Rekursiivsete järjestuste hämmastav käitumine | Quanta ajakiri

Matemaatikas võivad lihtsad reeglid avada keerukuse ja ilu universumid. Võtke kuulus Fibonacci jada, mis on defineeritud järgmiselt: see algab 1-ga ja 1-ga ning iga järgnev arv on kahe eelmise summa. Esimesed paar numbrit on:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 …

Lihtne, jah, kuid see vähenõudlik retsept loob kaugeleulatuva tähendusega mustri, mis näib olevat kootud loodusmaailma struktuuri. Seda on näha nautiluse karpide keeristes, meie sõrmede luudes ja lehtede paigutuses puuokstel. Selle matemaatiline haare laieneb muuhulgas geomeetriale, algebrale ja tõenäosusele. Kaheksa sajandit pärast seda, kui jada läände tutvustati – India matemaatikud uurisid seda ammu enne Fibonacci –, on numbrid jätkuvalt teadlaste huviorbiidis, mis annab tunnistust sellest, kui suur matemaatiline sügavus võib olla isegi kõige elementaarsema arvujada aluseks.

Fibonacci jadas tugineb iga termin sellele eelnevatele. Sellised rekursiivsed jadad võivad avaldada mitmesuguseid käitumisviise, millest mõned on imeliselt vastupidised. Võtke näiteks uudishimulik jadade perekond, mida kirjeldas esmakordselt 1980. aastatel Ameerika matemaatik Michael Somos.

Sarnaselt Fibonacci jadale algab Somose jada ühega. A Somos-k jada algab k nendest. Iga uus somose termink jada määratletakse eelnevate terminite sidumise teel, iga paari korrutamise, paaride liitmise ja seejärel terminiga jagamise teel k positsioonid järjestuses tagasi.

Jadad pole eriti huvitavad, kui k võrdub 1, 2 või 3 - need on vaid korduvad. Aga selleks k = 4, 5, 6 või 7 on järjestustel kummaline omadus. Kuigi jagamist on palju, murdu ei kuvata.

"Tavaliselt meil sellist nähtust ei esine," ütles Somos. "See on petlikult lihtne kordus, mis sarnaneb Fibonacciga. Kuid selle lihtsuse taga on palju.”

Teised matemaatikud jätkavad hämmastavate seoste avastamist Somose jadade ja näiliselt mitteseotud matemaatikavaldkondade vahel. Üks juulis postitatud paber kasutab neid selleks lahendusi konstrueerida diferentsiaalvõrrandite süsteemile, mida kasutatakse kõike modelleerimiseks alates röövloomade ja saakloomade vastasmõjudest kuni laineteni, mis liiguvad suure energiaga plasmas. Neid kasutatakse ka matemaatiliste objektide struktuuri uurimiseks nn kobaralgebrad ja on ühendatud elliptilised kõverad - mis olid võti Fermat' viimase teoreemi murdmisel.

Janice Malouf, Illinoisi ülikooli magistrant, avaldas esimese tõendi, et Somos-4 ja Somos-5 järjestused on lahutamatud (see tähendab, et kõik nende terminid on täisarvud) 1992. aastal. Muud tõendid Erinevate matemaatikute sama tulemus ilmus umbes samal ajal koos tõenditega, et Somos-6 ja Somos-7 jadad on lahutamatud.

See Somose jadade kummaline omadus hämmastas matemaatikuid. "Somose jadad huvitasid mind kohe, kui sain neist teada," ütles James Propp, Lowelli Massachusettsi ülikooli matemaatikaprofessor. „Asjaolu, et Somos-4 kuni Somos-7 annavad alati täisarve, olenemata sellest, kui kaugele sa lähed, tundus imena, kui vaatate asju naiivsest vaatenurgast. Seega oli vaja teistsugust vaatenurka.

Propp leidis uue vaatenurga 2000. aastate alguses, kui ta ja ta kolleegid avastasid, et Somos-4 jada numbrid loevad tegelikult midagi. Jada terminid vastavad teatud graafikutel leiduvatele struktuuridele. Mõne graafi puhul on võimalik siduda tippe (punkte) servadega (joontega), nii et iga tipp on ühendatud täpselt ühe teise tipuga – pole ühtegi paaristamata tippu ega rohkem kui ühe servaga ühendatud tippu. Somos-4 jada terminid loendavad erinevate täiuslike sobivuste arvu konkreetse graafikute jada jaoks.

Avastus ei pakkunud mitte ainult uut vaatenurka Somose järjestustele, vaid tutvustas ka uusi viise, kuidas mõelda ja analüüsida graafiteisendusi. Propp ja tema õpilased tähistasid sellega, et lasid tulemuse kanda a T-särk.

"Minu jaoks on suur osa matemaatika võlust see, kui jõuate samasse sihtkohta eri teid pidi ja tundub, et toimub midagi imelist või sügavat," ütles Propp. "Nende jadade lahe on see, et on olemas erinevad vaatenurgad, mis selgitavad, miks saate täisarve. Seal on varjatud sügavused."

Lugu muutub kõrgema numbriga Somose jadade jaoks. Somos-18 esimesed 8 liiget on täisarvud, kuid 19. liige on murdosa. Iga Somose jada pärast seda sisaldab ka murdväärtusi.

Teine jadatüüp, mille töötas välja Saksa matemaatik Fritz Göbel 1970. aastatel, on huvitav kontrapunkt Somose jadadele. The nGöbeli jada liige on defineeritud kui kõigi eelmiste liikmete ruutude summa pluss 1 jagatuna n. Sarnaselt Somose jadadele hõlmab Göbeli jada jagamist, seega võib eeldada, et terminid ei jää täisarvudeks. Kuid mõnda aega - kui järjestus kasvab tohutuks - tundub, et nad on.

Göbeli jada 10. liige on umbes 1.5 miljonit, 11. 267-miljard. 43. liige on liiga suur, et seda arvutada – selles on umbes 178 miljardit numbrit. Kuid 1975. aastal Hollandi matemaatik Hendrik Lenstra näitas, et erinevalt esimesest 42 liikmest ei ole see 43. liige täisarv.

Göbeli jadasid saab üldistada, asendades summas olevad ruudud kuubikute, neljandate astmete või isegi suuremate eksponenditega. (Selle kokkuleppe kohaselt nimetatakse tema algset jada 2-Göbeli jadaks.) Need jadad näitavad ka üllatavat suundumust alustada täisarvuliste terminite laiendatud jadaga. 1988. aastal Henry Ibstedt näitas et 89-Göbeli jada (mis kasutab ruutude asemel kuubikuid) esimesed 3 liiget on täisarvud, kuid 90. mitte. Hilisemad uuringud teiste Göbeli järjestuste kohta leidsid veelgi pikemaid venitusi. Näiteks 31-Göbeli jada algab ilmatu 1,077 täisarvuga.

juulil Kyushu ülikooli matemaatikud Rinnosuke Matsuhira, Toshiki Matsusaka ja Koki Tsuchida jagas paberit näidates, et a k-Göbeli järjestus, olenemata valikust k, on jada esimesed 19 liiget alati täisarvud. Neid inspireeris küsimust uurima Jaapani manga nimega Seisū-tan, mis tõlkes tähendab "täisarvude lugu". A kaader koomiksiraamatus palus lugejatel välja mõelda minimaalne võimalik väärtus N_k, punkt, kus a k-Göbeli jada ei tooda enam täisarvulisi termineid. Kolm matemaatikut asusid küsimusele vastama. "Täisarvude ootamatu püsimine nii pika aja jooksul on vastuolus meie intuitsiooniga," ütles Matsusaka. "Kui nähtused toimuvad vastupidiselt intuitsioonile, usun, et ilu on alati olemas."

Nad leidsid korduva käitumise mustri kui k suureneb. Keskendudes piiratud arvule korduvatele juhtumitele, muutsid nad arvutuse jälgitavaks ja suutsid tõestuse lõpule viia.

Järjekorrast lähemalt N_k paljastab veel ühe üllatuse: N_k on prime palju sagedamini, kui võiks eeldada, kui see oleks puhtjuhuslik. "Koos k"Göbeli jada pole lihtsalt tähelepanuväärne, et need on täisarvud," ütles Richard Green, Colorado ülikooli matemaatik. "Märkimisväärne on see, et algarvud ilmuvad nii sageli. See jätab mulje, nagu võiks toimuda midagi sügavamat.

Kuigi uus paber annab selle tõestuseks N_k on alati vähemalt 19, pole teada, kas see on alati lõplik või on a olemas k mille jada sisaldab täisarve lõputult. “N_k käitub salapäraselt. ... On põhimõtteline soov mõista selle aluseks olevat mustrit, " ütles Matsusaka. „See võib sarnaneda rõõmuga, mida tundsin lapsepõlves õpetajate antud mõistatusi lahendades. Isegi praegu on need tunded sellest ajast minu sees.

Quanta viib läbi mitmeid küsitlusi, et meie vaatajaskonda paremini teenindada. Võtke meie matemaatika lugejaküsitlus ja teid osaletakse tasuta võitmiseks Quanta kaup.