¿Cómo puede alguien hablar con certeza sobre el infinito? ¿Qué podemos saber realmente sobre los misteriosos números primos sin conocerlos todos? Así como los científicos necesitan datos para evaluar sus hipótesis, los matemáticos necesitan pruebas para probar o refutar conjeturas. Pero, ¿qué cuenta como evidencia en el reino intangible de la teoría de números? En este episodio, Steven Strogatz habla con melanie matchett madera, profesor de matemáticas en la Universidad de Harvard, para aprender cómo la probabilidad y la aleatoriedad pueden ayudar a establecer evidencia para los argumentos herméticos exigidos a los matemáticos.
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Expediente académico
Steven Strogatz (00:02): Soy Steve Strogatz, y esto es La alegría de por qué, un podcast de Quanta revista que lo lleva a algunas de las preguntas más grandes sin respuesta en matemáticas y ciencias en la actualidad. En este episodio, vamos a estar hablando de evidencia en matematicas. ¿Qué tipo de evidencia usan los matemáticos? ¿Qué les lleva a sospechar que algo puede ser cierto, antes de tener una prueba irrefutable?
(00:26) Puede parecer una paradoja, pero resulta que el razonamiento basado en la teoría de la probabilidad, el estudio del azar y la aleatoriedad, a veces puede conducir a lo que realmente buscan los matemáticos, que es la certeza, no solo la probabilidad. Por ejemplo, en la rama de las matemáticas conocida como teoría de números, existe una larga historia de uso de la aleatoriedad para ayudar a los matemáticos a adivinar qué es cierto. Ahora, la probabilidad se usa para ayudarlos a probar lo que es verdad.
(00:53) Nos centraremos aquí en los números primos. Probablemente recuerdes los números primos, ¿verdad? Aprendiste sobre ellos en la escuela. Un número primo es un número entero mayor que 1 que solo se puede dividir por 1 y por sí mismo. Por ejemplo, 7 u 11. Esos son números primos, pero 15 no lo es porque 15 se puede dividir uniformemente por 3 o por 5. Podría pensar en los números primos como los elementos de la tabla periódica de la química, en el sentido que son los átomos indivisibles que forman todos los demás números.
(01:27) Parece que los números primos deberían ser simples, pero algunos de los mayores misterios de las matemáticas son preguntas sobre números primos. En algunos casos, preguntas que han existido durante cientos de años. Realmente hay algo muy sutil acerca de los números primos. Parecen vivir en una frontera entre el orden y el azar. Mi invitado de hoy nos ayudará a entender más sobre la naturaleza de la evidencia en matemáticas, y especialmente cómo y por qué la aleatoriedad puede decirnos tanto sobre los números primos, y por qué los modelos basados en la probabilidad pueden ser tan útiles en la vanguardia de la teoría de números. Uniéndose a mí ahora para discutir todo esto está Melanie Matchett Wood, profesora de matemáticas en la Universidad de Harvard. ¡Bienvenida, Melanie!
melanie matchett madera (02:09): Hola, es bueno hablar contigo.
Strogatz (02:11): Es muy bueno hablar contigo, soy un gran fan. Hablemos de matemáticas y ciencias en relación entre sí porque las palabras a menudo se usan juntas y, sin embargo, las técnicas que usamos para llegar a la prueba y la certeza en matemáticas son algo diferentes de lo que intentamos hacer en ciencias. Por ejemplo, cuando hablamos de recopilar evidencia en matemáticas, ¿en qué se parece o en qué se diferencia de recopilar evidencia mediante el método científico en ciencia?
Madera (02:38): Una prueba matemática es un argumento lógico completo y absolutamente hermético de que alguna afirmación matemática tiene que ser así y no podría ser de otra manera. Entonces, a diferencia de una teoría científica, que puede ser la mejor que tenemos según la evidencia que tenemos hoy, pero obtendremos más evidencia, ya sabes, en los próximos 10 años y tal vez habrá una nueva teoría, una prueba matemática. dice que alguna declaración tiene que ser así, no podemos descubrir que será incorrecta en 10 o 20 años.
Strogatz (03:17): Bueno, ¿qué tipo de cosas cuentan como evidencia en matemáticas?
Madera (03:19): Entonces puedes ver que algo es cierto en muchos ejemplos. Y en base a que es cierto en muchos ejemplos, lo que tal vez podría decir que sería evidencia de ese hecho, podrías hacer una conjetura, lo que los matemáticos llamarían una conjetura, una suposición de que algo es cierto. Pero entonces, lo que los matemáticos querrían sería una prueba de que eso que viste que funcionó en tantos ejemplos siempre funcionaría de la forma en que afirmas.
Strogatz (03:49): Correcto, muy diferente al peso de la evidencia. Esta es una declaración de que hay una razón por la cual algo va a ser cierto para siempre, para siempre, en todos los casos.
Madera (03:58): Y no solo "bueno, he visto un millón de casos y es cierto en cada uno de ellos". Lo cual es una razón para adivinar o conjeturar que siempre es cierto. Pero en matemáticas, hacemos una distinción entre una conjetura que podría estar basada en muchos casos o evidencia, y tener un teorema o una prueba, un argumento que te dice que funcionará en todos los casos, incluso en los que tienes. no probado
Strogatz (04:25): Ahora, ¿es solo que los matemáticos son fastidiosos por naturaleza, o hay casos en los que algo que parecía cierto, hasta un gran número de posibilidades, terminó no siendo cierto más allá de algún otro gran número? ?
Madera (04:39): Oh, esa es una gran pregunta. Bueno, aquí hay un ejemplo que me gusta, porque me gustan los números primos. Entonces, a medida que avanza a través de los números primos (2, 3, 5, 7), una de las cosas que podría hacer, podría mirar y decir: "oye, ¿son divisibles por 2?" Y eso resulta no ser muy interesante. Después de 2, ninguno de ellos es divisible por 2. Son todos, todos son impares.
(05:10) Y luego podrías pensar, "bueno, ¿son divisibles por 3?" Y claro, después de 3, tampoco pueden ser divisibles por 3, ya que son números primos. Sin embargo, puedes notar que algunos de ellos, cuando los divides por 3, obtienes un resto de 1, que son 1 más que un múltiplo de 3. Entonces, cosas como 7, que es 1 más que 6, o 13 , que es 1 más que 12. Y algunos de esos números primos, como 11 o 17, que es 2 más que 15, tendrán un resto de 2 cuando los divida por 3, porque son 2 más que un múltiplo de 3.
(05:47) Y entonces podrías pensar en estos números primos en equipos. El equipo 1 son todos los que son 1 más que un múltiplo de 3 y el equipo 2 son todos los que son 2 más que un múltiplo de 3. Y a medida que pasas por los números primos y enumeras los números primos, podrías enumerar todos los números primos y podría contar, y ver cuántos hay en el Equipo 1 y cuántos hay en el Equipo 2. Y si hiciera esa cuenta hasta 600 mil millones, en cada punto, cada número hasta 600 mil millones, encontraría que hay más primos del Equipo 2 que primos del Equipo 1. Por lo tanto, naturalmente podría conjeturar, en base a esa evidencia, que siempre habrá más números primos del Equipo 2 que números primos del Equipo 1.
Strogatz (06:33): Claro. Totalmente suena como eso.
Madera: Resulta que, en un número de alrededor de 608 mil millones y algo, olvidé el número exacto, cambia.
Strogatz (06:46): Oh, vamos.
Madera: Sí, realmente cambia. Y ahora, de repente, el Equipo 1 está a la cabeza. Entonces, eso es un -
Strogatz (06:53): Espera un momento. Espera, pero esto es increíble. ¿Qué, ahora, siguen cambiando? ¿Sabemos lo que sucede a medida que avanzas? ¿Siguen cambiando?
Madera (07:01): Sí, gran pregunta. Entonces, de hecho, es un teorema que cambiarán los cables infinitamente a menudo.
Strogatz (07:07): ¿En serio?
Madera: Así que seguirán intercambiando los clientes potenciales. Pero es un gran ejemplo para tener en mente cuando estás estudiando números primos, que solo porque algo fue cierto para los primeros 600 mil millones de casos no significa que siempre será cierto.
Strogatz (07:25): Oh, guau. Agradable. Bueno. Entonces, como en general, ¿cómo pasas de una conjetura a una prueba?
Madera (07:31): Depende mucho del caso. Quiero decir, hay muchos casos de matemáticas en los que tenemos conjeturas y no tenemos pruebas. Entonces, no hay una receta simple para pasar de una conjetura a una prueba, o no tendríamos tantos problemas abiertos famosos donde, ya sabes, hay algunas, algunas conjeturas de que la gente piensa que algo funciona de cierta manera, pero nosotros no. No lo sé con certeza. Pero, ya sabes, a veces la conjetura puede sugerir razones de que algo es cierto. A veces es solo teoría matemática, que se basa en más y más teoría matemática que la gente ha estado desarrollando durante cientos de años, nos brinda suficientes herramientas y estructura con las que trabajar para comprender las cosas, que llegamos a una prueba. Pero no es que la conjetura lleve necesariamente a la prueba. La conjetura puede inspirar a la gente a tratar de encontrar la prueba, pero la forma en que se produce la prueba puede estar completamente separada de la conjetura misma.
Strogatz (08:31): Sí, me interesa enumerar o enumerar los tipos de evidencia que no llegan a ser una prueba, que llevan a las personas a tener la confianza de que vale la pena tratar de obtener una prueba.
Madera (08:41): Sí, otra cosa que podríamos llamar evidencia que no son solo ejemplos sería una heurística. Una heurística podría ser algo así como un argumento, excepto con un nivel de rigor mucho más bajo. Es como, ¿te parece bien? No “¿He establecido con absoluta certeza este hecho más allá de cualquier sombra de duda?” pero "hace eso, sí, parece bastante plausible". Entonces, una heurística podría ser una línea de razonamiento que parece bastante plausible, pero que en realidad no es un argumento riguroso. Así que ese es un tipo de evidencia.
(09:12) A veces, uno puede tener un modelo que creemos que captura los elementos esenciales del sistema matemático que estamos tratando de entender, y entonces podría conjeturar que su sistema tiene el mismo comportamiento que su modelo.
Strogatz (09:30): Está bien. En algún momento, quiero escuchar algunos ejemplos de modelos y conjeturas y, ya sabes, en qué medida funcionan o no en algunas preguntas o no en otras, pero, si no te importa, me gustaría Me gustaría volver a algunas pequeñas cosas personales, algo así, porque aquí estamos hablando de números, y usted es un teórico de los números. Es posible que las personas no conozcan a muchos teóricos de números en su vida cotidiana. Entonces, me pregunto si podrías decirnos que es la teoria de numeros, y también, ¿por qué te parece interesante? ¿Por qué viniste a estudiarlo?
Madera (10:02) Bueno, la teoría de números es el estudio matemático de los números enteros. Entonces, piensa en 1, 2, 3, 4, 5. Y, en particular, una de las cosas importantes en los números enteros son los números primos. Como explicaste, desde el principio, son los bloques de construcción a partir de los cuales podemos, a través de la multiplicación, construir todos los demás números. Entonces, debido a que la teoría de los números se ocupa de todos esos números enteros, también se ocupa de sus componentes básicos, los números primos y cómo otros números se factorizan en números primos y cómo están construidos a partir de números primos.
Strogatz (10:37): Entonces, la teoría de números, para nuestros propósitos de hoy, supongo, será el estudio de los números enteros, con un interés particular en los números primos. Eso parece un muy buen comienzo. Supongo que es más que eso. Pero tal vez esa sea una buena definición para nosotros ahora. ¿Tú crees?
Madera (10:50): Eso es bueno, es un buen comienzo. Quiero decir, a partir de ahí, uno explora más cosas como, bueno, ¿qué pasa si comienzas a considerar sistemas numéricos que son más complicados que solo los números enteros? Si empiezas a poner otros números, como la raíz cuadrada de 2, ¿qué pasa con los números primos y la factorización? Te llevan a más preguntas. Pero honestamente, hay muchas matemáticas ricas y hermosas solo en los números enteros y los números primos.
Strogatz (11:16): Entonces, con eso en mente, ¿por qué lo encuentra convincente? ¿Por qué te gusta el estudio de la teoría de números? ¿Qué te atrajo?
Madera (11:22): Creo que me gusta que las preguntas puedan ser tan concretas. Sabes, voy y hablo con niños de primaria. Y puedo contarles, ya sabes, algunas de las cosas en las que pienso. Entonces, es divertido para mí trabajar en algo que, por un lado, las preguntas pueden ser tan concretas, pero por otro lado, el rompecabezas de tratar de resolverlo puede ser tan difícil. Quiero decir, la gente ha estado tratando de responder preguntas sobre los números enteros, sobre los números primos durante literalmente miles de años.
(11:54) Y hay muchas ramas de las matemáticas. Una de las partes importantes de la teoría de números moderna es que para progresar en estas viejas preguntas obstinadas en las que la gente ha estado trabajando durante tanto tiempo, es necesario incorporar nuevas ideas y establecer conexiones con otras partes de las matemáticas. Entonces, aunque me llamaría un teórico de los números, uso las matemáticas de todo tipo de campos diferentes. Desde estudiar, ya sabes, geometría y topología y las formas de los espacios hasta probabilidad y estudiar la aleatoriedad. Uso todo tipo de matemáticas, pero para tratar de decir algo sobre cosas como los números enteros, los números primos y la factorización.
Strogatz (12:36): Sí, me encanta esa visión de las matemáticas como esta red gigante de ideas interconectadas, y puedes querer vivir en una parte particular que sea tu favorita. Pero ha mencionado los números primos como un área particular de interés en la teoría de números, la parte más fundamental de ella, en realidad. ¿Qué tienen de difícil? Todavía no está claro, en nuestra discusión, ¿qué hay de misterioso allí? Como los hemos definido, probablemente podríamos seguir enumerándolos, supongo. ¿Cuáles son algunos de esos problemas a los que te refieres que tienen cientos de años?
Madera (13:05): Bueno, una de las preguntas más grandes e importantes, que quizás tenga alrededor de 120 años, es que dijiste, "oh, podrías enumerarlas". Si hicieras eso, ¿cuántos encontrarías?”. Así que digamos que enumeró los números primos, hasta cien, o mil, o cien mil, o un millón, un billón. A medida que enumera números primos hasta números cada vez más grandes, ¿cuántos de esos números por los que pasa serán realmente primos? Así que entender que la cantidad es realmente el corazón de la hipótesis de Riemann, que es uno de los Clay Math Institute Problemas del Premio del Milenio, hay un premio de un millón de dólares por una respuesta. Es una de las preguntas más famosas y no tenemos idea de cómo hacerlo, y realmente se trata de la pregunta de, cuando haces una lista de esos números primos, ¿cuántos encontrarás?
Strogatz (13:58): Está bien. Es divertido, ¿verdad? Porque a medida que comienzas a hacer la lista, incluso si alguien casualmente comenzó a enumerar los números que son primos hasta 100, notas algunas cosas divertidas. Como, al principio 11 y 13, están separados por 2. Quince, bueno, eso no funciona, porque es divisible por 5 y 3. Luego 17, entonces hay una brecha de 4 ahora, entre 13 y 17. Pero luego 19 está cerca otra vez. No sé, quiero decir, por lo que el espacio entre los números primos puede ser un poco torcido. A veces hay una brecha bastante grande allí, y otras veces están uno al lado del otro, solo 2 de distancia.
Madera (14:31): Sí, entender ese espacio y esos espacios también ha sido una gran cuestión de interés. Ha habido un progreso notable en la última década en la comprensión del espacio entre los números primos. Pero todavía hay una pregunta básica realmente tentadora para la que no sabemos la respuesta. Mencionaste que estos números primos, 11 y 13, están separados por 2. Así que tales primos se llaman primos gemelos. No podíamos esperar que los números primos estuvieran más cerca de 2, ya que después de 2, todos tienen que ser impares. Aquí hay una pregunta abierta en matemáticas, lo que significa que no sabemos la respuesta, y es: ¿Hay infinitos pares de primos gemelos?? Entonces aquí hay una conjetura, la conjetura sería, sí. Quiero decir, no solo hay una conjetura de que "sí, deberían continuar para siempre, y siempre debería haber más", sino que incluso hay una conjetura sobre cuántos encontrarás a medida que avanzas. Pero eso es completamente abierto. Por lo que sabemos, podría ser que una vez que llegues a un número realmente grande, simplemente se detengan y no encuentres más pares de números primos gemelos.
Strogatz (15:40): Hay algo muy poético en eso, conmovedor, ese pensamiento, como, que podría ser el final de la línea en algún momento. Quiero decir, probablemente ninguno de nosotros crea eso. Pero es posible, supongo, es concebible que haya un último par de gemelos solitarios acurrucándose en la oscuridad, allá afuera, ya sabes, en la recta numérica.
Madera (15:57): Sí, podría haber. Y, ya sabes, como matemáticos, diríamos, ya sabes, no sabemos. Incluso si pudieras hacer un gráfico a medida que avanzas de cuántos encontraste, si trazas ese gráfico, parece que definitivamente está subiendo y subiendo a un ritmo que nunca, nunca cambiaría. Pero supongo que esa es parte de la diferencia entre las matemáticas y las ciencias: mantenemos ese escepticismo y decimos, bueno, no sabemos. Quiero decir, tal vez en algún momento, el gráfico simplemente da la vuelta y no hay más.
Strogatz (16:29): Entonces, me gusta tu imagen allí de un gráfico, porque creo que todos pueden relacionarse con esta idea, de hacer un cuadro, hacer algún tipo de gráfico. Ya sabes, pensar en los números primos como si fueran datos. Y, entonces, creo que este es quizás un buen momento para que volvamos, para comenzar a hablar sobre la teoría de la probabilidad. Y parece un poco raro hablar de probabilidad y estadística en relación con los números primos porque aquí no hay ninguna posibilidad. Los números primos están determinados por la definición que dimos, que no son divisibles. Pero, sin embargo, los matemáticos y los teóricos de los números, como usted, han utilizado argumentos estadísticos o probabilísticos al pensar en los números primos. Me pregunto si podría dibujar algo así para mí usando el lanzamiento de una moneda y volviendo a lo que hablábamos al principio, números pares e impares.
Madera (17:14): Está bien. Entonces, a diferencia de los números primos, entendemos muy bien el patrón de los números pares e impares. Van pares, impares, pares, impares, por supuesto. Pero supongamos que no entendimos ese patrón. Y estamos usando esto para entender cuántos números impares podrías encontrar si miraras todos los números hasta el millón. Podrías imaginar, dado que hay dos posibilidades, un número podría ser impar o un número podría ser par, que tal vez alguien fue y lanzó una moneda para cada número, y si la moneda salió cara, el número era impar. Y si la moneda salía cruz, el número era par. Y entonces podrías hacer que tu persona que lanza monedas camine a lo largo de la recta numérica, lanzando una moneda en cada número, y aparece, digamos, para declarar ese número par o impar.
(18:03) Ahora, por un lado, eso es una tontería. Por otro lado, el modelo de lanzar monedas hará algunas cosas bien. Por ejemplo, si dices, sabes, aproximadamente, ¿cuántos de los números hasta el millón son pares? Sabemos que, aproximadamente, la cantidad de lanzamientos de monedas que, digamos, saldrán cruz, si haces una gran cantidad de lanzamientos de monedas, como un millón, es aproximadamente la mitad de ellos. Y así, ese modelo, por tonto que sea, todavía puede hacer algunas predicciones correctamente. Y debo decir que eso puede sonar tonto, porque ya sabemos la respuesta a esa pregunta. La idea es que construyamos modelos para patrones más complicados, como dónde aparecen los primos entre los números, en lugar de solo dónde aparecen las probabilidades.
Strogatz (18:55): Sí. Quiero decir, creo que debemos subrayar eso: cuán profundamente misteriosos son los números primos. No existe una fórmula para los números primos, como existe una fórmula para los números impares. Por ejemplo, si piensas, oh, vamos, esto es: realmente estamos hablando de cosas absurdas aquí, en realidad es muy valioso tener estos modelos estadísticos que pueden predecir propiedades que son propiedades promedio. Como el análogo de, la mitad de los números menores que un número grande van a ser impares. Esto es algo que, en el caso de los números primos, es una pregunta muy seria e interesante. ¿Qué fracción de números menores que un número grande son primos? Y, como dices, puedes hacer un modelo estadístico que lo haga bien. ¿Y luego qué, ese mismo modelo se puede usar para luego predecir cuántos primos gemelos habría menos que un número grande? ¿El mismo modelo hace un buen trabajo en ese caso?
Madera (19:41): Entonces, en el caso de los números primos, si estuviéramos construyendo un modelo, ya sabes, y hay un modelo que usan los matemáticos llamado el modelo de Cramér de los números primos — si estuviéramos construyendo un modelo de lanzamiento de monedas de los números primos en el que imaginamos a alguien caminando a lo largo de la recta numérica, y en cada número, ya sabes, lanzando una moneda, por ejemplo, para decidir si ese número es primo o no, lo haríamos incorporar todo lo que sabemos sobre los números primos en ese modelo. En primer lugar, sabemos que es menos probable que los números grandes sean primos que los números más pequeños. Entonces esas monedas tendrían que ser ponderadas. Y tendríamos, tendríamos que tratar de poner precisamente las ponderaciones que esperamos. Y sabemos cosas como que no puedes tener dos primos uno al lado del otro, porque uno de ellos tendría que ser impar y el otro tendría que ser par. Así que ponemos eso en el modelo. Y luego hay más cosas que sabemos sobre los números primos.
(20:37) Entonces, el modelo es algo que comienza con este modelo de lanzar una moneda, pero luego se modifica con todas estas otras reglas y todas las demás cosas que sabemos sobre los números primos. Y una vez que pones todas esas cosas que sabemos en el modelo, entonces le preguntas a este modelo de lanzamiento de monedas, bueno, ¿ves, infinitamente a menudo, monedas que salen en números primos con solo 2 de diferencia? Y el modelo te dice, oh, sí, sí vemos eso. De hecho, lo vemos a este ritmo muy particular para el que podemos darle una fórmula. Y luego, si graficas el número de números primos gemelos reales, en los números reales, donde no hay monedas lanzadas, contra lo que predice el modelo, verás que el modelo te da una predicción muy precisa para el número de pares de números primos gemelos. encontrarás a medida que avanzas. Entonces piensas, ya sabes, tal vez este modelo sabe de lo que está hablando.
Strogatz (21:31): Eso es genial. Quiero decir, eso es un poco importante, a lo que acabamos de llegar, eso: todavía no usaste la palabra computadoras. Pero supongo que no lo estás haciendo a mano. Las personas que enumeran los números primos gemelos, no sé, ¿de qué estamos hablando? Trillón trillón trillón? Quiero decir, estos son grandes números de los que estamos hablando, ¿no?
Madera (21:49): Bueno, para la lista de los primos gemelos, es decir, se haría por computadora, absolutamente. Pero por construir este modelo y llegar a la fórmula que da el modelo. Ya sabes, eso se hace a mano, esencialmente, por matemáticos que piensan en el modelo y lo resuelven.
Strogatz (22:07): Eso es genial. Ahí es donde el modelo muestra sus cosas, que el modelo realmente puede predecir lo que ve la computadora. Y no requiere una computadora para hacer esa predicción. Eso se puede hacer a mano, por personas, y en realidad puede conducir a pruebas. Excepto que son pruebas de las propiedades del modelo, no necesariamente pruebas de lo que le interesa.
Madera (22:28): Correcto. Y en algún momento, la computadora se detiene. Ya sabes, solo hay tanto poder de cómputo. Pero esa fórmula que obtendrías, que el modelo te daría, que podrías probar que es cierta, nuevamente, sobre esta situación modelo de lanzar una moneda, esa fórmula seguirá funcionando. Puede poner números cada vez más grandes en esa fórmula, mucho más grandes de lo que su computadora podría calcular.
Strogatz (22:53): Nos has estado contando un poco sobre cómo la aleatoriedad puede ayudar a generar modelos de fenómenos interesantes en teoría de números, y estoy seguro de que también es cierto en otras partes de las matemáticas. ¿Hay algunos casos en los que puede usar la aleatoriedad para proporcionar pruebas reales, no solo modelos?
Madera (23:10): Absolutamente. Otra rama de las matemáticas se llama teoría de la probabilidad. Y en la teoría de la probabilidad, prueban teoremas sobre sistemas aleatorios y cómo se comportan. Y podrías pensar que, bueno, si empiezas con algo al azar, y haces algo con eso, siempre tendrás algo al azar. Pero una de las cosas notablemente hermosas que uno encuentra en la teoría de la probabilidad es que a veces se puede obtener algo determinista de algo aleatorio.
Strogatz (23:45): Bueno, ¿cómo funciona eso? ¿Cómo qué?
Madera (23:48): Sí. Así que has visto la curva de campana, o la distribución normal, como la llamarían los matemáticos. Aparece por todas partes en la naturaleza. Como parece si miras la presión arterial de las personas, o el peso del bebé al nacer, o algo así. Y podrías pensar, oh, esta curva de campana, que esto es un hecho de la naturaleza. Pero, de hecho, hay un teorema, llamado el teorema del límite central en la teoría de la probabilidad, que te dice que, en realidad, esta curva de campana es, en cierto sentido, no un hecho de la naturaleza, sino un hecho de las matemáticas. El teorema del límite central te dice que si combinas un montón de pequeños efectos aleatorios de forma independiente, la salida de eso siempre coincidirá con una cierta distribución. Esta forma, esta curva de campana. Las matemáticas y la teoría de la probabilidad pueden demostrar que si tienes, si combinas muchas pequeñas cosas aleatorias independientes, el resultado de toda esa combinación te dará una distribución que se parece a esta curva de campana. Y así, incluso si no sabe cómo fueron las entradas. Y ese es un teorema realmente poderoso y una herramienta realmente poderosa en matemáticas.
Strogatz (25:05): Sí, ciertamente lo es. Y me gustó tu énfasis en que no necesitas saber lo que está pasando con los pequeños efectos. Que eso, de alguna manera, se lave. Esa información no es necesaria. La curva de campana es predecible, incluso si no sabe cuál es la naturaleza de los pequeños efectos. Siempre que sean muchos y sean pocos. Y no se afectan entre sí, cierto, son independientes, en cierto sentido.
Madera (25:27): Sí, absolutamente. Y esa es una idea, ya sabes, a veces se llama universalidad en la teoría de la probabilidad, que hay ciertos tipos de máquinas que si ingresas muchas entradas aleatorias, puedes predecir la salida. Como, por ejemplo, que obtendrías esta curva de campana, o esta distribución normal, incluso si no sabes lo que pones en la máquina. Y eso es increíblemente poderoso cuando hay cosas que no entendemos muy bien, porque...
Strogatz (25:56): Pero entonces, ¿me estás diciendo, oh, lamento interrumpirte, pero me estás diciendo que esto también está sucediendo en la teoría de números ahora? ¿Que de alguna manera estamos consiguiendo que la idea de universalidad aparezca en la teoría de números? ¿O estoy soñando?
Madera (26:09): Bueno, hasta cierto punto, diría que es un sueño mío que está comenzando. Ya sabes, solo estamos, estamos dando los primeros pasos para verlo realidad. Así que no es solo tu sueño, también es mi sueño. Parte del trabajo que hago hoy y en el que trabajamos mis colaboradores y yo es tratar de hacer realidad ese tipo de sueño para que, algunas de estas preguntas desconcertantes sobre números para las que no sabemos la respuesta, tal vez podamos entender que hay patrones que salen, como una curva de campana, como una distribución normal, que podemos probar que salieron de la máquina aunque no sepamos qué misterios se pusieron.
Strogatz (26:55): Bueno, en realidad es una visión muy inspiradora y emocionante, y espero que todo se cumpla. Muchas gracias por hablar con nosotros hoy, Melanie.
Madera (27:03): Gracias. Esto fue muy divertido.
Locutor (27:06): Si quieres La alegría de por qué, revisar la Podcast científico de la revista Quanta, presentado por mí, Susan Valot, una de las productoras de este programa. Además, cuéntales a tus amigos sobre este podcast y danos un me gusta o síguenos donde lo escuches. Ayuda a las personas a encontrar La alegría de por qué podcast.
Strogatz (27: 26): La alegría de por qué es un podcast de Quanta revista, una publicación editorialmente independiente apoyada por la Fundación Simons. Las decisiones de financiación de la Fundación Simons no tienen influencia en la selección de temas, invitados u otras decisiones editoriales en este podcast o en Quanta revista. La alegría de por qué es producido por Susan Valot y Polly Stryker. Nuestros editores son John Rennie y Thomas Lin, con el apoyo de Matt Carlstrom, Annie Melchor y Leila Sloman. Nuestro tema musical fue compuesto por Richie Johnson. Nuestro logotipo es de Jackie King, y las ilustraciones de los episodios son de Michael Driver y Samuel Velasco. Soy su anfitrión, Steve Strogatz. Si tiene alguna pregunta o comentario para nosotros, envíenos un correo electrónico a quanta@simonsfoundation.org. Gracias por su atención.
