A principios de la década de 1950, un grupo de investigadores del Instituto de Estudios Avanzados se embarcó en un proyecto de alta tecnología. En el petición de John von Neumann y Herman Goldstine, el físico Hedvig Selberg programó la computadora de 1,700 tubos de vacío de la IAS para calcular curiosas sumas matemáticas cuyos orígenes se remontan al siglo XVIII.
Las sumas estaban relacionadas con las sumas cuadráticas de Gauss, llamadas así por el famoso matemático Carl Friedrich Gauss. Gauss elegiría algún número primo p, luego suma números de la forma $latex e^{frac{2iπn^2}{p}}$. Desde sus inicios, las sumas cuadráticas de Gauss han demostrado ser invaluables para tareas como contar soluciones para ciertos tipos de ecuaciones. “Resulta que las sumas de Gauss son mágicas, que simplemente hacen cosas maravillosas por Dios sabe qué razón”, dijo jeffrey hoffstein, un matemático de la Universidad de Brown.
A mediados del siglo XIX, el matemático alemán Ernst Eduard Kummer estaba jugando con un pariente cercano de estas sumas cuadráticas de Gauss, donde el n2 en el exponente se reemplaza por un n3. Kummer notó que tendían a acumular valores cercanos a los particulares en un grado sorprendente, una aguda observación que conduciría a siglos de investigación en teoría de números.
Si las sumas cúbicas de Gauss no se transforman en una fórmula más simple, sus valores son difíciles de inferir. Al carecer de esa fórmula, Kummer se dedicó a calcular sumas cúbicas de Gauss, y a calcular y calcular. "Era muy común para ellos hacer este tipo de cálculos heroicos a mano en ese entonces", dijo Matthew Young, matemático de la Universidad Texas A&M. Después de analizar 45 sumas, correspondientes a los primeros 45 números primos no triviales, Kummer finalmente se dio por vencido.
Al examinar sus resultados, Kummer notó algo interesante. En teoría, las sumas podrían ser cualquier cosa entre −1 y 1 (después de ser "normalizadas", divididas por una constante adecuada). Pero cuando hizo los cálculos, descubrió que estaban distribuidos de forma extraña. La mitad de los resultados estuvieron entre ½ y 1, y solo una sexta parte estuvo entre -1 y -½. Parecían agruparse alrededor de 1.
Kummer expuso sus observaciones, junto con una conjetura: si de alguna manera lograra graficar todas las infinitas sumas cúbicas de Gauss, vería la mayoría de ellas entre ½ y 1; menos entre −½ y ½; y aún menos entre −1 y −½.
Selberg, von Neumann y Goldstine se propusieron probar esto en su primera computadora. Selberg lo programó para calcular las sumas cúbicas de Gauss para todos los primos no triviales menores de 10,000, alrededor de 600 sumas en total. (Goldstine y von Neumann seguirían escribiendo el artículo; sus contribuciones terminarían relegadas a una línea de reconocimiento al final). Descubrieron que a medida que los números primos se hacían más grandes, las sumas normalizadas se volvían menos propensas a agruparse cerca de 1. Con evidencia convincente de que la conjetura de Kummer era incorrecta, los matemáticos comenzaron a tratar de comprender las sumas cúbicas de Gauss de una manera más profunda que iba más allá del mero cálculo.
Ese proceso ahora está completo. En 1978, el matemático samuel patterson aventuró una solución al misterio matemático de Kummer, pero no pudo demostrarlo. Luego, el otoño pasado, dos matemáticos del Instituto de Tecnología de California demostraron la conjetura de Patterson y, por fin, cerraron las reflexiones de Kummer de 1846.
Patterson se enganchó por primera vez al problema cuando era estudiante de posgrado en la Universidad de Cambridge en la década de 1970. Su conjetura estaba motivada por lo que sucede cuando los números se colocan al azar en cualquier lugar entre −1 y 1. Si sumas N de estos números aleatorios, el tamaño típico de la suma será $latexsqrt{N}$ (puede ser positivo o negativo). Del mismo modo, si las sumas cúbicas de Gauss se dispersaran uniformemente de −1 a 1, esperaría N de ellos para sumar aproximadamente $latexsqrt{N}$.
Con esto en mente, Patterson sumó N sumas cúbicas de Gauss, ignorando (por el momento) el requisito de ceñirse a los números primos. Descubrió que la suma rondaba N5/6 — mayor que $latexsqrt{N}$ (que se puede escribir como N1/2), pero menos que N. Este valor implicaba que las sumas se comportaban como números aleatorios pero con una fuerza débil que los presionaba hacia valores positivos, lo que se denomina sesgo. Como N se hizo cada vez más grande, la aleatoriedad comenzaría a abrumar el sesgo, por lo que si de alguna manera miraras todas las infinitas sumas cúbicas de Gauss a la vez, aparecerían distribuidas uniformemente.
Aparentemente, esto lo explicaba todo: los cálculos de Kummer que mostraban un sesgo, así como los cálculos de la IAS que lo refutaban.
Pero Patterson no pudo hacer los mismos cálculos para los números primos, por lo que en 1978 lo anotó oficialmente como conjetura: Si sumas las sumas cúbicas de Gauss para los números primos, deberías obtener el mismo N5/6 comportamiento.
Poco después de dar una charla sobre su trabajo en el problema de Kummer, un estudiante graduado llamado Roger Heath-Brown se puso en contacto con Patterson, quien sugirió incorporar técnicas de la teoría de los números primos. Los dos se unieron y pronto publicado un avance en el problema, pero aún no pudieron demostrar que la predicción de Patterson N5/6 el sesgo fue preciso para los números primos.
Durante las décadas siguientes, hubo pocos avances. Finalmente, en el cambio de milenio, Heath-Brown hizo otra ruptura, en el que una herramienta que él había desarrollado llamada el gran tamiz cúbico jugó un papel esencial.
Para usar el gran tamiz cúbico, Heath-Brown usó una serie de cálculos para relacionar la suma de las sumas cúbicas de Gauss con una suma diferente. Con esta herramienta, Heath-Brown pudo demostrar que si sumas las sumas cúbicas de Gauss para números primos menores que N, el resultado no puede ser mucho mayor que N5/6. Pero pensó que podía hacerlo mejor, que el tamiz mismo podía mejorarse. Si pudiera, bajaría el límite a N5/6 exactamente, demostrando así la conjetura de Patterson. En una breve línea de texto, esbozó lo que pensaba que sería la mejor fórmula posible para el tamiz.
Incluso con esta nueva herramienta en la mano, los matemáticos no pudieron avanzar más. Luego, dos décadas más tarde, un encuentro afortunado entre el posdoctorado de Caltech Alejandro Dunn y su supervisor Maksym Radziwiłł marcó el principio del fin. Antes de que Dunn asumiera su cargo en septiembre de 2020, Radziwiłł propuso que trabajaran juntos en la conjetura de Patterson. Pero con la pandemia de Covid-19 aún en su apogeo, la investigación y la enseñanza continuaron de forma remota. Finalmente, en enero de 2021, el azar, o el destino, intervino cuando los dos matemáticos se encontraron inesperadamente en un estacionamiento de Pasadena. “Conversamos cordialmente y acordamos que deberíamos comenzar a reunirnos y hablar de matemáticas”, escribió Dunn en un correo electrónico. Para marzo, estaban trabajando diligentemente en una prueba de la conjetura de Patterson.
“Fue emocionante trabajar en ello, pero con un riesgo extremadamente alto”, dijo Dunn. “Quiero decir, recuerdo venir a mi oficina a las 5 a.m. todas las mañanas seguidas durante cuatro o cinco meses”.
Dunn y Radziwiłł, al igual que Heath-Brown antes que ellos, encontraron indispensable el gran tamiz cúbico para su demostración. Pero cuando usaron la fórmula que Heath-Brown había escrito en su artículo de 2000, la que él creía que era el mejor tamiz posible, una conjetura que la comunidad de teoría de números había llegado a creer que era cierta, se dieron cuenta de que algo no estaba bien. . “Pudimos demostrar que 1 = 2, después de un trabajo muy, muy complicado”, dijo Radziwiłł.
En ese momento, Radziwiłł estaba seguro de que el error era suyo. "Estaba un poco convencido de que básicamente tenemos un error en nuestra prueba". Dunn lo convenció de lo contrario. El gran tamiz cúbico, contrariamente a lo esperado, no se pudo mejorar.
Armados con la corrección del gran tamiz cúbico, Dunn y Radziwiłł recalibraron su enfoque de la conjetura de Patterson. Esta vez, lo consiguieron.
“Creo que esa fue la razón principal por la que nadie hizo esto, porque esta conjetura [Heath-Brown] estaba engañando a todos”, dijo Radziwiłł. “Creo que si le dijera a Heath-Brown que su conjetura es incorrecta, probablemente descubriría cómo hacerlo”.
Dunn y Radziwiłł publicaron su artículo el 15 de septiembre de 2021. Al final, su prueba se basó en la hipótesis generalizada de Riemann, una famosa conjetura no probada en matemáticas. Pero otros matemáticos ven esto como un inconveniente menor. “Nos gustaría deshacernos de la hipótesis. Pero estamos felices de tener un resultado condicional de todos modos”, dijo marrón brezo, quien ahora es profesor emérito en la Universidad de Oxford.
Para Heath-Brown, el trabajo de Dunn y Radziwiłł es más que una prueba de la conjetura de Patterson. Con su visión inesperada del gran tamiz cúbico, su artículo trajo un final sorprendente a una historia de la que ha sido parte durante décadas. “Me alegro de no haber escrito en mi ensayo, 'Estoy seguro de que uno puede deshacerse de esto'”, dijo, refiriéndose a la parte del tamiz que Dunn y Radziwiłł descubrieron que era esencial. “Solo dije: 'Sería bueno si uno puede deshacerse de esto. Parece posible que deberías poder hacerlo. Y me equivoqué, no por primera vez”.
