Matemaatilised nipid keskmaa taltsutamiseks | Ajakiri Quanta

Seni sel aastal Quanta on kirjeldanud Ramsey teooria kolme peamist edusamme, mis uurib, kuidas vältida matemaatiliste mustrite loomist. The esimene tulemus määrake uus piir, kui suur võib olla täisarvude hulk, ilma et see sisaldaks kolme võrdse vahega arvu, nagu {2, 4, 6} või {21, 31, 41}. The teine ja kolmas samamoodi seada uued piirid võrkude suurusele ilma punktide klastriteta, mis on kas kõik ühendatud või üksteisest eraldatud.

Tõestused käsitlevad seda, mis juhtub, kui kaasatud arvud kasvavad lõpmatult suureks. Paradoksaalsel kombel võib see mõnikord olla lihtsam kui reaalse maailma tüütute kogustega tegelemine.

Näiteks kaaluge kaht küsimust väga suure nimetajaga murdosa kohta. Võite küsida, milline on näiteks 1/42503312127361 kümnendlaiend. Või võite küsida, kas see arv läheneb nimetaja kasvades nullile. Esimene küsimus on spetsiifiline küsimus reaalse maailma suuruse kohta ja seda on raskem arvutada kui teist, mis küsib, kuidas suurus 1/n muutub "asümptootiliselt" kui n kasvab. (See läheneb 0-le järjest lähemale.)

"See on probleem, mis vaevab kogu Ramsey teooriat," ütles William Gasarch, Marylandi ülikooli arvutiteadlane. "Ramsey teooria on tuntud asümptootiliselt väga ilusate tulemuste poolest." Lõpmatusest väiksemate arvude analüüsimine nõuab aga täiesti teistsugust matemaatilist tööriistakasti.

Gasarch on Ramsey teoorias uurinud küsimusi, mis hõlmavad lõplikke arve, mis on liiga suured, et seda probleemi toore jõuga lahendada. Ühes projektis võttis ta kasutusele selle aasta esimese läbimurde lõpliku versiooni – veebruarikuu artikli Zander Kelley, Illinoisi ülikooli magistrant Urbana-Champaignis ja Raghu Meka California ülikoolist Los Angeleses. Kelley ja Meka leidsid uue ülemise piiri, mitu täisarvu vahemikus 1 kuni N saate panna komplekti, vältides samal ajal kolmeliikmelisi edenemisi või ühtlase vahega arvude mustreid.

Kuigi Kelley ja Meka tulemus kehtib isegi siis, kui N on suhteliselt väike, ei anna see sel juhul eriti kasulikku sidet. Väga väikeste väärtuste puhul N, jää parem väga lihtsate meetodite juurde. Kui N on näiteks 5, vaadake lihtsalt kõiki võimalikke arvude komplekte vahemikus 1 kuni N, ja vali välja suurim edenemiseta: {1, 2, 4, 5}.

Kuid erinevate võimalike vastuste arv kasvab väga kiiresti ja muudab nii lihtsa strateegia rakendamise liiga keeruliseks. Seal on rohkem kui 1 miljon komplekti, mis koosnevad numbritest vahemikus 1 kuni 20. Neid on üle 10⁶⁰ Kasutades numbreid vahemikus 1 kuni 200. Nende juhtumite jaoks parima edenemiseta komplekti leidmine nõuab tohutult palju arvutusvõimsust, isegi kui kasutada tõhusust suurendavaid strateegiaid. "Te peate suutma asjadest palju jõudlust välja pigistada," ütles James Glenn, Yale'i ülikooli arvutiteadlane. 2008. aastal Gasarch, Glenn ja Clyde Kruskal Marylandi ülikoolist kirjutas programmi suurimate progressivabade komplektide leidmiseks kuni a N 187. (Eelmine töö andis vastuseid kuni 150, aga ka 157.) Vaatamata trikkide nimekirjale võttis nende programmi lõpuleviimine kuid, ütles Glenn.

Arvutuskoormuse vähendamiseks kasutas meeskond lihtsaid teste, mis takistasid nende programmil ummikotsingut sooritamast ja jagasid komplektid väiksemateks osadeks, mida nad eraldi analüüsisid.

Gasarch, Glenn ja Kruskal proovisid ka mitmeid teisi strateegiaid. Üks paljutõotav idee toetus juhuslikkusele. Lihtne viis progressivaba komplekti loomiseks on panna komplekti 1 ja seejärel alati lisada järgmine arv, mis ei loo aritmeetilist progressiooni. Järgige seda protseduuri, kuni jõuate numbrile 10 ja saate komplekti {1, 2, 4, 5, 10}. Kuid selgub, et see pole üldiselt parim strateegia. "Mis siis, kui me ei alusta kell 1?" ütles Gasarch. "Kui alustate juhuslikust kohast, läheb teil tegelikult paremini." Teadlastel pole aimugi, miks juhuslikkus nii kasulik on, lisas ta.

Kahe teise uue Ramsey teooria tulemuse lõplike versioonide arvutamine on veelgi keerulisem kui progressioonivabade kogumite suuruse määramine. Need tulemused puudutavad matemaatilisi võrke (nn graafikud), mis koosnevad sõlmedest, mis on ühendatud joontega, mida nimetatakse servadeks. Ramsey number r(s, t) on väikseim sõlmede arv, mis graafikul peab olema, enne kui on võimatu vältida kummagi rühma kaasamist s ühendatud sõlmed või t lahtiühendatud. Ramsey numbri arvutamine on nii suur peavalu, et isegi r(5, 5) on teadmata – see on kuskil 43 ja 48 vahel.

Aastal 1981, Brendan McKay, kes on praegu Austraalia riikliku ülikooli arvutiteadlane, kirjutas tarkvaraprogrammi nimega nauty, mille eesmärk oli muuta Ramsey arvude arvutamine lihtsamaks. Nauty tagab, et teadlased ei raiska aega kahe graafiku kontrollimisele, mis on lihtsalt üksteise ümberpööratud või pööratud versioonid. "Kui keegi on piirkonnas ja ei kasuta ilu, on mäng läbi. Peate seda kasutama," ütles Stanisław Radziszowski, Rochesteri Tehnoloogiainstituudi matemaatik. Sellegipoolest on sellega seotud arvutuste maht peaaegu arusaamatu. 2013. aastal Radziszowski ja Jan Goedgebeur tõestas seda r(3, 10) on maksimaalselt 42. "Ma arvan, et selleks kulus peaaegu 50 protsessoriaastat," ütles Goedgebeur, Belgia KU Leuveni ülikooli arvutiteadlane.

Kui te ei saa täpset Ramsey arvu arvutada, võite proovida selle väärtust näidete abil kitsendada. Kui leiate 45-sõlmelise graafiku ilma viie sõlmeta, mis kõik olid ühendatud, ja ilma viie sõlmeta, mis kõik olid lahti ühendatud, tõestaks see, et r(5, 5) on suurem kui 45. Ramsey numbreid uurivad matemaatikud arvasid, et nende näidete leidmine, mida nimetatakse Ramsey graafikuteks, on lihtne, ütles Radziszowski. Aga see polnud nii. "Oli selline ootus, et kenad ja lahedad matemaatilised konstruktsioonid annavad parima võimaliku konstruktsiooni ja vajame lihtsalt rohkem inimesi selle kallal," ütles ta. "Minu tunne on üha enam, et see on kaootiline."

Juhuslikkus on nii mõistmise takistus kui ka kasulik tööriist. Geoffrey Exoo, Indiana osariigi ülikooli arvutiteadlane, on aastaid viimistlenud juhuslikke meetodeid Ramsey graafikute genereerimiseks. sisse 2015i paber Teatades kümnetest uutest rekordiliselt parematest Ramsey graafikutest, genereerisid Exoo ja Milos Tatarevic juhuslikud graafikud ja seejärel kohandasid neid järk-järgult, kustutades või lisades servi, mis vähendasid soovimatute klastrite arvu, kuni nad leidsid Ramsey graafiku. Radziszowski ütles, et Exoo tehnikad on samamoodi kunst kui miski muu. Mõnikord nõuavad nad, et ta ühendaks mitu meetodit või otsustaks, milliste graafikutega alustada. "Paljud, paljud inimesed proovivad seda ja nad ei saa seda teha," ütles Radziszowski.

Ramsey graafikute genereerimiseks välja töötatud tehnikad võivad kunagi olla laiemalt kasulikud, ütles Goedgebeur, kes on töötas edasi muud tüüpi graafikute, näiteks keemilisi ühendeid kujutavate graafikute loomine. "Pole ebatõenäoline, et neid tehnikaid saab ka üle kanda ja kohandada, et aidata tõhusamalt genereerida teisi graafikuklasse (ja vastupidi), " kirjutas ta e-kirjas.

Radziszowski jaoks on väikeste Ramsey numbrite uurimise põhjus aga palju lihtsam. "Sest see on lahtine, sest keegi ei tea, mis on vastus," ütles ta. „Tühised juhtumid, mida teeme käsitsi; natuke suurem, vajate arvutit ja natuke suurem, isegi arvuti pole piisavalt hea. Ja nii tekib väljakutse."