Sissejuhatus
Matemaatikud on sajandeid püüdnud mõista ja modelleerida vedelike liikumist. Võrrandid, mis kirjeldavad, kuidas lainetus tiigi pinda kortsutavad, on aidanud teadlastel ennustada ka ilma, kavandada paremaid lennukeid ja iseloomustada, kuidas veri läbi vereringesüsteemi voolab. Need võrrandid on petlikult lihtsad, kui need on kirjutatud õiges matemaatilises keeles. Nende lahendused on aga nii keerulised, et isegi põhiküsimuste mõtestamine nende kohta võib olla ülemäära keeruline.
Võib-olla vanim ja silmapaistvam neist võrranditest, mille sõnastas Leonhard Euler rohkem kui 250 aastat tagasi, kirjeldab ideaalse kokkusurumatu vedeliku voolu: vedeliku, millel puudub viskoossus või sisehõõrdumine, mida ei saa sundida väiksemasse ruumalasse. "Peaaegu kõik mittelineaarsed vedeliku võrrandid on tuletatud Euleri võrranditest, " ütles. Tarek Elgindi, matemaatik Duke'i ülikoolist. "Võib öelda, et nad on esimesed."
Siiski on Euleri võrrandite kohta palju teadmata - sealhulgas see, kas need on alati ideaalse vedeliku voolu täpne mudel. Vedeliku dünaamika üks keskseid probleeme on välja selgitada, kas võrrandid kunagi ebaõnnestuvad, väljastades mõttetuid väärtusi, mis muudavad nad võimetuks ennustama vedeliku tulevasi olekuid.
Matemaatikud on pikka aega kahtlustanud, et on olemas algtingimused, mis põhjustavad võrrandite lagunemise. Kuid nad ei suutnud seda tõestada.
In eeltrükk Eelmisel kuul veebis postitatud matemaatikupaar on näidanud, et Euleri võrrandite konkreetne versioon tõesti mõnikord ebaõnnestub. Tõestus tähistab suurt läbimurret – ja kuigi see ei lahenda võrrandite üldisema versiooni probleemi täielikult, annab see lootust, et selline lahendus on lõpuks käeulatuses. "See on hämmastav tulemus," ütles Tristan Buckmaster, Marylandi ülikooli matemaatik, kes ei osalenud töös. "Kirjanduses pole sellelaadseid tulemusi."
On ainult üks konks.
177-leheküljeline tõend – kümnendi pikkuse uurimisprogrammi tulemus – kasutab märkimisväärselt arvuteid. See muudab teiste matemaatikute jaoks selle kontrollimise vaieldamatult keeruliseks. (Tegelikult nad seda alles teevad, kuigi paljud eksperdid usuvad, et uus töö osutub õigeks.) Samuti sunnib see neid arvestama filosoofiliste küsimustega selle kohta, mis on "tõestus" ja mida see teeb. See tähendab, et ainus elujõuline viis selliste oluliste küsimuste lahendamiseks on arvutite abi.
Metsalise nägemine
Põhimõtteliselt, kui teate iga osakese asukohta ja kiirust vedelikus, peaksid Euleri võrrandid suutma ennustada, kuidas vedelik kogu aeg areneb. Kuid matemaatikud tahavad teada, kas see on tegelikult nii. Võib-olla mõnes olukorras toimivad võrrandid ootuspäraselt, andes vedeliku oleku jaoks igal ajahetkel täpsed väärtused, ainult siis, kui üks neist väärtustest tõuseb järsku lõpmatuseni. Sel hetkel tekitavad Euleri võrrandid väidetavalt "singulaarsuse" või, mis veelgi dramaatilisem, "puhuvad".
Kui nad selle singulaarsuse saavutavad, ei suuda võrrandid enam vedeliku voolu arvutada. Kuid "mõne aasta taguse seisuga jäi see, mida inimesed suutsid teha, väga-väga kaugele [tõendamisest õhkutõusmisest]," ütles ta. Charlie Fefferman, Princetoni ülikooli matemaatik.
See muutub veelgi keerulisemaks, kui proovite modelleerida viskoossusega vedelikku (nagu peaaegu kõik reaalmaailma vedelikud). Clay Matemaatika Instituudi miljoni dollari suurune aastatuhande auhind ootab kõiki, kes suudavad tõestada, kas Navier-Stokesi võrrandites, mis on viskoossust arvestav Euleri võrrandite üldistus, esineb sarnaseid tõrkeid.
Aastal 2013, Thomas Hou, California Tehnoloogiainstituudi matemaatik ja Guo Luo, praegu Hongkongi Hang Sengi ülikoolis, pakkus välja stsenaariumi, mille kohaselt Euleri võrrandid viivad singulaarsuseni. Nad töötasid välja vedeliku arvutisimulatsiooni silindris, mille ülemine pool keerles päripäeva, alumine pool aga vastupäeva. Simulatsiooni käigus hakkasid keerulisemad voolud üles ja alla liikuma. See omakorda tõi kaasa kummalise käitumise silindri piiril, kus vastasvoolud kohtusid. Vedeliku keerisus – pöörlemismõõt – kasvas nii kiiresti, et näis olevat valmis õhku paiskama.
Hou ja Luo töö oli sugestiivne, kuid mitte tõeline tõend. Selle põhjuseks on asjaolu, et arvutil on võimatu arvutada lõpmatuid väärtusi. See võib jõuda singulaarsuse nägemisele väga lähedale, kuid tegelikult ei jõua seda – see tähendab, et lahendus võib olla väga täpne, kuid siiski ligikaudne. Ilma matemaatilise tõestuseta võib keerise väärtus näida ainult suurenevat lõpmatuseni mõne simulatsiooni artefakti tõttu. Lahendused võivad selle asemel kasvada tohutuks arvuks, enne kui need uuesti vaibuvad.
Selliseid ümberpööramisi oli juhtunud varemgi: Simulatsioon näitaks, et võrrandite väärtus tõusis üles, kuid keerukamate arvutusmeetodite puhul näidatakse vastupidist. "Need probleemid on nii delikaatsed, et tee on täis varasemate simulatsioonide rususid," ütles Fefferman. Tegelikult sai Hou selles valdkonnas alguse: mitmed tema varasemad tulemused lükkasid ümber hüpoteetiliste singulaarsuste kujunemise.
Siiski, kui ta ja Luo oma lahenduse avaldasid, arvas enamik matemaatikuid, et see on väga tõenäoline tõeline singulaarsus. "See oli väga pedantne, väga täpne," ütles Vladimir Sverak, matemaatik Minnesota ülikoolist. "Nad nägid tõesti palju vaeva, et teha kindlaks, et see on tõeline stsenaarium." Elgindi, Sveraki jt hilisemad tööd ainult tugevdas seda veendumust.
Kuid tõend oli tabamatu. "Sa oled metsalist näinud," ütles Fefferman. "Siis proovige seda jäädvustada." See tähendas näitamist, et ligikaudne lahendus, mida Hou ja Luo nii hoolikalt simuleerisid, on konkreetses matemaatilises mõttes väga-väga lähedane võrrandite täpsele lahendusele.
Nüüd, üheksa aastat pärast esimest nägemist, Hou ja tema endine magistrant Jiajie Chen on lõpuks suutnud tõestada selle lähedalasuva singulaarsuse olemasolu.
Kolimine sarnasele maale
Hou, kellega hiljem liitus Chen, kasutas ära asjaolu, et lähemal analüüsimisel näis 2013. aasta ligikaudsel lahendusel olevat eriline struktuur. Kuna võrrandid aja jooksul arenesid, kuvas lahendus nn isesarnase mustri: selle kuju sarnanes hiljem paljuski selle varasema kujuga, kuid seda muudeti teatud viisil.
Selle tulemusena ei pidanud matemaatikud püüdma vaadata singulaarsust ennast. Selle asemel võiksid nad seda uurida kaudselt, keskendudes varasemale ajahetkele. Lahenduse seda osa õigel kiirusel sisse suumides, mis on määratud lahenduse sarnase struktuuri alusel, saaksid nad modelleerida seda, mis juhtub hiljem, sealhulgas singulaarsuse endaga.
Kulus paar aastat, enne kui nad leidsid endale sarnase analoogi 2013. aasta õhkutõusmise stsenaariumile. (Selle aasta alguses kasutas teine matemaatikute meeskond, kuhu kuulus Buckmaster, erinevaid meetodeid leida sarnane ligikaudne lahendus. Praegu kasutavad nad seda lahendust singulaarsuse moodustumise sõltumatu tõendi väljatöötamiseks.)
Ligikaudu sarnase lahendusega käsil pidid Hou ja Chen näitama, et läheduses on täpne lahendus. Matemaatiliselt on see võrdne tõestamisega, et nende ligikaudne sarnane lahendus on stabiilne – isegi kui te seda pisut häiriksite ja seejärel võrrandeid arendaksite, alustades nendest häiritud väärtustest, poleks mingit võimalust põgeneda väikesest naabruskonnast ümber ligikaudne lahendus. "See on nagu must auk," ütles Hou. "Kui alustate läheduses oleva profiiliga, imetakse teid sisse."
Kuid üldise strateegia omamine oli vaid üks samm lahenduse poole. "Kirjuvad detailid loevad," ütles Fefferman. Kui Hou ja Chen veetsid järgmised mitmed aastad nende detailide väljatöötamisel, leidsid nad, et peavad taas arvutitele toetuma – kuid seekord täiesti uuel viisil.
Hübriidne lähenemine
Nende esimeste väljakutsete hulgas oli välja selgitada täpne väide, mida nad pidid tõestama. Nad tahtsid näidata, et kui nad võtaksid oma ligikaudsele lahendusele lähedased väärtused ja ühendaksid selle võrranditega, ei saaks väljund kaugele kalduda. Mida aga tähendab sisendi ligikaudsele lahendusele „lähedal olemine”? Nad pidid seda matemaatilises avalduses täpsustama, kuid selles kontekstis on kauguse mõiste määratlemiseks palju võimalusi. Et nende tõend toimiks, pidid nad valima õige.
"See peab mõõtma erinevaid füüsilisi mõjusid, " ütles Rafael de la Llave, Georgia Tehnoloogiainstituudi matemaatik. "Seega tuleb see valida, kasutades probleemi sügavat mõistmist."
Kui neil oli õige viis "läheduse" kirjeldamiseks, pidid Hou ja Chen tõestama väidet, mis taandus keerulisele ebavõrdsusele, mis hõlmas nii ümber skaleeritud võrrandite kui ka ligikaudse lahenduse termineid. Matemaatikud pidid tagama, et kõigi nende terminite väärtused oleksid tasakaalus millekski väga väikeseks: kui üks väärtus oli lõpuks suur, pidid teised väärtused olema negatiivsed või neid kontrolli all hoidma.
"Kui teete midagi liiga suure või natuke liiga väikese, laguneb kogu asi," ütles Javier Gómez-Serrano, Browni ülikooli matemaatik. "Seega on see väga-väga ettevaatlik ja delikaatne töö."
"See on tõesti äge võitlus," lisas Elgindi.
Kõigil neil erinevatel tingimustel vajalike rangete piiride saamiseks jagasid Hou ja Chen ebavõrdsuse kaheks suureks osaks. Nad said esimese osa eest käsitsi hoolitseda, kasutades selleks 18. sajandist pärinevat tehnikat, mil prantsuse matemaatik Gaspard Monge otsis optimaalset viisi pinnase transportimiseks, et ehitada Napoleoni armee kindlustusi. "Selliseid asju on varem tehtud, kuid mulle tundus hämmastav, et [Hou ja Chen] seda selleks kasutasid," ütles Fefferman.
See jättis teise osa ebavõrdsusest. Selle lahendamiseks oleks vaja arvuti abi. Alustuseks oli vaja teha nii palju arvutusi ja nii palju täpsust, et "pliiatsi ja paberiga tehtav töö oleks jahmatav," ütles de la Llave. Erinevate terminite tasakaalustamiseks pidid matemaatikud täitma mitmeid optimeerimisülesandeid, mis on arvutite jaoks suhteliselt lihtsad, kuid inimeste jaoks äärmiselt aeganõudvad. Mõned väärtused sõltusid ka ligikaudse lahenduse suurustest; kuna see arvutati arvuti abil, oli lihtsam kasutada nende täiendavate arvutuste tegemiseks ka arvutit.
"Kui proovite mõnda neist hinnangutest käsitsi teha, hindate tõenäoliselt mingil hetkel üle ja siis kaotate," ütles Gómez-Serrano. "Numbrid on nii väikesed ja kitsad … ja marginaal on uskumatult õhuke."
Kuid kuna arvutid ei suuda manipuleerida lõpmatu arvu numbritega, tekivad paratamatult väikesed vead. Hou ja Chen pidid neid vigu hoolikalt jälgima, et veenduda, et need ei sega ülejäänud tasakaalustamist.
Lõppkokkuvõttes suutsid nad leida kõikidele terminitele piirid, viies lõpule tõestuse: võrrandid olid tõepoolest tekitanud singulaarsuse.
Tõestus arvutiga
Jääb lahtiseks, kas keerulisemad võrrandid - silindrilise piirita Euleri võrrandid ja Navier-Stokesi võrrandid - võivad arendada singulaarsust. "Kuid [see töö] annab mulle vähemalt lootust, " ütles Hou. "Ma näen teed edasi, võimalust isegi lõpuks lahendada kogu aastatuhande probleem."
Samal ajal töötavad Buckmaster ja Gómez-Serrano oma arvutipõhise tõendi kallal – see, mida nad loodavad, on üldisem ja suudavad seetõttu lahendada mitte ainult probleemi, mille Hou ja Chen lahendasid, vaid ka paljude teiste probleemidega.
Need jõupingutused tähistavad kasvavat suundumust vedeliku dünaamika valdkonnas: arvutite kasutamine oluliste probleemide lahendamiseks.
"Mitmetes erinevates matemaatika valdkondades esineb seda üha sagedamini," ütles Susan Friedlander, matemaatik Lõuna-California ülikoolist.
Kuid vedeliku mehaanikas on arvutipõhised tõestused endiselt suhteliselt uus tehnika. Kui rääkida singulaarsuse kujunemise väidetest, siis Hou ja Cheni tõestus on esimene omataoline: varasemad arvutipõhised tõestused suutsid lahendada ainult piirkonna mänguasjaprobleeme.
Sellised tõendid pole niivõrd vastuolulised, kuivõrd "maitse küsimus". Peeter Constantin Princetoni ülikoolist. Matemaatikud on üldiselt nõus, et tõestus peab veenma teisi matemaatikuid, et mõni arutluskäik on õige. Kuid paljud väidavad, et see peaks parandama ka nende arusaamist sellest, miks konkreetne väide on tõsi, selle asemel, et lihtsalt kinnitada, et see on õige. "Kas me õpime midagi täiesti uut või teame lihtsalt vastust küsimusele?" ütles Elgindi. "Kui vaadata matemaatikat kui kunsti, pole see nii esteetiliselt meeldiv."
"Arvuti võib aidata. See on suurepärane. See annab mulle ülevaate. Kuid see ei anna mulle täielikku arusaamist, ”lisas Constantin. "Arusaamine tuleb meilt."
Elgindi loodab omalt poolt siiski välja töötada alternatiivse õhkutõusmise tõendi täielikult käsitsi. "Ma olen üldiselt õnnelik, et see on olemas," ütles ta Hou ja Cheni töö kohta. "Kuid ma võtan seda rohkem motivatsioonina proovida seda teha vähem arvutist sõltuval viisil."
Teised matemaatikud peavad arvuteid oluliseks uueks tööriistaks, mis võimaldab rünnata varem lahendamatuid probleeme. "Nüüd ei ole töö enam ainult paber ja pliiats," ütles Chen. "Teil on võimalus kasutada midagi võimsamat."
Tema ja teiste (sealhulgas Elgindi, hoolimata tema isiklikust eelistusest kirjutada tõestusi käsitsi) sõnul on suur võimalus, et ainus viis suurte vedelike dünaamika probleemide – st järjest keerukamate võrranditega seotud probleemide – lahendamiseks võib olla tuginemine. palju arvutiabi. "Mulle tundub, et proovimine seda teha ilma arvutipõhiseid tõestusi kasutamata on nagu ühe või võib-olla kahe käe sidumine selja taha," ütles Fefferman.
Kui see lõpuks nii läheb ja "teil pole valikut," ütles Elgindi, "siis inimesed, nagu mina, kes ütleksid, et see pole optimaalne, peaksid vait olema." See tähendaks ka seda, et rohkem matemaatikuid peaks hakkama õppima arvutipõhiste tõendite kirjutamiseks vajalikke oskusi - see on midagi, mida Hou ja Cheni töö loodetavasti inspireerib. "Ma arvan, et oli palju inimesi, kes lihtsalt ootasid, et keegi sellise probleemi lahendaks, enne kui investeerisid oma aega sellesse lähenemisviisi," ütles Buckmaster.
See tähendab, et kui rääkida aruteludest selle üle, mil määral peaksid matemaatikud arvutitele tuginema, siis "ei ole vaja valida pool," ütles Gómez-Serrano. „[Hou ja Cheni] tõestus ei töötaks ilma analüüsita ja tõestus ei töötaks ilma arvuti abita. ... Ma arvan, et väärtus on see, et inimesed oskavad kahte keelt rääkida.
Sellega ütles de la Llave: "Linnas on uus mäng."
