Kuidas saab keegi lõpmatusest kindlalt rääkida? Mida me saame mõistatuslike algarvude kohta tegelikult teada, neid kõiki teadmata? Nii nagu teadlased vajavad andmeid oma hüpoteeside hindamiseks, vajavad matemaatikud tõendeid oletuste tõestamiseks või ümberlükkamiseks. Kuid mida loetakse arvuteooria mittemateriaalses valdkonnas tõenditeks? Selles episoodis räägib Steven Strogatz Melanie Matchett Wood, Harvardi ülikooli matemaatikaprofessor, et õppida, kuidas tõenäosus ja juhuslikkus võivad aidata luua tõendeid matemaatikutelt nõutavate õhukindlate argumentide kohta.
Kuulake edasi Apple Podcastid, Spotify, Google Podcastid, Stitcher, Häälestama või oma lemmik taskuhäälingusaadete rakenduse või saate seda teha voogesitage seda Quanta.
Ümberkirjutus
Steven Strogatz (00:02): Mina olen Steve Strogatz ja see on Rõõm miks, taskuhäälingusaade Quanta Magazine mis viib teid praeguste suurimate vastamata küsimusteni matemaatikas ja loodusteadustes. Selles episoodis me räägime sellest tõendid matemaatikas. Milliseid tõendeid matemaatikud kasutavad? Mis paneb nad kahtlustama, et miski võib olla tõsi, enne kui neil on vettpidav tõend?
(00:26) See võib tunduda paradoksaalne, kuid selgub, et tõenäosusteoorial, juhuse ja juhuslikkuse uurimisel põhinev arutluskäik võib mõnikord viia selleni, mida matemaatikud tegelikult taga ajavad, milleks on kindlus, mitte ainult tõenäosus. Näiteks arvuteooriana tuntud matemaatikaharus on pikka aega kasutatud juhuslikkust, et aidata matemaatikutel arvata, mis on tõsi. Nüüd kasutatakse tõenäosust, et aidata neil tõestada, mis on tõsi.
(00:53) Keskendume siin algarvudele. Ilmselt mäletate algnumbreid, eks? Sa õppisid neid koolis. Algarv on 1-st suurem täisarv, mida saab jagada ainult 1-ga ja iseendaga. Näiteks 7 või 11. Need on algarvud, kuid 15 ei ole sellepärast, et 15 saab jagada võrdselt 3-ga või 5-ga. Algarvudest võiks mõelda nagu keemia perioodilisuse tabeli elementidele. et need on jagamatud aatomid, mis moodustavad kõik ülejäänud arvud.
(01:27) Algarvud näivad olevat lihtsad, kuid matemaatika suurimad mõistatused on küsimused algarvude kohta. Mõnel juhul küsimusi, mis on olnud juba sadu aastaid. Algarvudes on tõesti midagi väga peent. Tundub, et nad elavad korra ja juhuslikkuse piirialal. Minu tänane külaline aitab meil rohkem mõista matemaatika tõendite olemust ja eriti seda, kuidas ja miks võib juhuslikkus meile algarvude kohta nii palju öelda ning miks võivad tõenäosustel põhinevad mudelid arvuteooria tipptasemel nii kasulikud olla. Minuga liitub nüüd, et seda kõike arutada, Melanie Matchett Wood, Harvardi ülikooli matemaatikaprofessor. Tere tulemast, Melanie!
Melanie Matchett Wood (02:09): Tere, sinuga on hea rääkida.
Strogatz (02:11): Sinuga on väga hea rääkida, ma olen suur fänn. Räägime matemaatikast ja loodusteadustest üksteisega seoses, sest sõnad harjuvad sageli kokku, kuid matemaatikas on tõestuse ja kindluse saavutamiseks kasutatavad tehnikad mõnevõrra erinevad sellest, mida me loodusteadustes teha püüame. Näiteks kui me räägime tõendite kogumisest matemaatikas, siis kuidas see on sama või kuidas see erineb tõendite kogumisest teaduse teaduslikul meetodil?
Wood (02:38): Matemaatiline tõestus on täiesti õhukindel, täielik loogiline argument, et mõni matemaatiline väide peab nii olema ja ei saa olla teisiti. Nii et erinevalt teaduslikust teooriast – mis võib olla parim, mis meil praeguste tõendite põhjal olemas on, kuid me saame järgmise 10 aasta jooksul rohkem tõendeid ja võib-olla tuleb uus teooria – matemaatiline tõestus. ütleb, et mõni väide peab nii olema, me ei saa kuidagi avastada, et see on vale 10 aasta või 20 aasta pärast.
Strogatz (03:17): Milliseid asju loetakse matemaatikas tõenditeks?
Wood (03:19): Nii et võite paljudes näidetes näha, et midagi on tõsi. Ja kui see paljudes näidetes on tõsi, võib öelda, et see on selle fakti tõend, võite teha oletusi, mida matemaatikud nimetaksid oletuseks, oletuseks, et midagi on tõsi. Aga see, mida matemaatikud tahaksid, oleks tõend, et see asi, mida nägite nii paljudes näidetes välja töötatud, toimiks alati nii, nagu te väitsite.
Strogatz (03:49): Õige, väga erinev tõendite kaalust. See on väide, et on põhjust, miks miski saab igaveseks, igavesti tõsi olema, igal juhul.
Wood (03:58): Ja mitte ainult "oh, ma olen vaadanud miljon juhtumit ja see on tõsi kõigis neist." Mis on põhjust arvata või oletada, et see on alati tõsi. Kuid matemaatikas teeme vahet sellisel oletusel, mis võib põhineda paljudel juhtumitel või tõenditel, ja teoreemi või tõestuse olemasolul, argumendil, mis ütleb teile, et see töötab igal juhul, isegi nendel, mis teil on. ei proovinud.
Strogatz (04:25): Kas matemaatikud on loomult nõudlikud või on juhtumeid, kus miski, mis näis olevat tõsi, kuni mõne väga suure hulga võimalusteni, ei vastanudki tõele peale mõne muu suure arvu ?
Wood (04:39): Oh, see on suurepärane küsimus. Noh, siin on näide, mis mulle meeldib, sest mulle meeldivad algarvud. Nii et kui te läbite algarvud – 2, 3, 5, 7 –, mida võiksite teha, võite vaadata ja öelda: "Hei, kas need jaguvad 2-ga?" Ja see ei ole eriti huvitav. Pärast 2 ei jagu ükski neist 2-ga. Nad on kõik, nad on kõik paaritud.
(05:10) Ja siis võiksite mõelda, "kas need jaguvad 3-ga?" Ja loomulikult ei saa need pärast 3 jaguda ka 3-ga, kuna need on algarvud. Siiski võite märgata, et mõned neist, kui jagate need 3-ga, saate jäägi 1-st, et need on 1-ga rohkem kui 3-kordsed. Nii et sellised asjad nagu 7, mis on 1 võrra rohkem kui 6 või 13 , mis on 1 võrra rohkem kui 12. Ja mõnel neist algarvudest, nagu 11 või 17, mis on 2 võrra suurem kui 15, jääb nende jääk 2, kui jagate need 3-ga, sest need on 2 võrra rohkem kui a kordne 3-st.
(05:47) Nii et võite mõelda nendele esinumbritele meeskondades. Meeskond 1 on kõik need, mis on 1 võrra rohkem kui 3 kordne, ja meeskond 2 on kõik need, mis on 2 võrra rohkem kui 3 kordne. Ja kui te läbite algarvu ja loetlete algarvud, võite loetleda kõik algarvud ja saaksite kokku lugeda ning näha, kui paljud on meeskonnas 1 ja kui paljud on meeskonnas 2. Ja kui teeksite selle kokku kuni 600 miljardini, igas punktis, igas numbris kuni 600 miljardini, avastaksite, et 2. meeskonna algarvu on rohkem kui 1. meeskonna algarvu. Seega võite nende tõendite põhjal loomulikult oletada, et 2. meeskonna algarvu on alati rohkem kui 1. meeskonna algarvu.
Strogatz (06:33): Muidugi. Täiesti kõlab nii.
Wood: Selgub, et umbes 608 miljardi juures unustan täpse numbri, see muutub.
Strogatz (06:46): Oh, ole nüüd.
Wood: Jah, see tõesti muutub. Ja nüüd ühtäkki on 1. meeskond juhtpositsioonil. Niisiis, see on —
Strogatz (06:53): Oota natuke. Oota, aga see on hämmastav. Mis – kas nad nüüd muutuvad? Kas me teame, mis juhtub, kui jätkate? Kas nad muutuvad pidevalt?
Wood (07:01): Jah, suurepärane küsimus. Nii et tõepoolest, see on teoreem, et nad vahetavad juhtmeid lõpmatult sageli.
Strogatz (07:07): Kas tõesti?
Wood: Nii et nad jätkavad müügivihjetega kauplemist. Kuid see on tõesti suurepärane näide, mida algarve uurides meeles pidada, et see, et miski oli esimese 600 miljardi juhtumi puhul tõsi, ei tähenda, et see on alati tõsi.
Strogatz (07:25): Oh, vau. Tore. Okei. Niisiis, nagu üldiselt, kuidas jõuda oletusest tõestuseni?
Wood (07:31): See sõltub paljuski juhtumist. Ma mõtlen, et matemaatikas on palju juhtumeid, kus meil on oletusi ja meil pole tõestusi. Seega pole mingit lihtsat retsepti, kuidas oletusest tõestuseni jõuda, vastasel juhul poleks meil nii palju kuulsaid lahtisi probleeme, kus, teate, on mõned — mingid oletused, et inimesed arvavad, et miski toimib teatud viisil, aga meie ei tee seda. ei tea seda kindlalt. Kuid teate, mõnikord võivad oletused viidata põhjustele, miks miski on tõsi. Mõnikord on see lihtsalt matemaatiline teooria, mis põhineb üha enamal matemaatilisel teoorial, mida inimesed on sadu aastaid arendanud, ja annab meile piisavalt tööriistu ja struktuuri, millega töötada, et mõista asju, mida me tõestame. Kuid see pole nii, et oletused viivad tingimata tõestuseni. Oletus võib inspireerida inimesi proovima tõestust leida, kuid tõestuse tekkimise viis võib olla oletusest endast täiesti erinev.
Strogatz (08:31): Jah, ma olen huvitatud selliste tõendite loetlemisest või loetlemisest, mis tõenditele alla jäävad, ja mis viivad inimestes kindlustundeni, et tõestust tasub proovida.
Wood (08:41): Jah, veel üks asi, mida võiksime nimetada tõenditeks, mis pole lihtsalt näited, oleks heuristiline. Heuristika võib olla midagi argumendi sarnast, välja arvatud palju madalama ranguse korral. See on lihtsalt nagu, kas see tundub okei? Mitte "kas ma olen selle fakti täiesti kindlalt kindlaks teinud, ilma igasuguse kahtluse varju?" aga "teeb seda - jah, see tundub üsna usutav." Nii et heuristika võib olla arutluskäik, mis tundub üsna usutav, kuid tegelikult pole see range argument. Nii et see on üks tõendusmaterjal.
(09:12) Mõnikord võib olla mudel, mis meie arvates hõlmab matemaatilise süsteemi olulisi elemente, mida me püüame mõista, ja siis võite oletada, et teie süsteemil on sama käitumine kui teie mudelil.
Strogatz (09:30): Olgu. Mingil hetkel tahan ma kuulda näiteid mudelitest ja oletustest ning seda, mil määral need mõne küsimuse puhul töötavad või ei tööta või mõnel mitte, aga kui te ei pahanda, siis ma mulle meeldib minna tagasi mõne väikese isikliku asja juurde, sest me räägime siin numbritest ja te olete arvuteoreetik. Inimesed ei pruugi oma igapäevaelus paljusid arvuteoreetikuid tunda. Nii et ma ei tea, kas saaksite meile öelda mis on arvuteooriaja miks see teile huvitav tundub? Miks sa seda õppima tulid?
Wood (10:02) Noh, arvuteooria on täisarvude matemaatiline uurimine. Niisiis, mõelge 1, 2, 3, 4, 5. Ja eriti üks tähtsamaid asju täisarvudes on algarvud. Nagu te selgitasite, on need kohe alguses ehitusplokid, millest saame korrutamise teel üles ehitada kõik muud arvud. Seega, kuna arvuteooria puudutab kõiki neid täisarvusid, on see seotud ka nende ehitusplokkide, algarvude ja sellega, kuidas teised arvud algarvudes arvestavad ja kuidas need on üles ehitatud – algarvudest välja.
Strogatz (10:37): Seega on arvuteooria meie tänaste eesmärkide jaoks ilmselt täisarvude uurimine, pöörates erilist tähelepanu algarvudele. See tundub päris hea algus olevat. Ma arvan, et see on midagi enamat. Aga võib-olla on see meie jaoks praegu hea määratlus. Kas sa arvad nii?
Wood (10:50): See on hea, see on hea algus. Ma mõtlen, et sealt edasi uuritakse edasisi asju, näiteks, mis siis, kui hakkate kaaluma arvusüsteeme, mis on keerulisemad kui lihtsalt täisarvud? Kui hakkate sisestama muid arve, näiteks 2 ruutjuurt, siis mis juhtub algarvude ja faktoriseerimisega? Teid suunatakse edasiste küsimusteni. Kuid ausalt öeldes on palju rikkalikku ja ilusat matemaatikat ainult täisarvudes ja algarvudes.
Strogatz (11:16): Miks see teile mõjuv on, kui seda silmas pidada? Miks teile meeldib arvuteooria õppimine? Mis sind selle juurde tõmbas?
Wood (11:22): Mulle meeldib, et küsimused võivad olla nii konkreetsed. Tead, ma käin ja räägin põhikoolilastega. Ja ma võin neile rääkida mõnedest asjadest, millele ma mõtlen. Seega on minu jaoks lõbus töötada millegi kallal, mille küsimused võivad ühelt poolt olla nii konkreetsed, kuid teisest küljest võib selle lahendamise mõistatus olla nii keeruline. Ma mõtlen, et inimesed on püüdnud vastata küsimustele täisarvude, algarvude kohta sõna otseses mõttes tuhandeid aastaid.
(11:54) Ja matemaatika harusid on palju. Kaasaegse arvuteooria üks olulisi osi on see, et nende kangekaelsete vanade küsimuste lahendamiseks, millega inimesed on nii kaua tegelenud, on vaja tuua uusi ideid ja luua seoseid matemaatika teiste osadega. Ehkki ma nimetaksin end arvuteoreetikuks, kasutan ma matemaatikat erinevatest valdkondadest. Alates geomeetria ja topoloogia ning ruumide kujundite uurimisest kuni tõenäosuse ja juhuslikkuse uurimiseni. Ma kasutan igasugust matemaatikat, kuid proovin öelda midagi selliste asjade kohta nagu täisarvud, algarvud ja faktoriseerimine.
Strogatz (12:36): Jah, mulle meeldib see nägemus matemaatikast kui sellest hiiglaslikust omavahel ühendatud ideede võrgust ja te võite soovida elada selle konkreetses osas, mis on teie lemmik. Kuid olete maininud, et algarvud on arvuteooria eriline huvivaldkond, selle kõige olulisem osa. Mis neis rasket on? Meie arutelus pole veel selge, mis seal nii salapärast on? Nagu me oleme need defineerinud, võiksime ilmselt neid loetleda, ma arvan. Millised on need sadu aastaid vanad probleemid, millele viitate?
Wood (13:05): Noh, üks suuremaid ja olulisemaid küsimusi, mis on võib-olla umbes 120 aastat vana, on, ütlesite: "Oh, sa võiksid neid loetleda. Kui te seda teeksite, kui palju te leiate?” Oletame, et loetlesite algarvud, kuni sada või tuhat, või sada tuhat või miljon, miljard. Kui loetlete algarvud järjest suuremate arvudeni, siis kui paljud neist läbitud arvudest on tegelikult algarvud? Nii et kvantiteedi mõistmine on tõesti selle tuum Riemanni hüpotees, mis on üks Clay Math Institute Aastatuhande auhinna probleemid, on vastuse eest miljoni dollari auhind. See on üks kuulsamaid küsimusi ja meil pole õrna aimugi, kuidas seda teha, ja tegelikult on see ainult küsimus, kui palju te neid algarvusid loetlete?
Strogatz (13:58): Olgu. See on naljakas, eks? Sest kui hakkate loendit koostama, märkate naljakaid seiku, isegi kui keegi lihtsalt juhuslikult hakkas loetlema numbreid, mille suurus on kuni 100. Nagu alguses 11 ja 13, on nad 2 vahet. Noh, viisteist, see ei tööta, sest see jagub 5 ja 3-ga. Siis 17, nii et nüüd on vahe 4, 13 ja 17 vahel. Aga siis on 19 jälle lähedal. Ma ei tea, ma mõtlen, nii et algarvude vaheline kaugus võib olla kuidagi veider. Nagu mõnikord on seal päris suur vahe ja mõnikord on nad üksteise kõrval, vaid kahe kaugusel.
Wood (14:31): Jah, nii et vahekauguste ja nende lünkade mõistmine on samuti olnud suur huvipakkuv küsimus. Algarvude vahe mõistmisel on viimasel kümnendil tehtud märkimisväärseid edusamme. Kuid ikkagi on tõesti ahvatlev põhiküsimus, millele me vastust ei tea. Nii et mainisite, et need algarvud 11 ja 13 on üksteisest vaid 2 kaugusel. Nii et selliseid algarvu nimetatakse kaksikarvudeks. Me ei saanud eeldada, et algarvud läheksid üksteisele lähemale kui 2, sest pärast kahte peavad need kõik olema paaritud. Siin on matemaatikas avatud küsimus, mis tähendab, et me ei tea vastust, ja see on: Kas kaksik-algarvu paare on lõpmatult palju? Ja nii siin on oletus, oletus oleks jah. Ma mõtlen, et pole olemas mitte ainult oletus, et "jah, need peaksid kestma igavesti ja neid peaks alati rohkem olema", vaid on isegi oletus selle kohta, kui palju te edasi minnes leiate. Kuid see on täiesti avatud. Niipalju kui me teame, võib juhtuda, et kui jõuate tõesti suure arvuni, siis need lihtsalt peatuvad ja te ei leia enam kaksik-algarvude paare.
Strogatz (15:40): Selles on midagi väga poeetilist, teravat, see mõte, näiteks, et see võib ühel hetkel olla rea lõpp. Ma mõtlen, et kumbki meist ei usu seda ilmselt. Kuid ma arvan, et on mõeldav, et mõni viimane üksildane kaksikupaar suubub pimeduses, seal, teate, numbrireal.
Wood (15:57): Jah, see võib olla. Ja teate, matemaatikutena ütleksime, et teate, me ei tea. Isegi kui saaksite leitud arvu kohta graafiku koostada, näib, et kui te selle graafiku joonistate, siis tundub, et see lihtsalt tõuseb ja tõuseb kiirusega, mis ei muutu kunagi. Kuid ma arvan, et see on osa matemaatika ja teaduse erinevusest selles, et me hoiame seda skeptitsismi ja ütleme, et noh, me ei tea. Ma mõtlen, et võib-olla ühel hetkel graafik lihtsalt pöördub ja rohkem pole.
Strogatz (16:29): Nii et — mulle meeldib su pilt seal graafikust, sest ma arvan, et selle ideega, diagrammi tegemise, mingisuguse graafiku tegemisega võivad kõik suhestuda. Tead, mõeldes algarvudele kui andmetele. Ja nii ma arvan, et see on võib-olla hea aeg pöörduda, et hakata rääkima tõenäosusteooriast. Ja tundub veidi imelik rääkida tõenäosusest ja statistikast seoses algarvudega, sest siin pole mingit võimalust. Algarvud määravad meie antud definitsiooni, et need ei ole jagatavad. Kuid matemaatikud ja arvuteoreetikud, nagu teiegi, on algarvudele mõeldes kasutanud statistilisi või tõenäosuslikke argumente. Huvitav, kas saaksite mulle midagi sellist visandada, kasutades müntide viskamist, ja tagasi selle juurde, millest me alguses rääkisime, paaritute ja paarisarvude juurde.
Wood (17:14): Olgu. Erinevalt algarvudest mõistame tegelikult väga hästi paaritute ja paarisarvude mustrit. Need lähevad muidugi paarituks, paarituks, paarituks, paarituks. Kuid oletame, et me ei saanud sellest mustrist aru. Ja me kasutame seda selleks, et mõista, kui palju paarituid numbreid võite leida, kui vaatate kõiki numbreid kuni miljonini. Võiksite ette kujutada, kuna on kaks võimalust, arv võib olla paaritu või paaris, et võib-olla läks keegi kaasa ja viskas iga numbri jaoks münti, ja kui münt tuli pähe, oli see arv paaritu. Ja kui mündil oli saba, oli arv paaris. Ja nii võiksite lasta oma müntide loopival inimesel kõndida mööda numbrijoont, viskama iga numbri juures münti ja näiteks tuleb see arv paarituks või paarituks kuulutada.
(18:03) Ühest küljest on see jama. Teisest küljest saab müntide viskamise mudel mõned asjad korda. Näiteks kui ütlete, et teate, kui palju on kuni miljonini paarisarvud? Teame, et umbes pooled müntide viskamiste arvust, mis näiteks müntide viskamise korral üles löövad, on umbes pool neist. Ja nii, nii rumal kui see ka pole, suudab see mudel siiski õigesti ennustada. Ja ma peaksin ütlema, et see võib tunduda rumal, sest me juba teame sellele küsimusele vastust. Idee seisneb selles, et loome mudeleid keerulisemate mustrite jaoks, näiteks kus arvude hulgas on algarvud, mitte ainult koefitsientide ilmumise kohta.
Strogatz (18:55): Jah. Ma arvan, et me peame seda rõhutama – kui sügavalt salapärased on algarvud. Algarvude jaoks pole valemit, nii nagu paaritute arvude jaoks. Nagu kui arvate, et oh, olgu, see on – me räägime siin tõesti absurdsetest asjadest, tegelikult on väga väärtuslik omada neid statistilisi mudeleid, mis suudavad ennustada omadusi, mis on keskmised omadused. Sarnaselt analoogile on pooled suurest arvust väiksemad arvud paaritud. See on midagi, mis algarvude puhul on väga tõsine ja huvitav küsimus. Milline osa arvudest, mis on väiksemad kui suur arv, on algarvud? Ja nagu te ütlete, saate luua statistilise mudeli, mis seda õigesti teeb. Ja mis siis, seda sama mudelit saab kasutada selleks, et ennustada, mitu kaksik-algaarvu on väiksem kui suur arv? Kas sama mudel teeb sel juhul head tööd?
Wood (19:41): Algarvude puhul, kui me ehitaksime mudelit – teate, ja matemaatikud kasutavad mudelit, mida nimetatakse algarvude Craméri mudel — kui me ehitaksime algarvudest müntide viskamise mudeli, kus kujutaksime ette, et keegi kõnnib mööda arvujoont ja iga numbri juures viskab münti, näiteks selleks, et otsustada, kas see arv on algarv või mitte, lisada sellesse mudelisse nii palju, kui me algarvude kohta teame. Nii et esiteks teame, et suured arvud on väiksema tõenäosusega algarvud kui väiksemad. Nii et neid münte tuleks kaaluda. Ja me peaksime proovima panna täpselt need kaalud, mida ootame. Ja me teame selliseid asju nagu kaks algarvu ei saa olla kõrvuti, sest üks neist peab olema paaritu ja üks paaris. Nii et panime selle mudelisse. Ja siis on veel asju, mida me algarvude kohta teame.
(20:37) Seega on mudel midagi, mis algab selle müntide viskamise mudeliga, kuid seejärel muudetakse seda kõigi nende muude reeglite ja kõigi muude asjadega, mida me algarvude kohta teame. Ja kui panete mudelisse kõik need asjad, mida me teame, siis küsite sellelt müntide viskamiselt, et tead, mudel, noh, kas näete lõpmata sageli, et mündid kerkivad üksteisest vaid kahe kaugusel? Ja modell ütleb teile, oh, jah, me näeme seda. Tegelikult näeme seda sellisel väga kindlal kiirusel, mille jaoks saame anda valemi. Ja siis, kui joonistate tegelike kaksik-algarvude arvu tegelikes arvudes, mille puhul pole löödud münte, võrreldes mudeli ennustatuga, näete, et mudel annab teile väga täpse ennustuse kaksik algarvude paaride arvu kohta. leiate, kui lähete. Ja siis mõtlete, et äkki see mudel teab, millest see räägib.
Strogatz (21:31): See on suurepärane. Ma mõtlen, et see on omamoodi oluline, milleni me just jõudsime, et – te ei kasutanud veel sõna arvutid. Kuid ma eeldan, et te ei tee seda käsitsi. Inimesed, kes loetlevad kaksikuid, ei tea, millest me räägime? Triljon triljon triljonit? Ma mõtlen, et need on suured numbrid, millest me räägime, kas pole?
Wood (21:49): Noh, kaksikarvude loetlemine, see tähendab — tehakse arvutiga, absoluutselt. Aga selle mudeli ehitamise ja selle valemi väljamõtlemise eest, mille mudel annab. Teate, seda teevad põhimõtteliselt käsitsi matemaatikud, kes mõtlevad mudelile ja mõtlevad selle abil välja.
Strogatz (22:07): See on nii lahe. Nii et seal näitab mudel oma asju, et mudel suudab tegelikult ennustada, mida arvuti näeb. Ja selle ennustamiseks pole arvutit vaja. Seda saab teha käsitsi, inimeste poolt ja see võib tegelikult viia tõenditeni. Välja arvatud see, et need on mudeli omaduste tõendid, mitte tingimata veel tõendid selle kohta, millest olete huvitatud.
Wood (22:28): Õige. Ja ühel hetkel arvuti seiskub. Teate, arvutusvõimsust on ainult nii palju. Aga see valem, mille te saaksite, mille mudel teile annaks, mida saaksite tõestada, on tõsi, jällegi, selle mudeli müntide viskamise olukorra kohta, see valem jääb kehtima. Sellesse valemisse saate panna üha suuremaid numbreid, palju suuremaid, kui teie arvuti kunagi, kunagi suudaks arvutada.
Strogatz (22:53): Nii et olete meile natuke rääkinud sellest, kuidas juhuslikkus võib aidata luua huvitavate nähtuste mudeleid arvuteoorias, ja ma olen kindel, et see kehtib ka matemaatika muudes osades. Kas on juhtumeid, kus saate tegelike tõendite, mitte ainult mudelite esitamiseks kasutada juhuslikkust?
Wood (23:10): Absoluutselt. Teist matemaatika haru nimetatakse tõenäosusteooriaks. Ja tõenäosusteoorias tõestavad nad teoreeme juhuslike süsteemide ja nende käitumise kohta. Ja võite arvata, et kui alustate millestki juhuslikust ja teete sellega midagi, on teil alati midagi juhuslikku. Kuid üks märkimisväärselt ilusaid asju, mida tõenäosusteooriast leiab, on see, et mõnikord võib millestki juhuslikust saada midagi deterministlikku.
Strogatz (23:45): Noh, kuidas see töötab? Nagu mis?
Wood (23:48): Jah. Nii et olete näinud kellakõverat või normaaljaotust, nimetaksid matemaatikud seda. Seda esineb looduses kõikjal. Nagu see tundub, kui vaatate inimeste vererõhku, lapse sünnikaalu või midagi muud. Ja võite arvata, oh, see kellakõver, et see on looduse fakt. Kuid tegelikult on olemas teoreem, mida nimetatakse tõenäosusteoorias keskseks piiriteoreemiks ja mis ütleb teile, et tegelikult ei ole see kellakõver mõnes mõttes mitte looduse, vaid matemaatika fakt. Keskne piirteoreem ütleb teile, et kui kombineerite iseseisvalt terve hulga väikseid juhuslikke efekte, siis selle väljund vastab alati teatud jaotusele. See kuju, see kellakõver. Matemaatika ja tõenäosusteooria võivad tõestada, et kui teil on – kui kombineerite palju väikeseid sõltumatuid juhuslikke asju, annab kogu selle kombinatsiooni tulemus teile jaotuse, mis näeb välja nagu see kellakõver. Ja nii - isegi kui te ei tea, millised sisendid olid. Ja see on tõesti võimas teoreem ja väga võimas tööriist matemaatikas.
Strogatz (25:05): Jah, kindlasti on. Ja mulle meeldis teie rõhuasetus sellele, et te ei pea teadma, mis väikeste efektidega toimub. Et see kuidagi pestakse välja. Seda teavet pole vaja. Kellakõver on etteaimatav, isegi kui te ei tea, mis on väikeste efektide olemus. Niikaua kui neid on palju ja neid on vähe. Ja nad ei mõjuta üksteist, eks, nad on mõnes mõttes sõltumatud.
Wood (25:27): Jah, absoluutselt. Ja see on idee, teate, mõnikord nimetatakse seda tõenäosusteoorias universaalsuseks, et on teatud tüüpi masinaid, millele saate väljundit ennustada, kui sisestate palju juhuslikke sisendeid. Näiteks see, et saate selle kellakõvera või selle normaaljaotuse, isegi kui te ei tea, mida masinasse panite. Ja see on uskumatult võimas, kui on asju, millest me väga hästi aru ei saa, sest —
Strogatz (25:56): Aga kas sa ütled mulle – oh, vabandust, et katkestasin –, aga kas sa ütled mulle, et see toimub praegu ka arvuteoorias? Kas me hakkame kuidagi universaalsuse ideed arvuteoorias ilmnema? Või näen ma und?
Wood (26:09): Mingil määral ma ütleksin, et see on minu unistus, mis algab. Teate, me lihtsalt teeme esimesi samme selle realiseerimiseks. Nii et see pole ainult teie unistus, see on ka minu unistus. Osa tööst, mida ma täna teen ja mille kallal mu kaastöötajad ja mina töötame, üritab sellist unistust reaalsuseks muuta, nii et mõned neist mõistatuslikest numbritega seotud küsimustest, millele me vastust ei tea, võiksime mõista, et on mustreid, mis tulevad välja nagu kelluke kõver, nagu normaaljaotus, mille puhul saame tõestada, et need tulid masinast välja isegi siis, kui me ei tea, millised saladused sinna sisse pandi.
Strogatz (26:55): Noh, tegelikult on see väga inspireeriv ja haarav nägemus ja ma loodan, et see kõik saab teoks. Suur aitäh, et täna meiega rääkisid, Melanie.
Wood (27:03): Aitäh. See oli väga lõbus.
Kuulutaja (27:06): Kui soovite Rõõm miks, vaadake läbi Quanta ajakirja teaduse taskuhääling, mida juhin mina, selle saate üks produtsentidest Susan Valot. Rääkige sellest podcastist ka oma sõpradele ja pange meile meeldimine või jälgige, kus kuulate. See aitab inimestel leida Rõõm miks podcast.
Strogatz (27: 26): Rõõm miks on podcast pärit Quanta Magazine, toimetuse poolest sõltumatu väljaanne, mida toetab Simonsi fond. Simonsi fondi rahastamisotsused ei mõjuta teemade, külaliste ega muude toimetusotsuste valikut selles taskuhäälingus ega Quanta Magazine. Rõõm miks Tootsid Susan Valot ja Polly Stryker. Meie toimetajad on John Rennie ja Thomas Lin, keda toetavad Matt Carlstrom, Annie Melchor ja Leila Sloman. Meie teemamuusika koostas Richie Johnson. Meie logo autoriks on Jackie King ning osade kunstiteosteks on Michael Driver ja Samuel Velasco. Ma olen teie võõrustaja, Steve Strogatz. Kui teil on meile küsimusi või kommentaare, saatke meile e-kiri aadressil quanta@simonsfoundation.org. Aitah kuulamast.
