En el siglo III a. C., Arquímedes que plantea un acertijo sobre el pastoreo de ganado que, según él, solo una persona verdaderamente sabia podría resolver. Su problema finalmente se redujo a una ecuación que implica la diferencia entre dos términos al cuadrado, que se puede escribir como x2 – dy2 = 1. Aquí, d es un número entero, un número de conteo positivo o negativo, y Arquímedes buscaba soluciones en las que ambos x y y también son números enteros.
Esta clase de ecuaciones, llamadas ecuaciones de Pell, ha fascinado a los matemáticos durante milenios desde entonces.
Algunos siglos después de Arquímedes, el matemático indio Brahmagupta, y más tarde el matemático Bhāskara II, proporcionaron algoritmos para encontrar soluciones enteras a estas ecuaciones. A mediados de 1600, el matemático francés Pierre de Fermat (que desconocía ese trabajo) redescubrió que en algunos casos, incluso cuando d se le asignó un valor relativamente pequeño, las soluciones enteras más pequeñas posibles para x y y podría ser masivo. Cuando envió una serie de problemas de desafío a los matemáticos rivales, incluyeron la ecuación x2 61 Mayoy2 = 1, cuyas soluciones más pequeñas tienen nueve o 10 dígitos. (En cuanto a Arquímedes, su acertijo esencialmente pedía soluciones enteras a la ecuación x2 4,729,494 Mayoy2 = 1. “Para imprimir la solución más pequeña, se necesitan 50 páginas”, dijo Pedro Koymans, matemático de la Universidad de Michigan. “En cierto sentido, es un troll gigante de Arquímedes”).
Pero las soluciones a las ecuaciones de Pell pueden hacer mucho más. Por ejemplo, supongamos que desea aproximar $latex sqrt{2}$, un número irracional, como una proporción de enteros. Resulta que resolviendo la ecuación de Pell x2 2 Mayoy2 = 1 puede ayudarte a hacer eso: $latex sqrt{2}$ (o, más generalmente, $latex sqrt{d}$) se puede aproximar bien reescribiendo la solución como una fracción de la forma x/y.
Quizás aún más intrigante, esas soluciones también le dicen algo sobre sistemas numéricos particulares, que los matemáticos llaman anillos. En tal sistema numérico, los matemáticos podrían agregar $latex sqrt{2}$ a los números enteros. Los anillos tienen ciertas propiedades y los matemáticos quieren entender esas propiedades. Resulta que la ecuación de Pell puede ayudarlos a hacerlo.
Y entonces, "muchos matemáticos muy famosos, casi todos los matemáticos en algún período de tiempo, estudiaron esta ecuación debido a lo simple que es", dijo Marcos Shusterman, matemático de la Universidad de Harvard. Esos matemáticos incluían a Fermat, Euler, Lagrange y Dirichlet. (John Pell, no tanto; la ecuación recibió su nombre por error).
Ahora Koymans y Carlos Pagano, matemático de la Universidad de Concordia en Montreal, han demostró una conjetura de hace décadas relacionado con la ecuación de Pell, que cuantifica con qué frecuencia una determinada forma de la ecuación tiene soluciones enteras. Para hacerlo, importaron ideas de otro campo, la teoría de grupos, al tiempo que obtenían una mejor comprensión de un objeto de estudio clave pero misterioso en ese campo. “Usaron ideas realmente profundas y hermosas”, dijo andres granville, matemático de la Universidad de Montreal. “Realmente lo lograron”.
Aritmética rota
En los primeros 1990, Pedro Stevenhagen, un matemático de la Universidad de Leiden en los Países Bajos, se inspiró en algunas de las conexiones que vio entre las ecuaciones de Pell y la teoría de grupos para hacer una conjetura sobre la frecuencia con la que estas ecuaciones tienen soluciones enteras. Pero "no esperaba que se probara pronto", dijo, ni siquiera durante su vida. Las técnicas disponibles no parecían lo suficientemente fuertes para atacar el problema.
Su conjetura depende de una característica particular de los anillos. En el anillo de números donde, por ejemplo, $latex sqrt{-5}$ se ha agregado a los números enteros (los matemáticos a menudo trabajan con números "imaginarios" como $latex sqrt{-5}$), hay dos formas distintas de dividir un número en sus factores primos. El número 6, por ejemplo, puede escribirse no solo como 2 × 3, sino también como (1 + $latex sqrt{-5}$) × (1 – $latex sqrt{-5}$). Como resultado, en este anillo, la descomposición en factores primos única, un principio central de la aritmética, que prácticamente se da por sentado en los números enteros normales, se rompe. La medida en que esto ocurre está codificada en un objeto asociado a ese anillo, llamado grupo de clase.
Una forma en que los matemáticos intentan obtener información más profunda sobre un sistema numérico que les interesa, por ejemplo, $latex sqrt{2}$ adjunto a los números enteros, es calcular y estudiar su grupo de clase. Sin embargo, es casi prohibitivamente difícil precisar reglas generales sobre cómo se comportan los grupos de clases en todos estos sistemas numéricos diferentes.
En la década de 1980, los matemáticos henri cohen y Hendrik Lenstra presentó un amplio conjunto de conjeturas sobre cómo deberían ser esas reglas. Estas "heurísticas de Cohen-Lenstra" podrían brindarle mucha información sobre los grupos de clases, lo que a su vez debería revelar las propiedades de sus sistemas numéricos subyacentes.
Hubo solo un problema. Si bien muchos cálculos parecen respaldar la heurística de Cohen-Lenstra, siguen siendo conjeturas, no pruebas. “En lo que respecta a los teoremas, hasta hace muy poco no sabíamos casi nada”, dijo alex bartel, matemático de la Universidad de Glasgow.
Curiosamente, el comportamiento típico de un grupo de clase está inextricablemente entrelazado con el comportamiento de las ecuaciones de Pell. Comprender un problema ayuda a dar sentido al otro, tanto que la conjetura de Stevenhagen "también ha sido un problema de prueba para cualquier progreso que se haya logrado en la heurística de Cohen-Lenstra", dijo Pagano.
El nuevo trabajo implica la ecuación negativa de Pell, donde x2 – dy2 se establece en −1 en lugar de 1. En contraste con la ecuación de Pell original, que siempre tiene un número infinito de soluciones enteras para cualquier d, no todos los valores de d en la ecuación negativa de Pell dan una ecuación que se puede resolver. Tomar x2 3 Mayoy2 = −1: No importa qué tan lejos mires en la recta numérica, nunca encontrarás una solución, aunque x2 3 Mayoy2 = 1 tiene infinitas soluciones.
De hecho, hay muchos valores de d para los cuales la ecuación negativa de Pell no se puede resolver: según las reglas conocidas sobre cómo ciertos números se relacionan entre sí, d no puede ser un múltiplo de 3, 7, 11, 15 y así sucesivamente.
Pero incluso cuando evitas esos valores de d y considere solo las ecuaciones de Pell negativas restantes, todavía no siempre es posible encontrar soluciones. En ese conjunto más pequeño de valores posibles de d, ¿qué proporción funciona realmente?
En 1993, Stevenhagen propuso una fórmula que daba una respuesta precisa a esa pregunta. de los valores para d que podría funcionar (es decir, valores que no son múltiplos de 3, 7, etc.), predijo que aproximadamente el 58% daría lugar a ecuaciones de Pell negativas con soluciones enteras.
La conjetura de Stevenhagen estuvo motivada en particular por el vínculo entre la ecuación negativa de Pell y la heurística de Cohen-Lenstra sobre grupos de clases, un vínculo que Koymans y Pagano explotaron cuando, 30 años después, finalmente demostraron que tenía razón.
Un cañón mejor
En 2010, Koymans y Pagano todavía eran estudiantes universitarios, aún no familiarizados con la conjetura de Stevenhagen, cuando salió un artículo que hizo algunos de los primeros avances en el problema en años.
En ese trabajo, que fue publicado en el Anales de Matemáticas, los matemáticos Étienne Fouvry y Jürgen Klüners mostró que la proporción de valores de d que funcionaría para que la ecuación negativa de Pell cayera dentro de un cierto rango. Para hacer eso, controlaron el comportamiento de algunos elementos de los grupos de clase relevantes. Pero necesitarían una comprensión de muchos más elementos para concentrarse en la estimación mucho más precisa de Stevenhagen del 58%. Desafortunadamente, esos elementos permanecieron inescrutables: todavía se necesitaban métodos novedosos para dar sentido a su estructura. Más progresos parecían imposibles.
Luego, en 2017, cuando Koymans y Pagano estaban juntos en la escuela de posgrado en la Universidad de Leiden, apareció un papel eso cambió todo. “Cuando vi esto, inmediatamente reconocí que era un resultado muy, muy impresionante”, dijo Koymans. “Fue como, OK, ahora tengo un cañón que puedo disparar a este problema y espero poder progresar”. (En ese momento, Stevenhagen y Lenstra también eran profesores en Leiden, lo que ayudó a despertar el interés de Koymans y Pagano en el problema).
El artículo fue escrito por un estudiante de posgrado en Harvard, Alexander Smith (que ahora es miembro de Clay en Stanford). Koymans y Pagano no fueron los únicos que elogiaron el trabajo como un gran avance. “Las ideas eran increíbles”, dijo Granville. "Revolucionario."
Smith había estado tratando de comprender las propiedades de las soluciones de ecuaciones llamadas curvas elípticas. Al hacerlo, elaboró una parte específica de la heurística de Cohen-Lenstra. No solo fue el primer gran paso para cimentar esas conjeturas más amplias como un hecho matemático, sino que involucró precisamente a la parte del grupo de clase que Koymans y Pagano necesitaban comprender en su trabajo sobre la conjetura de Stevenhagen. (Esta pieza incluía los elementos que Fouvry y Klüners habían estudiado en su resultado parcial, pero también iba mucho más allá).
Sin embargo, Koymans y Pagano no pudieron simplemente usar los métodos de Smith de inmediato. (Si eso hubiera sido posible, el propio Smith probablemente lo habría hecho). La demostración de Smith se refería a los grupos de clase asociados a los anillos numéricos correctos (aquellos en los que $latex sqrt{d}$ se une a los números enteros), pero consideró todos valores enteros de d. Koymans y Pagano, por otro lado, solo estaban pensando en un pequeño subconjunto de esos valores de d. Como resultado, necesitaban evaluar el comportamiento promedio entre una fracción mucho más pequeña de grupos de clase.
Esos grupos de clase constituían esencialmente el 0% de los grupos de clase de Smith, lo que significa que Smith podía desecharlos cuando estaba escribiendo su demostración. No contribuyeron en absoluto al comportamiento promedio que estaba estudiando.
Y cuando Koymans y Pagano intentaron aplicar sus técnicas solo a los grupos de clase que les importaban, los métodos fallaron de inmediato. La pareja necesitaría hacer cambios significativos para que funcionen. Además, no solo estaban caracterizando un grupo de clases, sino la discrepancia que podría existir entre dos grupos de clases diferentes (hacerlo sería una parte importante de su prueba de la conjetura de Stevenhagen), lo que también requeriría algunas herramientas diferentes.
Así que Koymans y Pagano comenzaron a revisar con más cuidado el artículo de Smith con la esperanza de identificar exactamente dónde las cosas comenzaron a descarrilarse. Fue un trabajo difícil y minucioso, no solo porque el material era muy complicado, sino porque Smith todavía estaba refinando su preimpresión en ese momento, haciendo las correcciones y aclaraciones necesarias. (Él publicó el nueva versión de su artículo en línea el mes pasado).
Durante todo un año, Koymans y Pagano aprendieron juntos la prueba, línea por línea. Se reunían todos los días, discutían una sección determinada durante el almuerzo antes de pasar unas horas en una pizarra, ayudándose mutuamente a trabajar con las ideas relevantes. Si uno de ellos progresaba por su cuenta, le enviaba un mensaje de texto al otro para actualizarlo. Shusterman recuerda haberlos visto trabajar hasta altas horas de la noche. A pesar de (o quizás debido a) los desafíos que implicaba, "fue muy divertido hacerlo juntos", dijo Koymans.
Finalmente identificaron dónde necesitarían probar un nuevo enfoque. Al principio, solo pudieron hacer mejoras modestas. Junto a los matemáticos Estefanía Chan y Djordjo Milovic, descubrieron cómo manejar algunos elementos adicionales en el grupo de clase, lo que les permitió obtener mejores límites que los que tenían Fouvry y Klüners. Pero aún se les escapaban piezas significativas de la estructura del grupo de clase.
Un problema importante que tuvieron que abordar —algo para lo que el método de Smith ya no funcionaba en este nuevo contexto— fue asegurarse de que realmente estuvieran analizando el comportamiento "promedio" de los grupos de clases como los valores de d se hizo más y más grande. Para establecer el grado adecuado de aleatoriedad, Koymans y Pagano probaron un complicado conjunto de reglas, llamadas leyes de reciprocidad. Al final, eso les permitió obtener el control que necesitaban sobre la diferencia entre los dos grupos de clase.
Ese avance, junto con otros, les permitió finalmente completar la prueba de la conjetura de Stevenhagen a principios de este año. “Es increíble que hayan podido resolverlo por completo”, dijo Chan. “Anteriormente, teníamos todos estos problemas”.
Lo que hicieron “me sorprendió”, dijo Smith. "Koymans y Pagano mantuvieron mi antiguo lenguaje y lo usaron para empujar más y más en una dirección que ya casi no entiendo".
La herramienta más afilada
Desde el momento en que lo presentó hace cinco años, la prueba de Smith de una parte de la heurística de Cohen-Lenstra se vio como una forma de abrir puertas a una serie de otros problemas, incluidas preguntas sobre curvas elípticas y otras estructuras de interés. (En su artículo, Koymans y Pagano enumeran una docena de conjeturas en las que esperan usar sus métodos. Muchas no tienen nada que ver con la ecuación negativa de Pell o incluso con los grupos de clase).
“Muchos objetos tienen estructuras que no son diferentes a este tipo de grupos algebraicos”, dijo Granville. Pero muchos de los mismos obstáculos que Koymans y Pagano tuvieron que enfrentar también están presentes en estos otros contextos. El nuevo trabajo sobre la ecuación negativa de Pell ha ayudado a desmantelar estos obstáculos. “Alexander Smith nos ha dicho cómo construir estas sierras y martillos, pero ahora tenemos que hacerlos lo más afilados posible, lo más fuertes posible y lo más adaptables posible a diferentes situaciones”, dijo Bartel. “Una de las cosas que hace este documento es avanzar mucho en esa dirección”.
Mientras tanto, todo este trabajo ha refinado la comprensión de los matemáticos de solo una faceta de los grupos de clase. El resto de conjeturas de Cohen-Lenstra quedan fuera de alcance, al menos por el momento. Pero el artículo de Koymans y Pagano “es una indicación de que las técnicas que tenemos para atacar problemas en Cohen-Lenstra están creciendo”, dijo Smith.
Lenstra mismo fue igualmente optimista. Es “absolutamente espectacular”, escribió en un correo electrónico. "Realmente abre un nuevo capítulo en una rama de la teoría de números que es tan antigua como la propia teoría de números".
