Marveli kassahiti lõpus Avengers: Endgame, eelsalvestatud hologramm Tony Starkist jätab oma väikese tütrega hüvasti, öeldes: "Ma armastan sind 3,000." Liigutav hetk kordab varasemat stseeni, kus nad osalevad mängulises magamamineku rituaalis, et mõõta oma armastust üksteise vastu. Starki kehastava näitleja Robert Downey Jr. sõnul oli see liin inspireeritud sarnastest vahetustest tema enda lastega.
Mäng võib olla lõbus viis suurte arvude uurimiseks:
"Ma armastan sind 10."
"Aga ma armastan sind 100."
"Noh, ma armastan sind 101!"
Just nii sai "googolplex" minu kodus populaarseks sõnaks. Kuid me kõik teame, kuhu see argument lõpuks viib:
"Ma armastan sind lõpmatult!"
"Ah jaa? Ma armastan sind lõpmatus pluss 1!”
Kas mänguväljakul või enne magamaminekut, puutuvad lapsed kokku lõpmatuse mõistega juba ammu enne matemaatikatundi ja nad tunnevad arusaadavalt vaimustust sellest salapärasest, keerulisest ja olulisest kontseptsioonist. Mõned neist lastest kasvavad üles lõpmatusest lummatud matemaatikuteks ja mõned neist matemaatikutest avastavad lõpmatuse kohta uusi ja üllatavaid asju.
Võib-olla teadsite, et mõned arvude komplektid on lõpmatult suured, kuid kas teadsite, et mõned lõpmatused on suuremad kui teised? Ja kas me pole kindlad, kas nende kahe vahel, mida me kõige paremini tunneme, on veel teisi lõpmatusi? Matemaatikud on selle teise küsimuse üle mõtisklenud vähemalt sajandi ja mõned hiljutised tööd on muutnud inimeste suhtumist sellesse teemasse.
Lõpmatute hulkade suurust puudutavate küsimuste lahendamiseks alustame lihtsama loendamisega. Hulk on objektide või elementide kogum ja lõplik hulk on lihtsalt hulk, mis sisaldab lõplikult palju objekte.
Lõpliku hulga suuruse määramine on lihtne: lihtsalt loendage selles sisalduvate elementide arv. Kuna komplekt on piiratud, teate, et lõpuks lõpetate loendamise ja kui olete lõpetanud, teate oma komplekti suurust.
See strateegia ei tööta lõpmatu hulgaga. Siin on naturaalarvude komplekt, mis on tähistatud ℕ. (Mõned võivad väita, et null ei ole loomulik arv, kuid see arutelu ei mõjuta meie uurimisi lõpmatuse kohta.)
$latexmathbb{N} = {0,1,2,3,4,5,…}$
Mis on selle komplekti suurus? Kuna suurimat naturaalarvu pole, siis elementide arvu loendamine ei toimi. Üks lahendus on lihtsalt kuulutada selle lõpmatu hulga suuruseks "lõpmatus", mis pole vale, kuid kui hakkate uurima teisi lõpmatuid komplekte, mõistate, et ka see pole päris õige.
Vaatleme reaalarvude hulka, mis on kõik kümnendlaiendis väljendatavad arvud, nagu 7, 3.2, −8.015, või lõpmatu laiend nagu $latexsqrt{2} = 1.414213…$. Kuna iga naturaalarv on ka reaalarv, on reaalarvude hulk vähemalt sama suur kui naturaalarvude hulk ja seega peab see olema ka lõpmatu.
Kuid reaalarvude hulga suuruse deklareerimises sama "lõpmatusena", mida kasutatakse naturaalarvude suuruse kirjeldamiseks, on midagi ebarahuldavat. Et näha, miks, valige suvalised kaks arvu, näiteks 3 ja 7. Nende kahe arvu vahel on alati lõputult palju naturaalarve: Siin on arvud 4, 5 ja 6. Kuid nende vahel on alati lõpmatult palju reaalarve. nagu 3.001, 3.01, π, 4.01023, 5.666… ja nii edasi.
Märkimisväärne on see, et olenemata sellest, kui lähedal on kaks erinevat reaalarvu teineteisele, jääb nende vahele alati lõpmatult palju reaalarve. See iseenesest ei tähenda, et reaalarvude ja naturaalarvude hulk on erineva suurusega, kuid see viitab sellele, et nende kahe lõpmatu hulga puhul on midagi põhimõtteliselt erinevat, mis nõuab edasist uurimist.
Matemaatik Georg Cantor uuris seda 19. sajandi lõpus. Ta näitas, et neil kahel lõpmatul hulgal on tõesti erinevad suurused. Et mõista ja hinnata, kuidas ta seda tegi, peame kõigepealt mõistma, kuidas võrrelda lõpmatuid hulki. Saladus on kõikjal matemaatikatundide põhiosa: funktsioonid.
Funktsioonide üle mõtlemiseks on palju erinevaid viise — funktsioonide tähistus nagu $latex f(x) = x^2 +1$, paraboolide graafikud Descartes'i tasapinnal, reeglid nagu "võta sisend ja lisage sellele 3" — kuid siin käsitleme funktsiooni kui viisi ühe hulga elementide sobitamiseks teise komplekti elementidega.
Oletame, et üks neist hulkadest on ℕ, naturaalarvude hulk. Teise komplekti jaoks, mida me kutsume S, võtame kõik paaris naturaalarvud. Siin on meie kaks komplekti:
$lateksmathbb{N} = {0,1,2,3,4,…}$ $lateks S= {0,2,4,6,8,…}$
Seal on lihtne funktsioon, mis muudab ℕ elemendid elementideks S: $lateks f(x) = 2x$. See funktsioon lihtsalt kahekordistab oma sisendeid, nii et kui mõelda ℕ elementidele kui $latex f(x)$ sisenditele (nimetame funktsiooni sisendite komplekti "domeeniks"), on väljundid alati S. Näiteks $lateks f(0)=0$, $lateks f(1) = 2$, $lateks f(2) = 4$, $lateks f(3) = 6$ ja nii edasi.
Saate seda visualiseerida, asetades kahe komplekti elemendid kõrvuti ja kasutades noolte abil, kuidas funktsioon $latex f$ muudab sisendid numbritest ℕ väljunditeks S.
Pange tähele, kuidas $latex f(x)$ määrab täpselt ühe elemendi S igale ℕ elemendile. Seda teevad funktsioonid, kuid $latex f(x)$ teeb seda erilisel viisil. Esiteks määrab $latex f$ kõik sisse S millelegi ℕ. Funktsiooni terminoloogiat kasutades ütleme, et iga element S on elemendi ℕ "pilt" funktsiooni $latex f$ all. Näiteks paarisarv 3,472 on sees S, ja leiame x ℕ nii, et $lateks f(x) = 3,472 $ (nimelt 1,736). Selles olukorras ütleme, et funktsioon $latex f(x)$ ühendab ℕ S. Ilusam viis seda öelda on see, et funktsioon $latex f(x)$ on "sürjektiivne". Ükskõik, kuidas te seda kirjeldate, on oluline see: kuna funktsioon $latex f(x)$ muudab sisendid ℕ-st väljunditeks S, ei midagi sisse S jääb selle käigus vahele.
Teine eriline asi selle kohta, kuidas $latex f(x)$ määrab väljundid sisenditele, on see, et ℕ-s ei muudeta kahte elementi samaks elemendiks S. Kui kaks arvu on erinevad, siis on ka nende topeltarvud erinevad; 5 ja 11 on erinevad naturaalarvud ℕ ja nende väljundid S on samuti erinevad: 10 ja 22. Sel juhul ütleme, et $latex f(x)$ on "1-to-1" (kirjutatakse ka "1-1") ja kirjeldame $latex f(x)$ na "süstitav." Peaasi, et sees pole midagi S kasutatakse kaks korda: iga elementi S on seotud ainult ühe elemendiga ℕ-s.
Need kaks $latex f(x)$ funktsiooni kombineerivad võimsal viisil. Funktsioon $latex f(x)$ loob täiusliku sobivuse ℕ elementide ja S. Asjaolu, et $latex f(x)$ on "onto", tähendab, et kõik on sees S on partner ℕ ja asjaolu, et $latex f(x)$ on 1-1 tähendab, et mitte midagi S on ℕ kaks partnerit. Lühidalt, funktsioon $latex f(x)$ paarib iga elemendi ℕ täpselt ühe elemendiga S.
Funktsiooni, mis on nii injektiivne kui ka sürjektiivne, nimetatakse bijektsiooniks ja bijektsioon loob kahe hulga vahel 1-1 vastavuse. See tähendab, et ühe hulga igal elemendil on teises hulgas täpselt üks partner ja see on üks võimalus näidata, et kahel lõpmatul hulgal on sama suurus.
Kuna meie funktsioon $latex f(x)$ on bijektsioon, näitab see, et kaks lõpmatut hulka ℕ ja S on ühesuurused. See võib tunduda üllatav: Lõppude lõpuks on iga paaris naturaalarv ise naturaalarv, nii et ℕ sisaldab kõike, mis on S ja veel. Kas see ei peaks olema ℕ suurem kui S? Kui me tegeleksime lõplike hulkadega, oleks vastus jah. Kuid üks lõpmatu hulk võib täielikult sisaldada teist ja need võivad siiski olla sama suurusega, nii nagu "lõpmatus pluss 1" pole tegelikult suurem armastuse kogus kui tavaline vana "lõpmatus". See on vaid üks paljudest lõpmatute hulkade üllatavatest omadustest.
Veelgi suurem üllatus võib olla see, et erineva suurusega komplekte on lõpmatult. Varem uurisime reaal- ja naturaalarvude lõpmatute hulkade erinevat olemust ning Cantor tõestas, et need kaks lõpmatut hulka on erineva suurusega. Ta tegi seda oma hiilgava ja kuulsa diagonaalse argumendiga.
Kuna mis tahes kahe erineva reaalarvu vahel on lõpmatult palju reaalarve, keskendugem hetkel lõpmatult paljudele nulli ja 1 vahele jäävatele reaalarvudele. Igaüht neist arvudest võib vaadelda kui (võimalik, et lõpmatu) kümnendlaiendit, nagu see.
Siin on $lateks a_1, a_2, a_3$ ja nii edasi vaid arvu numbrid, kuid me nõuame, et kõik numbrid ei oleks nullid, et me ei kaasaks arvu nulli ennast oma komplekti.
Diagonaalargument algab sisuliselt küsimusega: mis juhtuks, kui naturaalarvude ja nende reaalarvude vahel oleks bijektsioon? Kui selline funktsioon oleks olemas, oleksid need kaks komplekti ühesuurused ja funktsiooni abil saate iga reaalarvu nulli ja 1 vahel naturaalarvuga sobitada. Võiksite ette kujutada sellist järjestatud vastete loendit.
Diagonaalargumendi geniaalsus seisneb selles, et saate selle loendi abil koostada reaalarvu, mis ei saa loendis olla. Alustage reaalarvude koostamist numbri haaval järgmiselt: muutke esimene number pärast koma teistsuguseks kui $latex a_1$, teine number erineb väärtusest $latex b_2$, kolmas koht erineb numbrist $latex c_3 $ ja nii edasi.
Selle reaalarvu määrab selle seos loendi diagonaaliga. Kas see on nimekirjas? See ei saa olla loendi esimene number, kuna sellel on erinev esimene number. Samuti ei saa see olla loendi teine number, kuna sellel on erinev teine number. Tegelikult ei saa see olla nnumber selles loendis, sest sellel on erinev nnumber. Ja see kehtib kõigi kohta n, seega seda uut numbrit, mis jääb nulli ja 1 vahele, ei saa loendis olla.
Kuid loendis pidid olema kõik reaalarvud nulli ja 1 vahel! See vastuolu tuleneb eeldusest, et naturaalarvude ja reaalarvude vahel eksisteerib bijektsioon nulli ja 1 vahel, mistõttu sellist bijektsiooni ei saa eksisteerida. See tähendab, et need lõpmatud komplektid on erineva suurusega. Veidi rohkem tööd funktsioonidega (vt harjutusi) võib näidata, et kõigi reaalarvude hulk on sama suur kui kõigi nulli ja 1 vahel olevate reaalarvude hulk ja seega peavad reaalarvud, mis sisaldavad naturaalarve, olema suurem lõpmatu komplekt.
Lõpmatu hulga suuruse tehniline termin on selle "kardinaalsus". Diagonaalne argument näitab, et reaalarvude kardinaalsus on suurem kui naturaalarvude kardinaalsus. Naturaalarvude kardinaalsus on kirjutatud $latex aleph_0$, hääldatakse "aleph naught". Matemaatika standardvaates on see väikseim lõpmatu kardinal.
Järgmine lõpmatu kardinal on $latex aleph_1$ ("aleph one") ja lihtsalt öeldud küsimus on matemaatikuid rohkem kui sajandi vaevanud: kas $latex aleph_1$ on reaalarvude kardinaalsus? Teisisõnu, kas naturaalarvude ja reaalarvude vahel on muid lõpmatusi? Cantor arvas, et vastus oli eitav - väide, mida hakati nimetama kontiinumi hüpotees — aga ta ei suutnud seda tõestada. 1900. aastate alguses peeti seda küsimust nii oluliseks, et kui David Hilbert pani kokku oma kuulsa nimekirja 23 olulisest lahtisest matemaatikaprobleemist, oli kontiinumi hüpotees number üks.
Sada aastat hiljem on tehtud palju edusamme, kuid see edu on viinud uute saladusteni. Aastal 1940 kuulus loogik Kurt Gödel tõestas et hulgateooria üldtunnustatud reeglite kohaselt on võimatu tõestada, et naturaalarvude ja reaalarvude vahel on lõpmatus. See võib tunduda suure sammuna kontiinumi hüpoteesi tõesuse tõestamisel, kuid kaks aastakümmet hiljem tegi matemaatik Paul Cohen tõestatud et on võimatu tõestada, et sellist lõpmatust pole olemas! Selgub, et kontiinumi hüpoteesi ei saa ühel või teisel viisil tõestada.
Need tulemused koos kinnitasid pidevuse hüpoteesi "sõltumatuse". See tähendab, et üldtunnustatud hulkade reeglid lihtsalt ei ütle piisavalt, et öelda meile, kas naturaalarvude ja reaalarvude vahel on lõpmatus või mitte. Kuid selle asemel, et heidutada matemaatikuid nende püüdlustes mõista lõpmatust, on see viinud nad uutesse suundadesse. Matemaatikud otsivad nüüd uusi põhireegleid lõpmatute hulkade jaoks, mis suudaksid selgitada lõpmatuse kohta juba teadaolevat ja aidata täita lünki.
Öeldes „Minu armastus sinu vastu on aksioomidest sõltumatu” ei pruugi olla nii lõbus kui öelda: „Ma armastan sind lõpmatus pluss 1”, kuid võib-olla aitab see järgmisel põlvkonnal lõpmatust armastavatel matemaatikutel korralikult magada.
Harjutused
1. Olgu $lateks T = {1,3,5,7,…}$, positiivsete paaritute naturaalarvude hulk. On T suurem, väiksem kui naturaalarvude hulk või sama suur kui ℕ?
2. Leidke 1-1 vastavus naturaalarvude hulga ℕ ja täisarvude hulga $latexmathbb{Z}={…,-3,-2,-1,0,1,2,3 vahel, …}$.
3. Leia funktsioon $latex f(x)$, mis on bijektsioon nulli ja 1 vahelise reaalarvude hulga ja nullist suuremate reaalarvude hulga vahel.
4. Leia funktsioon, mis on bijektsioon nulli ja 1 vahel olevate reaalarvude hulga ja kõigi reaalarvude hulga vahel.
Klõpsake vastuse 1 jaoks:
Klõpsake vastuse 2 jaoks:
Samuti võite proovida määratleda funktsiooni, mis sobib elementidega. See funktsioon,
$latexf(n) =begin{cases}
frac{n+1}{2} &tekst{kui $n$ on paaritu}
-frac{n}{2} &tekst{kui $n$ on paaris}
end{cases}$
kaardib ℕ kohta $latexmathbb{Z}$ ja on 1-1. Nii et täisarve on sama palju kui naturaalarve, mis on veel üks kummaline lõpmatuse saavutus.
Klõpsake vastuse 3 jaoks:
Võimalusi on palju, kuid üks lihtne on $latex f(x) = frac{x}{1-x}$. Iga positiivne reaalarv on nulli ja 1 vahel oleva reaalarvu kujutis väärtuse $latex f(x)$ all. Näiteks selleks, et leida, milline arv on näiteks 102-ga paaris, määrake lihtsalt $latex 102 = frac{x}{ 1-x}$ ja lahenda x jaoks:
$lateks 102 = frac{x}{1-x}$
$lateks 102(1-x) = x$
$lateks 102=103x$
$lateks x=frak{102}{103}$
Pange tähele, et leitud x on vastavalt vajadusele nulli ja 1 vahel. Nii et mis tahes arvu jaoks, nagu 102, võime leida sisendi, mis sellele kaardistatakse, mis viitab sellele, et $latex f(x)$ on sürjektiivne. Üks võimalus näha, et $latex f(x)$ on ka injektiivne (1-1), on selle joonistamine ja jälgida, et see läbib horisontaaljoone testi: iga horisontaaljoon Descartes'i tasapinnal läbib $lateksi f( graafikut x)$ kõige rohkem üks kord, mis tähendab, et väljundit ei kasutata kaks korda.
Klõpsake vastuse 4 jaoks:
Nagu ka harjutuse 3 puhul, on mitu funktsiooni, mis võivad töötada, kuid standardne lähenemine on kasutada puutujafunktsiooni teisendust. Domeeni $latex -frac{π}{2}<x<frac{π}{2}$ puhul on standardne puutujafunktsioon tan(x) 1-1 ja see vastab $latex -frac{π}{2 }<x<frac{π}{2}$ kõigi reaalarvude hulka.
Selle funktsiooni domeeni saate teisendusega muuta. Näiteks saame vähendada domeeni $lateks -frac{π}{2} < x <frac{π}{2}$ väärtuseks $latex -frac{1}{2} <x< frac{1}{2 }$, korrutades sisendi π-ga. Teisisõnu, funktsioon tan(πx) kaardistab $latex -frac{1}{2} <x< frac{1}{2}$ kõigi reaalarvude hulgaga. Seejärel saame selle domeeni tõlke abil üle nihutada, saades tulemuseks funktsiooni $latex f(x) = tan(π(x-frac{1}{2}))$. See funktsioon on 1-1 ja kaardistab reaalarvud $latex 0<x<1$ kõigi reaalarvude hulka. See bijektsioon tõestab, et nulli ja 1 vahel on sama palju reaalarve, kui on reaalarve.
