Una breve historia del complicado mosaico matemático | Revista Quanta

Todos los días vemos ejemplos de motivos repetidos. Esta simetría y regularidad pueden parecer mundanas y casi invisibles, como ocurre con los ladrillos en las paredes de los edificios o el patrón hexagonal en un panal. O si tenemos la suerte de encontrar algo como los elegantes azulejos de la Alhambra de España o los dibujos creativos de MC Escher, los patrones pueden inspirarnos y sorprendernos.

Durante siglos, los matemáticos han jugado con estas formas repetidas, extrayendo de ellas ideas fascinantes y posibilidades novedosas. La belleza de las matemáticas rivaliza con la belleza de los diseños mismos.

Los mosaicos más simples están hechos de polígonos idénticos con lados de igual longitud y ángulos de igual medida unidos de borde a borde. Pero aunque hay infinitos de estos polígonos "regulares" (uno para cada número de lados), sólo hay tres mosaicos regulares, formados a partir de formas con tres, cuatro o seis lados, es decir, triángulos, cuadrados y hexágonos.

Las otras formas simplemente no están diseñadas para ello. Un pentágono regular (de cinco lados) tiene un ángulo interior de 108 grados. Esto no se divide uniformemente en 360 grados, por lo que cualquier intento de ensamblar pentágonos regulares en un mosaico seguramente producirá espacios que no se pueden llenar; decimos que el pentágono regular no puede enlosar el plano. Y los polígonos regulares con más de seis lados tienen ángulos interiores demasiado grandes para que tres se encuentren en un solo punto, por lo que tampoco pueden hacerlo.

Otra versión del mosaico con polígonos regulares proviene de Johannes Kepler, hoy más conocido por sus descubrimientos sobre el movimiento planetario. En 1619, demostró que incluso si se utiliza más de un polígono regular, sólo se pueden crear ocho nuevos patrones de mosaico donde la configuración alrededor de cada vértice es idéntica. (Si se nos permite desviarnos de esta restricción, hay más posibilidades).

Cuando permitimos polígonos irregulares, las cosas se vuelven más interesantes. Sorprendentemente, cada triángulo puede formar mosaicos en el plano, y aún más sorprendentemente, también puede hacerlo cada cuadrilátero.

Por otro lado, es imposible revestir el plano con cualquier polígono convexo de más de seis lados; la suma de los ángulos interiores es demasiado grande. Entonces eso deja solo pentágonos y hexágonos como posibilidades restantes.

En su tesis doctoral de 1918, Karl Reinhardt demostró que es posible revestir el plano con infinitos hexágonos convexos (aquellos sin muescas) que agrupó en tres familias.

Los pentágonos convexos que recubren el avión eran más complicados de clasificar. Reinhardt descubrió cinco familias de tales pentágonos; Cincuenta años después, Richard Kershner encontró tres más. Luego, en 50, Martin Gardner escribió sobre el problema de Scientific American, atrayendo la atención de matemáticos profesionales y aficionados por igual. Uno de esos aficionados, un programador informático llamado Richard James III, le envió a Gardner un ejemplo de una novena familia y le preguntó: "¿Estás de acuerdo en que Kershner se perdió esta?". Él tuvo.

Marjorie Rice, ama de casa, también leyó la columna de Gardner y comenzó a resolver el problema en la mesa de su cocina. Ella jugueteó durante más de dos años y descubrió cuatro familias más de pentágonos en mosaico.

Los investigadores encontraron una decimocuarta familia de pentágonos en mosaico en 14, y tres décadas después, otro equipo encontró una decimoquinta familia mediante una búsqueda por computadora. Nadie sabía si este descubrimiento completaba la lista, o si aún había más familias escondidas. Esa pregunta fue respondida en 1985 cuando Michaël Rao demostrado que se habían encontrado todos los pentágonos de mosaico convexos y, con ellos, todos los polígonos de mosaico convexos.

Todos estos mosaicos se repiten. Es decir, tienen una simetría periódica, lo que básicamente significa que si trazamos el mosaico en una hoja de papel y lo deslizamos en ciertas direcciones, se alinearía exactamente con el mosaico nuevamente.

También son posibles otros tipos de simetrías. Por ejemplo, una simetría especular implica que nuestros patrones se alinearán si volteamos nuestro papel de calco sobre una línea fija. La simetría rotacional significa que se alinearán si rotamos nuestro papel. Y podemos combinar acciones para obtener una simetría de reflexión de deslizamiento, que es como deslizar el papel y luego darle la vuelta.

En 1891, el cristalógrafo ruso Evgraf Fedorov demostró que sólo hay 17 formas de combinar estas simetrías. Dado que esta restricción se aplica a todas las decoraciones periódicas del avión, se las conoce comúnmente como los 17 "grupos de fondos de pantalla".

Una vez que uno se familiariza con esta clasificación de patrones de simetría, es casi imposible ver un diseño periódico, por intrincado que sea, y no verlo como un rompecabezas que hay que decodificar: ¿dónde y cómo, exactamente, se repite? ¿Dónde están esas simetrías?

Por supuesto, no todos los diseños de mosaicos son periódicos. Es posible, y a menudo fácil, colocar baldosas en el plano para que el diseño resultante nunca se repita. En nuestro ejemplo con hexágonos, cuadrados y triángulos, puedes hacer esto simplemente rotando un solo hexágono y los polígonos que lo rodean 30 grados. El mosaico resultante ya no tiene simetrías de traslación.

En 1961, el lógico Hao Wang conjeturó que si un conjunto de formas forman mosaicos en el plano, entonces las formas deben poder formar mosaicos en el plano periódicamente. Sólo unos años más tarde, su estudiante de posgrado, Robert Berger, demostró que estaba equivocado al descubrir un enorme conjunto de más de 20,000 mosaicos que recubren el avión, pero sólo de forma no periódica. Estos conjuntos de mosaicos se denominan aperiódicos.

Aunque Berger y otros lograron reducir significativamente el tamaño de estos conjuntos aperiódicos, a mediados de la década de 1970 Roger Penrose capturó la atención del mundo al descubrir conjuntos muy pequeños de sus propios mosaicos aperiódicos. Los conjuntos más pequeños requieren sólo dos fichas.

Estas formas y patrones cautivaron a matemáticos, científicos y al público en general. Pero plantearon una siguiente pregunta obvia: ¿existe una única baldosa aperiódica? La última búsqueda de la teoría de los mosaicos era ahora encontrar un mosaico de “einstein”, llamado no así por el físico, sino por la frase alemana “una piedra”.

En 2010, Joshua Socolar y Joan Taylor estuvieron muy cerca de descubrir un Einstein. El problema con su enfoque fue que su mosaico tuvo que ser desconectado; Esto sería como revestir el plano con formas como el estado de Hawai'i, una entidad única que consta de regiones separadas, en lugar de formas conectadas como California. Cada vez más, los matemáticos sospechaban que si existiera un Einstein, tendría que ser algo geométricamente muy complicado.

En marzo de 2023, un aficionado volvió a sorprender al mundo. Un técnico de impresión jubilado y aficionado a las matemáticas llamado David Smith había descubierto no sólo un monotilo aperiódico, sino una familia infinita de estos esquivos einsteins. Contó con Craig Kaplan, Chaim Goodman-Strauss y Joseph Samuel Myers, expertos en informática, matemáticas y teoría de mosaicos, y juntos presentaron un Einstein geométricamente simple llamado el mosaico del sombrero (que en Internet pensó que parecía una camiseta). ).

La reacción fue rápida y positiva. Los descubridores hablaron en conferencias y dieron charlas online. Los artistas matemáticos aprovecharon la oportunidad de encontrar formas creativas de producir diseños similares a los de Escher basados ​​en estos nuevos mosaicos geométricamente interesantes. La teja del sombrero incluso apareció en el monólogo de un programa de televisión nocturno.

Sin embargo, todavía había margen de mejora. Para colocar el sombrero en el avión, debes voltear aproximadamente una séptima parte de las fichas. Un propietario que quisiera revestir su baño con azulejos de sombrero tendría que comprar dos tipos de azulejos: un azulejo estándar y su imagen de espejo. ¿Era esto realmente necesario?

Incluso antes de que se calmara la emoción por el sombrero, el equipo hizo otro anuncio. Smith había encontrado, en esa familia infinita de monotiles aperiódicos, uno al que llamó “espectro” que podía enlosar el plano sin necesidad de copias reflejadas. Por fin había aparecido un verdadero Einstein.

Ahora estamos en medio de un resurgimiento de la exploración matemática de mosaicos y teselados. Se ha basado en importantes contribuciones de aficionados, ha inspirado la creatividad de artistas matemáticos y ha aprovechado el poder de las computadoras para ampliar los límites del conocimiento. Y a partir de ahí hemos logrado nuevos conocimientos sobre la naturaleza de la simetría, la geometría y el diseño.

Corrección: 30 de Octubre de 2023
La versión original de este artículo decía que es imposible revestir el plano con un polígono de más de seis lados. Esto es cierto sólo si el polígono es convexo.

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