Tehisintellektiga leiti elliptilise kõvera "mümuratsioone" Take Flight | Ajakiri Quanta

Elliptilised kõverad on kaasaegse matemaatika kõige võluvamad objektid. Need ei tundu keerulised, kuid moodustavad kiirtee matemaatika, mida paljud inimesed õpivad keskkoolis, ja uurimistöö matemaatika vahel selle kõige segasemas vormis. Need olid kesksel kohal Andrew Wilesi kuulsas Fermat' viimase teoreemi tõestuses 1990. aastatel. Need on kaasaegse krüptograafia võtmetööriistad. Ja 2000. aastal nimetas Savi Matemaatika Instituut a oletus statistika kohta elliptiliste kõverate üks seitsmest aastatuhande auhinnaprobleemist, millest igaüks toob oma lahenduse eest 1 miljon dollarit. See oletus, mille esimene julgestus Bryan Kask ja Peter Swinnerton-Dyer 1960. aastatel pole ikka veel tõestatud.

Elliptiliste kõverate mõistmine on kõrge panusega ettevõtmine, mis on olnud matemaatikas kesksel kohal. Nii et aastal 2022, kui Atlandi-ülene koostöö kasutas statistilisi tehnikaid ja tehisintellekti, et avastada elliptilistes kõverates täiesti ootamatuid mustreid, oli see teretulnud, kui ootamatu panus. "See oli vaid aja küsimus, millal masinõpe millegi huvitavaga meie ukse ees maandus," ütles Peeter Sarnak, matemaatik Instituudis Advanced Study ja Princetoni ülikoolis. Esialgu ei osanud keegi selgitada, miks äsja avastatud mustrid eksisteerivad. Sellest ajast alates on matemaatikud mitmes hiljutises artiklis hakanud välja selgitama mustrite tagamaid põhjuseid, mida on nimetanud "muminateks" nende sarnasuse tõttu flokeerivate kuldtähtede vedela kujuga, ja on hakanud tõestama, et need ei pea esinema ainult konkreetsetes 2022. aastal uuritud näidetes, kuid elliptilistes kõverates üldisemalt.

Elliptiliseks olemise tähtsus

Et mõista, mis need mustrid on, peame panema väikese aluse selle kohta, mis on elliptilised kõverad ja kuidas matemaatikud neid kategoriseerivad.

Elliptiline kõver seostab ühe muutuja ruutu, mida tavaliselt kirjutatakse kui y, teise kolmanda astmeni, mida tavaliselt kirjutatakse kui x: y² = x³ + Ax + B, mõne numbripaari jaoks A ja BNii kaua, kui A ja B vastama mõnele lihtsale tingimusele. See võrrand määratleb kõvera, mida saab tasapinnal joonistada, nagu allpool näidatud. (Vaatamata nimede sarnasusele, ei ole ellips elliptiline kõver.)

Kuigi elliptilised kõverad näevad välja lihtsad, osutuvad need uskumatult võimsateks tööriistadeks arvuteoreetikute jaoks – matemaatikute jaoks, kes otsivad täisarvudest mustreid. Selle asemel, et lasta muutujaid x ja y ulatudes üle kõigi arvude, meeldib matemaatikutele piirata neid erinevate numbrisüsteemidega, mida nad nimetavad kõvera määratlemiseks antud numbrisüsteemi üle. Eriti kasulikud on elliptilised kõverad, mis on piiratud ratsionaalarvudega – arvud, mida saab kirjutada murdudena. "Elliptilised kõverad reaal- või kompleksarvude kohal on üsna igavad," ütles Sarnak. "Ainult ratsionaalsed arvud on sügavad."

Siin on üks viis, mis on tõsi. Kui tõmbate elliptilise kõvera kahe ratsionaalse punkti vahele sirge, on ratsionaalne ka koht, kus see joon uuesti kõveraga lõikub. Seda fakti saate kasutada elliptilise kõvera "liitmise" määratlemiseks, nagu allpool näidatud.

Tõmmake vahele joon P ja Q. See joon lõikab kõverat kolmandas punktis, R. (Matemaatikutel on spetsiaalne nipp juhtumite lahendamiseks, kus joon ei ristu kõveraga, lisades punkti lõpmatuses.) R üle x-telg on teie summa P + Q. Koos selle liitmisoperatsiooniga moodustavad kõik kõvera lahendused matemaatilise objekti, mida nimetatakse rühmaks.

Matemaatikud kasutavad seda kõvera "järgu" määratlemiseks. The kõvera auaste on seotud ratsionaalsete lahenduste arvuga. Järje 0 kõveratel on lõplik arv lahendusi. Kõrgema astmega kõveratel on lõpmatu arv lahendusi, mille omavahelist seost liitmisoperatsiooni abil kirjeldab järk.

Auastmeid ei mõisteta hästi; matemaatikutel ei ole alati võimalust neid arvutada ja nad ei tea, kui suureks nad võivad saada. (Konkreetse kõvera suurim täpne aste on 20.) Sarnase välimusega kõveratel võib olla täiesti erinev järk.

Elliptilistel kõveratel on palju pistmist ka algarvudega, mis jaguvad ainult 1-ga ja iseendaga. Eelkõige vaatavad matemaatikud kõveraid lõplike väljade kohal - tsüklilise aritmeetika süsteeme, mis on määratletud iga algarvu jaoks. Lõplik väli on nagu kell, mille tundide arv on võrdne algarvuga: kui loete ülespoole, algavad numbrid uuesti. Näiteks 7 lõplikul väljal võrdub 5 pluss 2 nulliga ja 5 pluss 3 võrdub 1-ga.

Elliptilise kõveraga on seotud numbrijada, mida nimetatakse a_p, mis on seotud algarvuga määratletud lõpliku välja kõvera lahendite arvuga p. Väiksem a_p tähendab rohkem lahendusi; suurem a_p tähendab vähem lahendusi. Kuigi auastet on raske arvutada, on järjestus a_p on palju lihtsam.

Arvukate arvutuste põhjal, mis tehti ühes esimestest arvutitest, oletasid Birch ja Swinnerton-Dyer seost elliptilise kõvera astme ja järjestuse vahel. a_p. Igaüks, kes suudab tõestada, et tal oli õigus, võidab miljon dollarit ja matemaatilise surematuse.

Ilmub üllatusmuster

Pärast pandeemia algust Yang-Hui He, Londoni matemaatikateaduste instituudi teadur, otsustas võtta vastu mõned uued väljakutsed. Ta oli õppinud kolledžis füüsikat ja doktorikraadi Massachusettsi Tehnoloogiainstituudist matemaatilise füüsika alal. Kuid ta tundis üha enam huvi arvuteooria vastu ja tehisintellekti kasvavaid võimalusi arvestades arvas ta, et proovib kätt kasutada tehisintellekti kasutamisel vahendina ootamatute numbrimustrite leidmiseks. (Ta oli juba olnud masinõppe kasutamine klassifitseerida Calabi-Yau kollektorid, matemaatilised struktuurid, mida stringiteoorias laialdaselt kasutatakse.)

2020. aasta augustis, kui pandeemia süvenes, võõrustas Nottinghami ülikool teda online-vestlus. Ta oli pessimistlik oma edusammude ja võimaluse suhtes kasutada masinõpet uue matemaatika avastamiseks. "Tema jutustus oli, et arvuteooria oli raske, sest arvuteoorias ei saanud asju masinõppida," ütles Thomas Oliver, Westminsteri ülikooli matemaatik, kes oli publiku hulgas. Ta mäletab: „Ma ei leidnud midagi, sest ma polnud ekspert. Ma ei kasutanud selle vaatamiseks isegi õigeid asju.

Oliver ja Kyu-Hwan Lee, Connecticuti ülikooli matemaatik, alustas koostööd He. "Otsustasime seda teha lihtsalt selleks, et õppida, mis on masinõpe, mitte matemaatikat tõsiselt õppida," ütles Oliver. "Kuid leidsime kiiresti, et saate palju asju masinõppida."

Oliver ja Lee soovitasid tal uurida oma tehnikaid L-funktsioonid, lõpmatud jadad, mis on järjestuse kaudu tihedalt seotud elliptiliste kõveratega a_p. Nad võiksid kasutada elliptiliste kõverate ja nendega seotud veebipõhist andmebaasi L-funktsioonid, mida nimetatakse LMFDB koolitada oma masinõppe klassifikaatoreid. Sel ajal oli andmebaasis ratsionaalide kohal veidi üle 3 miljoni elliptilise kõvera. 2020. aasta oktoobriks oli neil paber mis kasutas kogutud teavet L-funktsioonid elliptiliste kõverate konkreetse omaduse ennustamiseks. Novembris nad jagasid veel üks paber mis kasutas masinõpet teiste objektide arvuteoorias klassifitseerimiseks. Detsembriks suutsid nad seda teha ennustada elliptiliste kõverate auastmeid suure täpsusega.

Kuid nad polnud kindlad, miks nende masinõppe algoritmid nii hästi töötasid. Lee palus oma bakalaureuseõppe üliõpilasel Aleksei Pozdnjakovil näha, kas ta saab aru, mis toimub. Juhtub, et LMFDB sorteerib elliptilised kõverad suuruse järgi, mida nimetatakse juhiks, mis võtab kokku teabe algarvude kohta, mille puhul kõver ei toimi hästi. Nii proovis Pozdnjakov vaadata samaaegselt suurt hulka sarnaste juhtmetega kõveraid – näiteks kõiki kõveraid, mille juhte on 7,500–10,000 XNUMX.

See moodustas kokku umbes 10,000 0 kõverat. Umbes pooltel neist oli auaste 1 ja pooltel XNUMX. (Kõrgemad auastmed on äärmiselt haruldased.) Seejärel arvutas ta väärtused a_p kõigi 0-järgu kõverate jaoks, eraldi keskmistatuna a_p kõigi 1. järgu kõverate jaoks ja joonistas tulemused. Kaks punktide komplekti moodustasid kaks erinevat, kergesti eristatavat lainet. Seetõttu olid masinõppe klassifikaatorid suutnud konkreetsete kõverate järjestused õigesti kindlaks teha.

"Alguses olin lihtsalt õnnelik, et ülesande täitsin," ütles Pozdnjakov. "Kuid Kyu-Hwan mõistis kohe, et see muster oli üllatav, ja siis muutus see tõeliselt põnevaks."

Lee ja Oliver olid vaimustuses. "Aleksei näitas meile pilti ja ma ütlesin, et see näeb välja nagu linnud," rääkis Oliver. "Ja siis Kyu-Hwan otsis selle üles ja ütles, et seda nimetatakse nurinaks ja siis Yang ütles, et me peaksime ajalehele helistama"Elliptiliste kõverate müra. ""

Nad laadisid oma töö üles 2022. aasta aprillis ja saatsid selle edasi käputäiele teistele matemaatikutele, oodates närviliselt, et neile öeldakse, et nende niinimetatud „avastus” on hästi teada. Oliver ütles, et suhe oli nii nähtav, et seda oleks pidanud juba ammu tähele panema.

Peaaegu kohe äratas eeltrükk huvi, eriti alates Andrew Sutherland, MIT-i teadur, kes on üks LMFDB juhtivtoimetajaid. Sutherland mõistis, et 3 miljonist elliptilisest kõverast ei piisa tema eesmärkide saavutamiseks. Ta tahtis vaadata palju suuremaid juhtmete vahemikke, et näha, kui jõuline on müra. Ta tõmbas andmed teisest tohutust, umbes 150 miljonist elliptilisest kõverast koosnevast hoidlast. Endiselt rahulolematuna tõmbas ta seejärel andmed teisest hoidlast 300 miljoni kõveraga.

"Kuid isegi neist ei piisanud, nii et ma arvutasin tegelikult välja uue andmekogumi, mis koosneb enam kui miljardist elliptilisest kõverast, ja seda kasutasin tõesti suure eraldusvõimega piltide arvutamiseks," ütles Sutherland. Mõminad näitasid, kas tal oli keskmiselt üle 15,000 XNUMX elliptilise kõvera korraga või miljoni korraga. Kuju jäi samaks isegi siis, kui ta vaatas kõveraid suuremate ja suuremate algarvude kohal – nähtust nimetatakse skaala invariantsuseks. Sutherland mõistis ka, et müra ei ole ainult elliptiliste kõverate jaoks, vaid ilmneb ka üldisemalt L-funktsioonid. Ta kirjutas kirja, milles tema leidud kokku võetakse ja saatis selle Sarnakile ja Michael Rubinstein Waterloo ülikoolis.

"Kui sellele on teada seletus, siis loodan, et teate seda," kirjutas Sutherland.

Nad ei teinud seda.

Mustri selgitamine

Lee, He ja Oliver korraldasid 2023. aasta augustis Browni ülikooli matemaatika arvutus- ja eksperimentaaluuringute instituudis (ICERM) nurinateemalise töötoa. Sarnak ja Rubinstein tulid, nagu ka Sarnaki õpilane Nina Zubrilina.

Zubrilina tutvustas oma uuringuid müramustrite kohta aastal modulaarsed vormid, spetsiaalsed keerukad funktsioonid, mis nagu elliptilised kõverad on seotud L-funktsioonid. Suurte juhtidega modulaarsetes vormides koonduvad müra teravalt määratletud kõveraks, mitte ei moodusta märgatavat, kuid hajutatud mustrit. sisse paber 11. oktoobril 2023 postitatud Zubrilina tõestas, et seda tüüpi nurisemine järgib tema avastatud selgesõnalist valemit.

“Nina suur saavutus on see, et talle on antud valem selleks; Ma nimetan seda Zubrilina müra tiheduse valemiks, ”ütles Sarnak. "Kasutades väga keerulist matemaatikat, on ta tõestanud täpse valemi, mis sobib andmetega ideaalselt."

Tema valem on keeruline, kuid Sarnak tervitab seda kui olulist uut tüüpi funktsiooni, mis on võrreldav Airy funktsioonidega, mis määratlevad lahendusi diferentsiaalvõrranditele, mida kasutatakse erinevates füüsika kontekstides, alates optikast kuni kvantmehaanikani.

Kuigi Zubrilina valem oli esimene, on teised järginud. "Nüüd ilmub igal nädalal uus paber," ütles Sarnak, "kasutades peamiselt Zubrilina tööriistu, selgitades nurisemise muid aspekte."

Jonathan Bober, Andrew Booker ja Min lee Bristoli ülikoolist koos David Lowry-Duda aastal tõestas ICERM erinevat tüüpi müra olemasolu modulaarsetes vormides järjekordne oktoobrileht. Ja Kyu-Hwan Lee, Oliver ja Pozdnyakov olemasolu tõestas muminatest objektides, mida nimetatakse Dirichleti tegelasteks ja mis on nendega tihedalt seotud L-funktsioonid.

Sutherlandile avaldas muljet märkimisväärne annus õnne, mis oli viinud nurinate avastamiseni. Kui elliptilise kõvera andmeid poleks juht tellinud, oleks müra kadunud. "Neil vedas, et nad võtsid andmeid LMFDB-st, mis olid dirigendi sõnul eelnevalt sorteeritud," ütles ta. "See seob elliptilise kõvera vastava modulaarse vormiga, kuid see pole sugugi ilmne. … Kahel kõveral, mille võrrandid näevad välja väga sarnased, võivad olla väga erinevad juhid. Näiteks märkis Sutherland seda y² = x³ - 11x + 6-l on juht 17, kuid miinusmärgi muutmine plussmärgiks, y² = x³ + 11x + 6-l on juht 100,736 XNUMX.

Ka siis leiti nurinad vaid Pozdnjakovi kogenematuse tõttu. "Ma ei usu, et me oleks seda ilma temata leidnud," ütles Oliver, "sest eksperdid normaliseerivad tavapäraselt a_p omada absoluutväärtust 1. Aga ta ei normaliseerinud neid... nii et võnkumised olid väga suured ja nähtavad.

Statistilised mustrid, mida tehisintellekti algoritmid kasutavad elliptiliste kõverate järjestamiseks järjestuse järgi, eksisteerivad sadade mõõtmetega parameetriruumis – liiga palju, et inimesed saaksid oma mõtetes sorteerida, rääkimata visualiseerimisest, märkis Oliver. Kuid kuigi masinõpe leidis varjatud võnkumisi, „mõistsime alles hiljem, et need on nurinad”.

Toimetaja märkus: Andrew Sutherland, Kyu-Hwan Lee ja L-funktsioonide ja modulaarsete vormide andmebaas (LMFDB) on kõik saanud rahastuse Simonsi fondilt, mis rahastab ka seda toimetuslikult sõltumatut väljaannet. Simonsi fondi rahastamisotsused ei mõjuta meie katvust. Lisateave on saadaval siin.