Oletuste torn, mis toetub nõelale | Quanta ajakiri

Matemaatikas ei ole lihtne ülesanne sageli see, mis näib. Selle suve alguses Quanta teatas ühest sellisest probleemist: Mis on väikseim ala, mille saate lõpmata õhukese nõela kõigis võimalikes suundades pöörates välja pühkida? Keerake seda ümber oma keskpunkti nagu sihverplaat ja saate ringi. Kuid pöörake seda nutikamalt ja saate katta suvaliselt väikese osa ruumist. Kui te ei nõua, et nõel liiguks ühe pideva liigutusega, vaid asetate nõela lihtsalt igas suunas maha, saate koostada nõelte paigutuse, mis ei kata üldse ala.

Matemaatikud nimetavad neid paigutusi Kakeya komplektideks. Kuigi nad teavad, et sellised komplektid võivad olla pindala poolest väikesed (või mahult, kui paigutate nõelad kolme või enama mõõtmena), usuvad nad, et komplektid peavad alati olema suured, kui nende suurust mõõdetakse Hausdorffi-nimelise mõõdikuga. dimensioon.

Matemaatikud peavad seda väidet, mida tuntakse Kakeya oletusena, veel tõestama. Kuid kuigi see on näiliselt lihtne küsimus nõelte kohta, "nende Kakeya komplektide geomeetria toetab paljusid küsimusi osaliste diferentsiaalvõrrandite, harmooniliste analüüsi ja muudes valdkondades," ütles ta. jonathan hickman Edinburghi ülikoolist.

Kakeya oletus asub harmoonilise analüüsi kolme keskse probleemi hierarhia aluses – matemaatika haru, mis uurib, kuidas funktsioone saab esitada perioodiliste funktsioonide summadena, nagu korrapäraselt võnkuvad siinuslained.

Järgmine samm selles hierarhias on "piirangu" oletus. Kui see on tõsi, on see ka Kakeya oletus. (See tähendab ka seda, et kui Kakeya oletus osutub valeks, ei saa piirangu oletus olla tõene.) Piirangu oletus on omakorda implikeeritud nn Bochner-Rieszi oletusega. Ja päris tipus istub kohalik siluv oletus.

Esimesed kaks oletust käsitlevad Fourier' teisenduse käitumist, harmoonilise analüüsi tehnikat, mille abil arvutatakse välja, kuidas väljendada peaaegu mis tahes funktsiooni siinuslainete summana. See on üks võimsamaid matemaatilisi tööriistu, mis on füüsikutele ja inseneridele kättesaadavad. Fourier' teisendus on mänginud olulist rolli diferentsiaalvõrrandite lahendamisel, kvantmehaaniliste ideede (nt Heisenbergi määramatuse printsiip) väljendamisel ning signaalide analüüsimisel ja töötlemisel – muutes võimalikuks sellised asjad nagu tänapäevased mobiiltelefonid.

Kuna iga väide hierarhias eeldab sellest allpool olevat, siis kui Kakeya oletus on väär, pole ükski muu oletus tõene. Kogu torn kukub kokku. "Saate luua superkoletise vastunäite, mis murraks palju oletusi," ütles Hickman.

Teisest küljest ei tähenda Kakeya oletuste tõesuse tõestamine automaatselt nende teiste oletuste tõesust, kuid see annaks matemaatikutele olulise ülevaate sellest, kuidas edasi minna.

Ja nii, "peaaegu pool minu teada olevast harmoonilise analüüsi kogukonnast tegeleb selle ja sellega seotud probleemidega või on nendega mingil hetkel tegelenud," ütles Shaoming Guo Wisconsini ülikoolist Madisonis.

Hiljuti avastasid matemaatikud oma üllatuseks, et nende probleemide lahendamiseks välja töötatud tehnikaid saab kasutada ka oluliste tulemuste tõestamiseks näiliselt mitteseotud arvuteooria valdkonnas. "See on palju üldisem nähtus, kui inimesed arvasid," ütles Guo.

Layer Cake

Lugu algab Fourier' teisendusega. "Tahate jagada [funktsioonid] väikesteks tükkideks, analüüsida nende koostoimeid ja need uuesti kokku liita," ütles ta. Yumeng Ou Pennsylvania ülikoolist. Ühemõõtmeliste funktsioonide puhul – kõverad, mida saab paberile joonistada – on matemaatikutel hea arusaam, kuidas seda teha, isegi kui neil on vaja Fourier’ teisendust ümber pöörata, kasutades vaid mõnda tükki.

Kuid kahes või enamas mõõtmes võivad asjad sassi minna.

Aastal 1971, Charlie Fefferman, Princetoni ülikooli matemaatik, mõtles välja, kuidas kasutada Kakeya komplekte, et näidata, et Fourier' teisenduse ümberpööramine võib viia kummaliste ja üllatavate tulemusteni mitmes mõõtmes.

Matemaatikud leidsid lahenduse Bochner-Rieszi oletuse kujul, mis sisuliselt väidab, et algse funktsiooni taastamiseks on keerukamaid viise, mis ei lagune nagu Feffermani näide. Kuid see parandus sõltus Kakeya oletuse tõest.

Kui see on tõsi, põhjustab "sageduste kärpimine ainult väikeseid vigu," ütles Betsy Stovall Wisconsini ülikoolist Madisonis. "See tähendab, et väikesed vead ei lõhke."

Nii algas hierarhia. Hiljem avastasid matemaatikud veel ühe olulise seose: kui see oli tõsi, siis Bochner-Rieszi oletus sisaldas ka väidet, mida nimetatakse piirangute oletuseks. See oletus väidab, et kui alustate Fourier' teisenduse piiratud versiooniga - "piirades" vaadeldavad väärtused ainult nendele, mis elavad teatud pindadel -, võib see siiski anda teile olulist teavet algse funktsiooni kohta. Ja selgus, et kui piirangu oletus oli tõsi, oli ka Kakeya oletus tõsi. (See asetas piirangute oletuse Kakeya ja Bochner-Rieszi vahel torni.)

Hierarhia krooniv probleem, mida nimetatakse lokaalseks silumiseks oletuseks, ei käsitle otseselt Fourier' teisendust, vaid pigem seab piirid lainete käitumist kirjeldavate võrrandite lahenduste suurusele.

Seda võib mõelda ka Kakeya komplekti joonte geomeetria järgi. Lainevõrrandi üldlahenduse saate jagada tükkideks, mis liiguvad eri suundades ja interakteeruvad üksteisega aja jooksul erineval viisil. Kõik need tükid meenutavad matemaatiliselt Kakeya komplekti kuuluvat nõela. Kakeya oletus kinnitab, et sellisel konfiguratsioonil ei saa olla liiga palju kattuvust. Selles füüsilises kontekstis vastaksid kattumised ebakorrapärase ja ootamatu käitumise püsimisele lahenduses. Näiteks võib helilaine võimendada paljudes piirkondades erinevatel aegadel.

Kohalik silumine oletus väidab, et sellised ebakorrapärasused peaksid olema keskmised. "See on nagu finantsturu keskmise võtmine," ütles Ciprian Demeter Indiana Bloomingtoni ülikoolist. "Seal-seal võib ette tulla krahhe, kuid kui investeerite oma raha ja lähete 40 aasta pärast pensionile, on teil hea võimalus teha häid investeeringuid."

Kuid nagu kõigi hierarhia oletuste puhul, sõltub see Kakeya oletuste tõest. "Idee seisneb selles, et kui välistate palju ristmikke Kakeya komplektides, siis saate välistada need olukorrad, kus teie lahenduse osad loovad kokku mingisuguse plahvatuse," ütles Stovall.

See oletus on kõige keerulisem: kui Kakeya, piirangu ja Bochner-Rieszi probleemide kahemõõtmelised juhtumid lahendati aastakümneid tagasi, siis kahemõõtmeline lokaalne silumine leidis kinnitust alles paar aastat tagasi. (Kõrgemates mõõtmetes jäävad kõik need probleemid lahtiseks.)

Kuid vaatamata aeglasele edenemisele kohaliku siluva oletuse tõestamisel, on selle kallal töötamine toonud kaasa tohutu edu mujal. 1999. aastal, püüdes seda oletust käsitleda, tutvustas matemaatik Thomas Wolff meetodit, mida nimetatakse lahtisidumiseks. Sellest ajast peale on see tehnika hakanud elama oma elu: seda on kasutatud suurte läbimurrete tegemiseks mitte ainult harmooniliste analüüsis, vaid arvuteoorias, geomeetrias ja muudes valdkondades. "Kasutades lahtisidumise tulemusi, on teil nüüd maailmarekordid väga kuulsates ja olulistes probleemides," ütles Christopher Sogge Johns Hopkinsi ülikoolist, kes esimest korda sõnastas kohaliku silumise oletuse 1990. aastatel. Näiteks on lahtisidumist kasutatud selleks, et arvutada, mitmel viisil saab täisarvu esitada ruutude, kuubikute või mõne muu astme summana.

Nagu Demeter ütles, on need tulemused võimalikud, kuna "saame vaadata numbreid kui laineid". See, et kõik need probleemid on seotud Kakeya nõelakomplektidega, on põnev, lisas ta. "Sa ei arva, et nii palju ilu, raskusi ja tähtsust saab peita milleski, mida saab sõnastada joonelõikude abil."