یک قرن بعد، ریاضیات جدید نسبیت عام را هموار کرد | مجله کوانتا

نظریه نسبیت عام آلبرت انیشتین در توصیف چگونگی کارکرد گرانش و چگونگی شکل دادن به ساختار مقیاس بزرگ جهان بسیار موفق بوده است. این در جمله ای از فیزیکدان جان ویلر خلاصه شده است: «فضا-زمان به ماده می گوید که چگونه حرکت کند. ماده به فضا-زمان می گوید که چگونه منحنی کند.» با این حال، ریاضیات نسبیت عام نیز عمیقاً مخالف است.

از آنجایی که معادلات اولیه آن بسیار پیچیده است، حتی ساده ترین گزاره ها نیز به سختی قابل اثبات هستند. برای مثال، تقریباً در سال 1980 بود که ریاضیدانان به عنوان بخشی از یک قضیه اصلی در نسبیت عام، ثابت کردند که یک سیستم فیزیکی یا فضای مجزا، بدون هیچ جرمی در آن باید مسطح باشد.

این سوال حل نشدنی باقی ماند که یک فضا اگر تقریباً خلاء باشد و فقط مقدار کمی جرم داشته باشد چگونه به نظر می رسد. آیا لزوماً تقریباً صاف است؟

در حالی که ممکن است بدیهی به نظر برسد که جرم کوچکتر منجر به انحنای کوچکتر می شود، اما وقتی صحبت از نسبیت عام می شود، چیزها چندان بریده و خشک نیستند. بر اساس این تئوری، غلظت های متراکم ماده می تواند بخشی از فضا را «تابیده» کند و آن را به شدت منحنی کند. در برخی موارد، این انحنا می تواند شدید باشد و احتمالاً منجر به تشکیل سیاهچاله ها شود. این می تواند حتی در فضایی با مقادیر کم ماده رخ دهد، اگر به اندازه کافی متمرکز باشد.

در اخیر مقاله, کونگان دونگ، دانشجوی کارشناسی ارشد در دانشگاه استونی بروک و آهنگ آنتواناستادیار مؤسسه فناوری کالیفرنیا ثابت کرد که دنباله ای از فضاهای منحنی با مقادیر کوچکتر و کوچکتر جرم در نهایت به یک فضای صاف با انحنای صفر همگرا می شوند.

این نتیجه پیشرفت قابل توجهی در اکتشاف ریاضی نسبیت عام است - پیگیری ای که بیش از یک قرن پس از ابداع نظریه اینشتین همچنان سودمند است. دن لی، یک ریاضیدان در کالج کوئینز که ریاضیات نسبیت عام را مطالعه می کند اما در این تحقیق شرکت نداشت، گفت که اثبات دونگ و سونگ نشان دهنده درک عمیقی از نحوه تعامل انحنا و جرم است.

آنچه آنها ثابت کردند

اثبات توسط دونگ و سونگ مربوط به فضاهای سه بعدی است، اما ابتدا یک مثال دو بعدی را برای مصورسازی در نظر بگیرید. یک فضای صاف و بدون جرم را به عنوان یک صفحه کاغذ معمولی و صاف تصور کنید. فضایی با جرم کوچک، در این مثال، ممکن است از فاصله دور شبیه به نظر برسد - یعنی بیشتر مسطح. با این حال، یک بررسی دقیق تر ممکن است نشان دهد که برخی از میخ های تیز یا حباب هایی که اینجا و آنجا ظاهر می شوند - پیامدهای خوشه بندی مواد. این برون زدگی‌های تصادفی باعث می‌شود که کاغذ شبیه یک چمنزار خوب نگهداری شود که گهگاهی قارچ یا ساقه آن از سطح بیرون زده است.

دونگ و سونگ یک حدس که در سال 2001 توسط ریاضیدانان فرموله شد گرهارد هویسکن و تام ایلمانن. این حدس بیان می کند که با نزدیک شدن جرم یک فضا به صفر، انحنای آن نیز باید به آن نزدیک شود. با این حال، هویسکن و ایلمانن تشخیص دادند که این سناریو به دلیل وجود حباب‌ها و میخ‌ها (که از نظر ریاضی از یکدیگر متمایز هستند) پیچیده است. آنها فرض کردند که حباب ها و سنبله ها را می توان به گونه ای قطع کرد که ناحیه مرزی باقی مانده در سطح فضا توسط هر برش کوچک باشد. آنها پیشنهاد کردند، اما نتوانستند ثابت کنند، فضایی که پس از برداشتن این زائده های دردسرساز باقی مانده بود، تقریباً مسطح خواهد بود. آنها همچنین مطمئن نبودند که چگونه باید چنین برش هایی ایجاد شود.

لی گفت: «این سؤالات دشوار بودند، و من انتظار نداشتم راه حلی برای حدس Huisken-Ilmanen ببینم.

در قلب حدس، اندازه گیری انحنا است. فضا می‌تواند به روش‌های مختلف، مقادیر و جهات مختلف منحنی شود - مانند یک زین (در دو بعد) که به سمت جلو و عقب منحنی می‌شود، اما به سمت چپ و راست پایین می‌رود. دونگ و سونگ این جزئیات را نادیده می گیرند. آنها از مفهومی به نام انحنای اسکالر استفاده می کنند که انحنا را به عنوان یک عدد واحد نشان می دهد که انحنای کامل را در همه جهات خلاصه می کند.

کار جدید دونگ و سونگ، گفت دانیل استرن از دانشگاه کرنل، «یکی از قوی‌ترین نتایجی است که تاکنون داشته‌ایم که به ما نشان می‌دهد چگونه انحنای اسکالر، هندسه» فضا را به‌طور کلی کنترل می‌کند. مقاله آنها نشان می دهد که "اگر ما انحنای اسکالر غیر منفی و جرم کوچک داشته باشیم، ساختار فضا را به خوبی درک می کنیم."

مدرک

حدس Huisken-Ilmanen مربوط به هندسه فضاهایی با جرم به طور پیوسته در حال کاهش است. روش خاصی را برای گفتن اینکه یک فضای با جرم کوچک چقدر به فضای مسطح نزدیک است، تجویز می کند. این اندازه گیری فاصله گروموف-هاسدورف نامیده می شود که به نام ریاضیدانان نامگذاری شده است میخائیل گروموف و فلیکس هاسدورف محاسبه فاصله گروموف- هاسدورف یک فرآیند دو مرحله ای است.

اولین قدم این است که فاصله Hausdorff را پیدا کنید. فرض کنید دو دایره A و B دارید. با هر نقطه ای از A شروع کنید و بفهمید که فاصله آن تا نزدیکترین نقطه B چقدر است.

این کار را برای هر نقطه روی A تکرار کنید. بزرگترین فاصله ای که پیدا می کنید فاصله هاسدورف بین دایره ها است.

هنگامی که فاصله هاوسدورف را بدست آورید، می توانید فاصله گروموف-هاوسدورف را محاسبه کنید. برای انجام این کار، اشیاء خود را در فضای بزرگتری قرار دهید تا فاصله هاسدورف بین آنها به حداقل برسد. در مورد دو دایره یکسان، از آنجایی که می‌توانید آنها را به معنای واقعی کلمه روی هم قرار دهید، فاصله گروموف-هاوسدورف بین آنها صفر است. اجسام مشابه هندسی مانند اینها "ایزومتریک" نامیده می شوند.

البته زمانی که اجسام یا فضاهای مورد مقایسه شبیه هم هستند اما یکسان نیستند، اندازه گیری فاصله دشوارتر است. فاصله Gromov-Hausdorff اندازه گیری دقیقی از شباهت ها (یا تفاوت ها) بین شکل دو جسم که در ابتدا در فضاهای مختلف قرار دارند را ارائه می دهد. استرن گفت: «فاصله گروموف- هاسدورف یکی از بهترین راه‌هایی است که می‌توان گفت دو فضا تقریباً ایزومتریک هستند، و عددی را به «تقریبا» می‌دهد.

قبل از اینکه دونگ و سونگ بتوانند بین فضایی با جرم کوچک و فضایی کاملاً مسطح مقایسه کنند، باید برآمدگی‌های مزاحم را جدا می‌کردند - خوشه‌های باریکی که در آن‌ها ماده محکم بسته شده است و حتی حباب‌های متراکم‌تری که ممکن است سیاهچاله‌های کوچک را در خود جای دهند. سانگ گفت: «ما آنها را طوری برش دادیم که ناحیه مرزی [جایی که برش ساخته شد] کوچک باشد، و نشان دادیم که با پایین آمدن جرم، ناحیه کوچک‌تر می‌شود.»

اگرچه این تاکتیک ممکن است شبیه یک تقلب به نظر برسد، استرن گفت که برای اثبات حدس، انجام نوعی پیش پردازش با بریدن حباب ها و میخ هایی که با کاهش جرم، مساحت آنها به صفر می رسد، مجاز است.

او پیشنهاد کرد که به عنوان نماینده فضایی با جرم کوچک، ممکن است یک ورق کاغذ مچاله شده را تصور کنیم که پس از صاف شدن دوباره، همچنان دارای چین ها و چین های تیز است. می توانید از یک سوراخ سوراخ برای حذف برجسته ترین بی نظمی ها استفاده کنید و یک کاغذ کمی ناهموار با چند سوراخ در آن باقی بگذارید. همانطور که اندازه آن سوراخ ها کوچک می شود، ناهمواری زمین کاغذ نیز کاهش می یابد. ممکن است بگویید در حد نهایی، سوراخ‌ها به صفر می‌رسند، تپه‌ها و برآمدگی‌ها ناپدید می‌شوند و شما با یک تکه کاغذ صاف و یکنواخت باقی می‌مانید - یک پایه واقعی برای فضای صاف.

این چیزی است که دونگ و سونگ به دنبال اثبات آن بودند. گام بعدی این بود که ببینیم چگونه این فضاهای برهنه شده - که از ویژگی‌های خشن خود حذف شده‌اند - در برابر استاندارد مسطح بودن مطلق قرار می‌گیرند. استراتژی ای که آنها دنبال کردند از نوع خاصی از نقشه استفاده می کرد، که روشی برای مقایسه دو فضا با تداعی نقاط در یک فضا با نقاط دیگر است. نقشه ای که آنها استفاده کردند در یک توسعه داده شد مقاله نوشته استرن و سه همکارش - هوبرت بری، دمتر کازاراس و مارکوس خوری. این روش می تواند دقیقاً مشخص کند که دو فاصله چقدر به هم نزدیک هستند.

دونگ و سونگ برای ساده کردن کار خود، ترفند ریاضی دیگری را از استرن و نویسندگان همکارش به کار گرفتند، که نشان داد یک فضای سه بعدی را می توان به تعداد بی نهایت برش های دو بعدی به نام مجموعه های سطح تقسیم کرد، درست مانند یک تخم مرغ آب پز. توسط سیم های محکم یک برش تخم مرغ به ورقه های باریک تقسیم شود.

مجموعه‌های سطح، انحنای فضای سه‌بعدی را به ارث می‌برند. دونگ و سونگ با تمرکز بر روی مجموعه‌های سطح به جای فضای سه بعدی بزرگ‌تر، توانستند ابعاد مسئله را از سه به دو کاهش دهند. سانگ گفت که این بسیار سودمند است، زیرا "ما چیزهای زیادی در مورد اشیاء دو بعدی می دانیم ... و ابزارهای زیادی برای مطالعه آنها داریم."

سانگ گفت، اگر آنها بتوانند با موفقیت نشان دهند که هر مجموعه سطح "نوعی مسطح" است، این به آنها اجازه می دهد تا به هدف کلی خود دست یابند که نشان دهند فضای سه بعدی با جرم کم نزدیک به مسطح است. خوشبختانه این استراتژی به نتیجه رسید.

گام های بعدی

با نگاهی به آینده، سانگ گفت که یکی از چالش‌های بعدی این میدان، واضح‌تر کردن اثبات با ارائه یک روش دقیق برای خلاص شدن از شر حباب‌ها و میخ‌ها و توصیف بهتر مناطقی است که بریده شده‌اند. اما در حال حاضر، او اذعان کرد، "ما استراتژی روشنی برای دستیابی به آن نداریم."

 سانگ گفت یکی دیگر از راه های امیدوارکننده، کاوش در یک حدس جداگانه که در سال 2011 توسط لی و کریستینا سورمانی، ریاضیدان دانشگاه سیتی نیویورک. حدس لی-سورمانی سؤالی مشابه با سؤالی که توسط Huisken و Ilmanen مطرح شد می‌پرسد، اما بر روشی متفاوت برای اندازه‌گیری تفاوت بین اشکال تکیه می‌کند. به جای در نظر گرفتن حداکثر فاصله بین دو شکل، همانطور که فاصله گروموف-هاسدورف انجام می دهد، رویکرد لی-سورمانی در مورد حجم فضا بین آنها. هرچه این حجم کمتر باشد، آنها نزدیکتر هستند.

در همین حال، سانگ امیدوار است به سؤالات اساسی در مورد انحنای اسکالر که انگیزه فیزیک نیستند، بپردازد. او گفت: "در نسبیت عام، ما با فضاهای بسیار خاصی سروکار داریم که تقریباً در بی نهایت مسطح هستند، اما در هندسه ما به انواع فضاها اهمیت می دهیم."

استرن گفت: «این امید وجود دارد که این تکنیک‌ها در شرایط دیگری که با نسبیت عام مرتبط نیستند، ارزشمند باشند». او گفت: «خانواده بزرگی از مشکلات مرتبط وجود دارد، که منتظر بررسی هستند.

کوانتوم در حال انجام یک سری نظرسنجی برای ارائه خدمات بهتر به مخاطبانمان است. ما را بگیر نظرسنجی از خوانندگان ریاضی و شما برای برنده شدن رایگان وارد خواهید شد کوانتوم تجارت