1950. aastate alguses alustas rühm Täiustatud Uuringute Instituudi teadlasi kõrgtehnoloogilise projektiga. Juures paluda John von Neumanni ja Herman Goldstine'i teoste järgi programmeeris füüsik Hedvig Selberg IAS-i 1,700 vaakumtoruga arvuti, et arvutada kummalisi matemaatilisi summasid, mille päritolu ulatus tagasi 18. sajandisse.
Summad olid seotud Gaussi ruutsummadega, mis said nime kuulsa matemaatiku Carl Friedrich Gaussi järgi. Gauss valiks mõne algarvu p, seejärel liidetakse arvud kujul $latex e^{frac{2iπn^2}{p}}$. Alates nende loomisest on ruut Gaussi summad osutunud hindamatuks selliste ülesannete jaoks nagu teatud tüüpi võrrandite lahenduste loendamine. "Selgub, et Gaussi summad on maagilised, et nad teevad lihtsalt imelisi asju jumal teab, mis põhjusel," ütles ta. Jeffrey Hoffstein, Browni ülikooli matemaatik.
19. sajandi keskel mängis saksa matemaatik Ernst Eduard Kummer lähisugulasega nende Gaussi ruutsummadega, kus n2 eksponendis asendatakse an-ga n3. Kummer märkas, et nad kippusid üllataval määral koguma teatud väärtuste lähedal – see on terav tähelepanek, mis tooks kaasa sajandeid kestnud arvuteooria uurimise.
Kui Gaussi kuupsummasid lihtsamaks valemiks ümber ei töödelda, on nende väärtusi raske järeldada. Kuna selline valem puudus, asus Kummer arvutama Gaussi kuupsummasid – ja arvutama ja arvutama. "Tol ajal oli väga tavaline, et nad tegid selliseid kangelaslikke arvutusi käsitsi," ütles Matthew Young, matemaatik Texase A&M ülikoolis. Kündnud läbi 45 summat, mis vastavad esimesele 45 mittetriviaalsele algarvule, loobus Kummer lõpuks.
Oma tulemusi uurides märkas Kummer midagi huvitavat. Teoreetiliselt võivad summad olla vahemikus −1 kuni 1 (pärast "normaliseerimist" - jagatud sobiva konstandiga). Kuid arvutusi tehes avastas ta, et need jagunesid veidral viisil. Pooled tulemused olid vahemikus ½ kuni 1 ja ainult kuuendik neist oli vahemikus -1 kuni -½. Need näisid koonduvat umbes 1.
Kummer esitas oma tähelepanekud koos oletusega: kui teil õnnestuks kuidagi joonistada kõik lõpmatult paljud Gaussi kuupsummad, näete enamikku neist vahemikus ½ kuni 1; vähem vahemikus −½ kuni ½; ja veel vähem vahemikus −1 kuni −½.
Selberg, von Neumann ja Goldstine asusid seda oma varases arvutis testima. Selberg programmeeris selle arvutama Gaussi kuupsummasid kõigi mittetriviaalsete algarvude jaoks, mis on väiksemad kui 10,000 600 – kokku umbes 1 summat. (Goldstine ja von Neumann jätkasid artikli autoriteks; tema panused langesid lõpuks tunnustusreale.) Nad avastasid, et kui algarvud suurenesid, muutusid normaliseeritud summad vähem kalduvaks koonduma XNUMX lähedale. veenvaid tõendeid selle kohta, et Kummeri oletus oli vale, hakkasid matemaatikud püüdma mõista Gaussi kuupsummasid sügavamal viisil, mis ületas pelgalt arvutamise.
See protsess on nüüd lõpetatud. 1978. aastal matemaatik Samuel Patterson otsis Kummeri matemaatilise mõistatuse lahendust, kuid ei suutnud seda tõestada. Möödunud sügisel tõestasid kaks California Tehnoloogiainstituudi matemaatikut Pattersoni oletust, andes lõpuks lõpu Kummeri mõtisklustele 1846. aastast.
Patterson haaras probleemist esmakordselt 1970. aastatel Cambridge'i ülikooli magistrandina. Tema oletus oli ajendatud sellest, mis juhtub siis, kui numbrid asetatakse juhuslikult vahemikus −1 kuni 1. Kui liidate N nendest juhuslikest arvudest on summa tüüpiline suurus $latexsqrt{N}$ (see võib olla positiivne või negatiivne). Samuti võib eeldada, et kui Gaussi kuupsummad jaguneksid ühtlaselt vahemikus –1 kuni 1 N neist kokku umbes $latexsqrt{N}$.
Seda silmas pidades lisas Patterson N kuupmeetri Gaussi summad, ignoreerides (hetkel) nõuet jääda algarvude juurde. Ta leidis, et summa oli umbes N5/6 — suurem kui $latexsqrt{N}$ (mida saab kirjutada kui N1/2), kuid vähem kui N. See väärtus viitas sellele, et summad käitusid nagu juhuslikud arvud, kuid nõrga jõuga, mis surus neid positiivsete väärtuste poole, mida nimetatakse nihkeks. Nagu N muutuks suuremaks ja suuremaks, hakkaks juhuslikkus kallutatust ületama ja nii et kui te mingil moel vaataksite kõiki lõpmatult paljusid Gaussi kuupsummasid korraga, paistaksid need ühtlaselt jaotunud.
See selgitas näiliselt kõike: nii Kummeri arvutused, mis näitavad eelarvamust, kui ka IAS-i arvutused, mis lükkasid selle ümber.
Kuid Patterson ei suutnud algarvude jaoks samu arvutusi teha, nii et 1978. aastal kirjutas ta selle ametlikult üles oletus: Kui liidate algarvude Gaussi kuupsummad, peaksite saama sama N5/6 käitumist.
Varsti pärast rääkimist oma tööst Kummeri probleemiga võttis Pattersoniga ühendust kraadiõppur nimega Roger Heath-Brown, kes soovitas lisada algarvude teooria tehnikaid. Need kaks ühinesid ja peagi avaldatud probleemi areng, kuid nad ei suutnud siiski näidata, et Patterson ennustas N5/6 bias oli algarvude jaoks täpne.
Järgnevate aastakümnete jooksul oli edusamme vähe. Lõpuks, aastatuhande vahetusel, tegi Heath-Brown teise läbimurre, milles olulist rolli mängis tema välja töötatud tööriist, mida kutsuti kuupmeetriliseks suureks sõelaks.
Kuupmeetrilise suure sõela kasutamiseks kasutas Heath-Brown arvutusi, et seostada kuupmeetri Gaussi summade summa erineva summaga. Selle tööriistaga suutis Heath-Brown näidata, et kui liidate Gaussi kuupsummad algarvude jaoks, mis on väiksemad kui N, ei saa tulemus palju suurem olla kui N5/6. Aga ta arvas, et saab paremini — et sõela ennast saaks parandada. Kui saaks, alandaks see piiri N5/6 täpselt, tõestades sellega Pattersoni oletust. Lühikeses tekstireas visandas ta, milline oleks tema arvates parim võimalik sõela valem.
Isegi kui see uus tööriist käes, ei suutnud matemaatikud edasi liikuda. Siis kaks aastakümmet hiljem õnnelik kohtumine Caltechi järeldoktori vahel Aleksander Dunn ja tema juhendaja Maksim Radziwiłł tähistas lõpu algust. Enne kui Dunn 2020. aasta septembris ametikohale asus, tegi Radziwiłł ettepaneku, et nad töötaksid koos Pattersoni oletuse kallal. Kuid kuna Covid-19 pandeemia ikka veel möllab, jätkus uurimistöö ja õpetamine eemalt. Lõpuks, jaanuaris 2021, sekkus juhus või saatus, kui kaks matemaatikut Pasadena parklas ootamatult kokku põrkasid. "Vestlesime südamlikult ja leppisime kokku, et peaksime hakkama kohtuma ja matemaatikat rääkima," kirjutas Dunn meilis. Märtsiks töötasid nad usinalt Pattersoni oletuse tõestuse kallal.
"Selle kallal oli põnev töötada, kuid risk oli äärmiselt suur," ütles Dunn. "Ma mäletan, et tulin neli või viis kuud igal hommikul kell 5 oma kontorisse."
Dunn ja Radziwiłł, nagu ka Heath-Brown enne neid, leidsid, et kuupmeetrine suur sõel on nende tõestuseks hädavajalik. Kuid kui nad kasutasid valemit, mille Heath-Brown oli oma 2000. aasta töös üles kirjutanud – see oli tema arvates parim võimalik sõel, oletus, mida arvuteooria kogukond uskus, et see oli tõsi –, mõistsid nad, et midagi pole korras. . "Suutsime pärast väga-väga keerulist tööd tõestada, et 1 = 2," ütles Radziwiłł.
Sel hetkel oli Radziwiłł kindel, et viga on nende oma. "Ma olin omamoodi veendunud, et meie tõestuses on põhimõtteliselt viga." Dunn veenis teda vastupidises. Kuubiku suur sõela, vastupidiselt ootustele, ei saanud paremaks muuta.
Olles relvastatud kuupmeetrilise suure sõela õigsusega, kalibreerisid Dunn ja Radziwiłł ümber oma lähenemisviisi Pattersoni oletustele. Seekord neil see õnnestus.
"Ma arvan, et see oli peamine põhjus, miks keegi seda ei teinud, sest see [Heath-Browni] oletus eksitas kõiki," ütles Radziwiłł. "Ma arvan, et kui ma ütleksin Heath-Brownile, et tema oletus on vale, siis arvatavasti mõtleks ta välja, kuidas seda teha."
Dunn ja Radziwiłł postitasid oma töö 15. septembril 2021. Lõpuks tugines nende tõestus üldistatud Riemanni hüpoteesile, mis on matemaatikas kuulsalt tõestamata oletus. Kuid teised matemaatikud peavad seda vaid väikeseks puuduseks. «Tahaksime hüpoteesist lahti saada. Aga meil on hea meel, et tulemus on ikkagi tingimuslik,” sõnas Nõmm-pruun, kes on nüüd Oxfordi ülikooli emeriitprofessor.
Heath-Browni jaoks on Dunni ja Radziwiłłi töö enamat kui lihtsalt Pattersoni oletuse tõend. Oma ootamatu ülevaatega kuupmeetrisest suurest sõelast tõi nende paber üllatusliku lõpu loole, millest ta on aastakümneid osa olnud. "Mul on hea meel, et ma tegelikult oma paberile ei kirjutanud: "Olen kindel, et sellest saab lahti," ütles ta, viidates sõelale, mille Dunn ja Radziwiłł avastasid, et see oli hädavajalik. "Ma just ütlesin:" Oleks tore, kui saaks sellest lahti. Tundub võimalik, et sa peaksid suutma. Ja ma eksisin – mitte esimest korda.
