در پایان بلاک باستر مارول انتقامجویان: Endgame، یک هولوگرام از پیش ضبط شده از تونی استارک با گفتن "3,000 دوستت دارم" با دختر جوانش خداحافظی می کند. این لحظه لمس کننده بازتاب صحنه قبلی است که در آن این دو درگیر مراسم بازیگوشی قبل از خواب برای تعیین کمیت عشق خود به یکدیگر هستند. به گفته رابرت داونی جونیور، بازیگر نقش استارک، این خط از مبادلات مشابه با فرزندان خود الهام گرفته شده است.
این بازی می تواند یک راه سرگرم کننده برای کشف اعداد بزرگ باشد:
"دوستت دارم 10."
"اما من تو را 100 دوست دارم."
"خب، من تو را دوست دارم 101!"
این دقیقاً چگونه بود که "googolplex" به یک کلمه محبوب در خانه من تبدیل شد. اما همه ما می دانیم که این استدلال در نهایت به کجا ختم می شود:
"بی نهایت دوستت دارم!"
"اوه آره؟ دوستت دارم بی نهایت به اضافه 1!»
بچه‌ها چه در زمین بازی و چه هنگام خواب، مدت‌ها قبل از کلاس ریاضی با مفهوم بینهایت مواجه می‌شوند و به‌طور قابل‌توجهی شیفته این مفهوم مرموز، پیچیده و مهم می‌شوند. برخی از آن بچه‌ها ریاضیدانانی می‌شوند که شیفته بینهایت هستند، و برخی از آن ریاضیدانان در حال کشف چیزهای جدید و شگفت‌انگیز در مورد بینهایت هستند.
ممکن است بدانید که برخی از مجموعه های اعداد بی نهایت بزرگ هستند، اما آیا می دانستید که برخی از بی نهایت ها بزرگتر از بقیه هستند؟ و اینکه ما مطمئن نیستیم که آیا بینهایت های دیگری بین دو موردی که بهتر می دانیم وجود دارد یا خیر؟ ریاضیدانان حداقل یک قرن است که در مورد این سوال دوم فکر می کنند و برخی از کارهای اخیر طرز تفکر مردم را در مورد این موضوع تغییر داده است.
برای پاسخ به سؤالات مربوط به اندازه مجموعه های بی نهایت، اجازه دهید با مجموعه هایی شروع کنیم که شمارش آنها آسان تر است. مجموعه مجموعه ای از اشیاء یا عناصر است و مجموعه محدود فقط مجموعه ای است که شامل تعداد محدودی از اشیاء است.
تعیین اندازه یک مجموعه محدود آسان است: فقط تعداد عناصر موجود در آن را بشمارید. از آنجایی که مجموعه محدود است، می‌دانید که در نهایت شمارش را متوقف خواهید کرد و پس از اتمام، اندازه مجموعه خود را می‌دانید.
این استراتژی با مجموعه های بی نهایت کار نمی کند. در اینجا مجموعه اعداد طبیعی است که ℕ نشان داده می شود. (برخی ممکن است استدلال کنند که صفر یک عدد طبیعی نیست، اما این بحث بر تحقیقات ما در مورد بی نهایت تأثیر نمی گذارد.)
$latexmathbb{N} = {0,1,2,3,4,5،XNUMX،XNUMX،XNUMX،XNUMX،XNUMX،…}$
سایز این مجموعه چقدره؟ از آنجایی که بزرگترین عدد طبیعی وجود ندارد، تلاش برای شمارش تعداد عناصر کارساز نخواهد بود. یک راه حل این است که به سادگی اندازه این مجموعه نامتناهی را "بی نهایت" اعلام کنید، که اشتباه نیست، اما وقتی شروع به کاوش در مجموعه های نامتناهی دیگر می کنید، متوجه می شوید که کاملاً درست نیست.
مجموعه اعداد حقیقی را در نظر بگیرید، که همه اعداد قابل بیان در یک بسط اعشاری هستند، مانند 7، 3.2، 8.015-، یا یک بسط بی نهایت مانند $latexsqrt{2} = 1.414213…$. از آنجایی که هر عدد طبیعی نیز یک عدد واقعی است، مجموعه اعداد واقعی حداقل به اندازه مجموعه اعداد طبیعی است و بنابراین باید بینهایت نیز باشد.
اما در مورد اعلام اندازه مجموعه اعداد حقیقی به همان "بی نهایت" که برای توصیف اندازه اعداد طبیعی استفاده می شود، چیزی رضایت بخش وجود دارد. برای اینکه بفهمید چرا، هر دو عدد را انتخاب کنید، مانند 3 و 7. بین آن دو عدد همیشه تعداد زیادی اعداد طبیعی وجود دارد: در اینجا اعداد 4، 5 و 6 هستند. اما همیشه اعداد حقیقی بین آنها بی نهایت وجود خواهد داشت، اعداد. مانند 3.001، 3.01، π، 4.01023، 5.666… و غیره.
به اندازه کافی قابل توجه است، مهم نیست که هر دو عدد حقیقی مجزا چقدر به یکدیگر نزدیک باشند، همیشه تعداد بی نهایت زیادی بین اعداد واقعی وجود خواهد داشت. این به خودی خود به این معنی نیست که مجموعه اعداد حقیقی و اعداد طبیعی اندازه های متفاوتی دارند، اما نشان می دهد که چیزی اساساً متفاوت در مورد این دو مجموعه نامتناهی وجود دارد که مستلزم بررسی بیشتر است.
گئورگ کانتور ریاضیدان در اواخر قرن نوزدهم این موضوع را بررسی کرد. او نشان داد که این دو مجموعه بی نهایت واقعاً اندازه های متفاوتی دارند. برای درک و درک اینکه او چگونه این کار را انجام داد، ابتدا باید نحوه مقایسه مجموعه های بی نهایت را درک کنیم. راز اصلی کلاس های ریاضی در همه جا است: توابع.
راه‌های مختلفی برای تفکر در مورد توابع وجود دارد - نمادگذاری تابع مانند $latex f(x) = x^2 +1$، نمودار سهمی‌ها در صفحه دکارتی، قوانینی مانند "ورودی را بگیرید و 3 را به آن اضافه کنید" - اما در اینجا ما یک تابع را به عنوان راهی برای تطبیق عناصر یک مجموعه با عناصر مجموعه دیگر در نظر خواهیم گرفت.
بیایید یکی از آن مجموعه ها را ℕ، مجموعه اعداد طبیعی در نظر بگیریم. برای مجموعه دیگری که با آن تماس خواهیم گرفت S، همه اعداد طبیعی زوج را می گیریم. این دو مجموعه ما هستند:
$latexmathbb{N} = {0,1,2,3,4,…}$$latex S= {0,2,4,6,8,…}$
یک تابع ساده وجود دارد که عناصر ℕ را به عناصر تبدیل می کند S: $لاتکس f(x) = 2x$. این تابع به سادگی ورودی های خود را دو برابر می کند، بنابراین اگر عناصر ℕ را به عنوان ورودی های $latex f(x)$ در نظر بگیریم (مجموعه ورودی های یک تابع را "دامنه" می نامیم)، خروجی ها همیشه عناصری خواهند بود. S. به عنوان مثال، $latex f(0)=0$، $latex f(1) = 2$، $latex f(2) = 4$، $latex f(3) = 6$ و غیره.
می‌توانید این موضوع را با ردیف کردن عناصر دو مجموعه در کنار هم و با استفاده از فلش‌ها برای نشان دادن اینکه چگونه تابع $latex f$ ورودی‌ها را از ℕ به خروجی تبدیل می‌کند، تجسم کنید. S.
توجه کنید که چگونه $latex f(x)$ دقیقاً یک عنصر از آن را اختصاص می‌دهد S به هر عنصر از ℕ. این کاری است که توابع انجام می دهند، اما $latex f(x)$ آن را به روشی خاص انجام می دهد. ابتدا $latex f$ همه چیز را در آن اختصاص می دهد S به چیزی در ℕ. با استفاده از اصطلاحات تابع، می گوییم که هر عنصر از S "تصویر" یک عنصر ℕ تحت تابع $latex f$ است. برای مثال عدد زوج 3,472 این است S، و ما می توانیم یک را پیدا کنیم x در ℕ به طوری که $latex f(x) = 3,472$ (یعنی 1,736). در این وضعیت می گوییم که تابع $latex f(x)$ ℕ را روی آن نشان می دهد S. یک روش جالب‌تر برای گفتن آن این است که تابع $latex f(x)$ «موضوع» است. هر طور که آن را توصیف کنید، آنچه مهم است این است: از آنجایی که تابع $latex f(x)$ ورودی ها را از ℕ به خروجی تبدیل می کند S، هیچ چیز در S در این فرآیند از دست می رود.
دومین نکته ویژه در مورد نحوه اختصاص دادن خروجی های $latex f(x)$ به ورودی ها این است که هیچ دو عنصری در ℕ به یک عنصر تبدیل نمی شوند. S. اگر دو عدد متفاوت باشند، دو برابر آنها متفاوت است. 5 و 11 اعداد طبیعی مختلف در ℕ هستند و خروجی آنها در است S همچنین متفاوت هستند: 10 و 22. در این مورد می گوییم که $latex f(x)$ "1-to-1" است (همچنین "1-1" نوشته می شود)، و $latex f(x)$ را به عنوان توصیف می کنیم. "تزریقی." نکته کلیدی در اینجا این است که هیچ چیز وارد نشود S دو بار استفاده می شود: هر عنصر در S فقط با یک عنصر در ℕ جفت می شود.
این دو ویژگی $latex f(x)$ به شکلی قدرتمند با هم ترکیب می شوند. تابع $latex f(x)$ یک تطابق کامل بین عناصر ℕ و عناصر S. این واقعیت که $latex f(x)$ «روی» است به این معنی است که همه چیز در آن وجود دارد S یک شریک در ℕ دارد، و این واقعیت که $latex f(x)$ 1-to-1 است به این معنی است که هیچ چیز در S دارای دو شریک در ℕ. به طور خلاصه، تابع $latex f(x)$ هر عنصر ℕ را دقیقاً با یک عنصر جفت می‌کند. S.
تابعی که هم تزریقی و هم سوجکتیو باشد، bijection نامیده می شود و یک bijection یک مطابقت 1 به 1 بین این دو مجموعه ایجاد می کند. این بدان معناست که هر عنصر در یک مجموعه دقیقاً یک شریک در مجموعه دیگر دارد و این یکی از راه‌های نشان دادن اندازه یکسان دو مجموعه بینهایت است.
از آنجایی که تابع $latex f(x)$ ما یک bijection است، این نشان می دهد که دو مجموعه نامتناهی ℕ و S یک اندازه هستند این ممکن است تعجب آور به نظر برسد: هرچه باشد، هر عدد طبیعی زوج خودش یک عدد طبیعی است، بنابراین ℕ شامل همه چیز در S و بیشتر. آیا این نباید ℕ را بزرگتر از آن کند S? اگر با مجموعه های متناهی سر و کار داشتیم، پاسخ مثبت بود. اما یک مجموعه نامتناهی می‌تواند کاملاً شامل مجموعه دیگری باشد و هنوز هم می‌توانند به همان اندازه باشند، به‌گونه‌ای که «بینهایت به اضافه 1» در واقع مقدار بیشتری از عشق از «بینهایت» ساده قدیمی نیست. این تنها یکی از بسیاری از ویژگی های شگفت انگیز مجموعه های بی نهایت است.
یک شگفتی بزرگتر ممکن است وجود مجموعه های بی نهایت با اندازه های مختلف باشد. قبلاً ماهیت های مختلف مجموعه های نامتناهی اعداد حقیقی و طبیعی را بررسی کردیم و کانتور ثابت کرد که این دو مجموعه نامتناهی اندازه های متفاوتی دارند. او این کار را با استدلال مورب درخشان و معروف خود انجام داد.
از آنجایی که بین هر دو واقعی متمایز بینهایت اعداد حقیقی وجود دارد، اجازه دهید برای لحظه‌ای روی بینهایت اعداد حقیقی بین صفر و 1 تمرکز کنیم. هر یک از این اعداد را می‌توان به عنوان یک بسط اعشاری (احتمالاً نامتناهی) در نظر گرفت، مانند این.
در اینجا $latex a_1، a_2، a_3$ و غیره فقط ارقام عدد هستند، اما لازم است که همه ارقام صفر نباشند تا خود عدد صفر را در مجموعه خود وارد نکنیم.
استدلال مورب اساساً با این سؤال شروع می شود: اگر بین اعداد طبیعی و این اعداد حقیقی یک دوجنسی وجود داشته باشد چه اتفاقی می افتد؟ اگر چنین تابعی وجود داشت، اندازه دو مجموعه یکسان بود و می‌توانید از این تابع برای تطبیق هر عدد واقعی بین صفر و 1 با یک عدد طبیعی استفاده کنید. شما می توانید یک لیست مرتب شده از تطابق ها را تصور کنید، مانند این.
نبوغ آرگومان مورب این است که می توانید از این لیست برای ساختن یک عدد واقعی که نمی تواند در لیست باشد استفاده کنید. شروع به ساختن یک رقم واقعی به صورت رقم به روش زیر کنید: رقم اول بعد از نقطه اعشار را با $latex a_1$ متفاوت کنید، رقم دوم را با $latex b_2$ متفاوت کنید، رقم سوم را چیزی متفاوت از $latex کنید. c_3 دلار و غیره.
این عدد واقعی با رابطه آن با مورب لیست تعریف می شود. آیا در لیست است؟ این نمی تواند اولین شماره در لیست باشد، زیرا رقم اول متفاوتی دارد. همچنین نمی تواند دومین شماره در لیست باشد، زیرا رقم دوم متفاوتی دارد. در واقع، این نمی تواند باشد nشماره در این لیست، زیرا آن را متفاوت است nرقم ام و این برای همه صادق است n، بنابراین این عدد جدید که بین صفر و 1 است، نمی تواند در لیست باشد.
اما قرار بود همه اعداد واقعی بین صفر تا 1 در لیست باشند! این تناقض از این فرض ناشی می‌شود که بین اعداد طبیعی و واقعی بین صفر و 1 یک دوجکشن وجود دارد، و بنابراین چنین بیجکشنی نمی‌تواند وجود داشته باشد. این بدان معناست که این مجموعه های بی نهایت اندازه های مختلفی دارند. کمی کار بیشتر با توابع (به تمرین ها مراجعه کنید) می تواند نشان دهد که مجموعه تمام اعداد حقیقی به اندازه مجموعه همه واقعی های بین صفر و 1 است و بنابراین واقعی هایی که حاوی اعداد طبیعی هستند باید یک عدد باشند. مجموعه بی نهایت بزرگتر
اصطلاح فنی برای اندازه یک مجموعه نامتناهی "کاردینالیته" آن است. استدلال مورب نشان می دهد که کاردینالیته اعداد واقعی بیشتر از کاردینالیته اعداد طبیعی است. اصل اعداد طبیعی $latex aleph_0$ نوشته می شود که "aleph naught" تلفظ می شود. در یک دیدگاه استاندارد از ریاضیات، این کوچکترین کاردینال بی نهایت است.
کاردینال بی نهایت بعدی $latex aleph_1$ ("aleph one") است، و یک سوال ساده بیان شده ریاضیدانان را برای بیش از یک قرن نگران کرده است: آیا $latex aleph_1$ اصلی بودن اعداد واقعی است؟ به عبارت دیگر، آیا بینهایت های دیگری بین اعداد طبیعی و اعداد حقیقی وجود دارد؟ کانتور فکر می‌کرد که پاسخ منفی است - ادعایی که به آن معروف شد فرضیه پیوستگی - اما او نتوانست آن را ثابت کند. در اوایل دهه 1900، این سؤال به قدری مهم تلقی می شد که وقتی دیوید هیلبرت فهرست معروف خود از 23 مسئله مهم باز در ریاضیات را جمع آوری کرد، فرضیه پیوستار شماره یک بود.
صد سال بعد، پیشرفت های زیادی حاصل شده است، اما این پیشرفت به معماهای جدیدی منجر شده است. در سال 1940 منطق دان معروف کورت گودل ثابت کرد طبق قوانین پذیرفته شده عمومی نظریه مجموعه ها، اثبات وجود بی نهایت بین اعداد طبیعی و واقعی غیرممکن است. به نظر می رسد که این گام بزرگی در جهت اثبات درستی فرضیه پیوستار باشد، اما دو دهه بعد، ریاضیدان پل کوهن ثابت که نمی توان ثابت کرد که چنین بی نهایتی وجود ندارد! به نظر می رسد که فرضیه پیوستگی را نمی توان به هر طریقی اثبات کرد.
این نتایج با هم «استقلال» فرضیه پیوستگی را ایجاد کردند. این بدان معناست که قواعد پذیرفته شده معمول مجموعه ها به اندازه کافی نمی گویند که آیا بین اعداد طبیعی و واقعی وجود دارد یا نه. اما به جای اینکه ریاضیدانان را در تعقیب آنها برای درک بی نهایت دلسرد کند، آنها را به مسیرهای جدیدی هدایت کرده است. اکنون ریاضیدانان به دنبال قوانین بنیادی جدیدی برای مجموعه های نامتناهی هستند که هم بتواند آنچه را که قبلاً درباره بی نهایت شناخته شده است توضیح دهد و هم به پر کردن شکاف ها کمک کند.
شاید گفتن «عشق من به تو مستقل از بدیهیات است» به اندازه گفتن «دوستت دارم بی نهایت بعلاوه 1» جالب نباشد، اما شاید به نسل بعدی ریاضیدانان بی نهایت دوست کمک کند که خواب خوبی داشته باشند.
تمرینات
1. اجازه دهید $latex T = {1,3,5,7،XNUMX،XNUMX،XNUMX،…}$، مجموعه اعداد طبیعی فرد مثبت. است T بزرگتر، کوچکتر یا هم اندازه ℕ مجموعه اعداد طبیعی؟
2. مطابقت 1 به 1 بین مجموعه اعداد طبیعی، ℕ، و مجموعه اعداد صحیح $latexmathbb{Z}={…,-3,-2,-1,0,1,2,3, …}$.
3. تابع $latex f(x)$ را بیابید که یک دوجکشن بین مجموعه اعداد حقیقی بین صفر و 1 و مجموعه اعداد حقیقی بزرگتر از صفر است.
4. تابعی را بیابید که بین مجموعه اعداد حقیقی بین صفر و 1 و مجموعه همه اعداد حقیقی یک دوتایی باشد.
برای پاسخ 1 کلیک کنید:
برای پاسخ 2 کلیک کنید:
همچنین می توانید سعی کنید تابعی را تعریف کنید که با عناصر مطابقت داشته باشد. این تابع،
$latexf(n) =شروع{موارد}
frac{n+1}{2} &text{اگر $n$ فرد باشد}
-frac{n}{2} &text{اگر $n$ زوج باشد}
پایان{موارد}$
ℕ را روی $latexmathbb{Z}$ نگاشت و 1-1 است. بنابراین به تعداد اعداد طبیعی اعداد صحیح وجود دارد، یکی دیگر از شاهکارهای عجیب بی نهایت.
برای پاسخ 3 کلیک کنید:
احتمالات زیادی وجود دارد، اما یکی ساده $latex f(x) = frac{x}{1-x}$ است. هر عدد واقعی مثبت، تصویر زیر $latex f(x)$ یک عدد واقعی بین صفر و 1 است. به عنوان مثال، برای پیدا کردن اینکه کدام عدد با مثلاً 102 جفت شده است، فقط $latex 102 = frac{x}{ 1-x}$ و برای x حل کنید:
$لاتکس 102 = فراکس{x}{1-x}$
لاتکس $ 102 (1-x) = x$
$لاتکس 102=103x$
$latex x=frac{102}{103}$
توجه داشته باشید که x ما بین صفر و 1 است، در صورت لزوم. بنابراین برای هر عددی، مانند 102، می‌توانیم ورودی‌ای پیدا کنیم که روی آن نگاشت می‌شود، که نشان می‌دهد $latex f(x)$ surjective است. یکی از راه‌هایی که می‌توان دریافت که $latex f(x)$ نیز تزریقی (1-1) است، ترسیم نمودار آن و مشاهده موفقیت آمیز بودن تست خط افقی است: هر خط افقی در صفحه دکارتی از نمودار $latex f( می‌گذرد. x)$ حداکثر یک بار، یعنی هیچ خروجی دو بار استفاده نمی شود.
برای پاسخ 4 کلیک کنید:
مانند تمرین 3، چندین تابع وجود دارد که می توانند کار کنند، اما یک رویکرد استاندارد استفاده از تبدیل تابع مماس است. برای دامنه $latex -frac{π}{2}<x<frac{π}{2}$، تابع استاندارد مماس، tan(x) 1-1 است و $latex -frac{π}{2 را نشان می‌دهد. <x<frac{π}{2}$ روی مجموعه همه اعداد واقعی.
شما می توانید دامنه این تابع را با یک تبدیل تغییر دهید. برای مثال، می‌توانیم دامنه را از $latex -frac{π}{2} < x <frac{π}{2}$ به $latex -frac{1}{2} <x< frac{1}{2} کوچک کنیم. }$ با ضرب ورودی در π. به عبارت دیگر، تابع tan(πx) $latex -frac{1}{2} <x< frac{1}{2}$ را روی مجموعه همه اعداد واقعی نگاشت می‌کند. سپس می‌توانیم این دامنه را با استفاده از ترجمه تغییر دهیم و به تابع $latex f(x) = tan(π(x-frac{1}{2}))$ ختم شود. این تابع 1-1 است و اعداد واقعی $latex 0<x<1$ را روی مجموعه همه اعداد واقعی نگاشت می کند. این تقسیم ثابت می کند که به تعداد اعداد حقیقی بین صفر و 1 اعداد حقیقی وجود دارد.
