Los matemáticos tiran los dados y obtienen piedra, papel o tijera

Como cuenta Bill Gates, Warren Buffett una vez lo retó a un juego de dados. Cada uno seleccionaría uno de los cuatro dados pertenecientes a Buffett, y luego tirarían, y ganaría el número más alto. Estos no eran dados estándar, tenían una variedad diferente de números que los habituales del 1 al 6. Buffett se ofreció a dejar que Gates eligiera primero, para que pudiera elegir el dado más fuerte. Pero después de que Gates examinó los dados, devolvió una contrapropuesta: Buffett debería elegir primero.

Gates había reconocido que los dados de Buffett exhibían una propiedad curiosa: ninguno de ellos era el más fuerte. Si Gates hubiera elegido primero, cualquier dado que eligiera, Buffett habría podido encontrar otro dado que pudiera vencerlo (es decir, uno con más del 50% de posibilidades de ganar).

Los cuatro dados de Buffett (llámalos A, B, C y D) formó un patrón que recuerda a piedra, papel o tijera, en el que A latidos B, B latidos C, C latidos D y D latidos A. Los matemáticos dicen que tal conjunto de dados es "intransitivo".

"No es nada intuitivo que [los dados intransitivos] deban existir", dijo Brian Conrey, el director del Instituto Americano de Matemáticas (AIM) en San José, quien escribió un artículo influyente sobre el tema en 2013.

A los matemáticos se les ocurrió la primeros ejemplos de dados intransitivos hace más de 50 años, y eventualmente demostrado que al considerar dados con más y más lados, es posible crear ciclos intransitivos de cualquier longitud. Lo que los matemáticos no sabían hasta hace poco era cuán comunes son los dados intransitivos. ¿Tienes que idear estos ejemplos con cuidado, o puedes elegir dados al azar y tener una buena oportunidad de encontrar un conjunto intransitivo?

Mirando tres dados, si sabes que A latidos B y B latidos C, eso parece una prueba de que A es el más fuerte; situaciones donde C latidos A debe ser raro. Y, de hecho, si se permite que los números en los dados sumen diferentes totales, entonces los matemáticos creen que esta intuición es cierta.

Pero una papel publicado en línea finales del año pasado demuestra que, en otro escenario natural, esta intuición falla estrepitosamente. Suponga que necesita que sus dados usen solo los números que aparecen en un dado normal y que tengan el mismo total que un dado normal. Entonces, el papel mostró, si A latidos B y B latidos C, A y C tienen esencialmente las mismas posibilidades de prevalecer unos contra otros.

"Sabiendo que A latidos B y B latidos C simplemente no le da información sobre si A latidos C," dijo Timothy Gowers de la Universidad de Cambridge, medallista de Fields y uno de los contribuyentes del nuevo resultado, que se demostró a través de una colaboración abierta en línea conocida como proyecto Polymath.

Mientras tanto, otro documento reciente analiza conjuntos de cuatro o más dados. Podría decirse que ese hallazgo es aún más paradójico: si, por ejemplo, eliges cuatro dados al azar y encuentras que A latidos B, B latidos C y C latidos D, entonces es un poco más, probable para D vencer A que al revés.

Ni fuerte ni débil

La reciente ola de resultados comenzó hace aproximadamente una década, después de que Conrey asistiera a una reunión de profesores de matemáticas con una sesión que cubría los dados intransitivos. “No tenía idea de que tales cosas pudieran existir”, dijo. “Estaba un poco fascinado por ellos”.

Decidió (luego se unió su colega kent morrison en AIM) para explorar el tema con tres estudiantes de secundaria a los que estaba asesorando: James Gabbard, Katie Grant y Andrew Liu. ¿Con qué frecuencia, se preguntó el grupo, los dados elegidos al azar formarán un ciclo intransitivo?

Se cree que los juegos de dados intransitivos son raros si los números de las caras de los dados suman diferentes totales, ya que es probable que el dado con el total más alto supere a los demás. Entonces, el equipo decidió centrarse en dados que tienen dos propiedades: primero, los dados usan los mismos números que en un dado estándar: del 1 al n, en el caso de un ndado de dos caras. Y segundo, los números de las caras suman el mismo total que en un dado estándar. Pero a diferencia de los dados estándar, cada dado puede repetir algunos de los números y omitir otros.

En el caso de los dados de seis caras, solo hay 32 dados diferentes que tienen estas dos propiedades. Entonces, con la ayuda de una computadora, el equipo pudo identificar todos los triples en los que A latidos B y B latidos C. Los investigadores descubrieron, para su asombro, que A latidos C en 1,756 triples y C latidos A en 1,731 triples, números casi idénticos. Con base en este cálculo y simulaciones de dados con más de seis caras, el equipo conjeturó que a medida que el número de caras de los dados se aproxima a infinito, la probabilidad de que A latidos C se acerca al 50%.

La conjetura, con su combinación de accesibilidad y matices, le pareció a Conrey un buen forraje para un proyecto de Polymath, en el que muchos matemáticos se reúnen en línea para compartir ideas. A mediados de 2017, le propuso la idea a Gowers, el creador del enfoque Polymath. “Me gustó mucho la pregunta, por su valor sorpresa”, dijo Gowers. El escribió un del blog sobre la conjetura que atrajo una ráfaga de comentarios, y en el transcurso de seis publicaciones adicionales, los comentaristas lograron demostrarlo.

En su papel, publicado en línea a fines de noviembre de 2022, una parte clave de la prueba implica mostrar que, en su mayor parte, no tiene sentido hablar sobre si un solo dado es fuerte o débil. Los dados de Buffett, ninguno de los cuales es el más fuerte del paquete, no son tan inusuales: si eliges un dado al azar, mostró el proyecto Polymath, es probable que ganes a la mitad de los otros dados y pierdas con la otra mitad. “Casi todos los dados son bastante promedio”, dijo Gowers.

El proyecto se apartó del modelo original del equipo de AIM en un aspecto: para simplificar algunos tecnicismos, el proyecto declaró que el orden de los números en un dado es importante, por lo que, por ejemplo, 122556 y 152562 se considerarían dos dados diferentes. Pero el resultado de Polymath, combinado con la evidencia experimental del equipo AIM, crea una fuerte presunción de que la conjetura también es cierta en el modelo original, dijo Gowers.

“Estaba absolutamente encantado de que se les ocurriera esta prueba”, dijo Conrey.

Cuando se trataba de colecciones de cuatro o más dados, el equipo de AIM había predicho un comportamiento similar al de tres dados: por ejemplo, si A latidos B, B latidos C y C latidos D entonces debería haber una probabilidad de aproximadamente 50-50 de que D latidos A, acercándose exactamente a 50-50 a medida que el número de lados de los dados se aproxima al infinito.

Para probar la conjetura, los investigadores simularon torneos cara a cara para juegos de cuatro dados con 50, 100, 150 y 200 caras. Las simulaciones no obedecían sus predicciones tan fielmente como en el caso de los tres dados, pero aun así se acercaban lo suficiente como para reforzar su creencia en la conjetura. Pero aunque los investigadores no se dieron cuenta, estas pequeñas discrepancias llevaban un mensaje diferente: para conjuntos de cuatro o más dados, su conjetura es falsa.

“Realmente queríamos que [la conjetura] fuera cierta, porque sería genial”, dijo Conrey.

En el caso de cuatro dados, Elisabetta Cornacchia del Instituto Federal Suizo de Tecnología de Lausana y Jan Hazla del Instituto Africano de Ciencias Matemáticas en Kigali, Ruanda, mostró en un publicado en línea a fines de 2020 que si A latidos B, B latidos C y C latidos D, entonces D tiene un poco más del 50% de posibilidades de vencer A – probablemente alrededor del 52%, dijo Hązła. (Al igual que con el artículo de Polymath, Cornacchia y Hązła usaron un modelo ligeramente diferente al del artículo de AIM).

El hallazgo de Cornacchia y Hązła surge del hecho de que, aunque, como regla, un solo dado no será ni fuerte ni débil, un par de dados a veces pueden tener áreas comunes de fuerza. Si eliges dos dados al azar, demostraron Cornacchia y Hązła, hay una probabilidad decente de que los dados estén correlacionados: tenderán a ganar o perder con los mismos dados. “Si te pido que crees dos dados que estén cerca uno del otro, resulta que es posible”, dijo Hązła. Estos pequeños bolsillos de correlación alejan los resultados del torneo de la simetría tan pronto como hay al menos cuatro dados en la imagen.

Los documentos recientes no son el final de la historia. El artículo de Cornacchia y Hązła solo comienza a descubrir con precisión cómo las correlaciones entre los dados desequilibran la simetría de los torneos. Mientras tanto, sin embargo, ahora sabemos que hay muchos juegos de dados intransitivos, tal vez incluso uno que sea lo suficientemente sutil como para engañar a Bill Gates para que elija primero.