تاریخچه مختصری از کاشی کاری حیله گر ریاضی | مجله کوانتا

هر روز شاهد نمونه هایی از تکرار موتیف هستیم. این تقارن و نظم می تواند عادی و تقریباً نامرئی به نظر برسد، مانند آجرکاری روی دیوارهای ساختمان یا الگوی شش ضلعی در لانه زنبوری. یا اگر به اندازه کافی خوش شانس باشیم که با چیزی مانند کاشی کاری زیبا در الحمرا اسپانیا یا نقاشی های خلاقانه MC Escher روبرو شویم، این الگوها می توانند ما را الهام بخش و شگفت زده کنند.

برای قرن‌ها، ریاضی‌دانان با این اشکال تکراری بازی می‌کردند و بینش‌های جذاب و احتمالات بدیع را از آنها بیرون می‌کشیدند. زیبایی ریاضیات با زیبایی خود طرح ها رقابت می کند.

ساده‌ترین کاشی‌کاری‌ها از چند ضلعی‌های یکسان با اضلاع با طول و زوایای مساوی ساخته شده‌اند که لبه کامل به لبه کامل متصل شده‌اند. اما اگرچه تعداد بی‌نهایتی از این چند ضلعی «منظم» وجود دارد - یکی برای هر تعداد ضلع - فقط سه کاشی منظم وجود دارد که از شکل‌هایی با سه، چهار یا شش ضلع - یعنی مثلث، مربع و شش ضلعی تشکیل شده‌اند.

اشکال دیگر فقط برای آن ساخته نشده اند. یک پنج ضلعی منظم (با پنج ضلع) دارای زاویه داخلی 108 درجه است. این به طور مساوی به 360 درجه تقسیم نمی شود، بنابراین هر تلاشی برای مونتاژ پنج ضلعی های معمولی در یک کاشی کاری باعث ایجاد شکاف هایی می شود که نمی توان آنها را پر کرد. ما می گوییم که پنج ضلعی معمولی نمی تواند هواپیما را کاشی کند. و چند ضلعی های منظم با بیش از شش ضلع دارای زوایای داخلی بیش از حد بزرگ هستند که سه ضلعی نمی توانند در یک نقطه به هم برسند، و بنابراین آنها نیز نمی توانند.

برداشت دیگری از کاشی کاری با چند ضلعی های منظم از یوهانس کپلر می آید، که امروزه بیشتر به خاطر اکتشافاتش در مورد حرکت سیارات شهرت دارد. در سال 1619، او نشان داد که حتی اگر از بیش از یک چند ضلعی منظم استفاده کنید، می‌توانید تنها هشت الگوی کاشی‌کاری جدید ایجاد کنید که در آن پیکربندی اطراف هر رأس یکسان است. (اگر اجازه داشته باشیم از این محدودیت دور شویم، احتمالات بیشتری وجود دارد.)

وقتی چند ضلعی های نامنظم را مجاز می کنیم، همه چیز جالب تر می شود. با کمال تعجب، هر مثلثی می تواند صفحه را کاشی کند، و حتی شگفت آورتر، هر چهارضلعی هم می تواند.

از سوی دیگر، غیرممکن است که صفحه را با هر چند ضلعی محدب بیش از شش ضلع کاشی کنیم. مجموع زوایای داخلی بسیار بزرگ است. به طوری که تنها پنج ضلعی و شش ضلعی به عنوان احتمال باقی مانده باقی می ماند.

کارل راینهارت در پایان نامه دکترای خود در سال 1918 ثابت کرد که می توان هواپیما را با شش ضلعی های محدب بی نهایت - آنهایی که تورفتگی ندارند - کاشی کرد که او آنها را به سه خانواده دسته بندی کرد.

طبقه بندی پنج ضلعی های محدب که هواپیما را کاشی می کنند دشوارتر بود. راینهارت پنج خانواده از این پنج ضلعی ها را کشف کرد. 50 سال بعد، ریچارد کرشنر سه مورد دیگر پیدا کرد. سپس در سال 1975، مارتین گاردنر در مورد این مشکل نوشت علمی آمریکا، آن را به طور یکسان مورد توجه ریاضیدانان حرفه ای و آماتور قرار می دهد. یکی از این آماتورها، برنامه نویس کامپیوتری به نام ریچارد جیمز سوم، نمونه ای از خانواده نهم را برای گاردنر فرستاد و از او پرسید: "آیا قبول دارید که کرشنر این یکی را از دست داده است؟" او داشت.

مارجوری رایس، خانه‌دار، نیز ستون گاردنر را خواند و شروع کرد به حل مشکل روی میز آشپزخانه‌اش. او بیش از دو سال سرهم بندی کرد و کشف کرد چهار خانواده دیگر کاشی کاری پنج ضلعی

محققان در سال 14 چهاردهمین خانواده از پنج ضلعی های کاشی کاری را پیدا کردند و سه دهه بعد، تیم دیگری با استفاده از جستجوی رایانه ای پانزدهمین خانواده را پیدا کردند. هیچ کس نمی دانست که آیا این کشف فهرست را تکمیل می کند یا اینکه هنوز خانواده های بیشتری پنهان شده اند. این سوال در سال 1985 زمانی که مایکل رائو پاسخ داده شد ثابت که تمام پنج ضلعی های کاشی کاری محدب - و همراه با آنها، همه چند ضلعی های کاشی کاری محدب - پیدا شده بودند.

همه این کاشی کاری ها تکرار می شود. یعنی تقارن تناوبی دارند، یعنی اساساً به این معناست که اگر کاشی کاری را روی یک تکه کاغذ دنبال کنیم و آن کاغذ را در جهات خاصی بلغزانیم، دوباره دقیقاً با کاشی کاری ردیف می شود.

انواع دیگری از تقارن نیز ممکن است. به عنوان مثال، تقارن آینه ای به این معنی است که اگر کاغذ ردیابی خود را در یک خط ثابت وارونه کنیم، الگوهای ما در یک راستا قرار می گیرند. تقارن چرخشی به این معنی است که اگر کاغذ خود را بچرخانیم، آنها در یک ردیف قرار می گیرند. و ما می توانیم اقدامات را برای به دست آوردن یک تقارن بازتابی لغزشی ترکیب کنیم، که مانند لغزش کاغذ و سپس ورق زدن آن است.

در سال 1891، بلورشناس روسی Evgraf Fedorov ثابت کرد که تنها 17 روش برای ترکیب این تقارن ها وجود دارد. از آنجایی که این محدودیت برای تمام تزئینات دوره ای هواپیما اعمال می شود، به طور گسترده ای به عنوان 17 "گروه کاغذ دیواری" نامیده می شود.

وقتی کسی با این طبقه‌بندی الگوهای تقارن آشنا شد، تقریباً غیرممکن است که یک طرح دوره‌ای، هر چند پیچیده، را ببینیم و آن را به‌عنوان پازلی برای رمزگشایی نبینیم: دقیقاً کجا و چگونه تکرار می‌شود؟ آن تقارن ها کجاست؟

البته هر طرح کاشی کاری دوره ای نیست. قرار دادن کاشی ها در هواپیما امکان پذیر است و اغلب آسان است تا طرح حاصل هرگز تکرار نشود. در مثال ما با شش ضلعی، مربع و مثلث، می توانید این کار را با چرخاندن یک شش ضلعی منفرد و چند ضلعی های اطراف آن 30 درجه انجام دهید. کاشی کاری به دست آمده دیگر تقارن ترجمه ای ندارد.

در سال 1961، هائو وانگ، منطق‌دان، حدس زد که اگر مجموعه‌ای از اشکال هواپیما را کاشی می‌کنند، آن شکل‌ها باید بتوانند هواپیما را به صورت دوره‌ای کاشی کنند. فقط چند سال بعد، دانشجوی فارغ التحصیل او رابرت برگر با کشف مجموعه عظیمی از بیش از 20,000 کاشی که هواپیما را کاشی می‌کنند، ثابت کرد که اشتباه می‌کند، اما فقط به صورت غیر دوره‌ای. چنین مجموعه‌های کاشی غیرپریودیک نامیده می‌شوند.

اگرچه برگر و دیگران توانستند اندازه این مجموعه‌های غیرپریودیک را به میزان قابل توجهی کاهش دهند، در اواسط دهه 1970 راجر پنروز با کشف مجموعه‌های بسیار کوچکی از کاشی‌های دوره‌ای خود توجه جهان را به خود جلب کرد. کوچکترین مجموعه ها فقط به دو کاشی نیاز دارند.

این اشکال و الگوها ریاضیدانان، دانشمندان و عموم مردم را مجذوب خود کرد. اما آنها یک سوال واضح بعدی را مطرح کردند: آیا یک کاشی غیر پریودیک وجود دارد؟ جستجوی نهایی تئوری کاشی‌کاری اکنون یافتن چنین کاشی «انیشتین» بود - که نه به نام فیزیکدان، بلکه برای عبارت آلمانی «یک سنگ» نامگذاری شده است.

در سال 2010، جاشوا سوکولار و جوآن تیلور به کشف یک انیشتین بسیار نزدیک شدند. مشکل رویکرد آنها این بود کاشی آنها باید جدا می شد; این مانند کاشی کاری هواپیما با اشکالی مانند ایالت هاوایی است، یک موجودیت واحد متشکل از مناطق جداگانه، نه با اشکال متصل مانند کالیفرنیا. به طور فزاینده ای، ریاضیدانان مشکوک بودند که اگر انیشتین وجود داشته باشد، باید چیزی از نظر هندسی بسیار پیچیده باشد.

در مارس 2023، یک آماتور دوباره جهان را شوکه کرد. یک تکنسین بازنشسته چاپ و علاقه‌مند به ریاضیات به نام دیوید اسمیت نه تنها یک تک‌تصویر دوره‌ای را کشف کرده بود، بلکه یک خانواده بی نهایت از این انیشتین های گریزان او از کریگ کاپلان، چایم گودمن-استروس و جوزف ساموئل مایرز - متخصصان علوم کامپیوتر، ریاضیات و تئوری کاشی‌کاری - استفاده کرد و با هم یک انیشتین ساده هندسی به نام کاشی کلاه (که در اینترنت فکر می‌کرد شبیه یک تی شرت است) ارائه کردند. ).

واکنش سریع و مثبت بود. کاشفان در کنفرانس ها صحبت کردند و به صورت آنلاین سخنرانی کردند. هنرمندان ریاضی از فرصتی برای یافتن راه‌های خلاقانه برای تولید طرح‌های اسکر مانند بر اساس این کاشی‌های هندسی جالب استفاده کردند. کاشی کلاه حتی در مونولوگ یکی از برنامه های تلویزیونی اواخر شب ظاهر شد.

با این حال هنوز جای پیشرفت وجود داشت. برای کاشی کاری هواپیما با کلاه، باید تقریباً یک هفتم کاشی ها را وارونه کنید. صاحب خانه ای که می خواهد حمام خود را با کاشی کلاه کاشی کند باید دو نوع کاشی بخرد: یک کاشی استاندارد و تصویر آینه آن. آیا این واقعا ضروری بود؟

حتی قبل از اینکه هیجان کاشی کلاه فروکش کند، تیم اعلامیه دیگری داد. اسمیت در آن خانواده نامتناهی از تک‌نوارهای نامتناهی، یکی را پیدا کرده بود که او آن را «طیف» نامید که می‌تواند هواپیما را بدون نیاز به کپی‌های بازتاب‌شده کاشی کاری کند. بالاخره یک انیشتین واقعی ظاهر شد.

ما اکنون در بحبوحه اکتشاف ریاضی کاشی‌کاری‌ها و کاشی‌کاری‌ها هستیم. این به کمک های مهم آماتورها تکیه کرده است، خلاقیت هنرمندان ریاضی را الهام می بخشد، و از قدرت رایانه ها برای پیشبرد مرزهای دانش استفاده می کند. و از آن، ما به بینش های جدیدی در مورد ماهیت تقارن، هندسه و طراحی دست یافته ایم.

اصلاح: اکتبر 30، 2023
نسخه اصلی این مقاله بیان می‌کرد که نمی‌توان هواپیما را با هر چندضلعی بیش از شش ضلع کاشی کرد. این تنها در صورتی صادق است که چند ضلعی محدب باشد.

کوانتوم در حال انجام یک سری نظرسنجی برای ارائه خدمات بهتر به مخاطبانمان است. ما را بگیر نظرسنجی از خوانندگان ریاضی و شما برای برنده شدن رایگان وارد خواهید شد کوانتوم تجارت