dos estudiantes desentrañan una conjetura matemática ampliamente creída | Revista Cuanta

Summer Haag y Clyde Kertzer tenían grandes esperanzas puestas en su proyecto de investigación de verano. Tomar por sorpresa todo un subcampo de las matemáticas no era uno de ellos.

En mayo, Haag estaba terminando su primer año de posgrado en la Universidad de Colorado, Boulder, donde Kertzer era estudiante. Ambos esperaban un descanso de las clases. Haag planeó explorar nuevas rutas de senderismo y escalada. Kertzer, nativo de Boulder, quería jugar fútbol y preparar su solicitud para la escuela de posgrado. Pero como aspirantes a matemáticos de investigación, también habían solicitado un programa de investigación de verano de medio tiempo en el grupo del matemático. Katherine Stange.

Stange es una teórica de números que se describe a sí misma como una matemática “rana” — alguien que profundiza en las complejidades de un problema antes de saltar a otro. Ella está interesada en "preguntas aparentemente simples que conducen a una estructura rica", dijo. Sus proyectos a menudo abordan los escurridizos problemas abiertos de la teoría de números mediante el uso de computadoras para generar grandes conjuntos de datos.

Haag y Kertzer comenzaron el programa en el cumpleaños número 23 de Haag con una introducción de una semana sobre los empaques de círculos apolíneos: el antiguo estudio de cómo los círculos pueden encajar armoniosamente en un círculo más grande.

Imagina colocar tres monedas de modo que cada una toque a las demás. Siempre puedes dibujar un círculo alrededor de ellos que toque a los tres desde el exterior. Luego puede comenzar a hacer preguntas: ¿Cómo se relaciona el tamaño de ese círculo más grande con el de las tres monedas? ¿Qué tamaño de círculo cabrá en el espacio entre las tres monedas? Y si comienza a dibujar círculos que llenan espacios cada vez más pequeños entre círculos, creando un patrón fractal conocido como empaque, ¿cómo se relacionan los tamaños de esos círculos entre sí?

En lugar de pensar en el diámetro de estos círculos, los matemáticos usan una medida llamada curvatura, la inversa del radio. Entonces, un círculo con radio 2 tiene curvatura 1/2, y un círculo con radio 1/3 tiene curvatura 3. Cuanto más pequeño es el círculo, mayor es la curvatura.

Los matemáticos del Renacimiento demostraron que si los primeros cuatro círculos tienen una curvatura que es un número entero, se garantiza que las curvaturas de todos los círculos subsiguientes en el empaque serán números enteros. Eso es notable por sí solo. Pero los matemáticos han llevado el problema un paso más allá al hacer preguntas sobre qué números enteros aparecen a medida que los círculos se hacen cada vez más pequeños y las curvaturas se hacen cada vez más grandes.

En 2010, elena zorro, un teórico de números ahora en la Universidad de California, Davis, demostrado que las curvaturas siguen una relación particular que las fuerza en ciertos cubos numéricos. Poco tiempo después, los matemáticos se convencieron de que no solo las curvaturas deben caer en un balde u otro, sino que también deben usarse todos los números posibles en cada balde. La idea llegó a conocerse como la conjetura local-global.

“Muchos trabajos lo mencionaron como si ya fuera un hecho”, dijo Kertzer. “Lo discutimos como si fuera a probarse en algún momento en el futuro cercano”.

james rickards, un matemático de Boulder que trabaja con Stange y los estudiantes, había escrito un código para examinar cualquier arreglo deseado de empaques circulares. Entonces, cuando Haag y Kertzer se unieron al grupo el 15 de mayo, pensaron que crearían tramas geniales sobre la aplicación de la regla local a global confiable.

Stange voló a Francia para asistir a una conferencia a principios de junio. Cuando regresó el 12 de junio, el equipo se acurrucó alrededor de gráficos que demostraban cómo a algunos cubos les faltaban ciertos números.

“No estábamos investigando este fenómeno”, dijo Rickards. “No estaba tratando de probar que es verdad. Sabía que era verdad, simplemente asumí que era verdad. Y luego, de repente, nos enfrentamos a datos que dicen que no lo es”.

Al final de la semana, el equipo confiaba en que la conjetura era falsa. Los números que esperaban que aparecieran nunca lo hicieron. Hicieron una demostración y el 6 de julio publicado su trabajo al sitio de preimpresión científica arxiv.org.

Fuchs recuerda haber hablado con Stange poco después de que la prueba encajara. "¿Cuánto crees en la conjetura de lo local a lo global?" preguntó Stange. Fuchs respondió que por supuesto que lo creía. “Entonces ella me mostró todos estos datos y dije, 'Dios mío, eso es increíble'”, dijo Fuchs. “Quiero decir, realmente creía que la conjetura de lo local a lo global era cierta”.

“Una vez que lo ves, solo dices '¡Ajá! ¡Por supuesto!'”, dijo Pedro Sarnak, un matemático del Instituto de Estudios Avanzados y la Universidad de Princeton cuya primeras observaciones ayudó a alimentar la conjetura local-global.

“Es una visión fantástica”, agregó Alex Kontorovich de la Universidad de Rutgers. “Todos nos estamos pateando por no haberlo encontrado hace 20 años, cuando la gente empezó a jugar con esto”.

En medio de los escombros dejados por el resultado, el trabajo ha expuesto una grieta en el fundamento de otras conjeturas en teoría de números. Se ha dejado a los matemáticos preguntándose qué creencia generalizada podría ser la próxima en caer.

Historia de la rotonda

Los empaques circulares apolíneos obtienen su nombre de su probable creador, Apolonio de Perge. Hace unos 2,200 años, el geómetra griego escribió un libro llamado tangencias sobre cómo construir un círculo que sea tangente a otros tres cualesquiera. El libro se ha perdido en el tiempo. Pero unos 500 años después, el matemático griego Pappus de Alejandría compiló un compendio que sobreviviría al colapso del imperio bizantino.

Usando solo la descripción de Pappus de tangencias, los matemáticos del Renacimiento intentaron volver sobre el trabajo original. En 1643, René Descartes había descubierto una relación simple entre las curvaturas de cuatro círculos que son tangentes entre sí. Descartes afirmó que la suma de todas las curvaturas al cuadrado es igual a la mitad del cuadrado de la suma de las curvaturas. Esto significa que, dados tres círculos, es posible calcular el radio de un cuarto círculo tangente. Por ejemplo, si tienes tres círculos con curvaturas de 11, 14 y 15, puedes insertar esos números en la ecuación de Descartes y calcular la curvatura del círculo que cabría dentro de ellos: 86.

En 1936, el radioquímico ganador del Premio Nobel frederick soddy notó algo extraño mientras construía empaques con la relación de Descartes. A medida que los círculos se hacían más pequeños y las curvaturas más grandes, esperaba obtener números retorcidos con raíces cuadradas o decimales infinitos. En cambio, todas las curvaturas eran números enteros. Esta fue una consecuencia bastante directa de la ecuación de Descartes, pero nadie se había dado cuenta durante cientos de años. Inspiró a Soddy a publicar un poema en la revista científica Naturaleza, que comenzaba:

Para pares de labios para besar tal vez
No implica trigonometría.
No es así cuando cuatro círculos se besan
Cada uno los otros tres.

Lo posible y lo inevitable

Una vez que se estableció que hay paquetes llenos de números enteros, los matemáticos intentaron encontrar patrones en esos números enteros.

En 2010, Fuchs y katherine sanden se dispuso a construir sobre una papel de 2003. El dúo observó que si dividía cada curvatura en un empaque dado por 24, surgía una regla. Algunos empaques solo tienen curvaturas con residuos de 0, 1, 4, 9, 12 o 16, por ejemplo. Otros solo dejan restos de 3, 6, 7, 10, 15, 18, 19 o 22. Había seis grupos diferentes posibles.

A medida que los matemáticos examinaban las diferentes categorías de empaquetaduras, comenzaron a notar que para círculos lo suficientemente pequeños (aquellos con grandes curvaturas) parecía que todos los números posibles dentro de cada categoría aparecían para empaquetaduras de ese tipo. Esta idea llegó a llamarse la conjetura local-global. Demostrar que se convirtió en “uno de los sueños míos de estos pequeños matemáticos”, dijo Fuchs. "Como, tal vez en algún momento, dentro de muchos años, podré resolverlo".

En 2012, Kontorovich y Jean Bourgain (que muerto en 2018) demostró que prácticamente todos los números predicho por la conjetura ocurre. Pero “prácticamente todos” no significa “todos”. Por ejemplo, los cuadrados perfectos son tan raros que, matemáticamente, "prácticamente todos" los números enteros no son cuadrados perfectos, aunque, por ejemplo, 25 y 49 lo sean. Los matemáticos pensaron que los raros contraejemplos que seguían siendo posibles después del artículo de Kontorovich y Bourgain en realidad no existían, principalmente porque los dos o tres empaques circulares mejor estudiados parecían seguir muy bien la conjetura local-global, dijo Kontorovich.

Poniendo en marcha ese dial

Cuando Haag y Kertzer comenzaron este verano en Boulder, Rickards garabateaba ideas en una pizarra en la oficina de Stange. “Teníamos una lista completa”, dijo Rickards. Tenían cuatro o cinco puntos de partida para experimentar. “Cosas con las que puedes jugar y ver qué pasa”.

Una idea era calcular todos los empaques circulares posibles que contienen dos curvaturas arbitrarias A y B. Rickards escribió un programa que genera una especie de libro mayor que informa qué números enteros se muestran a la fiesta cuando A es el anfitrión.

Basado en este programa, Haag creó un script de Python que trazó toneladas de simulaciones a la vez. Era como una tabla de multiplicar: Haag elegía qué filas y columnas incluir en función de sus residuos cuando se dividían por 24. Los pares de números que aparecen en un empaque apolíneo juntos obtuvieron píxeles blancos; aquellos que no tienen píxeles negros.

Haag analizó docenas de parcelas, una para cada par de residuos en cada uno de los seis grupos.

Se veían exactamente como se esperaba: una pared blanca, salpicada de motas negras para números enteros más pequeños. “Esperábamos que los puntos negros se desvanecieran”, dijo Stange. Rickards agregó: "Pensé que tal vez incluso sería posible demostrar que se agotan". Especuló que al observar los gráficos que sintetizaban muchos empaques juntos, el equipo podría demostrar resultados que no eran posibles cuando observaban un solo empaque por sí solo.

Mientras Stange estaba fuera, Haag terminó trazando cada par de residuos, alrededor de 120. No hubo sorpresas allí. Entonces ella se hizo grande.

Haag había estado trazando cómo interactúan 1,000 números enteros. (El gráfico es más grande de lo que parece, ya que involucra 1 millón de pares posibles). Luego subió el dial hasta 10,000 veces 10,000. En un gráfico, filas y columnas regulares de motas negras se negaron a disolverse. No se parecía en nada a lo que predeciría la conjetura local-global.

El equipo se reunió un lunes después del regreso de Stange. Haag presentó sus gráficos y todos se enfocaron en el que tenía los puntos extraños. “Era solo un patrón continuo”, dijo Haag. “Y fue entonces cuando Kate dijo: '¿Qué pasa si la conjetura local-global no es cierta?'”.

“Esto parece un patrón. Tiene que continuar. Así que la conjetura local-global debe ser falsa”, recordó haber pensado Stange. “James era más escéptico”.

“Lo primero que pensé fue que debía haber un error en mi código”, dijo Rickards. “Quiero decir, eso fue lo único razonable en lo que pude pensar”.

En medio día, Rickards se dio cuenta. El patrón descartó todos los pares donde el primer número es de la forma 8 × (3n ± 1)² y el segundo es 24 veces cualquier cuadrado. Esto significa que 24 y 8 nunca aparecen en el mismo paquete. Los números que esperarías que ocurrieran no lo hacen.

“Estaba un poco mareado. No es muy frecuente que algo realmente te sorprenda”, dijo Stange. “Pero esa es la magia de jugar con datos”.

La papel de julio esboza una prueba rigurosa de que el patrón que observaron continúa indefinidamente, refutando la conjetura. La prueba depende de un principio centenario llamado reciprocidad cuadrática que involucra los cuadrados de dos números primos. El equipo de Stange descubrió cómo se aplica la reciprocidad a los empaques circulares. Explica por qué ciertas curvaturas no pueden ser tangentes entre sí. La regla, llamada obstrucción, se propaga a lo largo de todo el embalaje. “Es algo completamente nuevo”, dijo jeffrey lagarias, un matemático de la Universidad de Michigan que fue coautor del artículo de 2003 sobre el empaquetado circular. “Lo han encontrado ingeniosamente”, dijo Sarnak. “Si estos números aparecieran, violarían la reciprocidad”.

Las consecuencias

Una serie de otras conjeturas en teoría de números ahora pueden estar en duda. Al igual que la conjetura local-global, son difíciles de probar, pero ya se ha demostrado que se cumplen prácticamente en todos los casos y, en general, se supone que son ciertas.

Por ejemplo, Fuchs estudia las ternas de Markov, conjuntos de números que satisfacen la ecuación x² + y² + z² = 3xyz. Ella y otros han demostrado que ciertos tipos de soluciones están conectadas para números primos mayores que 10.³⁹². Todo el mundo cree que el patrón debería continuar hasta el infinito. Pero a la luz del nuevo resultado, Fuchs se ha permitido sentir una punzada de duda. "Tal vez me estoy perdiendo algo", dijo. "Tal vez a todos les falta algo".

"Ahora que tenemos un solo ejemplo donde es falso, la pregunta es: ¿es falso también para estos otros ejemplos?" dijo Rickards.

También está la conjetura de Zaremba. Dice que una fracción con cualquier denominador se puede expresar como una fracción continua que usa solo los números entre 1 y 5. En 2014, Kontorovich y Bourgain demostraron que la conjetura de Zaremba se cumple para casi todos los números. Pero la sorpresa sobre el empaquetamiento circular ha socavado la confianza en la conjetura de Zaremba.

Si el problema del empaquetamiento es un presagio de lo que vendrá, los datos computacionales pueden ser la herramienta para deshacerlo.

“Siempre me parece fascinante cuando nacen nuevas matemáticas a partir de la simple observación de datos”, dijo Fuchs. “Sin eso, es realmente difícil imaginar que [ellos] se hubieran topado con esto”.

Stange agregó que nada de esto habría sucedido sin el proyecto de verano de bajo riesgo. “La serendipia y una actitud de exploración lúdica tienen un papel muy importante en el descubrimiento”, dijo.

“Fue pura coincidencia”, dijo Haag. “Si no fuera lo suficientemente grande, no lo habríamos notado”. El trabajo es un buen augurio para el futuro de la teoría de números. “Puede obtener comprensión de las matemáticas a través de su intuición, a través de pruebas”, dijo Stange. “Y confías mucho en eso porque pasaste mucho tiempo pensando en eso. Pero no se puede discutir con los datos”.

Nota del editor: Alex Kontorovich es miembro de Quanta revistael consejo asesor científico de . Fue entrevistado para esta historia, pero no contribuyó de otra manera a su producción.