1ICFO-Institut de Ciencies Fotoniques, Instituto de Ciencia y Tecnología de Barcelona, 08860 Castelldefels, España
2CFIS-Centre de Formació Interdisciplinària Superior, UPC-Universitat Politècnica de Catalunya, 08028 Barcelona, España
3Universidad Grenoble Alpes, CNRS, Grenoble INP, Institut Néel, 38000 Grenoble, Francia
4ICREA-Institucio Catalana de Recerca i Estudis Avançats, Lluis Companys 23, 08010 Barcelona, España
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Resumen
Las bases mutuamente imparciales corresponden a pares de medidas muy útiles en la teoría cuántica de la información. En la dimensión compuesta más pequeña, seis, se sabe que existen entre tres y siete bases mutuamente imparciales, con una conjetura de décadas de antigüedad, conocida como conjetura de Zauner, que establece que existen como máximo tres. Aquí abordamos la conjetura de Zauner numéricamente a través de la construcción de desigualdades de Bell para cada par de enteros $n,d ge 2$ que pueden violarse al máximo en la dimensión $d$ si y solo si existen $n$ MUB en esa dimensión. Por tanto, convertimos la conjetura de Zauner en un problema de optimización, que abordamos mediante tres métodos numéricos: optimización de balancín, programación semidefinida no lineal y técnicas de Monte Carlo. Los tres métodos identifican correctamente los casos conocidos en dimensiones bajas y todos sugieren que no existen cuatro bases mutuamente imparciales en la dimensión seis, y todas encuentran las mismas bases que optimizan numéricamente la desigualdad de Bell correspondiente. Además, estos optimizadores numéricos parecen coincidir con las "cuatro bases más distantes" en la dimensión seis, que se encuentran mediante la optimización numérica de una medida de distancia en [P. Raynal, X. Lü, B.-G. Englert, {Phys. Rev. A}, { 83} 062303 (2011)]. Finalmente, los resultados de Monte Carlo sugieren que existen como máximo tres MUB en la dimensión diez.
Imagen destacada: La diferencia relativa entre el valor de nuestras desigualdades de Bell suponiendo que existen n MUB en la dimensión d y el valor encontrado por nuestros métodos numéricos. Los valores cero significan que los métodos encontraron n MUB en la dimensión d, mientras que los valores distintos de cero significan que los métodos no encontraron n MUB en la dimensión d. Todos los casos conocidos (dimensiones dos a cinco y dimensión seis con dos y tres MUB) están correctamente identificados por los números. En la dimensión seis, ninguno de los métodos encuentra cuatro MUB y todos los métodos convergen en el mismo conjunto de cuatro bases.
Resumen popular
A pesar de su amplio uso, aún quedan preguntas abiertas con respecto a la estructura de los MUB. Lo más destacado es que se desconoce el número máximo de mediciones que son imparciales por pares ("el número de MUB") si la dimensión del sistema cuántico es un número compuesto. En particular, en la dimensión seis solo sabemos que el número de MUB está entre tres y siete. Una conjetura abierta desde hace mucho tiempo es la de Zauner, que afirma que no existen más de tres MUB en la dimensión seis. Esta conjetura de décadas está respaldada por alguna evidencia numérica, pero no existe prueba hasta el día de hoy.
En este trabajo abordamos la conjetura de Zauner a través de la no localidad de Bell. La no localidad de Bell se refiere a dos experimentadores que no pueden comunicarse, pero pueden compartir algunas correlaciones en forma de aleatoriedad clásica o un estado cuántico compartido. Se ha demostrado que compartir recursos cuánticos puede conducir a datos experimentales que no pueden ser explicados por la física clásica (más precisamente, por los llamados modelos de variables ocultas locales). Esto se conoce como teorema de Bell y ha sido verificado experimentalmente en la última década. Presenciar la no clásicaidad de los datos experimentales se realiza más comúnmente a través de las llamadas desigualdades de Bell, que son funciones de las probabilidades de resultado de la medición que ocurren en el experimento. Los datos clásicos deben satisfacer las desigualdades de Bell, mientras que los datos cuánticos pueden violarlas.
Recientemente, se han encontrado desigualdades de Bell que se violan al máximo si una de las partes emplea un par de medidas MUB de una dimensión dada. En este trabajo, extendemos estas desigualdades a otras nuevas, violadas al máximo por un número seleccionado de medidas MUB en una dimensión dada. Además, si la dimensión en el experimento es fija, la violación máxima se obtiene si y solo si las medidas empleadas corresponden al número seleccionado de MUB en la dimensión dada. Por lo tanto, decidir si existe un número seleccionado de MUB en una dimensión dada es equivalente a encontrar la violación máxima de la desigualdad de Bell correspondiente en esta dimensión fija.
Si bien encontrar esta violación máxima es en general un problema difícil, empleamos tres métodos numéricos diferentes como un intento de encontrar la violación máxima de nuestras desigualdades de Bell en una dimensión fija. Dos de estos métodos son variantes de las técnicas de programación semidefinida, mientras que el tercero está inspirado en la física estadística y se denomina recocido simulado. Si bien todos estos métodos son heurísticos, es decir, no hay garantía de que encuentren el verdadero óptimo del problema, uno puede medir su rendimiento aplicándolos a problemas de optimización cuyo óptimo se conoce. En particular, encontramos que los tres métodos pueden identificar correctamente las mediciones de MUB en los casos en que se sabe que existen. Además, en los casos en los que se sabe que no existen, los tres métodos convergen en el mismo conjunto de medidas hasta la precisión numérica. Luego aplicamos nuestros métodos al primer caso desconocido, es decir, cuatro MUB en la dimensión seis. Ninguno de los métodos puede identificar cuatro MUB en la dimensión seis, pero nuevamente todos convergen en el mismo conjunto de cuatro mediciones con precisión numérica. Además, la técnica de recocido simulado no encuentra cuatro MUB en la siguiente dimensión compuesta, la dimensión diez. Por lo tanto, aunque no se pueden hacer afirmaciones rigurosas debido a la naturaleza heurística de nuestras técnicas, nuestros resultados respaldan la conjetura de Zauner desde la nueva perspectiva de la no localidad de Bell.
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