Cuando Daniel Larsen estaba en la escuela secundaria, comenzó a diseñar crucigramas. Tuvo que superponer el pasatiempo a sus otros intereses: ajedrez, programación, piano, violín. Se clasificó dos veces para el Scripps National Spelling Bee cerca de Washington, DC, después de ganar su competencia regional. “Se enfoca en algo, y es solo bang, bang, bang, hasta que lo logra”, dijo la madre de Larsen, Ayelet Lindenstrauss. Sus primeros crucigramas fueron rechazados por los periódicos más importantes, pero siguió haciéndolo y finalmente se abrió paso. tiene el récord para que la persona más joven publique un crucigrama en The New York Times, a los 13 años. “Es muy persistente”, dijo Lindenstrauss.
Aún así, la obsesión más reciente de Larsen se sintió diferente, "más larga y más intensa que la mayoría de sus otros proyectos", dijo. Durante más de un año y medio, Larsen no podía dejar de pensar en un determinado problema de matemáticas.
Tenía sus raíces en una pregunta más amplia, que el matemático Carl Friedrich Gauss consideró entre las más importantes de las matemáticas: cómo distinguir un número primo (un número que es divisible solo por 1 y por sí mismo) de un número compuesto. Durante cientos de años, los matemáticos han buscado una forma eficiente de hacerlo. El problema también se ha vuelto relevante en el contexto de la criptografía moderna, ya que algunos de los sistemas criptográficos más utilizados en la actualidad implican hacer aritmética con números primos enormes.
Hace más de un siglo, en la búsqueda de una prueba de primalidad rápida y potente, los matemáticos se toparon con un grupo de alborotadores: números que engañan a las pruebas haciéndoles creer que son primos, aunque no lo sean. Estos pseudoprimos, conocidos como números de Carmichael, han sido particularmente difíciles de entender. Fue solo a mediados de la década de 1990, por ejemplo, que los matemáticos demostraron que hay infinitos de ellos. Ser capaz de decir algo más sobre cómo se distribuyen a lo largo de la recta numérica ha planteado un desafío aún mayor.
Luego vino Larsen con una nueva prueba sobre eso, uno inspirado en un trabajo histórico reciente en un área diferente de la teoría de números. En ese momento, solo tenía 17 años.
the spark
Al crecer en Bloomington, Indiana, Larsen siempre se sintió atraído por las matemáticas. Sus padres, ambos matemáticos, le introdujeron a él y a su hermana mayor en el tema cuando eran jóvenes. (Ahora está cursando un doctorado en matemáticas). Cuando Larsen tenía 3 años, recuerda Lindenstrauss, comenzó a hacerle preguntas filosóficas sobre la naturaleza del infinito. "Pensé, este niño tiene una mente matemática", dijo lindenstrauss, profesor de la Universidad de Indiana.
Luego, hace unos años, cuando estaba inmerso en sus proyectos de ortografía y crucigramas, se encontró con un un documental Sobre Nosotros yitang zhang, un matemático desconocido que surgió de la oscuridad en 2013 después de demostrando un resultado histórico que ponen un límite superior a los espacios entre números primos consecutivos. Algo hizo clic en Larsen. No podía dejar de pensar en la teoría de los números y en el problema relacionado que Zhang y otros matemáticos aún esperaban resolver: la conjetura de los primos gemelos, que establece que hay infinitos pares de primos que difieren solo en 2.
Después del trabajo de Zhang, que mostró que hay un número infinito de pares de números primos que difieren en menos de 70 millones, otros saltaron para bajar este límite aún más. En cuestión de meses, los matemáticos james maynard y terence tao demostró de forma independiente una declaración aún más fuerte sobre las brechas entre números primos. Esa brecha se ha reducido desde entonces a 246.
Larsen quería entender algunas de las matemáticas que subyacen en el trabajo de Maynard y Tao, “pero era prácticamente imposible para mí”, dijo. Sus papeles eran demasiado complicados. Larsen trató de leer trabajos relacionados, solo para encontrarlo también impenetrable. Siguió, saltando de un resultado a otro, hasta que finalmente, en febrero de 2021, se encontró con un documento que encontró hermoso y comprensible. Su tema: los números de Carmichael, esos extraños números compuestos que a veces pueden pasar por primos.
Todos menos Prime
A mediados del siglo XVII, el matemático francés Pierre de Fermat escribió una carta a su amigo y confidente Frénicle de Bessy, en la que enunciaba lo que luego se conocería como su “pequeño teorema”. Si N es un número primo, entonces bN – b es siempre un múltiplo de N, no importa qué b es. Por ejemplo, 7 es un número primo, y como resultado, 27 – 2 (que es igual a 126) es un múltiplo de 7. Del mismo modo, 37 – 3 es múltiplo de 7, y así sucesivamente.
Los matemáticos vieron el potencial de una prueba perfecta de si un número dado es primo o compuesto. Sabían que si N es primo, bN – b es siempre un múltiplo de N. ¿Y si lo contrario también fuera cierto? es decir, si bN – b es un múltiplo de N para todos los valores de b, debe N ser primo?
Por desgracia, resultó que en casos muy raros, N puede satisfacer esta condición y seguir siendo compuesto. El número más pequeño es 561: para cualquier número entero b, b561 – b siempre es múltiplo de 561, aunque 561 no sea primo. Números como estos recibieron el nombre del matemático Robert Carmichael, a quien a menudo se le atribuye la publicación del primer ejemplo en 1910 (aunque el matemático checo Václav Šimerka descubrió ejemplos de forma independiente en 1885).
Los matemáticos querían comprender mejor estos números que se parecen tanto a los objetos más fundamentales de la teoría de números, los números primos. Resultó que en 1899, una década antes del resultado de Carmichael, otro matemático, Alwin Korselt, había propuesto una definición equivalente. Simplemente no sabía si había algún número que encajara en la cuenta.
Según el criterio de Korselt, un número N es un número de Carmichael si y solo si satisface tres propiedades. Primero, debe tener más de un factor primo. En segundo lugar, ningún factor primo puede repetirse. Y tercero, para cada número primo p eso divide N, p – 1 también divide N – 1. Considere nuevamente el número 561. Es igual a 3 × 11 × 17, por lo que claramente satisface las dos primeras propiedades de la lista de Korselt. Para mostrar la última propiedad, resta 1 de cada factor primo para obtener 2, 10 y 16. Además, resta 1 de 561. Los tres números más pequeños son divisores de 560. Por lo tanto, el número 561 es un número de Carmichael.
Aunque los matemáticos sospechaban que había una cantidad infinita de números de Carmichael, hay relativamente pocos en comparación con los números primos, lo que los hacía difíciles de precisar. Luego, en 1994, Red Alford, andres granville y Carlos Pomerance publicó un avance en el que finalmente demostraron que, de hecho, hay infinitos de estos pseudoprimos.
Desafortunadamente, las técnicas que desarrollaron no les permitieron decir nada sobre cómo eran esos números de Carmichael. ¿Aparecieron en grupos a lo largo de la recta numérica, con grandes espacios entre ellos? ¿O podrías encontrar siempre un número de Carmichael en un intervalo corto? "Uno pensaría que si puede probar que hay una cantidad infinita de ellos", dijo Granville, "seguramente debería poder probar que no hay grandes espacios entre ellos, que deberían estar relativamente bien espaciados".
En particular, él y sus coautores esperaban probar una afirmación que reflejara esta idea: que dado un número suficientemente grande X, siempre habrá un número de Carmichael entre X y séptimaX. “Es otra forma de expresar lo omnipresentes que son”, dijo Jon Grantham, matemático del Instituto de Análisis de Defensa que ha realizado trabajos relacionados.
Pero durante décadas, nadie pudo probarlo. Las técnicas desarrolladas por Alford, Granville y Pomerance “nos permitieron mostrar que habría muchos números de Carmichael”, dijo Pomerance, “pero en realidad no nos permitieron tener mucho control sobre dónde estarían. ”
Luego, en noviembre de 2021, Granville abrió un correo electrónico de Larsen, que entonces tenía 17 años y estaba en su último año de secundaria. A estaba adjunto, y para sorpresa de Granville, parecía correcto. "No fue la lectura más fácil jamás", dijo. “Pero cuando lo leí, estaba bastante claro que no estaba bromeando. Tenía ideas brillantes”.
Pomerance, que leyó una versión posterior de la obra, estuvo de acuerdo. “Su prueba es realmente bastante avanzada”, dijo. “Sería un artículo que cualquier matemático estaría realmente orgulloso de haber escrito. Y aquí está un chico de secundaria escribiéndolo”.
La clave de la prueba de Larsen fue el trabajo que lo había llevado a los números de Carmichael en primer lugar: los resultados de Maynard y Tao sobre los espacios primos.
Improbable — No Imposible
Cuando Larsen se dispuso a demostrar por primera vez que siempre se puede encontrar un número de Carmichael en un intervalo corto, "parecía que era tan obvio que era tan difícil de probar". él dijo. Rápidamente se dio cuenta de que podría ser muy difícil. “Este es un problema que pone a prueba la tecnología de nuestro tiempo”, dijo.
En su artículo de 1994, Alford, Granville y Pomerance habían mostrado cómo crear infinitos números de Carmichael. Pero no habían podido controlar el tamaño de los números primos que usaron para construirlos. Eso es lo que tendría que hacer Larsen para construir números de Carmichael que fueran relativamente similares en tamaño. La dificultad del problema preocupó a su padre, Michael Larsen. “No pensé que fuera imposible, pero pensé que era poco probable que tuviera éxito”, dijo. “Vi cuánto tiempo le dedicaba… y sentí que sería devastador para él dar tanto de sí mismo a esto y no conseguirlo”.
Aun así, sabía que no debía tratar de disuadir a su hijo. “Cuando Daniel se compromete con algo que realmente le interesa, lo mantiene en las buenas y en las malas”, dijo.
Así que Larsen volvió a los artículos de Maynard, en particular, a trabajar para mostrar que si tomas ciertas secuencias de suficientes números, algún subconjunto de esos números debe ser primo. Larsen modificó las técnicas de Maynard para combinarlas con los métodos utilizados por Alford, Granville y Pomerance. Esto le permitió asegurarse de que los números primos con los que terminó variarían en tamaño, lo suficiente como para producir números de Carmichael que estuvieran dentro de los intervalos que él quería.
“Él tiene más control sobre las cosas que nunca antes”, dijo Granville. Y lo logró mediante un uso particularmente inteligente de la obra de Maynard. "No es fácil... usar este progreso en brechas cortas entre números primos", dijo Kaisa Matomaki, matemático de la Universidad de Turku en Finlandia. "Es muy bueno que pueda combinarlo con esta pregunta sobre los números de Carmichael".
De hecho, el argumento de Larsen no solo le permitió demostrar que un número de Carmichael siempre debe aparecer entre X y séptimaX. Su prueba también funciona para intervalos mucho más pequeños. Los matemáticos ahora esperan que también ayude a revelar otros aspectos del comportamiento de estos números extraños. “Es una idea diferente”, dijo Tomas Wright, un matemático del Wofford College en Carolina del Sur que trabaja con pseudoprimos. "Cambia muchas cosas sobre cómo podemos probar cosas sobre los números de Carmichael".
Grantham estuvo de acuerdo. “Ahora puedes hacer cosas que nunca pensaste”, dijo.
Mientras tanto, Larsen acaba de comenzar su primer año en el Instituto de Tecnología de Massachusetts. No está seguro de en qué problema podría trabajar a continuación, pero está ansioso por aprender qué hay por ahí. “Solo estoy tomando cursos… y tratando de tener una mente abierta”, dijo.
“Hizo todo esto sin una educación universitaria”, dijo Grantham. “Solo puedo imaginar lo que se le ocurrirá en la escuela de posgrado”.
