¿Qué tan grande es el infinito?

Al final del éxito de taquilla de Marvel Vengadores: Fin del juego, un holograma pregrabado de Tony Stark se despide de su pequeña hija diciendo: "Los amo 3,000". El momento conmovedor se hace eco de una escena anterior en la que los dos participan en el ritual lúdico de la hora de acostarse de cuantificar su amor mutuo. Según Robert Downey Jr., el actor que interpreta a Stark, la línea se inspiró en intercambios similares con sus propios hijos.

El juego puede ser una forma divertida de explorar números grandes:

“Te amo 10.”

“Pero te amo 100”.

“¡Bueno, te amo 101!”

Así es precisamente como “googolplex” se convirtió en una palabra popular en mi hogar. Pero todos sabemos adónde conduce este argumento en última instancia:

"¡Te amo infinitamente!"

"¿Oh sí? ¡Te amo infinito más 1!”.

Ya sea en el patio de recreo oa la hora de acostarse, los niños encuentran el concepto de infinito mucho antes de la clase de matemáticas y, comprensiblemente, desarrollan una fascinación con este concepto misterioso, complicado e importante. Algunos de esos niños crecen y se convierten en matemáticos fascinados con el infinito, y algunos de esos matemáticos están descubriendo cosas nuevas y sorprendentes sobre el infinito.

Puede que sepas que algunos conjuntos de números son infinitamente grandes, pero ¿sabías que algunos infinitos son más grandes que otros? ¿Y que no estamos seguros de si hay otros infinitos intercalados entre los dos que conocemos mejor? Los matemáticos han estado reflexionando sobre esta segunda pregunta durante al menos un siglo, y algunos trabajos recientes han cambiado la forma en que la gente piensa sobre el tema.

Para abordar las preguntas sobre el tamaño de los conjuntos infinitos, comencemos con los conjuntos que son más fáciles de contar. Un conjunto es una colección de objetos o elementos, y un conjunto finito es solo un conjunto que contiene un número finito de objetos.

Determinar el tamaño de un conjunto finito es fácil: solo cuente la cantidad de elementos que contiene. Dado que el conjunto es finito, sabe que eventualmente dejará de contar, y cuando haya terminado, sabrá el tamaño de su conjunto.

Esta estrategia no funciona con conjuntos infinitos. Aquí está el conjunto de números naturales, que se denota ℕ. (Algunos podrían argumentar que cero no es un número natural, pero ese debate no afecta nuestras investigaciones sobre el infinito).

$latexmathbb{N} = {0,1,2,3,4,5,…}$

¿Cuál es el tamaño de este conjunto? Como no hay un número natural más grande, tratar de contar la cantidad de elementos no funcionará. Una solución es simplemente declarar que el tamaño de este conjunto infinito es "infinito", lo cual no está mal, pero cuando empiezas a explorar otros conjuntos infinitos, te das cuenta de que tampoco está del todo bien.

Considere el conjunto de números reales, que son todos los números expresables en una expansión decimal, como 7, 3.2, −8.015, o una expansión infinita como $latexsqrt{2} = 1.414213…$. Dado que todo número natural es también un número real, el conjunto de los reales es al menos tan grande como el conjunto de los números naturales, por lo que también debe ser infinito.

Pero hay algo insatisfactorio en declarar que el tamaño del conjunto de números reales es el mismo "infinito" que se usa para describir el tamaño de los números naturales. Para ver por qué, elija dos números cualesquiera, como 3 y 7. Entre esos dos números siempre habrá un número finito de números naturales: Aquí están los números 4, 5 y 6. Pero siempre habrá un número infinito de números reales entre ellos, números como 3.001, 3.01, π, 4.01023, 5.666… y así sucesivamente.

Sorprendentemente, no importa cuán cerca estén entre sí dos números reales distintos, siempre habrá infinitos números reales en el medio. Por sí mismo, esto no significa que los conjuntos de números reales y naturales tengan tamaños diferentes, pero sí sugiere que hay algo fundamentalmente diferente en estos dos conjuntos infinitos que justifica una mayor investigación.

El matemático Georg Cantor investigó esto a fines del siglo XIX. Demostró que estos dos conjuntos infinitos realmente tienen tamaños diferentes. Para entender y apreciar cómo lo hizo, primero tenemos que entender cómo comparar conjuntos infinitos. El secreto es un elemento básico de las clases de matemáticas en todas partes: funciones.

Hay muchas maneras diferentes de pensar en las funciones: notación de función como $latex f(x) = x^2 +1$, gráficos de parábolas en el plano cartesiano, reglas como "tomar la entrada y sumarle 3"... pero aquí pensaremos en una función como una forma de hacer coincidir los elementos de un conjunto con los elementos de otro.

Tomemos uno de esos conjuntos como ℕ, el conjunto de los números naturales. Para el otro conjunto, que llamaremos S, tomaremos todos los números naturales pares. Aquí están nuestros dos juegos:

$latexmathbb{N} = {0,1,2,3,4,…}$ $latex S= {0,2,4,6,8,…}$

Hay una función simple que convierte los elementos de ℕ en los elementos de S: $látex f(x) = 2x$. Esta función simplemente duplica sus entradas, por lo que si pensamos en los elementos de ℕ como las entradas de $latex f(x)$ (llamamos “dominio” al conjunto de entradas de una función), las salidas siempre serán elementos de S. Por ejemplo, $latex f(0)=0$, $latex f(1) = 2$, $latex f(2) = 4$, $latex f(3) = 6$ y así sucesivamente.

Puede visualizar esto alineando los elementos de los dos conjuntos uno al lado del otro y usando flechas para indicar cómo la función $latex f$ convierte las entradas de ℕ en salidas en S.

Observe cómo $latex f(x)$ asigna exactamente un elemento de S a cada elemento de ℕ. Eso es lo que hacen las funciones, pero $latex f(x)$ lo hace de una manera especial. Primero, $latex f$ asigna todo en S a algo en ℕ. Usando la terminología de funciones, decimos que cada elemento de S es la “imagen” de un elemento de ℕ bajo la función $latex f$. Por ejemplo, el número par 3,472 está en S, y podemos encontrar un x en ℕ tal que $latex f(x) = 3,472$ (es decir, 1,736). En esta situación decimos que la función $latex f(x)$ mapea ℕ en S. Una forma más elegante de decirlo es que la función $latex f(x)$ es "sobreyectiva". Independientemente de cómo lo describa, lo importante es esto: como la función $latex f(x)$ convierte las entradas de ℕ en salidas en S, nada en S se pierde en el proceso.

La segunda cosa especial acerca de cómo $latex f(x)$ asigna salidas a entradas es que no hay dos elementos en ℕ que se transformen en el mismo elemento en S. Si dos números son diferentes, entonces sus dobles son diferentes; 5 y 11 son números naturales diferentes en ℕ, y sus salidas en S también son diferentes: 10 y 22. En este caso decimos que $latex f(x)$ es “1-a-1” (también escrito “1-1”), y describimos $latex f(x)$ como "inyectivo". La clave aquí es que nada en S se usa dos veces: Cada elemento en S está emparejado con un solo elemento en ℕ.

Estas dos características de $latex f(x)$ se combinan de manera poderosa. La función $latex f(x)$ crea una combinación perfecta entre los elementos de ℕ y los elementos de S. El hecho de que $latex f(x)$ sea “sobre” significa que todo en S tiene un compañero en ℕ, y el hecho de que $latex f(x)$ sea 1 a 1 significa que nada en S tiene dos socios en ℕ. En resumen, la función $latex f(x)$ empareja cada elemento de ℕ con exactamente un elemento de S.

Una función que es tanto inyectiva como sobreyectiva se llama biyección, y una biyección crea una correspondencia 1 a 1 entre los dos conjuntos. Esto significa que cada elemento de un conjunto tiene exactamente un compañero en el otro conjunto, y esta es una forma de mostrar que dos conjuntos infinitos tienen el mismo tamaño.

Dado que nuestra función $latex f(x)$ es una biyección, esto muestra que los dos conjuntos infinitos ℕ y S son del mismo tamaño. Esto puede parecer sorprendente: después de todo, cada número natural par es en sí mismo un número natural, por lo que ℕ contiene todo en S y más. ¿No debería eso hacer ℕ más grande que S? Si estuviéramos tratando con conjuntos finitos, la respuesta sería sí. Pero un conjunto infinito puede contener completamente a otro y aún pueden tener el mismo tamaño, del mismo modo que "infinito más 1" no es en realidad una cantidad mayor de amor que el viejo "infinito". Esta es solo una de las muchas propiedades sorprendentes de los conjuntos infinitos.

Una sorpresa aún mayor puede ser que haya infinitos conjuntos de diferentes tamaños. Anteriormente exploramos las diferentes naturalezas de los conjuntos infinitos de números reales y naturales, y Cantor demostró que estos dos conjuntos infinitos tienen tamaños diferentes. Lo hizo con su brillante y famoso argumento diagonal.

Dado que hay una cantidad infinita de números reales entre dos reales distintos, concentrémonos por el momento en la cantidad infinita de números reales entre cero y 1. Cada uno de estos números se puede considerar como una expansión decimal (posiblemente infinita), como esta.

Aquí $latex a_1, a_2, a_3$ y así sucesivamente son solo los dígitos del número, pero exigiremos que no todos los dígitos sean cero, por lo que no incluiremos el número cero en nuestro conjunto.

El argumento diagonal esencialmente comienza con la pregunta: ¿Qué pasaría si existiera una biyección entre los números naturales y estos números reales? Si tal función existiera, los dos conjuntos tendrían el mismo tamaño y podría usar la función para hacer coincidir cada número real entre cero y 1 con un número natural. Podrías imaginar una lista ordenada de coincidencias, como esta.

La genialidad del argumento diagonal es que puedes usar esta lista para construir un número real que no puede estar en la lista. Comience a construir un número real dígito por dígito de la siguiente manera: haga que el primer dígito después del punto decimal sea algo diferente a $latex a_1$, haga que el segundo dígito sea algo diferente a $latex b_2$, haga que el tercer dígito sea algo diferente a $latex c_3 $, y así sucesivamente.

Este número real se define por su relación con la diagonal de la lista. ¿Está en la lista? No puede ser el primer número de la lista, ya que tiene un primer dígito diferente. Tampoco puede ser el segundo número de la lista, ya que tiene un segundo dígito diferente. De hecho, no puede ser el nnúmero en esta lista, porque tiene una diferente nth dígito. Y esto es cierto para todos n, por lo que este nuevo número, que está entre cero y 1, no puede estar en la lista.

¡Pero se suponía que todos los números reales entre cero y 1 estaban en la lista! Esta contradicción surge del supuesto de que existe una biyección entre los números naturales y los reales entre cero y 1, por lo que no puede existir tal biyección. Esto significa que estos conjuntos infinitos tienen diferentes tamaños. Un poco más de trabajo con funciones (ver los ejercicios) puede mostrar que el conjunto de todos los números reales es del mismo tamaño que el conjunto de todos los reales entre cero y 1, por lo que los reales, que contienen los números naturales, deben ser un conjunto infinito más grande.

El término técnico para el tamaño de un conjunto infinito es su "cardinalidad". El argumento de la diagonal muestra que la cardinalidad de los reales es mayor que la cardinalidad de los números naturales. La cardinalidad de los números naturales se escribe $latex aleph_0$, pronunciado “aleph naught”. En una vista estándar de las matemáticas, este es el cardinal infinito más pequeño.

El siguiente cardinal infinito es $latex aleph_1$ (“aleph uno”), y una simple pregunta ha desconcertado a los matemáticos durante más de un siglo: ¿Es $latex aleph_1$ la cardinalidad de los números reales? En otras palabras, ¿existen otros infinitos entre los números naturales y los números reales? Cantor pensó que la respuesta era no, una afirmación que llegó a ser conocida como la hipótesis del continuo - pero no fue capaz de demostrarlo. A principios del siglo XX, esta pregunta se consideró tan importante que cuando David Hilbert elaboró ​​su famosa lista de 1900 importantes problemas abiertos en matemáticas, la hipótesis del continuo era la número uno.

Cien años después, se ha avanzado mucho, pero ese progreso ha llevado a nuevos misterios. En 1940 el famoso lógico Kurt Gödel demostró que, bajo las reglas comúnmente aceptadas de la teoría de conjuntos, es imposible demostrar que existe un infinito entre el de los números naturales y el de los reales. Eso podría parecer un gran paso para demostrar que la hipótesis del continuo es cierta, pero dos décadas después, el matemático Paul Cohen demostrado ¡que es imposible demostrar que tal infinito no existe! Resulta que la hipótesis del continuo no se puede probar de una forma u otra.

Juntos, estos resultados establecieron la "independencia" de la hipótesis del continuo. Esto significa que las reglas de conjuntos comúnmente aceptadas simplemente no dicen lo suficiente como para decirnos si existe o no un infinito entre los números naturales y los reales. Pero en lugar de desalentar a los matemáticos en su búsqueda de comprender el infinito, los ha llevado en nuevas direcciones. Los matemáticos ahora están buscando nuevas reglas fundamentales para conjuntos infinitos que puedan explicar lo que ya se sabe sobre el infinito y ayudar a llenar los vacíos.

Decir "Mi amor por ti es independiente de los axiomas" puede no ser tan divertido como decir "Te amo infinito más 1", pero tal vez ayude a la próxima generación de matemáticos amantes del infinito a dormir bien.

Ejercicios

1. Sea $latex T = {1,3,5,7,…}$, el conjunto de los números naturales impares positivos. Es T mayor que, menor que o del mismo tamaño que ℕ, el conjunto de números naturales?

2. Encuentra una correspondencia 1 a 1 entre el conjunto de números naturales, ℕ, y el conjunto de enteros $latexmathbb{Z}={…,-3,-2,-1,0,1,2,3, ps

3. Encuentra una función $latex f(x)$ que sea una biyección entre el conjunto de números reales entre cero y 1 y el conjunto de números reales mayores que cero.

4. Encuentra una función que sea una biyección entre el conjunto de números reales entre cero y 1 y el conjunto de todos los números reales.

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