یک معمای عددی از قرن نوزدهم بالاخره حل شد

در اوایل دهه 1950، گروهی از محققین در موسسه مطالعات پیشرفته پروژه ای با فناوری پیشرفته را آغاز کردند. در دستور از جان فون نویمان و هرمان گلدستاین، فیزیکدان هدویگ سلبرگ، کامپیوتر 1,700 لوله خلاء IAS را برای محاسبه مبالغ ریاضی عجیبی که منشأ آنها به قرن هجدهم بازمی‌گردد، برنامه‌ریزی کرد.

مبالغ مربوط به مبالغ درجه دوم گاوس بود که به نام ریاضیدان مشهور کارل فردریش گاوس نامگذاری شد. گاوس تعدادی عدد اول را انتخاب می کند p، سپس اعداد به شکل $latex e^{frac{2iπn^2}{p}}$ را جمع آوری کنید. از زمان پیدایش، مجموع گاوس درجه دوم برای کارهایی مانند شمارش جواب برای انواع خاصی از معادلات بسیار ارزشمند بوده است. گفت: "معلوم است که مبالغ گاوس جادویی است، زیرا آنها فقط کارهای شگفت انگیزی انجام می دهند، زیرا خدا می داند به چه دلیل." جفری هافستاین، ریاضیدان دانشگاه براون.

در اواسط قرن نوزدهم، ارنست ادوارد کومر، ریاضیدان آلمانی، با یکی از بستگان نزدیک به این مبالغ درجه دوم گاوس بازی می کرد. n² در توان با یک جایگزین می شود n³. کومر متوجه شد که آن‌ها به میزان شگفت‌انگیزی تمایل به جمع‌آوری مقادیر نزدیک به ویژه دارند - مشاهداتی دقیق که منجر به قرن‌ها تحقیق در نظریه اعداد می‌شود.

اگر مجموع گاوس مکعبی به فرمول ساده‌تری تبدیل نشود، استنتاج مقادیر آنها دشوار است. کومر با نداشتن چنین فرمولی شروع به محاسبه مجموع گاوس مکعبی - و محاسبه و محاسبه کرد. گفت: «در آن زمان انجام این نوع محاسبات قهرمانانه با دست بسیار معمول بود متیو جوان، ریاضیدان دانشگاه A&M تگزاس. پس از شخم زدن 45 مجموع، مربوط به 45 عدد اول غیر پیش پا افتاده، سرانجام کومر تسلیم شد.

کومر با بررسی نتایج خود متوجه چیز جالبی شد. در تئوری، مجموع می تواند چیزی بین -1 و 1 باشد (پس از "نرمال" - تقسیم بر یک ثابت مناسب). اما وقتی محاسبات را انجام داد، متوجه شد که آنها به روشی عجیب توزیع شده اند. نیمی از نتایج بین ½ و 1 بودند و تنها یک ششم آنها بین 1- و ½- بودند. به نظر می رسد که آنها در اطراف 1 خوشه می شوند.

کومر مشاهدات خود را همراه با یک حدس بیان کرد: اگر به نحوی موفق به ترسیم تمام مجموع بی‌نهایت مکعب گاوس شوید، اکثر آنها را بین ½ و 1 خواهید دید. کمتر بین -½ و ½; و هنوز بین 1- و ½ کمتر است.

سلبرگ، فون نویمان و گلدستاین تصمیم گرفتند این را در رایانه اولیه خود آزمایش کنند. سلبرگ آن را طوری برنامه ریزی کرد که مجموع گاوس مکعبی را برای همه اعداد اول غیر پیش پا افتاده کمتر از 10,000 محاسبه کند - در مجموع حدود 600 مجموع. (گلدستاین و فون نویمان به نگارش مقاله ادامه دادند؛ مشارکت های او در پایان به یک خط قدردانی کاهش یافت.) آنها دریافتند که با بزرگتر شدن اعداد اول، مجموع نرمال شده تمایل کمتری به خوشه های نزدیک به 1 پیدا کردند. شواهد قانع کننده مبنی بر اشتباه بودن حدس کومر، ریاضیدانان شروع به تلاش برای درک مبالغ مکعبی گاوس به روشی عمیق تر کردند که فراتر از محاسبات صرف بود.

آن فرآیند اکنون کامل شده است. در سال 1978، ریاضیدان ساموئل پترسون به دنبال راه حلی برای معمای ریاضی کومر بود، اما نتوانست آن را ثابت کند. سپس در پاییز گذشته، دو ریاضیدان از مؤسسه فناوری کالیفرنیا حدس پترسون را اثبات کردند و در نهایت به تفکرات کومر در سال 1846 پایان دادند.

پترسون برای اولین بار به عنوان دانشجوی کارشناسی ارشد در دانشگاه کمبریج در دهه 1970 به این مشکل علاقه مند شد. حدس او به این دلیل بود که چه اتفاقی می افتد وقتی اعداد به طور تصادفی در جایی بین 1- و 1 قرار می گیرند. N از این اعداد تصادفی، اندازه معمولی مجموع $latexsqrt{N}$ خواهد بود (می تواند مثبت یا منفی باشد). به همین ترتیب، اگر مجموع گاوس مکعبی به طور مساوی از 1- تا 1 پراکنده شوند، انتظار می رود N از آن‌ها تقریباً به $latexsqrt{N}$ می‌رسد.

با در نظر گرفتن این موضوع، پترسون اضافه کرد N مجموع گاوس مکعبی، با نادیده گرفتن (در حال حاضر) الزام به پایبندی به اعداد اول. او متوجه شد که این مبلغ در اطراف است N^5/6 - بزرگتر از $latexsqrt{N}$ (که می تواند به صورت نوشته شود N^1/2) اما کمتر از N. این مقدار نشان می‌دهد که مجموع‌ها مانند اعداد تصادفی رفتار می‌کنند، اما با نیروی ضعیفی که آنها را به سمت مقادیر مثبت تحت فشار قرار می‌دهد، به نام بایاس. مانند N بزرگ‌تر و بزرگ‌تر می‌شد، تصادفی شروع به غلبه بر تعصب می‌کرد، و بنابراین، اگر به‌گونه‌ای به مجموع بی‌نهایت‌های مکعب گاوس در آن واحد نگاه کنید، به‌طور مساوی توزیع می‌شوند.

این ظاهراً همه چیز را توضیح می دهد: محاسبات کومر یک سوگیری را نشان می دهد، و همچنین محاسبات IAS که یکی را رد می کند.

اما پترسون قادر به انجام محاسبات مشابه برای اعداد اول نبود، بنابراین در سال 1978، رسماً آن را به عنوان یک عدد یادداشت کرد. حدس: اگر مجموع گاوس مکعبی را برای اعداد اول جمع کنید، باید همان را بدست آورید N^5/6 رفتار.

بلافاصله پس از سخنرانی در مورد کار خود در مورد مسئله کومر، یک دانشجوی فارغ التحصیل به نام راجر هیث-براون با پترسون تماس گرفت که پیشنهاد کرد تکنیک هایی از نظریه اعداد اول ترکیب شود. این دو با هم متحد شدند و به زودی منتشر شده پیشرفت در این مشکل، اما آنها هنوز هم نتوانستند نشان دهند که پترسون پیش بینی کرده است N^5/6 سوگیری برای اعداد اول دقیق بود.

در طول دهه های بعدی، پیشرفت کمی حاصل شد. سرانجام، در آغاز هزاره، هیث براون دیگری ساخت دستیابی به موفقیتکه در آن ابزاری به نام غربال بزرگ مکعبی که او ساخته بود نقش اساسی داشت.

برای استفاده از غربال بزرگ مکعبی، هیث براون از یک سری محاسبات استفاده کرد تا مجموع مجموع گاوس مکعبی را به مجموع دیگری مرتبط کند. با این ابزار، Heath-Brown توانست نشان دهد که اگر مجموع گاوس مکعبی را برای اعداد اول کمتر از N، نتیجه نمی تواند خیلی بزرگتر از این باشد N^5/6. اما او فکر می کرد که می تواند بهتر انجام دهد - که خود غربال را می توان بهبود بخشید. اگر می توانست، حد را کاهش می داد N^5/6 دقیقاً، بنابراین حدس پترسون را اثبات می کند. او در یک خط کوتاه از متن، بهترین فرمول ممکن برای غربال را ترسیم کرد.

حتی با در دست داشتن این ابزار جدید، ریاضیدانان قادر به پیشرفت بیشتر نبودند. سپس دو دهه بعد، یک رویارویی خوش شانس بین فوق دکترای کلتک الکساندر دان و سرپرست او ماکسیم رادیویل آغاز پایان را مشخص کرد. قبل از اینکه دان در سپتامبر 2020 سمت خود را آغاز کند، رادیویل پیشنهاد کرد که با هم روی حدس پترسون کار کنند. اما با توجه به همه‌گیری کووید-19، تحقیقات و آموزش از راه دور ادامه یافت. سرانجام، در ژانویه 2021، زمانی که این دو ریاضیدان به طور غیرمنتظره ای در پارکینگ پاسادنا با یکدیگر برخورد کردند، شانس یا سرنوشت رخ داد. دان در ایمیلی نوشت: «ما صمیمانه با هم گپ زدیم و توافق کردیم که شروع به جلسه و صحبت در مورد ریاضی کنیم. در ماه مارس، آنها با پشتکار روی اثبات حدس پترسون کار می کردند.

دان گفت: "کار کردن بر روی آن هیجان انگیز بود، اما ریسک بسیار بالایی داشت." منظورم این است که من به یاد دارم که به مدت چهار یا پنج ماه هر روز ساعت 5 صبح به دفترم می آمدم.

دان و رادزیویل، مانند هیث-براون قبل از آنها، غربال بزرگ مکعبی را برای اثبات خود ضروری یافتند. اما همانطور که از فرمولی استفاده کردند که هیث-براون در مقاله خود در سال 2000 نوشته بود - فرمولی که او معتقد بود بهترین غربال ممکن است، حدسی که جامعه نظریه اعداد به درستی آن را باور کرده است - متوجه شدند که چیزی درست نیست. . Radziwiłł گفت: "ما توانستیم پس از کار بسیار بسیار پیچیده ثابت کنیم که 1 = 2."

در آن مرحله، رادزیویل مطمئن بود که اشتباه از آن آنهاست. "من به نوعی متقاعد شده بودم که اساساً در اثبات خود اشتباه داریم." دان او را در غیر این صورت متقاعد کرد. الک بزرگ مکعبی، برخلاف انتظار، قابل بهبود نیست.

دان و رادزیویل که به درستی غربال بزرگ مکعبی مسلح شده بودند، رویکرد خود را نسبت به حدس پترسون مجدداً تنظیم کردند. این بار موفق شدند.

Radziwiłł گفت: "من فکر می کنم این دلیل اصلی بود که چرا هیچ کس این کار را نکرد، زیرا این حدس [هیت-براون] همه را گمراه می کرد." فکر می‌کنم اگر به هیث-براون بگویم که حدس او اشتباه است، احتمالاً متوجه می‌شود که چگونه این کار را انجام دهد.

دان و رادزیویل مقاله خود را در 15 سپتامبر 2021 ارسال کردند. در پایان، اثبات آنها بر فرضیه تعمیم یافته ریمان تکیه کرد، یک حدس معروف اثبات نشده در ریاضیات. اما دیگر ریاضیدانان این را تنها یک نقص جزئی می دانند. مایلیم از شر این فرضیه خلاص شویم. اما ما خوشحالیم که نتیجه ای مشروط به دست آوردیم.» هیث براون، که اکنون استاد ممتاز دانشگاه آکسفورد است.

برای هیث براون، کار دان و رادزیویل بیش از اثبات حدس پترسون است. مقاله آنها با بینش غیرمنتظره خود در غربال بزرگ مکعبی، پایانی غافلگیرکننده برای داستانی که او دهه ها در آن بوده است، به ارمغان آورد. او با اشاره به ذره غربالی که دان و رادزیویل کشف کردند ضروری بود، گفت: «خوشحالم که در مقاله‌ام ننوشتم، مطمئن هستم که می‌توان از شر آن خلاص شد. من فقط گفتم، "خوب است اگر کسی بتواند از شر آن خلاص شود." به نظر می رسد ممکن است شما بتوانید. و من اشتباه کردم - نه برای اولین بار.