Matemaatik loovusest, kunstist, loogikast ja keelest | Ajakiri Quanta

Kulus kaua aega, enne kui Claire Voisin matemaatikasse armus.

See ei tähenda, et see teema talle kunagi ei meeldinud. Prantsusmaal üles kasvanud – 10. lapsest kümnendal – meeldis talle veeta tunde koos oma insenerist isaga matemaatikaülesandeid lahendades. 12-aastaseks saades oli ta hakanud iseseisvalt lugema keskkooli algebraõpikut, olles lummatud selle lehekülgedel toodud määratlustest ja tõestustest. "Seal oli kogu see struktuur," ütles ta. "Algebra on tegelikult struktuuride teooria."

Kuid ta ei pidanud matemaatikat elukestvaks kutseks. Alles ülikooliaastatel mõistis ta, kui sügav ja ilus see võib olla – ja et ta on võimeline tegema uusi avastusi. Kuni selle ajani tegeles ta matemaatika kõrval tõsiselt mitmete huvidega: filosoofia, maalikunsti ja luulega. ("Kui ma olin 20-aastane, siis ma arvan, et tegelesin ainult matemaatika ja maalimisega. See oli võib-olla natuke liialdatud," naeris ta.) 20. eluaastate alguses oli matemaatika kõik muu endasse haaranud. Kuid maalimine ja luule mõjutasid teda jätkuvalt. Ta näeb matemaatikat kui kunsti – ja võimalust, kuidas keele piire ületada ja nendega mängida.

Aastakümneid hiljem, olles saanud algebralise geomeetria valdkonna liidriks, on Voisin taas leidnud aega maalida ja saviskulptuure valmistada. Siiski on matemaatika jätkuvalt hõivanud suurema osa tema tähelepanust; ta eelistab veeta aega selle "teistsuguse maailma" avastamiseks, kus "sa näed justkui und".

Voisin on Pariisis asuva Prantsuse riikliku teadusuuringute keskuse vanemteadur. Seal uurib ta algebralisi variatsioone, mida võib pidada kujunditeks, mis on määratletud polünoomvõrrandi kogumitega, nii nagu ringi määratletakse polünoomiga x² + y² = 1. Ta on üks maailma juhtivaid eksperte Hodge'i teoorias – tööriistakomplektis, mida matemaatikud kasutavad algebraliste variatsioonide põhiomaduste uurimiseks.

Voisin on võitnud oma töö eest mitmeid auhindu, sealhulgas Clay Research Award 2008. aastal, Heinz Hopfi preemia 2015. aastal ja Shaw matemaatikaauhind 2017. aastal. Jaanuaris sai temast esimene naine, kes pälvis aastal Crafoodi auhinna. Matemaatika.

Quanta rääkis Voisiniga matemaatika loomingulisest olemusest. Intervjuu on koondatud ja selguse huvides toimetatud.

Sa nautisid lapsena matemaatikat, kuid ei näinud end sellega tegelemas. Miks mitte?

Seal on tõestuse maagia – emotsioon, mida tunnete, kui saate sellest aru, kui mõistate, kui tugev see on ja kui tugevaks see teid teeb. Lapsena nägin seda juba. Ja ma nautisin keskendumist, mida matemaatika nõuab. See on midagi, mida vanemaks saades pean ma matemaatika praktikas üha kesksemaks. Muu maailm kaob. Kogu teie aju on probleemi uurimiseks. See on erakordne kogemus, mis on minu jaoks väga oluline – sundida end praktiliste asjade maailmast lahkuma, asuma teise maailma. Võib-olla sellepärast meeldib mu pojale nii palju videomänge mängida.

Aga mis mind matemaatikas mõnes mõttes hilinejaks tegi, on see, et mind ei huvita absoluutselt mängud. See pole minu jaoks. Ja keskkoolis tundus matemaatika nagu mäng. Mul oli raske seda tõsiselt võtta. Ma ei näinud alguses matemaatika sügavusi. Isegi siis, kui ma pärast keskkooli väga huvitavaid tõestusi ja teoreeme avastama hakkasin, ei mõelnud ma ühelgi hetkel, et suudan midagi ise välja mõelda, et saaksin selle enda omaks teha.

Mul oli vajadus millegi sügavama, tõsisema, millegi järele, mida saaksin enda omaks muuta.

Kust sa seda enne matemaatikast otsisid?

Mulle meeldis filosoofia ja selle nõudmine mõiste mõistele. Samuti veetsin kuni umbes 22-aastaseks saamiseni palju aega maalides, eriti geomeetriast inspireeritud kujundlikke tükke. Ja mulle meeldis väga luule – Mallarmé, Baudelaire’i, René Chari looming. Ma elasin juba mingis teises maailmas. Aga see on minu arvates normaalne, kui olete noorem.

Kuid matemaatika muutus üha olulisemaks. See võtab tõesti kogu teie aju. Kui te ei tööta oma laua taga konkreetse probleemi kallal, on teie meel endiselt hõivatud. Nii et mida rohkem ma matemaatikaga tegelesin, seda vähem ma maalisin. Ma hakkasin alles hiljuti uuesti maalima, nüüd, kus mu lapsed on kõik kodust lahkunud ja mul on palju rohkem aega.

Mis sundis sind lõpuks suurema osa oma loomingulisest energiast matemaatikale pühendama?

Matemaatika muutus minu jaoks aina huvitavamaks. Magistri- ja Ph.D. õpilane, avastasin, et 20. sajandi matemaatika oli midagi väga sügavat ja erakordset. See oli ideede ja kontseptsioonide maailm. Algebralises geomeetrias toimus kuulus revolutsioon, mida juhtis Alexander Grothendieck. Juba enne Grothendieckit oli uskumatuid tulemusi. Nii et see on hiljutine valdkond, mille ideed on ilusad, kuid samas ka äärmiselt võimsad. Hodge'i teooria, mida ma uurin, oli osa sellest.

Üha selgemaks sai, et mu elu on seal. Muidugi oli mul pereelu — mees ja viis last — ja muud kohustused ja tegevused. Kuid mõistsin, et matemaatikaga saan midagi luua. Ma võiksin sellele oma elu pühendada, sest see oli nii ilus, nii suurejooneline, nii huvitav.

Olete varem kirjutanud, kuidas matemaatika on loominguline ettevõtmine.

Olen professionaalne matemaatik, seega on mu tööpäev ametlikult matemaatika ümber korraldatud. Istun laua taga; Töötan arvutiga. Kuid suurem osa minu matemaatikategevusest ei toimu selle aja jooksul. Teil on vaja uut ideed, head määratlust, avaldust, mida arvate, et saate ära kasutada. Alles siis saab teie töö alata. Ja seda ei juhtu, kui ma olen oma laua taga. Pean järgima oma meelt, et hoida end mõtlemas.

Tundub, et matemaatika on teie jaoks väga isiklik. Kas olete selle käigus enda kohta midagi avastanud?

Matemaatikaga tegeledes pean enamasti enda vastu võitlema, sest olen väga korratu, vähe distsiplineeritud ja kipun ka masendusse jääma. Ma ei pea seda lihtsaks. Kuid avastasin, et mõnel hetkel – näiteks hommikul hommikusöögi ajal või Pariisi tänavatel jalutades või midagi mõttetut, näiteks koristades – hakkab mu aju ise tööle. Ma mõistan, et mõtlen matemaatikast, ilma et oleksin seda kavatsenud. See on nagu und. Olen 62-aastane ja mul pole reaalset meetodit hea matemaatika tegemiseks: ikka enam-vähem ootan hetke, mil saan inspiratsiooni.

Töötate väga abstraktsete objektidega – suuremõõtmeliste ruumidega, struktuuridega, mis rahuldavad keerulisi võrrandeid. Kuidas sa sellisest abstraktsest maailmast arvad?

See pole tegelikult nii raske. Kõige abstraktsem määratlus, kui olete sellega tuttav, ei ole enam abstraktne. See on nagu ilus mägi, mida näed väga hästi, sest õhk on väga selge ja seal on valgus, mis võimaldab näha kõiki detaile. Meie jaoks tunduvad uuritavad matemaatilised objektid konkreetsed, sest tunneme neid palju paremini kui midagi muud.

Tõestatavaid asju on muidugi küllaga ja kui hakkad midagi õppima, võid abstraktsiooni tõttu kannatada. Kuid kui kasutate teooriat – kuna saate teoreemidest aru – tunnete end tegelikult kõnealuste objektide suhtes väga lähedal, isegi kui need on abstraktsed. Objekte tundma õppides, nendega manipuleerides ja matemaatilistes argumentides saab neist lõpuks teie sõber.

Ja see nõuab ka nende nägemist erinevatest vaatenurkadest?

Algebralist geomeetriat ma algselt ei õppinud. Töötasin keeruka analüütilise ja diferentsiaalgeomeetriaga. Analüütilise geomeetria puhul uurite palju suuremat funktsioonide klassi ja kujundeid, mis on nende funktsioonidega lokaalselt määratletud. Erinevalt algebralisest geomeetriast ei ole neil tavaliselt globaalset võrrandit.

Ma ei pööranud algebralisele vaatepunktile liiga palju tähelepanu. Kuid mida vanemaks ma saan ja mida rohkem sellel alal töötan, seda enam näen vajadust nende kahe erineva keele järele.

Seal on uskumatu teoreem, GAGA, mis on natuke naljakas; see tähendab prantsuse keeles "seniilne", kuid see tähistab ka algebrique geometrie et géométrie analytique. See ütleb, et saate ühest keelest teise üle minna. Kui see on lihtsam, saate arvutada keerulises analüütilises geomeetrias, siis pöörduge tagasi algebralise geomeetria juurde.

Muul ajal annab algebraline geomeetria teile võimaluse uurida probleemi teistsugust versiooni, mis võib anda erakordseid tulemusi. Olen töötanud algebralise geomeetria kui terviku mõistmise nimel, selle asemel, et keskenduda ainult selle keeruka geomeetria poolele.

Huvitav, et te arvate, et need on erinevad matemaatilised keeled.

Keel on hädavajalik. Enne matemaatikat on keel. Palju loogikat on juba keele sees. Meil on matemaatikas kõik need loogilised reeglid olemas: kvantorid, eitused, sulud, mis näitavad õiget tehtejärjekorda. Kuid on oluline mõista, et kõik need matemaatikute jaoks elutähtsad reeglid on juba meie igapäevakeeles.

Võiks võrrelda matemaatilist teoreemi luuletusega. See on kirjutatud sõnadega. See on keele produkt. Meil on ainult oma matemaatilised objektid, sest me kasutame keelt, sest me kasutame igapäevaseid sõnu ja anname neile konkreetse tähenduse. Nii et saate võrrelda luulet ja matemaatikat, kuna mõlemad toetuvad täielikult keelele, kuid loovad siiski midagi uut.

Teid tõmbas matemaatika Grothendiecki revolutsiooni tõttu algebralises geomeetrias. Ta lõi sellise matemaatika tegemiseks sisuliselt uue keele.

Õigus.

Kas praegu kasutatavat matemaatilist keelt võib siiski vaja muuta?

Matemaatikud töötavad pidevalt oma keelt ümber. Sellest on kahju, sest see muudab vanemad lehed üsna raskesti loetavaks. Kuid me töötame varasema matemaatika ümber, sest mõistame seda paremini. See annab meile parema viisi teoreemide kirjutamiseks ja tõestamiseks. See juhtus Grothendiecki puhul, kui ta rakendas geomeetriale võsakohomoloogiat. See on tõesti suurejooneline.

Oluline on tutvuda uuritava objektiga kuni selleni, et see on teie jaoks nagu emakeel. Kui teooria hakkab kujunema, kulub õigete definitsioonide väljaselgitamiseks ja kõige lihtsustamiseks aega. Või võib-olla on see siiski väga keeruline, kuid me saame palju paremini tuttavaks definitsioonide ja objektidega; nende kasutamine muutub loomulikumaks.

See on pidev areng. Peame pidevalt ümber kirjutama ja lihtsustama, teoretiseerima, mis on oluline, milliseid tööriistu kättesaadavaks teha.

Kas olete pidanud oma töös uusi määratlusi kasutusele võtma?

Mõnikord. sisse tööd tegin koos János Kollár, toimus pöördepunkt, kus suutsime lõpuks leida probleemile õige vaate — teatud definitsiooni kaudu. See oli väga klassikaline probleem ja me töötasime klassikaliste tööriistadega, kuid meie tõestus põhines tegelikult sellel meie loodud definitsioonil.

Teisel juhul Olivier Debarre, Daniel Huybrechts, Emanuele Macrì ja ma osutusin kenaks klassifikatsiooni tulemus objektide kohta, mida nimetatakse hüper-Kähleri ​​kollektoriteks. Ja selle tõestuse lähtepunkt oli invariandi kasutuselevõtt, mida me väga algselt nimetasime "a."[Naerab.]

Võite alahinnata definitsioonide tähtsust matemaatikas, kuid te ei tohiks seda teha.

Definitsioonid ja keel ei ole matemaatikas ainsad suunavad jõud. Nii ka oletused, mis võivad olla tõesed või mitte. Näiteks olete teinud palju tööd Hodge'i oletusega, Clay aastatuhande probleemiga, mille lahendusega kaasneb 1 miljoni dollari suurune preemia.

Oletame, et teil on algebraline sort, mida soovite mõista. Nii et lähete kompleks-analüütilise geomeetria poolele ja käsitlete seda hoopis nn komplekskollektorina. Võite mõelda keerukale kollektorile selle globaalse kuju või topoloogia järgi. Seal on objekt, mida nimetatakse homoloogiaks, mis annab teile palju topoloogilist teavet kollektori kohta. Kuid seda pole nii lihtne määratleda.

Nüüd kaaluge algebralisi alamsorte oma algses sordis. Igal neist on topoloogiline invariant, sellega seotud teatud topoloogiline teave. Millise osa komplekskollektori homoloogiast saab neid topoloogilisi invariante vaadates?

Hodge'i oletus annab konkreetse vastuse. Ja vastus on väga peen.

Nii et matemaatikud pole kindlad, kas Hodge'i oletus on lõpuks tõene või vale?

Sa tahad uskuda Hodge'i oletusse, sest see on algebralise geomeetria peamiste teooriate juhend.

Tahaksite tõesti mõista algebralise sordi peamisi omadusi. Ja kui Hodge’i oletus vastab tõele, annaks see teile oma sordi geomeetria üle uskumatu kontrolli. Saate väga olulist teavet sortide struktuuri kohta.

Sellesse uskumiseks on mõned tugevad põhjused. Hodge'i oletuste konkreetsed juhtumid on teada. Ja algebraliste variatsioonide kohta on palju sügavaid väiteid, mis viitavad sellele, et Hodge'i oletus on tõsi.

Kuid selle tõestamisel on olnud peaaegu täielik edusammude puudumine. Samuti tõestasin, et Hodge'i oletust ei saa kuidagi laiendada mõnele muule keskkonnale, kus see tundub loomulik. Nii et see oli väike šokk.

Kas pärast aastakümneid matemaatikuna töötamist tunnete, et tegelete matemaatikaga nüüd veelgi sügavamalt?

Nüüd, kui ma olen vanem, on mul palju rohkem aega kulutada oma energiat matemaatikale, olla selles tõeliselt kohal. Mul on ka parem siin-seal käimise oskus. Varem, võib-olla seetõttu, et mul oli vähem aega, oli mul vähem liikumist – kuigi liiga liikumine, lihtsalt probleemide puudutamine ilma nende külge kleepimata ei ole samuti hea. Nüüd olen kogenum ja saan ise oma pildi luua.

Teil on palju parem pilt sellest, mida te ei tea, lahtistest probleemidest. Teil on üksikasjalik ülevaade oma põllust ja selle piiridest. Vanemaks saamisel peavad olema mõned head küljed. Ja teha on veel nii palju.