Mullide klastrite kuju mõistmisel on matemaatikud meie füüsilist intuitsiooni järele mänginud aastatuhandeid. Looduses esinevad seebimullide klastrid näivad sageli koheselt langevat madalaima energiatarbega olekusse, mis minimeerib nende seinte kogupindala (sealhulgas mullidevahelised seinad). Kuid kontrollimine, kas seebimullid saavad selle ülesandega hakkama – või lihtsalt ennustada, millised suured mulliklastrid peaksid välja nägema – on geomeetria üks raskemaid probleeme. Matemaatikutel kulus 19. sajandi lõpuni, et tõestada, et kera on parim üksik mull, kuigi Kreeka matemaatik Zenodorus oli seda väitnud rohkem kui 2,000 aastat varem.
Mulliprobleem on piisavalt lihtne, et öelda: alustate mahtude arvude loendiga ja seejärel küsite, kuidas neid õhukoguseid eraldi ümbritseda, kasutades väikseimat pindala. Kuid selle probleemi lahendamiseks peavad matemaatikud kaaluma paljusid erinevaid võimalikke mullseinte kujundeid. Ja kui ülesandeks on ümbritseda näiteks viis köidet, pole meil isegi luksust piirata oma tähelepanu viiest mullist koosnevate klastritega – võib-olla on parim viis pindala minimeerimiseks jagada üks ruumaladest mitme mulli vahel.
Isegi kahemõõtmelise tasandi lihtsama seadistuse korral (kus proovite ümbritseda alade kogumit, minimeerides samal ajal perimeetrit), ei tea keegi parimat viisi näiteks üheksa või kümne ala piiramiseks. Kuna mullide arv kasvab, ei saa te tegelikult isegi mingeid usutavaid oletusi teha, ütles ta Emanuel Milman Haifas, Iisraelis.
Kuid rohkem kui veerand sajandit tagasi John sullivan, nüüd Berliini Tehnikaülikoolist, mõistis, et teatud juhtudel on olemas a suunav oletus saada. Mulliprobleemid on mõistlikud igas dimensioonis ja Sullivan leidis, et niikaua kui nende köidete arv, mida proovite ümbritseda, on mõõtmest kõige rohkem ühe võrra suurem, on köidete ümbritsemiseks konkreetne viis, mis on teatud mõttes ilusam kui ükski teine — omamoodi vari täiesti sümmeetrilisest mullidest sfääril. See varjuklaster, oletas ta, peaks olema see, mis minimeerib pindala.
Järgnenud kümnendi jooksul kirjutasid matemaatikud rea murrangulisi dokumente, mis tõestasid Sullivani oletusi, kui proovite lisada ainult kahte köidet. Siin on lahenduseks tuttav topeltmull, mille võisite päikesepaistelisel päeval pargis puhuda ja mis koosneb kahest sfäärilisest tükist, mille vahel on tasane või kerakujuline sein (olenevalt sellest, kas kahe mulli maht on sama või erinev).
Kuid tõestades Sullivani oletusi kolme köite kohta, matemaatik Frank Morgan Williamsi kolledžist spekuleerinud aastal 2007, "võib kuluda veel sada aastat".
Nüüd on matemaatikud sellest pikast ootamisest säästetud – ja nad on saanud palju enamat kui lihtsalt lahenduse kolmekordse mulli probleemile. Sees paber postitatud online maikuus, Milman ja Joe Neeman, Texase ülikoolist Austinis, on tõestanud Sullivani oletusi kolmekordsete mullide kohta, mille mõõtmed on kolm ja rohkem, ja neljakordsete mullide kohta, mille mõõtmed on neli ja suuremad, ning töös on järelartikkel viiekordsete ja suuremate mõõtmetega mullide kohta.
Ja mis puudutab kuut või enamat mulli, siis Milman ja Neeman on näidanud, et parimal klastris peavad olema paljud Sullivani kandidaadi võtmeomadused, mis võivad potentsiaalselt alustada matemaatikute teel oletuste tõestamist ka nende juhtumite puhul. "Minu mulje on, et nad on mõistnud Sullivani oletuse taga olevat olulist struktuuri," ütles Francesco Maggi Texase ülikoolist Austinis.
Milmani ja Neemani keskne teoreem on "monumentaalne", kirjutas Morgan e-kirjas. "See on suurepärane saavutus, mis sisaldab palju uusi ideid."
Varjumullid
Meie kogemused tõeliste seebimullidega pakuvad ahvatlevaid intuitsioone selle kohta, millised optimaalsed mulliklastrid peaksid välja nägema, vähemalt kui tegemist on väikeste klastritega. Kolme- või neljakordsetel mullidel, mida me läbi seebipulga puhume, näivad olevat sfäärilised seinad (ja aeg-ajalt ka lamedad) ning need kipuvad moodustama pigem tihedaid tükke kui näiteks pikka mullide ahelat.
Kuid pole nii lihtne tõestada, et need on tõesti optimaalsete mulliklastrite omadused. Näiteks matemaatikud ei tea, kas minimeeriva mullide klastri seinad on alati sfäärilised või tasased – nad teavad ainult seda, et seintel on "konstantne keskmine kumerus", mis tähendab, et keskmine kumerus jääb ühest punktist teise samaks. See omadus on keradel ja tasastel pindadel, aga ka paljudel teistel pindadel, nagu silindrid ja lainelised kujundid, mida nimetatakse unduloidideks. Pideva keskmise kumerusega pinnad on "täielik loomaaed", ütles Milman.
Kuid 1990ndatel tõdes Sullivan, et kui köidete arv, mida soovite lisada, on maksimaalselt ühe võrra suurem kui dimensioon, on kandidaatklaster, mis paistab ülejäänutest üle – üks (ja ainuke) klaster, millel on omadused, mida me eelistame. näha väikestes kogumites tõelisi seebimulle.
Et saada tunnetust, kuidas selline kandidaat on üles ehitatud, kasutagem Sullivani lähenemisviisi, et luua lametasandil kolmest mullist koosnev klaster (nii et meie "mullid" on pigem tasapinnalised piirkonnad kui kolmemõõtmelised objektid). Alustuseks valime sfääril neli punkti, mis kõik on üksteisest samal kaugusel. Kujutage nüüd ette, et igaüks neist neljast punktist on väikese mulli keskpunkt, mis elab ainult kera pinnal (nii et iga mull on väike ketas). Täitke keral olevad neli mulli täis, kuni need hakkavad üksteise vastu põrkuma, ja jätkake täitmist, kuni nad täidavad ühiselt kogu pinna. Saame neljast mullist koosneva sümmeetrilise kobara, mis muudab sfääri paisutatud tetraeedri moodi välja.
Järgmisena asetame selle kera lõpmatu tasapinnalise tasandi peale, justkui oleks kera lõputul põrandal toetuv pall. Kujutage ette, et pall on läbipaistev ja põhjapoolusel on latern. Nelja mulli seinad projitseerivad põrandale varjud, moodustades seal mullide klastri seinad. Neljast sfääri mullist kolm projitseerivad põrandal olevaid varjumulle; neljas mull (see, mis sisaldab põhjapoolust) ulatub alla põranda lõpmatusse laiusesse väljaspool kolme varjumulli kobarat.
Konkreetne kolmest mullist koosnev klaster, mille me saame, sõltub sellest, kuidas me kera põrandale asetades panime. Kui pöörame kera nii, et põhjapooluse laternale liigub erinev punkt, saame tavaliselt erineva varju ja kolmel põrandamullil on erinevad alad. Matemaatikutel on tõestatud et iga kolme numbri puhul, mille valite alade jaoks, on sfääri paigutamiseks põhimõtteliselt üks viis, nii et kolmel varjumullil on täpselt need alad.
Võime seda protsessi läbi viia mis tahes dimensioonis (kuigi kõrgema mõõtmega varje on raskem visualiseerida). Kuid sellel, kui palju mulli meie varjuklastris võib olla, on piir. Ülaltoodud näites poleks me saanud lennukisse nelja mulliga kobarat luua. See oleks nõudnud sfääri viiest punktist, mis on üksteisest samal kaugusel, kuid sfäärile on võimatu paigutada nii palju võrdseid punkte (kuigi saate seda teha ka kõrgema mõõtmega sfääridega). Sullivani protseduur töötab ainult kuni kolmest mullist koosnevate klastrite loomiseks kahemõõtmelises ruumis, neljast mullist kolmemõõtmelises ruumis, viiest mullist neljamõõtmelises ruumis ja nii edasi. Väljaspool neid parameetrite vahemikke pole Sullivani stiilis mulliklastreid lihtsalt olemas.
Kuid nende parameetrite piires annab Sullivani protseduur meile mulliklastreid seadetes, mis on kaugel sellest, mida meie füüsiline intuitsioon suudab mõista. "On võimatu ette kujutada, mis on 15-mull [23-mõõtmelises ruumis]," ütles Maggi. "Kuidas te üldse unistate sellise objekti kirjeldamisest?"
Ometi pärivad Sullivani mulli kandidaadid oma sfäärilistelt eellastelt ainulaadse kogumi omadusi, mis meenutavad looduses nähtavaid mulle. Nende seinad on kõik sfäärilised või lamedad ja kõikjal, kus kolm seina kohtuvad, moodustavad need 120-kraadised nurgad, nagu sümmeetrilise Y-kujulise kujuga. Iga köide, mida proovite kaasata, asub ühes piirkonnas, selle asemel, et neid mitme piirkonna vahel jagada. Ja iga mull puudutab iga teist (ja välisust), moodustades tiheda klastri. Matemaatikud on näidanud, et Sullivani mullid on ainsad klastrid, mis rahuldavad kõiki neid omadusi.
Kui Sullivan püstitas hüpoteesi, et need peaksid olema pindala minimeerivad klastrid, ütles ta sisuliselt: "Oletame ilu," ütles Maggi.
Kuid mulliuurijatel on põhjust olla ettevaatlik eeldades, et just seetõttu, et pakutud lahendus on ilus, on see õige. "On väga kuulsaid probleeme... kus võiks eeldada minimeerijate sümmeetriat ja sümmeetria ebaõnnestub suurejooneliselt," ütles Maggi.
Näiteks on sellega tihedalt seotud probleem täita lõpmatu ruum võrdse mahuga mullidega viisil, mis minimeerib pindala. 1887. aastal pakkus Briti matemaatik ja füüsik Lord Kelvin, et lahendus võib olla elegantne kärjekujuline struktuur. Paljud matemaatikud uskusid enam kui sajandi jooksul, et see on tõenäoline vastus – kuni aastani 1993, mil paar füüsikut tuvastanud parema, kuigi vähem sümmeetriline, valik. "Matemaatika on täis ... näiteid, kus selline imelik asi juhtub," ütles Maggi.
Tume kunst
Kui Sullivan 1995. aastal oma oletuse avalikustas, oli selle topeltmullidega osa hõljunud juba sajandi. Matemaatikud olid lahendanud 2D topeltmulli probleem kaks aastat varem ja sellele järgnenud kümnendil lahendasid nad selle aastal kolmemõõtmeline ruum ja siis sisse rohkem mõõdud. Aga kui rääkida järgmisest Sullivani oletuse juhtumist – kolmekordsetest mullidest –, nad võiksid oletust tõestama ainult kahemõõtmelises tasapinnas, kus mullide vahelised liidesed on eriti lihtsad.
Seejärel tõestasid Milman ja Neeman aastal 2018 Sullivani oletuse analoogset versiooni Gaussi mulliprobleemina tuntud keskkonnas. Selles seades võite mõelda, et igal ruumipunktil on rahaline väärtus: lähtekoht on kõige kallim koht ja mida kaugemale lähtekohast jõuate, seda odavamaks muutub maa, moodustades kellakõvera. Eesmärk on luua eelseadistatud hindadega (eelvalitud mahtude asemel) karbid viisil, mis minimeerib karpide piirete maksumust (piirete pindala asemel). Sellel Gaussi mulliprobleemil on arvutiteaduses rakendusi ümardamisskeemide ja müratundlikkuse küsimuste jaoks.
Milman ja Neeman esitasid oma tõend Euroopa Matemaatika aastaraamatud, vaieldamatult matemaatika prestiižseim ajakiri (kus see hiljem aktsepteeriti). Kuid paaril polnud kavatsust seda päevaks nimetada. Nende meetodid tundusid paljulubavad ka klassikalise mulliprobleemi jaoks.
Nad loopisid ideid mitu aastat edasi-tagasi. "Meil oli 200-leheküljeline märkmete dokument," ütles Milman. Alguses tundus, et nad teevad edusamme. "Kuid siis muutus see kiiresti järgmiselt:" Proovisime seda suunda - ei. Proovisime [seda] suunda – ei.’” Oma panuste maandamiseks tegelesid mõlemad matemaatikud ka teiste projektidega.
Siis eelmisel sügisel tuli Milman hingamispuhkusele ja otsustas Neemani külastada, et paar saaks mulliprobleemile keskenduda. "Hingamispäeva ajal on hea aeg proovida kõrge riskiga ja suure kasumiga asju," ütles Milman.
Esimestel kuudel ei jõudnud nad kuhugi. Lõpuks otsustasid nad anda endale veidi lihtsama ülesande kui Sullivani täielik oletus. Kui annate oma mullidele hingamisruumi täiendava mõõtme, saate boonuse: parimal mulliklastril on kesktasandil peegelsümmeetria.
Sullivani oletus räägib kolmekordsetest mullidest mõõtmetes kaks ja rohkem, neljakordsetest mullidest mõõtmetes kolm ja rohkem jne. Boonussümmeetria saamiseks piirasid Milman ja Neeman oma tähelepanu kolmekordsetele mullidele mõõtmetes kolm ja rohkem, neljakordsetele mullidele mõõtmetes neli ja rohkem jne. "Alles siis, kui loobusime selle hankimisest kõigi parameetrite jaoks, saavutasime edu," ütles Neeman.
Selle peegli sümmeetria abil jõudsid Milman ja Neeman välja häirete argumendi, mis hõlmab peegli kohal asuva mulliklastri poole kerget täispuhumist ja selle all oleva poole tühjendamist. See häiring ei muuda mullide mahtu, kuid võib muuta nende pindala. Milman ja Neeman näitasid, et kui optimaalsel mullklastril on seinad, mis ei ole sfäärilised ega lamedad, saab selle häire valida nii, et see vähendaks klastri pindala – see on vastuolu, kuna optimaalsel klastris on juba kõige vähem pinda piirkond võimalik.
Häirete kasutamine mullide uurimiseks pole kaugeltki uus idee, kuid välja selgitada, millised häired tuvastavad mullide klastri olulisi tunnuseid, on "natuke tume kunst", ütles Neeman.
Tagantjärele mõeldes, "kui näete [Milmani ja Neemani häireid], näevad need üsna loomulikud välja," ütles. Joel Hass California ülikoolist Davis.
Maggi ütles, et häirete loomulikuks tunnistamine on palju lihtsam kui nende väljamõtlemine. "See pole kaugeltki midagi, mille kohta saate öelda: "Lõpuks oleksid inimesed selle leidnud," ütles ta. "See on tõesti geniaalne väga tähelepanuväärsel tasemel."
Milman ja Neeman suutsid kasutada oma häireid, et näidata, et optimaalne mullide klaster peab rahuldama kõiki Sullivani klastrite põhiomadusi, välja arvatud võib-olla üks: tingimus, et iga mull peab puudutama kõiki teisi. See viimane nõue sundis Milmani ja Neemani maadlema kõigi viisidega, kuidas mullid võivad kobaraks ühenduda. Kui tegemist on vaid kolme või nelja mulliga, pole nii palju võimalusi kaaluda. Kuid kui suurendate mullide arvu, kasvab erinevate võimalike ühenduvusmustrite arv isegi kiiremini kui eksponentsiaalselt.
Milman ja Neeman lootsid alguses leida kõikehõlmava põhimõtte, mis hõlmaks kõiki neid juhtumeid. Kuid pärast seda, kui veetsid paar kuud oma pead murdes, otsustasid nad Milmani sõnul praegu rahulduda ad hoc lähenemisviisiga, mis võimaldas neil toime tulla kolme- ja neljakordsete mullidega. Nad on teatanud ka avaldamata tõendist, et Sullivani viiekordne mull on optimaalne, kuigi nad pole veel kindlaks teinud, et see on ainus optimaalne klaster.
Milmani ja Neemani töö on "pigem täiesti uus lähenemisviis kui varasemate meetodite laiendus", kirjutas Morgan e-kirjas. Tõenäoliselt ennustas Maggi, et seda lähenemisviisi saab veelgi edasi lükata - võib-olla rohkem kui viiest mullist koosnevatele klastritele või Sullivani oletuste juhtumitele, millel puudub peegelsümmeetria.
Keegi ei oota, et edasine areng tuleb kergelt; kuid see pole Milmanit ja Neemani kunagi heidutanud. "Minu kogemuse põhjal," ütles Milman, "kõik peamised asjad, mida mul oli õnne teha, nõudsid lihtsalt mitte alla andmist."
