Kui Daniel Larsen õppis keskkoolis, hakkas ta ristsõnu kujundama. Hobi pidi ta kihistama oma muude huvide peale: male, programmeerimine, klaver, viiul. Pärast piirkondliku võistluse võitmist kvalifitseerus ta kaks korda Washingtoni lähedal Scripps National Spelling Bee'sse. "Ta keskendub millelegi ja see on lihtsalt põmm, põmm, põmm, kuni tal see õnnestub," ütles Larseni ema Ayelet Lindenstrauss. Tema esimesed ristsõnad lükkasid suuremad ajalehed tagasi, kuid ta jäi selle juurde ja murdis lõpuks sisse. Praeguseks on ta omab rekordit noorimale inimesele, kes ristsõna avaldab The New York Times, 13-aastaselt. "Ta on väga visa," ütles Lindenstrauss.
Siiski tundus Larseni viimane kinnisidee teistsugune, "pikem ja intensiivsem kui enamik tema teisi projekte", ütles ta. Rohkem kui poolteist aastat ei suutnud Larsen lakata mõtlemast teatud matemaatikaülesandele.
Selle juured olid laiemas küsimuses, mida matemaatik Carl Friedrich Gauss pidas matemaatikas üheks kõige olulisemaks: kuidas eristada algarvu (arvu, mis jagub ainult 1-ga ja iseendaga) liitarvust. Matemaatikud on sadu aastaid otsinud selleks tõhusat viisi. Probleem on muutunud aktuaalseks ka kaasaegse krüptograafia kontekstis, kuna mõned tänapäeva enimkasutatavad krüptosüsteemid hõlmavad aritmeetika tegemist tohutute algarvudega.
Rohkem kui sajand tagasi leidsid matemaatikud kiiret ja võimsat ürgsustesti otsides rühma segajaid – numbreid, mis panevad end proovile, et arvata, et nad on esmatähtsad, kuigi nad seda ei ole. Neid pseudoargumente, mida tuntakse Carmichaeli numbritena, on olnud eriti raske mõista. Näiteks alles 1990. aastate keskel tõestasid matemaatikud, et neid on lõpmatult palju. Veelgi suurema väljakutse on olnud võimalus öelda midagi enamat selle kohta, kuidas need numbritel jaotuvad.
Siis tuli Larsen kaasa uus tõestus just selle kohta, mis on inspireeritud hiljutisest ajastulisest tööst arvuteooria teises valdkonnas. Sel ajal oli ta vaid 17-aastane.
Säde
Indiana osariigis Bloomingtonis üles kasvanud Larsenit tõmbas alati matemaatika. Tema vanemad, mõlemad matemaatikud, tutvustasid talle ja ta vanemale õele seda teemat, kui nad olid noored. (Ta omandab praegu doktorikraadi matemaatikas.) Kui Larsen oli 3-aastane, hakkas Lindenstrauss meenutama, et ta esitas talle filosoofilisi küsimusi lõpmatuse olemuse kohta. "Ma arvasin, et sellel lapsel on matemaatiline mõistus," ütles Lindenstrauss, Indiana ülikooli professor.
Siis paar aastat tagasi – umbes sel ajal, kui ta oli sukeldunud oma õigekirja- ja ristsõnaprojektidesse – avastas ta dokumentaalfilm umbes Yitang Zhang, tundmatu matemaatik, kes tõusis teadmatusest 2013. aastal pärast seda tõestades märgilist tulemust mis seavad järjestikuste algarvude vahedele ülemise piiri. Midagi klõpsas Larsenis. Ta ei suutnud lõpetada mõtlemist arvuteooriale ja sellega seotud probleemile, mida Zhang ja teised matemaatikud ikka veel lahendada lootsid: kaksikarvude oletus, mis väidab, et on lõpmatult palju algarvude paare, mis erinevad vaid 2 võrra.
Pärast Zhangi tööd, mis näitas, et on lõpmatult palju algarvude paare, mis erinevad vähem kui 70 miljoni võrra, teised hüppasid sisse seda piiri veelgi alandada. Kuude jooksul matemaatikud James Maynard ja Terence tao tõestas iseseisvalt veelgi tugevamat väidet algarvude vahede kohta. See vahe on vahepeal kahanenud 246-ni.
Larsen tahtis mõista mõnda Maynardi ja Tao töö aluseks olevat matemaatikat, "kuid see oli minu jaoks üsna võimatu," ütles ta. Nende paberid olid liiga keerulised. Larsen püüdis lugeda seotud teoseid, kuid leidis, et see on samuti läbitungimatu. Ta jäi selle juurde, hüppas ühelt tulemuselt teisele, kuni lõpuks, 2021. aasta veebruaris, jõudis ta paberini, mis oli talle ühtaegu ilus ja arusaadav. Selle teema: Carmichaeli numbrid, need kummalised liitarvud, mis võivad end mõnikord pidada algarvuks.
Kõik peale Prime'i
17. sajandi keskel kirjutas prantsuse matemaatik Pierre de Fermat oma sõbrale ja usaldusisikule Frénicle de Bessyle kirja, milles ta väitis, mida hiljem hakati nimetama tema "väikseks teoreemiks". Kui N on siis algarv bN - b on alati mitmekordne N, ükskõik mis b on. Näiteks 7 on algarv ja selle tulemusena 27 – 2 (mis võrdub 126) on 7 kordne. Samamoodi on 37 – 3 on 7 kordne ja nii edasi.
Matemaatikud nägid potentsiaali täiuslikuks testiks, kas antud arv on alg- või liitarv. Nad teadsid, et kui N on parim, bN - b on alati mitmekordne N. Mis siis, kui tõsi oleks ka vastupidine? See tähendab, et kui bN - b on kordne N kõigi väärtuste jaoks b, peab N olla parim?
Kahjuks selgus, et väga harvadel juhtudel N suudab seda tingimust täita ja on siiski liit. Väikseim selline arv on 561: Iga täisarvu jaoks b, b561 - b on alati 561 kordne, kuigi 561 ei ole algväärtus. Sellised arvud said nime matemaatik Robert Carmichaeli järgi, kellele omistatakse sageli esimese näite avaldamist 1910. aastal (kuigi tšehhi matemaatik Václav Šimerka avastas näited iseseisvalt 1885. aastal).
Matemaatikud tahtsid paremini mõista neid numbreid, mis sarnanevad nii palju kõige olulisemate arvuteooria objektidega, algarvudega. Selgus, et aastal 1899 – kümme aastat enne Carmichaeli tulemust – oli teine matemaatik Alwin Korselt välja pakkunud samaväärse definitsiooni. Ta lihtsalt ei teadnud, kas on arve jaoks sobivaid numbreid.
Korselti kriteeriumi järgi arv N on Carmichaeli arv siis ja ainult siis, kui see rahuldab kolme omadust. Esiteks peab sellel olema rohkem kui üks algtegur. Teiseks ei saa ükski algtegur korduda. Ja kolmandaks, iga algklassi kohta p mis jagab N, p – 1 jagab samuti N – 1. Vaatleme uuesti arvu 561. See võrdub 3 × 11 × 17, nii et see vastab selgelt Korselti nimekirja kahele esimesele omadusele. Viimase omaduse näitamiseks lahutage igast algtegurist 1, et saada 2, 10 ja 16. Lisaks lahutage 1-st 561. Kõik kolm väiksemat arvu on 560 jagajad. Arv 561 on seega Carmichaeli arv.
Kuigi matemaatikud kahtlustasid, et Carmichaeli arve on lõpmatult palju, on neid algarvudega võrreldes suhteliselt vähe, mistõttu oli nende tuvastamine raskendatud. Siis aastal 1994, Red Alford, Andrew Granville ja Carl Pomerance avaldas läbimurde paber milles nad lõpuks tõestasid, et neid pseudoargumente on tõepoolest lõpmatult palju.
Kahjuks ei võimaldanud nende väljatöötatud tehnikad neil midagi öelda selle kohta, millised need Carmichaeli numbrid välja nägid. Kas need ilmusid klastritesse piki arvujoont, mille vahel olid suured tühimikud? Või võiksite Carmichaeli numbri alati lühikese intervalliga leida? "Arvate, et kui suudate tõestada, et neid on lõpmatult palju," ütles Granville, "kindlasti peaksite suutma tõestada, et nende vahel ei ole suuri lünki ja et need peaksid olema suhteliselt hästi paigutatud."
Eelkõige lootsid ta ja tema kaasautorid tõestada väidet, mis peegeldas seda ideed - mis arvestades piisavalt suurt arvu X, jääb vahele alati Carmichaeli number X ja 2X. "See on veel üks viis väljendada, kui levinud nad on," ütles kaitseanalüüside instituudi matemaatik Jon Grantham, kes on sellega seotud tööd teinud.
Kuid aastakümneid ei suutnud keegi seda tõestada. Pomerance ütles, et Alfordi, Granville'i ja Pomerance'i välja töötatud tehnikad "suutsid meil näidata, et Carmichaeli numbreid saab olema palju, kuid ei võimaldanud meil nende asukohta täielikult kontrollida. ”
Seejärel, 2021. aasta novembris, avas Granville meili Larsenilt, kes oli toona 17-aastane ja õppis keskkoolis viimast aastat. A paber oli kinnitatud - ja Granville'i üllatuseks tundus see õige. "See ei olnud kõige lihtsam lugemine kunagi," ütles ta. "Aga kui ma seda lugesin, oli täiesti selge, et ta ei seganud. Tal olid geniaalsed ideed. ”
Pomerance, kes luges teose hilisemat versiooni, nõustus. "Tema tõestus on tõesti üsna arenenud," ütles ta. "See oleks paber, mille kirjutamise üle oleks iga matemaatik tõeliselt uhke. Ja siin kirjutab seda keskkoolilaps."
Larseni tõestuse võti oli töö, mis oli teda Carmichaeli numbrite juurde tõmbanud: Maynardi ja Tao tulemused peamiste lünkade kohta.
Ebatõenäoline – pole võimatu
Kui Larsen püüdis esimest korda näidata, et Carmichaeli numbri on alati võimalik lühikese intervalliga leida, "paistis, et see on nii ilmselgelt tõsi, kui raske saab seda tõestada?" ta ütles. Ta mõistis kiiresti, et see võib tõesti väga raske olla. "See on probleem, mis paneb proovile meie aja tehnoloogia," ütles ta.
Alford, Granville ja Pomerance näitasid oma 1994. aasta artiklis, kuidas luua lõputult palju Carmichaeli numbreid. Kuid nad ei olnud suutnud kontrollida nende konstrueerimiseks kasutatud algarvude suurust. Just seda peaks Larsen tegema, et ehitada suhteliselt lähedased Carmichaeli numbrid. Probleemi keerukus tegi tema isa Michael Larseni murelikuks. "Ma ei pidanud seda võimatuks, kuid pidasin ebatõenäoliseks, et tal see õnnestub," sõnas ta. "Ma nägin, kui palju aega ta sellele kulutas... ja tundsin, et oleks laastav, kui ta annaks sellele nii palju endast ja ei saa seda kätte."
Siiski teadis ta paremini, kui püüdis oma poega veenda. "Kui Daniel pühendub millelegi, mis teda tõeliselt huvitab, jääb ta sellest alati kinni," sõnas ta.
Nii pöördus Larsen tagasi Maynardi paberite juurde – eelkõige tööle, mis näitas, et kui võtta teatud arvude jadad, peab mõni nende arvude alamhulk olema algarvude alamhulk. Larsen muutis Maynardi tehnikaid, et ühendada need Alfordi, Granville'i ja Pomerance'i meetoditega. See võimaldas tal tagada, et algarvud, milleni ta lõpuks jõudsid, oleksid erineva suurusega – piisavalt, et saada Carmichaeli numbreid, mis jääksid soovitud intervallisse.
"Tal on asjade üle suurem kontroll kui meil kunagi olnud," ütles Granville. Ja ta saavutas selle Maynardi loomingu eriti nutika kasutamisega. "Seda edusamme pole lihtne kasutada lühikeste algarvude vahede korral," ütles Kaisa Matomäki, matemaatik Turu ülikoolis Soomes. "On üsna tore, et ta suudab selle ühendada selle küsimusega Carmichaeli numbrite kohta."
Tegelikult ei võimaldanud Larseni argument tal lihtsalt näidata, et Carmichaeli number peab alati ilmuma nende vahele X ja 2X. Tema tõestus töötab ka palju väiksemate intervallidega. Matemaatikud loodavad nüüd, et see aitab paljastada ka nende kummaliste numbrite käitumise muid aspekte. "See on teistsugune idee," ütles Thomas Wright, matemaatik Woffordi kolledžis Lõuna-Carolinas, kes töötab pseudoalgarvudega. "See muudab palju asju selles, kuidas saaksime tõestada asju Carmichaeli numbrite kohta."
Grantham nõustus. "Nüüd saate teha asju, mille peale pole kunagi mõelnud," ütles ta.
Vahepeal alustas Larsen just oma esmakursust Massachusettsi Tehnoloogiainstituudis. Ta pole kindel, millise probleemi kallal ta järgmisena tegeleda võiks, kuid ta soovib innukalt teada saada, mis seal on. "Ma käin lihtsalt kursustel ja üritan olla avatud meelega," ütles ta.
"Ta tegi seda kõike ilma bakalaureusehariduseta," ütles Grantham. "Ma võin vaid ette kujutada, millega ta magistrantuuris välja tuleb."
