Sissejuhatus
Kujutage ette, et teie ees laiub kärjekujuline kuusnurkne võrk. Mõned kuusnurgad on tühjad; teisi täidab 6 jala kõrgune tahke betooni sammas. Tulemuseks on omamoodi rägastik. Üle poole sajandi on matemaatikud esitanud küsimusi selliste juhuslikult genereeritud labürindi kohta. Kui suur on suurim puhastatud teede võrk? Kui suur on tõenäosus, et ühest servast on tee ruudustiku keskmesse ja sealt tagasi? Kuidas need võimalused muutuvad, kui ruudustik paisub, lisades selle servadele üha rohkem kuusnurki?
Nendele küsimustele on lihtne vastata, kui on palju tühja ruumi või palju betooni. Oletame, et igale kuusnurgale omistatakse olek juhuslikult, sõltumatult kõigist teistest kuusnurkadest, tõenäosusega, mis on konstantne kogu ruudustiku ulatuses. Võib olla näiteks 1% tõenäosus, et iga kuusnurk on tühi. Betoon tõrjub võre, jättes vahele vaid väikesed õhutaskud, muutes võimaluse leida tee servale praktiliselt null. Teisest küljest, kui on 99% tõenäosus, et iga kuusnurk on tühi, on tegemist vaid õhukese betoonseinte puistamisega, mis lõikab läbi lagedate alade - mitte palju labürinti. Tee leidmine keskelt servani on sel juhul peaaegu kindel.
Suurte võrkude puhul toimub märkimisväärselt järsk muutus, kui tõenäosus saavutab 1/2. Nii nagu jää sulab vedelaks veeks täpselt null kraadi Celsiuse järgi, muutub labürindi iseloom drastiliselt selles üleminekupunktis, mida nimetatakse kriitiliseks tõenäosuseks. Kriitilise tõenäosuse all on suurem osa võrest betooni all, samas kui tühjad teed jõuavad alati ummikutesse. Üle kriitilise tõenäosuse jäetakse tohutud traktid tühjaks ja betoonseinad on need, mis kindlasti tuhmuvad. Kui peatute täpselt kriitilise tõenäosuse juures, tasakaalustavad betoon ja tühjus teineteist ning kumbki ei suuda labürindis domineerida.
"Kriitilises punktis ilmneb suurem sümmeetria," ütles Michael Aizenman, Princetoni ülikooli matemaatiline füüsik. "See avab ukse tohutule matemaatikakogumile." Sellel on ka praktilisi rakendusi kõigele alates gaasimaskide disainist kuni analüüsideni, kuidas nakkushaigused levivad või kuidas õli läbi kivide imbub.
Aastal eelmisel sügisel postitatud paber, on neli teadlast lõpuks välja arvutanud võimaluse leida labürindi jaoks rada kriitilise tõenäosusega 1/2.
Võidurelvastumine
Doktorandina 2000. aastate keskel Prantsusmaal Pierre Nolin uuris põhjalikult kriitilise tõenäosuse stsenaariumi. Ta arvab, et juhuslik labürint on "tõesti ilus mudel, võib-olla üks lihtsamaid mudeleid, mida saate välja mõelda." Doktoriõpingute lõpus, mille ta lõpetas 2008. aastal, köitis Nolinit eriti keeruline küsimus selle kohta, kuidas käitub kriitilise tõenäosusega kuusnurkne võrk. Oletame, et ehitate ruudustiku ümber keskpunkti, nii et see on ligikaudu ringikujuline, ja loote sealt juhuslikult oma labürindi. Nolin tahtis uurida võimalust, et suudate leida avatud tee, mis ulatub servast keskele ja tagasi välja, ilma et peaksite ennast tagasi otsima. Matemaatikud nimetavad seda monokromaatiliseks kahekäeliseks teeks, kuna nii sissepoole kui ka väljapoole suunatud “käed” on avatud radadel. (Mõnikord peetakse selliseid võre sarnaselt kahest erinevast värvist, näiteks helesinisest ja tumesinisest, mitte avatud ja suletud lahtritest.) Kui suurendate labürindi suurust, suureneb ka vajaliku tee pikkus. , ja võimalus sellise tee leidmiseks muutub aina väiksemaks. Kui kiiresti aga tõenäosus väheneb, kui labürint meelevaldselt suureks kasvab?
Lihtsamatele seotud küsimustele vastati aastakümneid tagasi. Arvutused aastast 1979 poolt Marcel den Nijs hindas võimalust, et leiate ühe tee või käe servast keskmesse. (Võrdlege seda Nolini nõudega, et üks käsi oleks sees ja üks väljas.) Den Nijsi töö ennustas, et võimalus leida kuusnurksest ruudustikust üks käsi on võrdeline väärtusega $latex 1/n^{5/48}$ , kus n on plaatide arv keskelt servani või ruudustiku raadius. 2002. aastal Gregory Lawler, Oded Schramm ja Wendelin Werner lõpuks tõestatud et ühe käe ennustus oli õige. Võrgustiku suuruse kasvades väheneva tõenäosuse lühidalt kvantifitseerimiseks kasutavad teadlased nimetaja eksponenti 5/48, mida tuntakse üheharulise eksponendina.
Nolin tahtis välja arvutada raskesti tabatava monokromaatilise kaheharulise eksponendi. Numbrilised simulatsioonid 1999. aastal näitas, et see oli väga lähedal 0.3568-le, kuid matemaatikud ei suutnud selle täpset väärtust kindlaks teha.
Palju lihtsam oli arvutada nn polükromaatilist kaheharulist eksponenti, mis iseloomustab võimalust, et alates keskelt leiate mitte ainult "avatud" tee perimeetrini, vaid ka eraldi "suletud" tee. (Mõelge suletud teele kui sellisele, mis läbib labürindi betoonseinte tippe.) Stanislav Smirnov ja Werner 2001. tõestatud et see astendaja oli 1/4. (Kuna 1/4 on oluliselt suurem kui 5/48, kahaneb $lateks 1/n^{1/4}$ kiiremini kui $lateks 1/n^{5/48}$ n kasvab. Seega on polükromaatilise kaheharulise struktuuri võimalus palju väiksem kui ühe käe võimalus, nagu arvata võib.)
See arvutus tugines suuresti teadmistele graafiku klastrite kuju kohta. Kujutage ette, et kriitilise tõenäosusega labürint on äärmiselt suur – koosneb miljonitest ja miljonitest kuusnurkadest. Nüüd leidke tühjade kuusnurkade kobar ja jälgige klastri serva paksu musta Sharpie'ga. Tõenäoliselt ei teki see lihtsat ümarat laigu. Õhus olevate kilomeetrite pealt näete vingerdavat kõverat, mis pidevalt kahekordistub, näib sageli, nagu hakkaks see ennast ületama, kuid pole kunagi päris pühendunud.
See on teatud tüüpi kõver, mida nimetatakse SLE-kõveraks, mille Schramm tutvustas punktis a 2000 paber mis defineeris valdkonna uuesti. Matemaatik, kes uurib ühe avatud ja ühe suletud tee leidmise võimalusi, teab, et need teed peavad asuma suuremates avatud ja suletud kohtade klastrites, mis lõpuks kohtuvad SLE kõveraga. SLE-kõverate matemaatilised omadused annavad seejärel hindamatut teavet labürindi teede kohta. Kuid kui matemaatikud otsivad mitut sama tüüpi teed, kaotavad SLE-kõverad suure osa oma tõhususest.
2007. aastaks olid Nolin ja tema kaastöötaja Vincent Beffara loonud numbrilisi simulatsioone, mis näitasid, et kaheharuline monokromaatiline eksponents oli umbes 0.35. See oli kahtlaselt lähedane 17/48-le – üheharulise eksponendi 5/48 ja polükromaatilise kaheharulise eksponendi summale 1/4 (või 12/48). "17/48 on tõesti rabav," ütles Nolin. Ta hakkas kahtlustama, et 17/48 oli õige vastus – see tähendab, et eri tüüpi eksponentide vahel on lihtne seos. Saate need lihtsalt kokku liita. "Me ütlesime: OK, see on liiga hea, et olla vale; see peab tõsi olema."
Sissejuhatus
Mõnda aega ei tulnud Nolini ja Beffara oletusest midagi välja, kuigi Nolin postitas selle oma veebisaidile, et teised saaksid selle põhjal töötada. Ta kolis 2017. aastal Hongkongi, et asuda Hongkongi linnaülikooli professori kohale ja jätkas probleemi kallal töötamist. 2018. aastal tõi ta eksponendi välja vestluses Wei Qian, kes oli seejärel Inglismaal Cambridge'i ülikooli järeldoktor. Qian uuris juhuslikku geomeetriat pigem pidevas kui diskreetses kontekstis, pöörates erilist tähelepanu SLE kõveratele. Ta oli keset projekti, mis kasutas SLE-d eksponentide arvutamiseks teist tüüpi juhuslikus mudelis, ja Nolin hakkas kahtlustama, et tema teadmised olid olulised ka monokromaatilise kaheharulise eksponendi puhul. Paar leidis peagi lihtsana näiva võrrandi, mille lahendus annaks eksponendi, kuid see võrrand tugines vahesuurusele, mis oli seotud SLE-kõveraga ümbritsetud ruumiga ruudustiku servas. Nolin ja Qian ei suutnud seda numbrit kindlaks teha.
"Ma tegin palju arvutusi, kuid ma ei suutnud ikkagi seda omadust arvutada," ütles Qian. "Mul ei õnnestunud, nii et lõpetasin mõneks ajaks."
"Me ei maininud seda kunagi kellelegi, sest me polnud kindlad, kas sellest on kasu või mitte," lisas Nolin.
Selgrooeksponent
Monokromaatiline kaheharuline eksponent on eriti huvitav, kuna see kirjeldab ka ruudustiku selgroogu: kuusnurkade kogum, mis on ühendatud kahe erineva haruga, mis ulatuvad kahe mittekattuva haruga: üks labürindi servani ja teine selle keskpunkt. Kui need saidid on värvitud, moodustavad nad võrgu, mis ulatub üle kogu ruudustiku ja mida nimetatakse selgrooks. Kui teadlased modelleerivad haiguste või poorsete kivimoodustiste levikut, on selgroog kiirtee, mida mööda võivad voolata mikroobid või nafta. Otsitud eksponent Nolin ja Qian näitab selgroo suuruse ja seda nimetatakse selgroo eksponendiks.
Nolin ja Qian polnud ainsad pärast selgroogu. Xin Päike, tollal Pennsylvania ülikoolis, oli samuti proovinud arvutada põhieksponenti. Eelnevate aastate jooksul olid Sun ja kaastöötajad, sealhulgas Nina Holden New Yorgi ülikoolist, välja mõelnud viisi, kuidas uurida SLE kõveraid juhuslike fraktaalpindade abil. Nendel laialivalguvatel kõveratel pindadel on karvased servad, mis ulatuvad pikkadeks kõõlusteks. Mõned punktid on naabritelt lühikese hüppe kaugusel, teised aga kuude pikkune teekond. Teatud kohtades on need efektid liiga äärmuslikud, et neid visualiseerida. "Seda pole tegelikult võimalik täiesti täpselt joonistada", ütles Holden. "Sa peaksid pinda palju venitama."
2022. aasta suvel kutsus Sun kriitilise tõenäosusega juhusliku labürindi uurimisega liituma teise kursuse magistrandi Zijie Zhuangi. Nad pidasid juhuslikke labürinti, kus kuusnurgad asetsevad juhuslikul fraktaalpinnal, mitte tasasel tasapinnal. Kuna juhus määrab, kus ja kui palju pinda venitatakse ja kokku surutakse, on pinnal ainulaadsed omadused. (Need omadused muudavad sellised pinnad kasulikuks ka füüsikutele, kes uurivad kahemõõtmelises universumis kvantgravitatsiooni mudeleid, andes neile nime: Liouville'i kvantgravitatsioonipinnad.) Näiteks kui võtate sellisele pinnale käärid, kuvatakse kaks poolt ei sõltu üksteisest. "Selline sõltumatus lihtsustab asju tohutult," ütles Scott Sheffield Massachusettsi Tehnoloogiainstituudist. Kui asjad on juhuslikud, teate neist vähem, kuid see võib tähendada vähem teavet, millega tüütult arvestada.
Sun ja Zhuang püüdsid kõigepealt kindlaks teha tõenäosuse, et on olemas avatud tee, mis ühendab väikese ringi ümber võrgu keskpunkti suurema ümbritseva ringiga. Pärast sellele küsimusele vastamist soovitas Sun ambitsioonikuse suurendamist: arvutada välja võimalus, et pesastatud ringe ühendab kaks teed, mis oleks andnud neile võimaluse arvutada põhieksponent. Peagi sattusid nad aga raskustesse. "Proovisime seda lähenemisviisi mitu kuud, kuid arvutus ei tundu olevat väga jälgitav," kirjutas Zhuang e-kirjas.
Sissejuhatus
Vahepeal, kuigi Nolinil ja Qianil ei õnnestunud eksponendi väärtust leida, tegid nad edusamme muul viisil. Qian võttis Prantsuse riiklikus teadusuuringute keskuses ametikohalt puhkuse ja liitus Noliniga Hongkongi linnaülikooli professorina. (Nad abiellusid ka.) 2021. aasta suvel avastas ta mõned Suni ja tema kaastöötajate paberid, mis teda huvitasid, nii et kuna pandeemia reisipiirangud kaotati, plaanis ta 2022. aasta detsembris visiidi Princetoni Kõrgkoolide Instituuti. , New Jerseys, kus Sun aasta veetis.
See osutus tulusaks külastuseks. Kui Qian kirjeldas võrrandit, mille ta ja Nolin olid leidnud, hakkas Sun arvama, et see võib olla sobilik tema ja Zhuangi tehnikaga, mis katab labürindid Liouville'i kvantgravitatsioonipindadele. "See on omamoodi kokkusattumus," ütles Sun. "Ühel mehel on lukk, ühel võti."
Zhuang oli pisut skeptiline. "Meil pole ennustusi ja me isegi ei tea, kas valemil on hea lahendus," ütles ta, kirjeldades asjade seisu sel ajal. Sun ja Zhuang veetsid järgmised mitu kuud oma Liouville'i kvantgravitatsioonitehnikat – võtit – kasutades, et avada Nolini ja Qiani võrrandis aastate varasemas kohas tabamatu suurus – lukk.
Pärast neljakuulist tööd avasid Sun ja Zhuang metafoorse luku. Sun saatis Zhuangile, Qianile ja Nolinile e-kirja, kuulutades: "Suurepärane uudis: selgroo eksponendi täpne valem." Ta leidis, et vastus oli ruutjuurte ja trigonomeetrilise siinusfunktsiooni mõõdukalt keeruline väljend. See oli kooskõlas varasemate hinnangutega, lõputu numbrite voog, mis algab numbriga 0.3566668.
Need neli muutsid oma töö kirjalikuks referaadiks, täpsustades argumente, kuni ühelt poolt Nolini ja Qiani ning teiselt poolt Suni ja Zhuangi ideed ühendasid, et luua tõend, et Sheffield, kes oli Suni doktoriõppe nõunik, nimetas "ilusaks". pärl.” "Tõestusstrateegia on kahtlemata üllatav ja väga originaalne, kuid kui te seda näete, tundub see ka omamoodi loomulik," ütles Holden.
Nolin kurdab oma 2011. aasta kahtlust, et eksponendiks oli täpselt 17/48. «Me eksitasime väljakut päris tükk aega. Ma ei ole selle üle väga uhke.” Põhieksponent erineb silmatorkavalt oma polükromaatilistest sugulastest. See pole mitte ainult irratsionaalne, vaid ka transtsendentaalne, mis tähendab, et nagu $lateks pi$ ja e, ei saa seda kirjutada lihtsa polünoomvõrrandi lahendusena.
"Tõendus ei selgita tegelikult, kust see valem pärineb," ütles ta. "Oleme seda füüsikutele näidanud ja ootame väga nende teadmisi."
Selgroogade eksponendi transtsendentaalne olemus köitis teiste selles valdkonnas tegutsejate tähelepanu. Gregory Huber Chan Zuckerbergi Biohubist, kes oli kaasautor a järelartikkel selgroo eksponendi kohta ütles, et ta arvab, et tulemus on "esimene pilguheit uuele mandrile" statistilises mehaanikas. Kuigi SLE-kõverate ja Liouville'i kvantgravitatsiooni kombineerimine on äärmiselt tehniline, on selge ja lihtne numbriline vastus, mille ta kirjutas, "hämmastavalt lihtne ja elegantne".
- SEO-põhise sisu ja PR-levi. Võimenduge juba täna.
- PlatoData.Network Vertikaalne generatiivne Ai. Jõustage ennast. Juurdepääs siia.
- PlatoAiStream. Web3 luure. Täiustatud teadmised. Juurdepääs siia.
- PlatoESG. Süsinik, CleanTech, Energia, Keskkond päikeseenergia, Jäätmekäitluse. Juurdepääs siia.
- PlatoTervis. Biotehnoloogia ja kliiniliste uuringute luureandmed. Juurdepääs siia.
- Allikas: https://www.quantamagazine.org/maze-proof-establishes-a-backbone-for-statistical-mechanics-20240207/
- :on
- :on
- :mitte
- : kus
- ][lk
- $ UP
- 2001
- 2008
- 2011
- 2017
- 2018
- 2021
- 2022
- 35%
- a
- Võimalik
- MEIST
- üle
- AC
- kokkulepe
- konto
- täpselt
- üle
- tegelikult
- lisama
- lisatud
- lisades
- edasijõudnud
- Asjad
- pärast
- jälle
- tagasi
- AIR
- Materjal: BPA ja flataatide vaba plastik
- mööda
- Ka
- soov
- lepitav
- an
- analüüsid
- ja
- Teine
- vastus
- keegi
- rakendused
- lähenemine
- ligikaudsed
- OLEME
- argument
- ARM
- relvad
- ümber
- AS
- määratud
- At
- tähelepanu
- tagasi
- Selgroog
- Saldo
- BE
- ilus
- sai
- sest
- olnud
- enne
- hakkas
- Algus
- alla
- vahel
- Suur
- Natuke
- Must
- sinine
- keha
- mõlemad
- tõi kaasa
- ehitama
- kuid
- by
- arvutama
- arvutatud
- arvutamisel
- arvutus
- arvutused
- kutsutud
- Kutsub
- Cambridge
- tuli
- CAN
- ei saa
- juhul
- püütud
- Rakke
- Celsius
- keskus
- kesk-
- Sajand
- kindel
- raske
- chan
- võimalus
- vastuolu
- muutma
- Vaidluste lahendamine
- iseloom
- iseloomustab
- Ring
- ringid
- Linn
- Hongkongi linnaülikool
- selge
- lähedal
- suletud
- Cluster
- juhus
- koostööpartnerid
- kogumine
- Veerg
- kombineeritud
- kombineerimine
- Tulema
- tulevad
- toimepanemine
- täiesti
- keeruline
- arvutamine
- arvutused
- Arvutama
- betoon
- oletus
- seotud
- ühendamine
- kaaluda
- pidev
- pidevalt
- kontekst
- pidev
- kontrast
- Vestlus
- parandada
- võiks
- looma
- loodud
- kriitiline
- Rist
- kõver
- tume
- surnud
- aastakümnete
- Detsember
- kindlasti
- Kraad
- sõltuvad
- kirjeldatud
- kirjeldab
- Kirjeldades
- Disain
- detail
- Määrama
- määrab
- DID
- erinev
- raskusi
- numbrit
- väheneb
- haigus
- haigused
- eristatav
- do
- Ei tee
- domineerima
- Ära
- Uks
- Paarismäng
- alla
- drastiliselt
- juhtida
- iga
- Ajalugu
- lihtsam
- lihtne
- serv
- tõhusalt
- tõhusus
- mõju
- kumbki
- tekkinud
- tekib
- lõpp
- Lõputu
- lõppeb
- Inglismaa
- Kogu
- kehtestab
- Hinnanguliselt
- hinnangul
- Isegi
- lõpuks
- Iga
- kõik
- täpselt
- ootama
- teadmised
- Selgitama
- uurima
- väljend
- laiendama
- laiendades
- äärmuslik
- äärmiselt
- Ebaõnnestunud
- vale
- tunneb
- vähe
- väli
- arvasin
- täidetud
- Lõpuks
- leidma
- leidmine
- esimene
- flat
- voog
- Keskenduma
- eest
- vorm
- valem
- edasi
- avastatud
- neli
- Prantsusmaa
- prantsuse
- Alates
- täis
- funktsioon
- GAS
- pärl
- loodud
- saama
- Andma
- antud
- andmine
- Pilk
- hea
- sain
- koolilõpetaja
- graafik
- raskus
- suur
- võre
- Kasvama
- Kasvab
- mees
- olnud
- Pool
- käsi
- Olema
- võttes
- he
- tugevalt
- siin
- rohkem
- Highway
- tema
- Hits
- Hong
- Hong Kong
- Kuidas
- aga
- HTML
- http
- HTTPS
- tohutu
- i
- ICE
- ideid
- if
- kujutage ette
- in
- Teistes
- Kaasa arvatud
- Suurendama
- sõltumatus
- sõltumatud
- nakkav
- Nakkushaigused
- info
- sees
- ülevaade
- Näiteks
- selle asemel
- Instituut
- huvitav
- sisse
- sisse
- hindamatu
- alati
- irratsionaalne
- IT
- ITS
- ise
- Jersey
- liituma
- liitunud
- teekond
- lihtsalt
- hoitakse
- Võti
- Laps
- liiki
- Teadma
- teadmised
- teatud
- teab
- Kong
- suur
- suurem
- suurim
- viimane
- panema
- Lahkuma
- jätmine
- lahkus
- Pikkus
- vähem
- vale
- Tõsta
- valgus
- nagu
- LINK
- Vedelik
- lukk
- Pikk
- otsin
- kaotama
- Partii
- vähendada
- tehtud
- ajakiri
- tegema
- Tegemine
- Maskid
- Massachusetts
- Massachusettsi Tehnoloogiainstituut
- suur
- matemaatika
- matemaatiline
- matemaatika
- võib olla
- keskmine
- tähendus
- mehaanika
- Vastama
- mainitud
- võib
- miljonid
- MIT
- mudel
- mudelid
- mõõdukalt
- kuu
- rohkem
- kõige
- kolis
- palju
- mitmekordne
- peab
- nimi
- riiklik
- Natural
- loodus
- Lähedal
- vaja
- naabrid
- kumbki
- mitte kunagi
- Uus
- New Jersey
- New York
- uudised
- järgmine
- kena
- ei
- mitte midagi
- nüüd
- number
- Ennustus
- of
- sageli
- Õli
- on
- ONE
- ones
- ainult
- avatud
- avatud
- Avaneb
- or
- originaal
- Muu
- teised
- välja
- üle
- paar
- pandeemia
- Paber
- dokumendid
- eriti
- tee
- teed
- Pennsylvania
- Peter
- füüsik
- Kohad
- lennuk
- plaanitud
- Platon
- Platoni andmete intelligentsus
- PlatoData
- taskud
- Punkt
- võrra
- tulenevad
- positsioon
- võimalik
- postitanud
- Praktiline
- eelnev
- ennustada
- ennustus
- Ennustused
- Princeton
- tõenäoliselt
- Probleem
- Õpetaja
- tulutoov
- Edu
- projekt
- tõend
- omadused
- kinnisvara
- uhke
- tõestatud
- Kvantamagazin
- kogus
- Kvant
- küsimus
- Küsimused
- kiiresti
- üsna
- juhuslik
- juhuslikult genereeritud
- pigem
- Jõuab
- tõesti
- uuesti määratletud
- nimetatud
- rafineerimine
- seotud
- asjakohane
- nõue
- teadustöö
- Teadlased
- piirangud
- kaasa
- Ilmutab
- Rokk
- juured
- ümber
- Ütlesin
- sama
- ütlema
- stsenaarium
- teaduslik
- otsimine
- vaata
- tundub
- Saadetud
- eri
- mitu
- kuju
- kuju
- ta
- Lühike
- näitas
- külg
- lihtne
- lihtsustab
- simulatsioonid
- istuma
- Saidid
- SUURUS
- skeptiline
- väike
- väiksem
- So
- tahke
- lahendus
- mõned
- midagi
- mõnikord
- varsti
- otsisin
- Ruum
- eriline
- Kulutused
- kasutatud
- laialivalguv
- laiali
- ruut
- Käivitus
- riik
- statistiline
- Samm
- Veel
- Peatus
- peatatud
- Strateegia
- oja
- struktuur
- õpilane
- õppinud
- uuringud
- Uuring
- Õppimine
- oluliselt
- edukas
- selline
- äkiline
- suvi
- Sun
- kindel
- Pind
- üllatav
- ümbritsev
- Kahtlaselt
- Võtma
- Tehniline
- tehnika
- tehnikat
- Tehnoloogia
- kui
- et
- .
- Graafik
- Riik
- oma
- Neile
- SIIS
- Seal.
- Need
- nad
- õhuke
- asjad
- mõtlema
- Mõtleb
- see
- need
- kuigi?
- arvasin
- Läbi
- aeg
- et
- kokku
- liiga
- võttis
- tops
- Jälg
- üleminek
- tõlkima
- reisima
- tohutult
- proovitud
- tõsi
- üritab
- Pöördunud
- kaks
- tüüp
- all
- ainulaadne
- Universum
- Ülikool
- Cambridge'i ülikool
- avamine
- kuni
- kasutama
- Kasutatud
- kasulik
- kasutamine
- väärtus
- väga
- vincent
- visiit
- tagaotsitav
- oli
- Washington
- Vesi
- Tee..
- kuidas
- we
- web
- webp
- veebisait
- Hästi
- olid
- M
- millal
- kas
- mis
- kuigi
- WHO
- kelle
- will
- koos
- jooksul
- ilma
- Töö
- töö
- oleks
- annaks
- kirjalik
- kirjutas
- aasta
- aastat
- york
- sa
- Sinu
- sephyrnet
- null
- Zuckerberg