμβους.
Ένας άλλος τρόπος για να δημιουργήσετε νέους κόμπους είναι να συνδυάσετε δύο ή περισσότερους κόμβους, σχηματίζοντας έναν σύνδεσμο. Τα δαχτυλίδια Borromean, που ονομάστηκαν έτσι επειδή εμφανίζονται στο οικόσημο του ιταλικού Οίκου Borromeo, είναι ένα απλό παράδειγμα.
Ο Thomson και ο Tate δεν ήταν οι πρώτοι που είδαν τους κόμπους με μαθηματικό τρόπο. Ήδη από το 1794, ο Carl Friedrich Gauss έγραψε και σχεδίασε παραδείγματα κόμπων στο προσωπικό του σημειωματάριο. Και ο μαθητής του Gauss Johann Listing έγραψε για τους κόμβους στη μονογραφία του το 1847 Vorstudien zur Topologie («Προκαταρκτικές Σπουδές Τοπολογίας») — που είναι και η προέλευση του όρου τοπολογία.
Αλλά ο Tait ήταν ο πρώτος μελετητής που εργάστηκε πάνω σε αυτό που έγινε το θεμελιώδες πρόβλημα στη θεωρία των κόμβων: την ταξινόμηση και τον πίνακα όλων των πιθανών κόμβων. Μέσα από χρόνια επίπονης δουλειάς χρησιμοποιώντας μόνο τη γεωμετρική του διαίσθηση, βρήκε και ταξινόμησε όλους τους πρωταρχικούς κόμβους που, όταν προβάλλονται σε ένα αεροπλάνο, έχουν το πολύ επτά διασταυρώσεις.
Στα τέλη του 19ου αιώνα, ο Tait έμαθε ότι δύο άλλα άτομα - ο ιερέας Thomas Kirkman και ο Αμερικανός μαθηματικός Charles Little - μελετούσαν επίσης αυτό το πρόβλημα. Με τις συνδυασμένες προσπάθειές τους, ταξινόμησαν όλους τους κύριους κόμβους με έως και 10 διασταυρώσεις και πολλούς από αυτούς με 11 διασταυρώσεις. Περιέργως, τα τραπέζια τους μέχρι τα 10 ήταν πλήρη: Δεν έχασαν κανένα κόμπο.
Είναι αξιοσημείωτο ότι οι Tait, Kirkman και Little πέτυχαν τόσα πολλά χωρίς τα θεωρήματα και τις τεχνικές που θα ανακαλύφθηκαν τα επόμενα χρόνια. Αλλά ένα πράγμα που λειτούργησε προς όφελός τους ήταν το γεγονός ότι οι περισσότεροι μικροί κόμβοι είναι «εναλλασσόμενοι», που σημαίνει ότι έχουν μια προβολή στην οποία οι διασταυρώσεις εμφανίζουν ένα σταθερό μοτίβο πάνω-κάτω-πάνω-κάτω.
Οι εναλλασσόμενοι κόμβοι έχουν ιδιότητες που τους καθιστούν ευκολότερο να ταξινομηθούν από τους μη εναλλασσόμενους κόμβους. Για παράδειγμα, η εύρεση του ελάχιστου αριθμού διασταυρώσεων για οποιαδήποτε προβολή ενός κόμπου είναι δύσκολη. Αλλά ο Tait, ο οποίος επί χρόνια υπέθεσε λανθασμένα ότι όλοι οι κόμβοι εναλλάσσονταν, υπέθεσε έναν τρόπο για να διαπιστώσετε εάν έχετε βρει αυτόν τον ελάχιστο αριθμό: Εάν μια εναλλασσόμενη προβολή δεν έχει διασταυρώσεις που μπορούν να αφαιρεθούν αναποδογυρίζοντας μέρος του κόμπου, τότε πρέπει να είναι η προβολή με τον ελάχιστο αριθμό διασταυρώσεων.
Αυτή και δύο ακόμη εικασίες του Tait σχετικά με τους εναλλασσόμενους κόμβους κατέληξαν να είναι αληθινές. Ωστόσο, αυτές οι περίφημες εικασίες δεν αποδείχθηκαν μέχρι τα τέλη της δεκαετίας του 1980 και τις αρχές της δεκαετίας του '90 χρησιμοποιώντας ένα μαθηματικό εργαλείο που αναπτύχθηκε το 1984 από τον Vaughan Jones, ο οποίος κέρδισε το μετάλλιο Fields για το έργο του στη θεωρία των κόμβων.
Δυστυχώς, οι εναλλασσόμενοι κόμβοι σε πηγαίνουν μόνο μέχρι εκεί. Μόλις μπούμε σε κόμβους με οκτώ ή περισσότερες διασταυρώσεις, ο αριθμός των μη εναλλασσόμενων κόμβων αυξάνεται γρήγορα, καθιστώντας τις τεχνικές του Tait λιγότερο χρήσιμες.
Ο αρχικός πίνακας και των 10 κόμβων ήταν πλήρης, αλλά οι Tait, Kirkman και Little μέτρησαν διπλά. Μόλις τη δεκαετία του 1970 ο Κένεθ Πέρκο, ένας δικηγόρος που είχε σπουδάσει θεωρία κόμβων στο Πρίνστον, παρατήρησε ότι δύο από τους κόμπους είναι κατοπτρικές εικόνες ο ένας του άλλου. Είναι πλέον γνωστοί ως το ζευγάρι Πέρκο προς τιμήν του.
Τον τελευταίο αιώνα, οι μαθηματικοί έχουν βρει πολλούς έξυπνους τρόπους για να προσδιορίσουν εάν οι κόμβοι είναι πραγματικά διαφορετικοί. Ουσιαστικά, η ιδέα είναι να αναγνωρίζουν ένα αμετάβλητο — μια ιδιότητα, ποσότητα ή αλγεβρική οντότητα που σχετίζεται με τον κόμπο και μπορεί συχνά να υπολογιστεί απλά. (Αυτές οι ιδιότητες έχουν ονόματα όπως χρωματικότητα, αριθμός γέφυρας ή στρέβλωση.) Οπλισμένοι με αυτές τις ετικέτες, οι μαθηματικοί μπορούν τώρα εύκολα να συγκρίνουν δύο κόμβους: Εάν διαφέρουν σε οποιοδήποτε δεδομένο χαρακτηριστικό, τότε δεν είναι ο ίδιος κόμπος. Καμία από αυτές τις ιδιότητες, ωστόσο, δεν είναι αυτό που οι μαθηματικοί ονομάζουν εντελώς αμετάβλητη, που σημαίνει ότι δύο διαφορετικοί κόμβοι μπορεί να έχουν την ίδια ιδιότητα.
Εξαιτίας όλης αυτής της πολυπλοκότητας, μπορεί να μην αποτελεί έκπληξη το γεγονός ότι η ταξινόμηση των κόμβων συνεχίζεται ακόμη. Πιο πρόσφατα, το 2020, ο Benjamin Burton ταξινομήσει όλους τους κύριους κόμβους έως και 19 διελεύσεις (εκ των οποίων είναι σχεδόν 300 εκατομμύρια).
Η παραδοσιακή θεωρία κόμπων έχει νόημα μόνο σε τρεις διαστάσεις: Σε δύο διαστάσεις είναι δυνατός μόνο ο ξεκόμπος και σε τέσσερις διαστάσεις το επιπλέον δωμάτιο επιτρέπει στους κόμπους να λύνονται, έτσι κάθε κόμπος είναι ίδιος με τον χωρίς κόμπο.
Ωστόσο, στον τετραδιάστατο χώρο μπορούμε να κόμπουμε σφαίρες. Για να καταλάβετε τι σημαίνει αυτό, φανταστείτε να κόβετε μια συνηθισμένη σφαίρα σε τακτά χρονικά διαστήματα. Αν το κάνετε αυτό, προκύπτουν κύκλοι, σαν γραμμές γεωγραφικού πλάτους. Ωστόσο, αν είχαμε μια επιπλέον διάσταση, θα μπορούσαμε να κόμπουμε τη σφαίρα έτσι ώστε οι φέτες, τώρα τρισδιάστατες και όχι δύο, να είναι κόμβοι.
Αυτή η ιδέα βρισκόταν πίσω από ένα από τα μεγαλύτερα πρόσφατα αποτελέσματα στη θεωρία των κόμβων. Το 2018, η τότε πτυχιούχος φοιτήτρια Lisa Piccirillo έλυσε μια απορία 50 ετών για έναν κόμπο 11-διασταύρωσης που ανακαλύφθηκε για πρώτη φορά από τον John Conway. Η ερώτηση είχε να κάνει με μια ιδιότητα που ονομάζεται sliceness. Όπως είδαμε, όταν κόβουμε μια σφαίρα με κόμπους σε τέσσερις διαστάσεις, παίρνουμε έναν κόμπο ή έναν σύνδεσμο σε τρεις διαστάσεις. Μερικές φορές μπορούμε να πάρουμε έναν δεδομένο κόμπο από μια ωραία σφαίρα με απαλούς κόμπους, αλλά για άλλους κόμπους η σφαίρα πρέπει να δεθεί και να τσαλακωθεί σαν ένα κομμάτι χαρτί. Ο Piccirillo απέδειξε, στην ουσία, ότι ο κόμπος του Conway ήταν του τελευταίου τύπου. Στην τεχνική γλώσσα, απέδειξε ότι δεν είναι «ομαλά κομμάτια».
Η θεωρία των κόμβων έχει διασταυρώσει το μαθηματικό τοπίο στο πέρασμα των αιώνων. Ξεκίνησε ως μια εφαρμοσμένη περιοχή των μαθηματικών, με τον Thomson να προσπαθεί να χρησιμοποιήσει κόμβους για να κατανοήσει τη σύνθεση της ύλης. Καθώς αυτή η ιδέα ξεθώριαζε, έγινε μια περιοχή καθαρών μαθηματικών, ένας κλάδος του ενδιαφέροντος και ακόμη μη πρακτικού τομέα της τοπολογίας. Όμως τα τελευταία χρόνια η θεωρία των κόμβων έχει γίνει και πάλι ένας εφαρμοσμένος τομέας των μαθηματικών, καθώς οι επιστήμονες χρησιμοποιούν ιδέες από τη θεωρία κόμβων για να διερευνήσουν δυναμική ρευστού, ηλεκτροδυναμική, μόρια με κόμπους όπως το DNA και ούτω καθεξής. Ευτυχώς, ενώ οι επιστήμονες ήταν απασχολημένοι με τη μελέτη άλλων πραγμάτων, οι μαθηματικοί έφτιαχναν καταλόγους με κόμπους και τα εργαλεία για να ξεμπερδέψουν τα μυστικά τους.
