Mõni minut pärast 2018. aasta kõnet Michigani ülikoolis, Ian Tobasco võttis suure paberitüki ja kortsutas selle pealtnäha korratu kaosekera. Ta hoidis seda üleval, et publik seda näeks, pigistas seda korralikult ja laotas siis uuesti laiali.
"Mul tekib metsik hulk volte ja see on mõistatus," ütles ta. "Mis valib selle mustri teisest, korrapärasemast mustrist?"
Seejärel tõstis ta teise suure paberitüki – see oli eelnevalt volditud kuulsaks Miura-ori-nimeliseks rööpkülikukujuliseks origamimustriks – ja surus selle tasaseks. Ta ütles, et jõud, mida ta igal paberilehel kasutas, oli umbes sama, kuid tulemused ei saanud olla teistsugusemad. Miura-ori jagunes korralikult geomeetrilisteks piirkondadeks; kortsutatud pall oli sakiliste joonte segadus.
"Teil on tunne, et see," ütles ta, osutades hajutatud kortsude paigutusele kortsunud linal, "on lihtsalt selle juhuslik korratu versioon." Ta osutas korralikule ja korralikule Miura-orile. "Kuid me ei ole näpuga peale pannud, kas see on tõsi või mitte."
Selle ühenduse loomine ei nõuaks midagi vähemat kui elastsete mustrite universaalsete matemaatiliste reeglite kehtestamist. Tobasco on selle kallal aastaid töötanud, uurides võrrandeid, mis kirjeldavad õhukesi elastseid materjale - asju, mis reageerivad deformatsioonile, püüdes tagasi oma esialgsele kujule. Torkake õhupall piisavalt kõvasti ja moodustub radiaalsete kortsude muster; eemaldage sõrm ja need siluvad uuesti. Pigistage kortsunud paberipalli ja see laieneb, kui selle vabastate (kuigi see ei kortsu täielikult lahti). Insenerid ja füüsikud on uurinud, kuidas need mustrid teatud tingimustel ilmnevad, kuid matemaatiku jaoks viitavad need praktilised tulemused põhimõttelisemale küsimusele: kas on võimalik üldiselt mõista, mis valib ühe mustri teise asemel?
2021. aasta jaanuaris avaldas Tobasco paber mis vastas sellele küsimusele jaatavalt – vähemalt sileda, kumera ja elastse lehe puhul, mis on pressitud tasapinnaliseks (olukord, mis pakub selge võimaluse küsimuse uurimiseks). Tema võrrandid ennustavad, kuidas näiliselt juhuslikud kortsud sisaldavad "korrapäraseid" domeene, millel on korduv, tuvastatav muster. Ja ta kirjutas eelmisel kuul avaldatud artikli, mis näitab uut füüsikalist teooriat, mis põhineb rangel matemaatikal ja mis võib ennustada mustreid realistlikes stsenaariumides.
Nimelt viitab Tobasco töö sellele, et kortsumist võib selle mitmel kujul vaadelda kui geomeetrilise probleemi lahendust. "See on ilus matemaatilise analüüsi tükk," ütles Stefan Muller Bonni ülikooli Hausdorffi matemaatikakeskusest Saksamaal.
See toob esmakordselt elegantselt välja selle levinud nähtuse taga olevad matemaatilised reeglid ja uus arusaam. "Matemaatika roll ei olnud siin tõestada oletusi, mille füüsikud olid juba teinud," ütles Robert Kohn, New Yorgi ülikooli Courant Institute'i matemaatik ja Tobasco kraadiõppe nõustaja, "aga pigem selleks, et pakkuda teooriat, kus varem polnud süstemaatilist arusaamist."
Venitus välja
Kortsude ja elastsete mustrite teooria väljatöötamise eesmärk on vana. 1894. aastal ilmunud ülevaates loodus, tõi matemaatik George Greenhill välja erinevuse teoreetikute ("Mida me mõtleme?") ja kasulike rakenduste vahel, mida nad võiksid välja mõelda ("Mida me peame tegema?").
19. ja 20. sajandil tegid teadlased viimase osas suurel määral edusamme, uurides probleeme, mis on seotud kortsudega konkreetsetel deformeeruvatel objektidel. Varasemad näited hõlmavad merelaevade siledate, kumerate metallplaatide sepistamise probleemi ja mägede moodustumist maakoore kuumenemisega.
Viimasel ajal on matemaatikud ja füüsikud laiendanud jõupingutusi, et ühendada teooria ja vaatlus paljude kortsumisolukordade, geomeetriate ja materjalidega. "See on kestnud umbes viimased 10 aastat, kus me teeme esmalt katseid ja seejärel proovime leida teooriat nende mõistmiseks," ütles matemaatik. Dominic Vella Oxfordi ülikoolist. "Alles hiljuti hakkasime õigesti aru saama."
On olnud põnevaid verstaposte. 2015. aastal töötas Massachusettsi Tehnoloogiainstituudi mehaanikainsener Pedro Reis. kirjeldatud füüsikalisi seadusi geomeetriliste mustrite jaoks, mis tekivad tühjendatud ränikuulikestest. Tema töö ühendas need kortsud elastse materjali sisemise ja välimise kihi paksusega. Reis märkis ka, et kortsud, selle asemel, et pidada defekte, võivad pakkuda võimalusi uudse mehaanilise käitumise kujundamiseks. Siis 2017. aastal Vella juhtis analüüsi õhukese elastse kile kortsude ebastabiilsusest surve all, iseloomustades seda, kuidas kortsude arv muutus vastavalt esialgse torke sügavusele ja muudele spetsiifilistele detailidele.
Kuid need arengud lahendasid ikkagi ainult osa probleemist. Kortsude moodustumise üldisemaks matemaatiliseks mõistmiseks oli vaja teistsugust lähenemist. Tobasco oleks see, kes seda edasi viiks.
Jälgides uudishimu
Kui ta oli noorem, arvas Tobasco, et läheb kosmosetehnika erialale. Ta lõpetas 2011. aastal Michigani ülikooli bakalaureusekraadiga sellel alal, kuid selleks hetkeks oli ta juba tõmmatud sügavalt mõtlema matemaatilisele arutlusele ja füüsilistele süsteemidele. Ta teenis doktorikraadi matemaatikas, kuid süüdistab praegu Syracuse ülikoolis töötavat füüsikut Joey Paulsenit selles, et ta suunab ta konkreetsele kortsude teele.
Paulseni karjääri alguses, kui ta uuris ebatavaliste materjalide omadusi, õppis ta valmistama ja analüüsima üliõhukesi polümeerkilesid, kasutades tehnikat, mida nimetatakse spin-katmiseks. Kõigepealt loob ta spetsiaalse vedela materjali, mis sisaldab jälgi lahustunud polümeeri; siis asetas ta materjali ketrusplaadile. Suurem osa vedelikust aurustub, samas kui polümeer levis enne tahkestumist ühtlase paksuseni. Kui tal oli Syracuse'is oma labor, õppis Paulsen, kuidas kohandada pöörlevat katet, et luua kõveraid kilesid – nagu üliõhukesi kilpkonnakarpe.
Ühel päeval asetas ta osa neist kõveratest kiledest seisva vee peale ja pildistas, kuidas need pinnale settisid. "See oli puhtalt uudishimu ajendatud," ütles ta. Pildid jäid Tobascole silma mitteametlikul kohtumisel Paulseniga 2017. aastal.
"Nad näitasid, et võite saada need juhuslikud korratud kortsude mustrid – kui tegite katse kaks korda, saite kaks erinevat mustrit," ütles Tobasco, kes on praegu Chicago Illinoisi ülikooli dotsent. "Tahtsin näha, kas suudan leida elastsuse põhjal mingi tuletatava viisi [nende mustrite ennustamiseks], mis hõlmaks kesta kuju. Ja et mudel ei muutuks kestast teise.
Kortsumismustrid on konfiguratsioonid, millel on võimalikult vähe energiat. See tähendab, et kui õhuke kile asetub tasasele pinnale, muutub see kuni kortsude paigutuseni, mis on korrast ära või mitte, mille säilitamiseks kulub kõige vähem energiat. "Saate korraldada mustreid energia hulga järgi, mis on salvestatud, kui [muster] avaldub, " ütles Tobasco.
Sellest juhtpõhimõttest lähtudes eraldas ta filmist mõned omadused, mis osutusid selle mustri valimiseks, sealhulgas selle kuju mõõt, mida nimetatakse Gaussi kõveruseks. Positiivse Gaussi kõverusega pind paindub endast eemale, nagu palli väliskülg. Negatiivselt kumerad pinnad on seevastu sadulakujulised, nagu Pringlesi kiip: kui lähete ühes suunas, liigute üles, aga kui lähete teises suunas, siis laskute.
Tobasco leidis, et positiivse Gaussi kõverusega alad tekitavad üht tüüpi järjestatud ja korrastamata domeenide paigutust ning negatiivse kõverusega alad muud tüüpi. "Üksikasjalik geomeetria pole nii oluline," ütles Vella. "See sõltub tõesti Gaussi kõveruse märgist."
Nad kahtlustasid, et Gaussi kõverus on kortsude tekkeks oluline, kuid Vella sõnul oli üllatav, et domeenid sõltusid nii tugevalt märgist. Veelgi enam, Tobasco teooria kehtib ka paljude elastsete materjalide, mitte ainult Paulseni vormide kohta. "See on kena geomeetriline konstruktsioon, mis näitab, kus kortsud tekivad," ütles Vella. "Kuid selle mõistmine on väga sügav ja üllatav."
Paulsen nõustus. "Mida Iani teooria väga ilusti teeb, on see, et annab teile kogu mustri korraga."
Päriselu kortsud
2018. aasta alguses oli Tobasco teooria enamasti paika loksunud, kuid kuigi see töötas paberil, ei saanud ta kindel olla, kas see ka tegelikus maailmas on täpne. Tobasco võttis Paulseniga ühendust ja küsis, kas ta oleks koostööst huvitatud. "Midagi lihtsalt töötas kohe," ütles Paulsen. "Mõne Iani ennustus, mis oli pandud eksperimentaalsete piltide peale, nägime kohe, et need on rivis."
Selle aasta Tööstus- ja Rakendusmatemaatika Ühingu konverentsil materjaliteaduse matemaatiliste aspektide teemal tutvustati Tobascole Eleni Katifori, Pennsylvania ülikooli füüsik, kes uuris suletud kestade kortsumustrite probleemi ja koostas tulemuste andmebaasi. See oli meeletu hetk. "Me nägime [simulatsioonides] domeene, mida Iani töö selgitas, " ütles ta. Matš oli kummaline. Juba nende esimeste arutelude ajal oli selge, et Tobasco teooria, Paulseni eksperimentaalsed pildid ja Katifori simulatsioonid kirjeldasid samu nähtusi. "Isegi varajases staadiumis, kui meil polnud midagi konkreetset, nägime seost."
See varajane põnevus tekitas kiiresti skeptitsismi. See tundus peaaegu liiga hea, et tõsi olla. "Ta on matemaatik ja muudab kõik need asjad mittedimensionaalseks," ütles Paulsen, viidates sellele, kuidas Tobasco ideid kõveruse kohta saaks laiendada kahemõõtmelistest lamedate materjalidest kaugemale. „Kas me tõesti vaatame sama süsteemi? See on nõus, aga kas ta oleks pidanud nõustuma?
Järgmise kahe aasta jooksul räsisid kolm teadlast üksikasjad välja, näidates, et Tobasco teooria ennustas tõesti – täpselt – kortsude paigutust, mida Paulsen oma katsetes nägi ja Katifori leidis oma arvutimudelites. 25. augustil avaldasid nad artikli Loodusfüüsika näidates kuidas kõik kolm lähenemist lähenevad samale, sirgjoonelisele kortsude geomeetrilisele paigutusele. Eelkõige leidsid nad, et mustrid jagunevad võrdkülgsete kolmnurkade korralikesse perekondadesse, mis piiritlesid korra ja korratuse valdkonnad. Lisaks ei piirdu tulemused võimatult õhukeste materjalide matemaatiliste abstraktsioonidega, vaid käsitlevad mitut paksuse suurusjärku.
Nende töö pakub ka võimalusi teooria ja selle rakenduste laiendamiseks. Katifori ütles, et füüsikuna on ta huvitatud ennustuste rakendamisest uute materjalide kujundamiseks. "Ma tahan mõista, kuidas saate kujundada pindu nii, et need ise organiseeriksid kortsumustrid millekski, mida soovite."
Teine lahtine küsimus on see, kui üldiselt saab teooriat rakendada erinevat tüüpi kõverate pindade puhul. "See on väga keskendunud olukordadele, kus [Gaussi kõverus] on kas positiivne või negatiivne, kuid mõnede piirkondadega on palju olukordi, mis on positiivsed ja mõned negatiivsed," ütles Vella.
Paulsen nõustus, et see on põnev võimalus, ja Tobasco ütles, et ta töötab selles valdkonnas aktiivselt ja kaalub muid kestade kujusid - näiteks aukudega.
Kuid Paulsen ütles, et teooria on isegi praegusel kujul ilus ja üllatav. "Kui ma annan teile kesta ja piirikuju ning selle lihtsa reeglistiku, mida Iani teooria ennustas, siis võite võtta kompassi ja joonlaua ning joonistada kortsud," ütles ta. "See ei oleks pidanud nii juhtuma. See oleks võinud olla täiesti kohutav."
