Vana oletus kukub, muutes sfäärid palju keerulisemaks | Quanta ajakiri

Juuni alguses maandus Londoni Heathrow lennujaamas matemaatikute loodud sumin. Nende sihtkohaks oli Oxfordi Ülikool ja a konverents aasta 65. sünnipäeva auks Michael Hopkins, Harvardi ülikooli matemaatik, kes oli paljudele kohalviibijatele mentor.

Hopkins tegi endale nime 1980. aastate lõpus seitsme oletuse kallal töötamisega Doug Ravenel Rochesteri ülikoolist oli sõnastatud kümme aastat varem. Need olid seotud meetoditega, mille abil saab kindlaks teha, millal kaks kuju või ruumi, mis võivad tunduda erinevad, on tegelikult samad. Hopkins ja tema kaastöötajad tõestasid kõiki Raveneli oletusi, välja arvatud üks, probleem sugestiivse, kuid salapärase nimega, mida nimetatakse teleskoobi oletuseks.

Sel ajal pani Hopkins oma töö Raveneli oletustele puhkama. Aastakümneid hiljem tundus teleskoobi oletus peaaegu võimatu lahendada.

"Te ei saa sellist teoreemi puudutada," ütles Hopkins.

Kuid kui matemaatikud Londonisse jõudsid, levisid kuulujutud, et seda oli teinud neljaliikmeline matemaatiku rühm, kellel oli side Massachusettsi Tehnoloogiainstituudiga, kellest kolmele oli abi saanud Hopkins kraadiõppes. Neist neljast noorim, magistrant nimega Ishan Levy, pidi ettekande pidama teisipäeval, konverentsi teisel päeval, mil näis olevat tõestus välja kuulutatud.

"Ma olin kuulnud kuulujutte, et see on tulemas, ja ma ei teadnud täpselt, mida oodata," ütles Vesna Stojanoska, matemaatik Illinoisi ülikoolist Urbana-Champaignis, kes osales konverentsil.

Peagi sai selgeks, et kuulujutud vastavad tõele. Alates teisipäevast ja järgmise kolme päeva jooksul Levy ja tema kaasautorid - Robert Burklund, Jeremy Hahn ja Tomer Schlank - selgitas umbes 200-liikmelisele matemaatikule, kuidas nad tõestasid, et teleskoobi oletus oli vale, muutes selle Raveneli esialgsetest oletustest ainsaks, mis ei vasta tõele.

Teleskoobi oletuse ümberlükkamisel on laiaulatuslikud tagajärjed, kuid üks lihtsamaid ja sügavamaid on järgmine: see tähendab, et väga suurtes mõõtmetes (mõelge 100-mõõtmelisele sfäärile) on erineva kujuga universum palju keerulisem kui matemaatikud eeldasid.

Kaartide kaardistamine

Kujundite ehk topoloogiliste ruumide klassifitseerimiseks eristavad matemaatikud olulisi ja mitteolulisi erinevusi. Homotoopiateooria on nende vahetegemise vaatenurk. See peab palli ja muna põhimõtteliselt samaks topoloogiliseks ruumiks, sest võite kumbagi rebimata painutada ja teiseks venitada. Samamoodi peab homotoopiateooria palli ja sisekummi põhimõtteliselt erinevateks, sest selle sisekummiks deformeerimiseks tuleb palli sisse rebida auk.

Homotoopia on kasulik topoloogiliste ruumide klassifitseerimiseks – kõigi võimalike kujundite diagrammi koostamiseks. See on oluline ka selleks, et mõista midagi muud, millest matemaatikud hoolivad: tühikutevahelised kaardid. Kui teil on kaks topoloogilist ruumi, siis üks võimalus nende omaduste uurimiseks on otsida funktsioone, mis teisendavad või kaardistavad ühel asuvaid punkte teise punktideks – sisestage punkt ruumis A, saate väljundiks punkt ruumis B, ja tehke seda kõigi A punktide puhul.

Et näha, kuidas need kaardid töötavad ja miks need vastavate ruumide omadusi valgustavad, alustage ringiga. Nüüd kaardistage see kahemõõtmelisele sfäärile, mis on palli pind. Selleks on lõpmatult palju viise. Kui kujutate sfääri ette Maa pinnana, võiksite oma ringi asetada näiteks mis tahes laiuskraadile. Homotoopiateooria vaatenurgast on need kõik samaväärsed või homotoopilised, sest nad kõik võivad kahaneda põhja- või lõunapoolusel asuva punktini.

Järgmisena kaardistage ring sisetoru (ühe auguga toru) kahemõõtmelisele pinnale. Jällegi on selleks lõpmatult palju viise ja enamik neist on homotoopilised. Kuid mitte kõik. Toruse ümber võiks asetada ringi horisontaalselt või vertikaalselt ja kumbagi ei saa sujuvalt teiseks deformeeruda. Need on kaks (paljudest) viisidest ringi kaardistamiseks torule, samas kui selle sfäärile kaardistamiseks on ainult üks viis, mis peegeldab kahe ruumi vahelist põhimõttelist erinevust: torus on üks auk, sfääril aga mitte ühtegi.

Lihtne on üles lugeda viise, kuidas saame kaardistada ringist kahemõõtmelise sfääri või toruni. Need on tuttavad ruumid, mida on lihtne visualiseerida. Kuid kaartide loendamine on palju raskem, kui tegemist on kõrgema mõõtmega ruumidega.

Mõõtmete erinevused

Kui kahel sfääril on sama mõõde, on nende vahel alati lõpmatult palju kaarte. Ja kui ruum, millest kaardistate, on madalama mõõtmega kui ruum, millele kaardistate (nagu meie näites kahemõõtmelisele sfäärile kaardistatud ühemõõtmelisest ringist), on alati ainult üks kaart.

Osaliselt sel põhjusel on kaartide loendamine kõige huvitavam siis, kui ruumil, millest kaardistate, on suurem mõõde kui sellel, millega kaardistate, näiteks kui kaardistate seitsmemõõtmelise sfääri kolmemõõtmeliseks sfääriks. Sellistel juhtudel on kaartide arv alati piiratud.

"Sfääridevahelised kaardid on üldiselt huvitavamad, kui allikal on suurem mõõde," ütles Hahn.

Pealegi sõltub kaartide arv ainult mõõtmete arvu erinevusest (kui mõõtmed on erinevusega võrreldes piisavalt suured). See tähendab, et kaartide arv 73-mõõtmelisest sfäärist 53-mõõtmelise sfäärini on sama kui kaartide arv 225-mõõtmelisest sfäärist 205-mõõtmelise sfäärini, kuna mõlemal juhul on mõõtmete erinevus 20.

Matemaatikud tahaksid teada kaartide arvu mis tahes mõõtmete erinevusega ruumide vahel. Nad on suutnud välja arvutada kaartide arvu peaaegu kõigi mõõtmete erinevuste jaoks kuni 100-ni: sfääride vahel on 24 kaarti, kui erinevus on 20, ja 3,144,960 23 XNUMX kaarti, kui erinevus on XNUMX.

Kuid kaartide arvu arvutamine mis tahes suurema kui 100 erinevuse korral ammendab kaasaegse arvutusvõimsuse. Ja samal ajal pole matemaatikud tuvastanud kaartide arvus piisavalt mustreid, et neid täiendavalt ekstrapoleerida. Nende eesmärk on täita tabel, mis määrab kaartide arvu mõõtmete erinevuse jaoks, kuid see eesmärk tundub väga kaugel.

"See ei ole küsimus, millele ma ootan täielikku lahendust oma lastelaste eluajal," ütles 76-aastane Ravenel.

Teleskoobi oletus ennustab, kuidas mõõtmete erinevuse suurenedes kaartide arv kasvab. Tegelikult ennustab see, et arv kasvab aeglaselt. Kui see oleks olnud tõsi, oleks see tabeli täitmise probleemi pisut lihtsamaks teinud.

Kahtlus umbusaldusse

Teleskoobi oletus sai oma nime ebatõenäoliselt.

See sai alguse sellest, et väga suurtes mõõtmetes laguneb sageli madalamates dimensioonides moodustunud geomeetriline intuitsioon ja sfääride vahel on kaarte keeruline kokku lugeda. Kuid oma oletust sõnastades mõistis Ravenel, et te ei pea seda tegema. Sfääridevaheliste kaartide loendamise asemel saate hõlpsamini sfääride ja objektide, mida nimetatakse teleskoopideks, vaheliste kaartide loendamiseks.

Teleskoobid hõlmavad suletud kõrgema mõõtmega kõvera koopiaid, millest igaüks on enne seda kõvera vähendatud versioon. Kõverate seeria sarnaneb tegeliku kokkupandava teleskoobi blokeerivate torudega. "Nii veidralt, kui see teleskoop seda kirjeldades ka ei kõla, on see tegelikult kergemini käsitletav objekt kui kera endaga," ütles Ravenel.

Kuid siiski saavad kerad teleskoopidele kaardistada mitmel erineval viisil ja väljakutse on teada, millal need kaardid on tõeliselt erinevad.

Kahe ruumi homotoopsuse kindlakstegemiseks on vaja matemaatilist testi, mida nimetatakse invariantiks, mis on tühikute omadustel põhinev arvutus. Kui arvutus annab iga ruumi jaoks erineva väärtuse, teate, et need on homotoopia vaatenurgast ainulaadsed.

Invariante on mitut tüüpi ja mõned võivad tajuda erinevusi, mida teised invariandid on pimedad. Teleskoobi oletus ennustab, et invariant nimega Morava E-teooria (ja selle sümmeetriad) suudab suurepäraselt eristada kõiki sfääride ja teleskoopide vahelisi kaarte kuni homotoopiani - see tähendab, kui Morava E-teooria ütleb, et kaardid on erinevad, nad on erinevad ja kui see ütleb, et need on samad, on nad samad.

Kuid 1989. aastaks oli Ravenel hakanud kahtlema, kas see on tõsi. Tema skepsis ilmnes tema tehtud arvutustest, mis ei paistnud oletusega kooskõlas olevat. Kuid alles sama aasta oktoobris, kui tema Berkeleys viibimise ajal tabas lahe piirkonda tohutu maavärin, kodifitseeriti need kahtlused täieõiguslikuks uskmatuseks.

"Jõudsin sellele järeldusele päeva või kahe jooksul pärast maavärinat, nii et mulle meeldib mõelda, et juhtus midagi, mis pani mind arvama, et see pole tõsi," ütles Ravenel.

Teleskoobi oletuse ümberlükkamine eeldaks võimsama invariandi leidmist, mis näeks Morava asju E-teooria ei saa. Aastakümneid ei paistnud sellist invarianti olevat saadaval, mistõttu oli oletus kindlalt kättesaamatus kohas. Kuid viimaste aastate edu muutis seda – Burklund, Hahn, Levy ja Schlank kasutasid seda ära.

Plahvatav eksootika

Nende tõestus põhineb tööriistade komplektil, mida nimetatakse algebraliseks K-teooria, mille lõi 1950. aastatel Alexander Grothendieck ja mis on viimase kümnendi jooksul kiiresti arenenud. Sellel on rakendusi kogu matemaatikas, sealhulgas geomeetrias, kus see suudab invarianti üle laadida.

Neli autorit kasutavad algebraat K-teooria kui vidin: nad sisestavad Morava E-teooria ja nende väljund on uus invariant, mida nad nimetavad algebraliseks K- Morava fikseeritud punktide teooria E-teooria. Seejärel rakendavad nad seda uut invarianti kaartidele alates sfääridest kuni teleskoopideni ja tõestavad, et see suudab näha kaarte, mida Morava E- teooria ei saa.

Ja asi pole ainult selles, et see uus invariant näeb veel mõnda kaarti. See näeb palju rohkem, isegi lõpmatult rohkem. Nii palju rohkem, et on aus öelda, et Morava E-teooria kriimustas vaevu pinda, kui tuli tuvastada kaarte alates keradest kuni teleskoopideni.

Lõpmatult rohkem kaarte sfääridest teleskoopideni tähendab lõpmatult rohkem kaarte sfääride endi vahel. Selliste kaartide arv on mistahes mõõtmete erinevuse korral piiratud, kuid uus tõend näitab, et arv kasvab kiiresti ja vääramatult.

See, et kaarte on nii palju, viitab rahutuslikule geomeetrilisele reaalsusele: sfääre on nii palju.

1956. aastal tuvastas John Milnor esimesed näited nn eksootilistest sfääridest. Need on ruumid, mida saab homotoopia vaatenurgast moonutada tegelikuks sfääriks, kuid mis on sfäärist teatud täpses mõttes erinevad. Eksootilisi sfääre ei eksisteeri 16,256., 15. või 523,264. dimensioonis üldse ja keegi pole avastanud nende näiteid seitsmendast dimensioonist – mõõtmest, kust Milnor need esmakordselt leidis. Kuid dimensiooni kasvades suureneb eksootiliste sfääride arv plahvatuslikult. Dimensioonis 19 on XNUMX XNUMX ja XNUMX. mõõtmes XNUMX XNUMX.

Ja ometi, nii suured kui need numbrid ka pole, tähendab teleskoobi oletuse ümberlükkamine, et neid on palju, palju rohkem. Disproof tähendab, et sfääride vahel on rohkem kaarte, kui arvati, kui Ravenel oletuse väitis, ja ainus viis, kuidas saate rohkem kaarte, on kaardistada rohkem erinevaid sfääre.

Matemaatikas ja loodusteadustes on erinevaid edusamme. Üks liik toob korra kaosesse. Kuid teine ​​süvendab kaost, lükates ümber lootusrikkad oletused, mis ei vastanud tõele. Teleskoobi oletuse ümberlükkamine on selline. See süvendab geomeetria keerukust ja suurendab tõenäosust, et mitu põlvkonda lapselapsi tuleb ja läheb enne, kui keegi sfääridevahelistest kaartidest täielikult aru saab.

"Iga suurem edusamm selles valdkonnas näib meile ütlevat, et vastus on palju keerulisem, kui me varem arvasime," ütles Ravenel.