La conexión oculta que cambió la teoría de números | Revista Quanta

Hay tres tipos de números primos. El primero es un valor atípico solitario: 2, el único primo par. Después de eso, la mitad de los números primos dejan un resto de 1 cuando se dividen por 4. La otra mitad deja un resto de 3. (5 y 13 caen en el primer grupo, 7 y 11 en el segundo). No hay ninguna razón obvia para que el resto Los primos -1 y el resto -3 deberían comportarse de maneras fundamentalmente diferentes. Pero lo hacen.

Una diferencia clave surge de una propiedad llamada reciprocidad cuadrática, demostrada por primera vez por Carl Gauss, posiblemente el matemático más influyente del siglo XIX. "Es una afirmación bastante simple que tiene aplicaciones en todas partes, en todo tipo de matemáticas, no sólo en la teoría de números", dijo james rickards, matemático de la Universidad de Colorado, Boulder. "Pero tampoco es lo suficientemente obvio como para ser realmente interesante".

La teoría de números es una rama de las matemáticas que se ocupa de números enteros (a diferencia de, por ejemplo, formas o cantidades continuas). Los números primos (aquellos divisibles sólo por 1 y por ellos mismos) son su núcleo, de la misma manera que el ADN es el núcleo de la biología. La reciprocidad cuadrática ha cambiado la concepción de los matemáticos sobre cuánto es posible demostrar sobre ellos. Si pensamos en los números primos como una cadena montañosa, la reciprocidad es como un camino estrecho que permite a los matemáticos escalar a picos antes inalcanzables y, desde esos picos, ver verdades que habían estado ocultas.

Aunque es un teorema antiguo, sigue teniendo nuevas aplicaciones. Este verano, Rickards y su colega Katherine Stange, junto con dos estudiantes, refutó una conjetura ampliamente aceptada sobre cómo se pueden empaquetar círculos pequeños dentro de uno más grande. El resultado sorprendió a los matemáticos. Pedro Sarnak, teórica de números del Instituto de Estudios Avanzados y de la Universidad de Princeton, habló con Stange en una conferencia poco después de que su equipo publicado su papel. “Ella me dijo que tiene un contraejemplo”, recordó Sarnak. “Inmediatamente le pregunté: '¿Estás utilizando la reciprocidad en alguna parte?' Y eso era de hecho lo que ella estaba usando'”.

Patrones en pares de números primos

Para comprender la reciprocidad, primero es necesario comprender la aritmética modular. Las operaciones modulares se basan en el cálculo de restos cuando se divide por un número llamado módulo. Por ejemplo, 9 módulo 7 es 2, porque si divides 9 entre 7, te queda un resto de 2. En el sistema numérico de módulo 7, hay 7 números: {0, 1, 2, 3, 4, 5 , 6}. Puedes sumar, restar, multiplicar y dividir estos números.

Al igual que con los números enteros, estos sistemas numéricos pueden tener cuadrados perfectos, números que son el producto de otro número por sí mismo. Por ejemplo, 0, 1, 2 y 4 son los cuadrados perfectos módulo 7 (0 × 0 = 0, 1 × 1 = 1, 2 × 2 = 4 y 3 × 3 = 2 mod 7). Cada cuadrado ordinario será igual a 0, 1, 2 o 4 módulo 7. (Por ejemplo, 6 × 6 = 36 = 1 mod 7). Debido a que los sistemas numéricos modulares son finitos, los cuadrados perfectos son más comunes.

La reciprocidad cuadrática surge de una pregunta relativamente sencilla. Dados dos primos p y q, si sabes eso p es un módulo cuadrado perfecto q, ¿puedes decir si o no? q es un módulo cuadrado perfecto p?

Resulta que mientras cualquiera de los dos p or q deja un resto de 1 cuando se divide por 4, si p es un módulo cuadrado perfecto q, entonces q también es un módulo cuadrado perfecto p. Se dice que los dos primos son recíprocos.

Por otro lado, si ambos dejan un resto de 3 (como, por ejemplo, 7 y 11), entonces no corresponden: si p es un modulo cuadrado q, Eso significa que q no será un módulo cuadrado p. En este ejemplo, 11 es un cuadrado módulo 7, ya que 11 = 4 mod 7 y ya sabemos que 4 es uno de los cuadrados perfectos módulo 7. De ello se deduce que 7 no es un cuadrado módulo 11. Si tomamos la lista de cuadrados perfectos módulo 4, se deduce que 9 no es un cuadrado módulo 16. cuadrados (25, 36, 49, 64, 11, 7, XNUMX,…) y mira sus restos módulo XNUMX, entonces XNUMX nunca aparecerá.

¡Esto, para usar un término técnico, es realmente extraño!

El poder de la generalización

Como muchas ideas matemáticas, la reciprocidad ha influido porque puede generalizarse.

Poco después de que Gauss publicara la primera prueba de la reciprocidad cuadrática en 1801, los matemáticos intentaron extender la idea más allá de los cuadrados. “¿Por qué no terceros poderes o cuartos poderes? Se imaginaron que tal vez hubiera una ley de reciprocidad cúbica o una ley de reciprocidad cuártica”, dijo Keith Conrado, teórico de números de la Universidad de Connecticut.

Pero se quedaron estancados, dijo Conrad, "porque no existe un patrón fácil". Esto cambió una vez que Gauss llevó la reciprocidad al ámbito de los números complejos, que suman la raíz cuadrada de menos 1, representada por i, a números ordinarios. Introdujo la idea de que los teóricos de números podrían analizar no sólo números enteros ordinarios sino también otros sistemas matemáticos similares a números enteros, como los llamados enteros gaussianos, que son números complejos cuyas partes real e imaginaria son ambas enteras.

Con los enteros gaussianos, cambió toda la noción de lo que se considera primo. Por ejemplo, 5 ya no es primo, porque 5 = (2 + i) × (2 - i). "Tienes que empezar de nuevo como si estuvieras en la escuela primaria otra vez", dijo Conrad. En 1832, Gauss demostró una ley de reciprocidad cuártica para los enteros complejos que llevan su nombre.

De repente, los matemáticos aprendieron a aplicar herramientas como la aritmética modular y la factorización a estos nuevos sistemas numéricos. Según Conrad, la reciprocidad cuadrática fue la inspiración.

Ahora comenzaron a surgir patrones que habían sido difíciles de alcanzar sin números complejos. A mediados de la década de 1840, Gotthold Eisenstein y Carl Jacobi habían demostrado las primeras leyes de reciprocidad cúbica.

Luego, en la década de 1920, Emil Artin, uno de los fundadores del álgebra moderna, descubrió lo que Conrad llama la “ley de reciprocidad suprema”. Todas las demás leyes de reciprocidad podrían verse como casos especiales de la ley de reciprocidad de Artin.

Un siglo después, los matemáticos todavía están ideando nuevas pruebas de la primera ley de reciprocidad cuadrática de Gauss y generalizándola a contextos matemáticos novedosos. Tener muchas pruebas distintas puede resultar útil. "Si desea extender el resultado a un nuevo entorno, tal vez uno de los argumentos se transmita fácilmente, mientras que los otros no", dijo Conrad.

Por qué la reciprocidad es tan útil

La reciprocidad cuadrática se utiliza en áreas de investigación tan diversas como la teoría de grafos, la topología algebraica y la criptografía. En este último, un influyente algoritmo de cifrado de clave pública desarrollado en 1982 por Shafi Goldwasser y Silvio micali depende de multiplicar dos números primos grandes p y q juntos y generando el resultado, N, junto con un número, x, que no es un módulo cuadrado N. El algoritmo utiliza N y x para cifrar mensajes digitales en cadenas de números mayores. La única forma de descifrar esta cadena es decidir si cada número en la cadena cifrada es o no un módulo cuadrado. N — prácticamente imposible sin conocer los valores de los números primos p y q.

Y, por supuesto, la reciprocidad cuadrática surge repetidamente dentro de la teoría de números. Por ejemplo, se puede utilizar para demostrar que cualquier número primo igual a 1 módulo 4 se puede escribir como la suma de dos cuadrados (por ejemplo, 13 es igual a 1 módulo 4 y 13 = 4 + 9 = 2² + 3²). Por el contrario, los números primos iguales a 3 módulo 4 nunca pueden escribirse como la suma de dos cuadrados.

Sarnak señaló que la reciprocidad podría usarse para resolver preguntas abiertas, como averiguar qué números se pueden escribir como la suma de tres cubos. Se sabe que los números iguales a 4 o 5 módulo 9 no son iguales a la suma de tres cubos, pero otros siguen siendo un misterio. (En 2019, Andrew Booker titulares generados cuando descubrió que (8,866,128,975,287,528)³ + (−8,778,405,442,862,239)³ + (−2,736,111,468,807,040)³ = 33.)

A pesar de todas sus múltiples aplicaciones y muchas pruebas diferentes, hay algo en la reciprocidad que sigue siendo un misterio, dijo Stange.

“Lo que sucede a menudo con una demostración matemática es que puedes seguir cada paso; Puedes creer que es verdad”, dijo. “Y aún puedes salir del otro lado sintiéndote como, '¿Pero por qué?'”

Comprender, a un nivel visceral, lo que hace que 7 y 11 sean diferentes de 5 y 13 podría estar siempre fuera de nuestro alcance. "Sólo podemos hacer malabares con tantos niveles de abstracción", dijo. "Aparece por todas partes en la teoría de números... y, sin embargo, es sólo un paso más allá de lo que parece que realmente se puede saber".

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