ریاضیدانان چگونه می دانند که اثبات هایشان صحیح است؟

چگونه کسی می تواند با اطمینان در مورد بی نهایت صحبت کند؟ ما واقعاً در مورد اعداد اول اسرارآمیز بدون دانستن همه آنها چه می دانیم؟ همانطور که دانشمندان برای ارزیابی فرضیه های خود به داده ها نیاز دارند، ریاضیدانان نیز به شواهدی برای اثبات یا رد حدس ها نیاز دارند. اما چه چیزی به عنوان مدرک در قلمرو ناملموس نظریه اعداد به حساب می آید؟ در این قسمت استیون استروگاتز با او صحبت می کند ملانی ماچت وود، استاد ریاضیات در دانشگاه هاروارد، برای یادگیری چگونگی احتمال و تصادفی بودن می تواند به ایجاد شواهدی برای استدلال های محکم خواسته شده از ریاضیدانان کمک کند.

گوش دادن به پادکست های اپل, Spotify, پادکست های Google, Stitcher به, TuneIn یا برنامه پادکست مورد علاقه شما، یا می توانید آن را از کوانتوم.

رونوشت

استیون استروگاتز (00:02): من استیو استروگاتز هستم و این است شادی چرا، پادکستی از مجله Quanta که شما را وارد برخی از بزرگترین سوالات بی پاسخ در ریاضیات و علوم امروزی می کند. در این قسمت قرار است در مورد آن صحبت کنیم شواهد در ریاضیات. ریاضیدانان از چه نوع شواهدی استفاده می کنند؟ چه چیزی آنها را به مشکوک شدن به اینکه ممکن است چیزی درست باشد، قبل از اینکه اثبات محکمی داشته باشند، سوق می دهد؟

(00:26) ممکن است مانند یک پارادوکس به نظر برسد، اما معلوم می شود که استدلال مبتنی بر نظریه احتمال، مطالعه شانس و تصادفی، گاهی اوقات می تواند به چیزی منجر شود که ریاضیدانان واقعاً به دنبال آن هستند، که قطعیت است، نه فقط احتمال. به عنوان مثال، در شاخه ای از ریاضیات که به عنوان نظریه اعداد شناخته می شود، سابقه طولانی در استفاده از تصادفی برای کمک به ریاضیدانان در حدس زدن واقعیت وجود دارد. اکنون، از احتمال برای کمک به آنها برای اثبات واقعیت استفاده می شود.

(00:53) ما در اینجا روی اعداد اول تمرکز خواهیم کرد. احتمالاً اعداد اول را به خاطر دارید، درست است؟ شما در مدرسه در مورد آنها یاد گرفتید. عدد اول یک عدد کامل بزرگتر از 1 است که فقط بر 1 و خودش تقسیم می شود. به عنوان مثال، 7 یا 11. اینها اعداد اول هستند، اما 15 به این دلیل نیست که 15 را می توان به طور مساوی بر 3 یا 5 تقسیم کرد. که آنها اتم های تقسیم ناپذیری هستند که همه اعداد دیگر را تشکیل می دهند.

(01:27) به نظر می رسد اعداد اول باید ساده باشند، اما برخی از بزرگترین رمز و رازهای ریاضی سوالاتی در مورد اعداد اول هستند. در برخی موارد، سوالاتی که صدها سال مطرح بوده است. واقعاً چیز بسیار ظریفی در مورد اعداد اول وجود دارد. به نظر می رسد آنها در سرزمینی مرزی بین نظم و تصادف زندگی می کنند. میهمان امروز من به ما کمک می کند تا در مورد ماهیت شواهد در ریاضیات بیشتر بدانیم، و به ویژه اینکه چگونه و چرا تصادفی می تواند چیزهای زیادی در مورد اعداد اول به ما بگوید، و چرا مدل های مبتنی بر احتمال می توانند در لبه برش نظریه اعداد بسیار مفید باشند. ملانی ماچت وود، استاد ریاضیات دانشگاه هاروارد، اکنون به من ملحق می شود تا در مورد همه اینها بحث کنیم. خوش اومدی ملانی!

ملانی ماچت وود (02:09): سلام، خوب است که با شما صحبت کنم.

استروگاتز (02:11): خیلی خوب است که با شما صحبت کنم، من یک طرفدار بزرگ هستم. بیایید در مورد ریاضی و علوم در رابطه با یکدیگر صحبت کنیم زیرا کلمات اغلب با هم استفاده می شوند، و با این حال تکنیک هایی که ما برای اثبات و قطعیت در ریاضیات استفاده می کنیم تا حدودی با آنچه در علم سعی می کنیم انجام دهیم متفاوت است. به عنوان مثال، وقتی از جمع آوری شواهد در ریاضی صحبت می کنیم، چگونه با جمع آوری شواهد به روش علمی در علم یکسان است یا چه تفاوتی دارد؟

چوب (02:38): یک برهان ریاضی یک استدلال منطقی کاملاً محکم و کامل است که برخی از ادعاهای ریاضی باید اینگونه باشند و به هیچ وجه نمی توانند باشند. بنابراین بر خلاف یک نظریه علمی - که ممکن است بهترین نظریه ما بر اساس شواهدی باشد که امروز داریم، اما می دانید، در 10 سال آینده شواهد بیشتری به دست خواهیم آورد و شاید یک نظریه جدید وجود داشته باشد - یک اثبات ریاضی می گوید که برخی اظهارات باید به این صورت باشد، ما احتمالاً نمی توانیم کشف کنیم که در 10 سال یا 20 سال اشتباه خواهد بود.

استروگاتز (03:17): خوب، چه چیزهایی در ریاضیات به عنوان مدرک به حساب می آیند؟

چوب (03:19): بنابراین ممکن است ببینید که چیزی در بسیاری از مثال ها درست است. و بر اساس درست بودن آن در بسیاری از مثال ها، که شاید بتوان گفت که شاهدی بر این واقعیت است، شما ممکن است حدس بزنید، چیزی که ریاضیدانان آن را حدس می نامند، حدس که چیزی درست است. اما آن‌چه که ریاضی‌دانان می‌خواهند، دلیلی بر این خواهد بود که آن چیزی که در نمونه‌های بسیار مشاهده کردید، همیشه همان‌طور که شما ادعا می‌کردید، کار می‌کرد.

استروگاتز (03:49): درست است، با وزن شواهد بسیار متفاوت است. این بیانیه ای است که دلیلی وجود دارد که چرا چیزی برای همیشه، برای همیشه، در هر موردی صادق است.

چوب (03:58): و نه فقط "اوه خوب، من به یک میلیون مورد نگاه کردم و این در هر یک از آنها صادق است." که دلیلی برای حدس زدن یا حدس زدن است که همیشه درست است. اما در ریاضیات، ما بین چنین حدسی که می تواند بر اساس موارد یا شواهد زیادی باشد، و داشتن یک قضیه یا یک برهان، یک استدلال که به شما می گوید در هر موردی، حتی مواردی که دارید، کار خواهد کرد، تمایز قائل می شویم. سعی کردم

استروگاتز (04:25): حالا، آیا فقط ریاضیدانان ذاتاً سخت کوش هستند، یا مواردی وجود دارد که چیزی که به نظر می رسد درست است، تا تعداد بسیار زیادی از احتمالات، فراتر از یک عدد بزرگ دیگر درست نیست. ?

چوب (04:39): اوه، این یک سوال عالی است. خوب، این یک مثال است که من دوست دارم، زیرا من اعداد اول را دوست دارم. بنابراین همانطور که از طریق اعداد اول - 2، 3، 5، 7 - یکی از کارهایی که می‌توانید انجام دهید، می‌روید، ممکن است نگاه کنید و بگویید: "هی، آیا آنها بر 2 بخش پذیر هستند؟" و معلوم شد که خیلی جالب نیست. بعد از 2، هیچکدام بر 2 بخش پذیر نیستند. همه آنها فرد هستند.

(05:10) و سپس ممکن است فکر کنید، "خب، آیا آنها بر 3 بخش پذیرند؟" و البته، بعد از 3، آنها بر 3 نیز قابل تقسیم نیستند، زیرا آنها اول هستند. با این حال، ممکن است متوجه شوید که برخی از آنها، وقتی آنها را بر 3 تقسیم می کنید، باقیمانده 1 را دریافت می کنید، که آنها 1 بیشتر از مضرب 3 هستند. بنابراین مواردی مانند 7، که 1 بیشتر از 6 است، یا 13 ، که 1 بیشتر از 12 است. و برخی از آن اعداد اول، مانند 11 یا 17 که 2 بیشتر از 15 است، وقتی آنها را بر 2 تقسیم کنید، باقیمانده 3 خواهند داشت، زیرا آنها 2 بیشتر از یک هستند. مضرب 3

(05:47) و بنابراین می توانید به این رتبه های اول در تیم فکر کنید. تیم 1 همه آنهایی هستند که 1 بیشتر از مضربی از 3 هستند و تیم 2 همه آنهایی هستند که 2 بیشتر از مضربی از 3 هستند. و همانطور که از اعداد اول عبور می کنید و اعداد اول را لیست می کنید، می توانید همه موارد را لیست کنید. اعداد اول را محاسبه کنید و ببینید چه تعداد در تیم 1 و چه تعداد در تیم 2 هستند. تعداد اعداد اول تیم 600 بیشتر از تیم 600 اول است. بنابراین، شما ممکن است به طور طبیعی بر اساس این شواهد حدس بزنید که همیشه اعداد اول تیم 2 بیشتر از اعداد اول تیم 1 خواهد بود.

استروگاتز (06:33): مطمئنا. کاملا شبیه آن است.

چوب: معلوم شد، در یک عدد حدود 608 میلیارد چیزی، عدد دقیق را فراموش می کنم، تغییر می کند.

استروگاتز (06:46): اوه، بیا.

چوب: بله، واقعاً تغییر می کند. و اکنون به یکباره، تیم 1 پیشتاز است. بنابراین، این یک -

استروگاتز (06:53): یک دقیقه صبر کنید. صبر کنید، اما این شگفت انگیز است. چی - حالا، آیا آنها مدام تغییر می کنند؟ آیا می دانیم با ادامه دادن چه اتفاقی می افتد؟ آیا آنها مدام تغییر می کنند؟

چوب (07:01): بله، سوال عالی. بنابراین، در واقع، این یک قضیه است که آنها بی نهایت سرنخ را تغییر می دهند.

استروگاتز (07:07): واقعا؟

چوب: بنابراین آنها به معامله سرنخ ها ادامه می دهند. اما این یک مثال واقعا عالی است که در پس ذهن خود در هنگام مطالعه اعداد اول نگه دارید، که فقط به این دلیل که چیزی برای 600 میلیارد مورد اول درست بود به این معنی نیست که همیشه درست خواهد بود.

استروگاتز (07:25): اوه، وای. خوب. باشه. بنابراین، به طور کلی، چگونه می توان از حدس به اثبات رسید؟

چوب (07:31): خیلی به مورد بستگی دارد. منظورم این است که موارد زیادی از ریاضیات وجود دارد که حدس و گمان داریم و دلیلی نداریم. بنابراین دستور العمل ساده ای برای رسیدن از حدس به یک اثبات وجود ندارد، وگرنه بسیاری از مشکلات باز معروف را نخواهیم داشت که، می دانید، برخی از آنها وجود دارد - برخی حدس ها که مردم فکر می کنند چیزی به روش خاصی کار می کند، اما ما اینطور نیستیم. آن را مطمئن نمی دانم اما، می دانید، گاهی اوقات این حدس ممکن است دلایلی را برای درست بودن چیزی نشان دهد. گاهی اوقات فقط تئوری ریاضی است، که بر اساس تئوری بیشتر و بیشتر ریاضی است که مردم صدها سال در حال توسعه آن بوده اند، به ما ابزار و ساختار کافی می دهد تا بتوانیم با آن چیزهایی را درک کنیم که اثبات می کنیم. اما اینطور نیست که حدس لزوماً منجر به اثبات شود. حدس ممکن است افراد را برانگیزد تا برای یافتن دلیل تلاش کنند، اما روشی که اثبات به دست می‌آید ممکن است کاملاً از خود حدس جدا باشد.

استروگاتز (08:31): بله، من علاقه مند به برشمردن یا فهرست کردن انواع شواهدی هستم که از یک مدرک کوتاه برخوردارند، که باعث می شود مردم این اطمینان را داشته باشند که ارزش تلاش برای اثبات را دارد.

چوب (08:41): بله، چیز دیگری که می‌توانیم به عنوان مدرک بدانیم که فقط مثال نیست، یک اکتشافی است. یک اکتشافی ممکن است چیزی شبیه یک استدلال باشد، مگر در یک استاندارد بسیار پایین تر از دقت. درست مثل این است که به نظر می رسد اشکالی ندارد؟ نه "آیا من قطعاً این واقعیت را فراتر از هر گونه شک و شبهه ای ثابت کرده ام؟" اما "این کار را انجام می دهد - بله، به نظر بسیار قابل قبول است." بنابراین یک اکتشافی ممکن است خطی از استدلال باشد که بسیار معقول به نظر می رسد، می دانید، اما در واقع استدلال دقیقی نیست. پس این یک نوع شواهد است.

(09:12) گاهی اوقات ممکن است کسی مدلی داشته باشد که ما فکر می کنیم عناصر اساسی سیستم ریاضی را که ما سعی در درک آن داریم را در بر می گیرد، و بنابراین شما حدس می زنید که سیستم شما همان رفتار مدل شما را دارد.

استروگاتز (09:30): باشه. در مقطعی می‌خواهم نمونه‌هایی از مدل‌ها و حدس‌ها را بشنوم و می‌دانید که تا چه حد در برخی از سؤال‌ها کار می‌کنند یا کار نمی‌کنند یا برخی دیگر کار نمی‌کنند، اما، اگر اشکالی ندارد، می‌گویم. دوست دارم فقط به چند چیز کوچک شخصی برگردم، به نوعی، زیرا ما در اینجا در مورد اعداد صحبت می کنیم، و شما یک نظریه پرداز اعداد هستید. مردم ممکن است بسیاری از نظریه پردازان اعداد را در زندگی روزمره خود نشناسند. بنابراین، نمی دانم که آیا می توانید به ما بگویید نظریه اعداد چیستو همچنین، چرا به نظر شما جالب است؟ چرا اومدی مطالعه کنی؟

چوب (10:02) خوب، نظریه اعداد مطالعه ریاضی اعداد کامل است. بنابراین، 1، 2، 3، 4، 5 را در نظر بگیرید. و به ویژه، یکی از چیزهای مهم در اعداد کامل، اعداد اول هستند. همانطور که توضیح دادید، درست در همان ابتدا، آنها بلوک های سازنده ای هستند که می توانیم از طریق ضرب، تمام اعداد دیگر را بسازیم. بنابراین، از آنجایی که نظریه اعداد به تمام آن اعداد کامل مربوط می شود، همچنین به بلوک های سازنده آنها، اعداد اول، و اینکه چگونه اعداد دیگر به اعداد اول تبدیل می شوند و چگونه مربوط می شود. آنها ساخته شده اند - از اعداد اول.

استروگاتز (10:37): بنابراین، نظریه اعداد، برای اهداف امروز ما، حدس می‌زنم مطالعه اعداد کامل با علاقه خاصی به اعداد اول باشد. به نظر می رسد شروع بسیار خوبی باشد. فکر کنم بیشتر از این باشه اما شاید در حال حاضر این تعریف خوبی برای ما باشد. آیا تو هم چنین فکر می کنی؟

چوب (10:50): این یک شروع خوب است. منظورم این است که از آنجا، چیزهای بیشتری را بررسی می کنیم، خوب، اگر سیستم های اعداد پیچیده تر از اعداد کامل را در نظر بگیرید، چه؟ مثل اینکه شروع کنید به قرار دادن اعداد دیگر، مانند جذر 2، سپس با اعداد اول و فاکتورسازی چه اتفاقی می‌افتد؟ شما به سوالات بیشتری هدایت می شوید. اما صادقانه بگویم، ریاضیات غنی و زیبای زیادی فقط در اعداد کامل و اعداد اول وجود دارد.

استروگاتز (11:16): پس با در نظر گرفتن این موضوع، چرا آن را قانع کننده می دانید؟ چرا مطالعه نظریه اعداد را دوست دارید؟ چه چیزی شما را به آن جذب کرد؟

چوب (11:22): فکر می کنم دوست دارم که سؤالات می توانند خیلی ملموس باشند. میدونی من میرم با بچه های دبستانی حرف میزنم. و من می توانم در مورد برخی از چیزهایی که - که به آنها فکر می کنم - به آنها بگویم. بنابراین، برای من سرگرم کننده است که روی چیزی کار کنم که از یک طرف، سؤالات می تواند بسیار ملموس باشد، اما از طرف دیگر، پازل تلاش برای حل آن می تواند بسیار دشوار باشد. منظورم این است که هزاران سال است که مردم سعی کرده‌اند به سؤالاتی درباره اعداد کامل، در مورد اعداد اول پاسخ دهند.

(11:54) و شاخه های زیادی از ریاضیات وجود دارد. یکی از بخش‌های مهم نظریه اعداد مدرن این است که برای پیشرفت در این پرسش‌های سرسخت قدیمی که مردم برای مدت طولانی روی آن کار می‌کردند، باید ایده‌های جدیدی وارد کرد و باید با بخش‌های دیگر ریاضیات ارتباط برقرار کرد. بنابراین، با وجود اینکه خود را نظریه پرداز اعداد می نامم، از ریاضیات در انواع مختلف رشته ها استفاده می کنم. از مطالعه هندسه و توپولوژی و اشکال فضاها تا احتمال و مطالعه تصادفی می دانید. من از همه انواع ریاضیات استفاده می کنم، اما سعی می کنم در مورد چیزهایی مانند اعداد کامل و اعداد اول و فاکتورسازی چیزی بگویم.

استروگاتز (12:36): آره، من آن دیدگاه ریاضی را به عنوان این شبکه عظیم ایده‌ها به هم پیوسته دوست دارم، و شما می‌توانید در بخش خاصی از آن زندگی کنید که مورد علاقه شماست. اما شما اعداد اول را به عنوان یک حوزه خاص مورد علاقه در نظریه اعداد ذکر کرده اید که در واقع اساسی ترین بخش آن است. چه چیزی در مورد آنها سخت است؟ هنوز معلوم نیست، در بحث ما، چه چیز مرموز آنجاست؟ همانطور که آنها را تعریف کردیم، احتمالاً می‌توانیم فهرست آنها را ادامه دهیم. برخی از آن مشکلاتی که شما به آنها اشاره می کنید و صدها سال قدمت دارند چیست؟

چوب (13:05): خوب، یکی از بزرگترین و مهم ترین سؤالات، که شاید حدود 120 سال پیش باشد، این است که شما گفتید، "اوه، می توانید آنها را فهرست کنید. اگر این کار را می کردید، چند نفر را پیدا می کردید؟» بنابراین فرض کنید شما اعداد اول را تا صد، یا هزار، یا صد هزار، یا یک میلیون، یک میلیارد فهرست کرده اید. همانطور که اعداد اول را تا اعداد بزرگتر و بزرگتر فهرست می کنید، چند عدد از آن اعدادی که از آنها عبور می کنید واقعاً اول خواهند بود؟ بنابراین درک آن کمیت واقعاً قلب است فرضیه ریمان، که یکی از موسسه ریاضی خشت است مشکلات جایزه هزاره، یک جایزه میلیون دلاری برای پاسخ وجود دارد. این یکی از معروف‌ترین سؤالات است و ما نمی‌دانیم چگونه آن را انجام دهیم، و واقعاً فقط درباره این سؤال است که وقتی آن اعداد اول را فهرست می‌کنید، چند عدد پیدا خواهید کرد؟

استروگاتز (13:58): باشه. خنده دار است، درست است؟ زیرا وقتی شروع به تهیه لیست می کنید، حتی اگر شخصی به طور اتفاقی شروع به لیست کردن اعداد اول تا 100 کند - متوجه چیزهای خنده دار می شوید. مثلاً در 11 و 13 اول، 2 تا از هم فاصله دارند. پانزده، خوب، این کار نمی کند، زیرا بر 5 و 3 بخش پذیر است. سپس 17، بنابراین اکنون یک شکاف 4 وجود دارد، بین 13 و 17. اما پس از آن 19 دوباره نزدیک است. نمی دانم، منظورم این است، بنابراین فاصله بین اعداد اول می تواند به نوعی ضعیف باشد. مثل اینکه گاهی اوقات یک شکاف بسیار بزرگ در آنجا وجود دارد، و گاهی اوقات آنها دقیقاً در کنار یکدیگر هستند، فقط 2 فاصله از هم.

چوب (14:31): بله، بنابراین درک این فاصله و آن شکاف ها نیز یک سوال بزرگ مورد توجه بوده است. در دهه گذشته پیشرفت قابل توجهی در درک فاصله بین اعداد اول صورت گرفته است. اما هنوز یک سوال واقعاً وسوسه انگیز و اساسی وجود دارد که ما پاسخ آن را نمی دانیم. بنابراین شما اشاره کردید که این اعداد اول، 11 و 13، فقط 2 با هم فاصله دارند. بنابراین چنین اعداد اول را اعداد اول دوقلو می گویند. ما نمی‌توانیم انتظار داشته باشیم که اعداد اول از 2 به هم نزدیکتر شوند، زیرا بعد از 2، همه آنها باید فرد باشند. در اینجا یک سوال باز در ریاضیات وجود دارد، به این معنی که ما پاسخ آن را نمی دانیم، و آن این است: آیا بی نهایت جفت اعداد اول دوقلو وجود دارد؟? و بنابراین در اینجا، یک حدس وجود دارد، حدس ممکن است، بله. منظورم این است که نه تنها این حدس وجود دارد که "بله، آنها باید برای همیشه ادامه داشته باشند، و همیشه باید تعداد بیشتری از آنها وجود داشته باشد"، بلکه حتی یک حدس نیز وجود دارد، به نوعی که در طول مسیر چند نفر را پیدا خواهید کرد. اما این کاملا باز است. تا آنجا که ما می دانیم، ممکن است وقتی به یک عدد واقعاً بزرگ رسیدید، آنها متوقف می شوند و دیگر هیچ جفت اعداد اول دوقلو را پیدا نمی کنید.

استروگاتز (15:40): چیزی بسیار شاعرانه در مورد آن وجود دارد، تند و تند، آن فکر، مثلاً اینکه ممکن است در نقطه ای پایان خط باشد. منظورم این است که هیچ کدام از ما احتمالاً این را باور نداریم. اما ممکن است، حدس می‌زنم، می‌توان تصور کرد که آخرین جفت دوقلو تنها در تاریکی غوطه‌ور شده‌اند، می‌دانید، روی خط شماره.

چوب (15:57): بله، ممکن است وجود داشته باشد. و، می دانید، ما به عنوان ریاضیدان می گوییم، شما می دانید، ما نمی دانیم. حتی اگر می‌توانید با پیش‌روی تعداد نمودارهایی که پیدا کرده‌اید، نموداری بسازید، اگر آن نمودار را رسم کنید، به نظر می‌رسد که واقعاً قطعاً با سرعتی بالا و بالاتر می‌رود که هرگز - هرگز برنمی‌گردد. اما من حدس می‌زنم که بخشی از تفاوت بین ریاضی و علوم این است که ما این تردید را حفظ می‌کنیم و می‌گوییم خوب، نمی‌دانیم. منظورم این است که شاید در نقطه‌ای، نمودار بچرخد و دیگر وجود نداشته باشد.

استروگاتز (16:29): بنابراین، این - من تصویر شما از یک نمودار را دوست دارم، زیرا فکر می کنم همه می توانند با این ایده، ایجاد نمودار، ساختن نوعی نمودار ارتباط برقرار کنند. می دانید، اعداد اول را مانند داده ها در نظر می گیریم. و، و بنابراین، من فکر می‌کنم این شاید زمان خوبی برای ما باشد تا شروع به صحبت در مورد نظریه احتمال کنیم. و کمی عجیب به نظر می رسد که در مورد احتمال و آمار در ارتباط با اعداد اول صحبت کنیم زیرا هیچ شانسی در اینجا وجود ندارد. اعداد اول با تعریفی که ما دادیم تعیین می‌شوند که قابل تقسیم نیستند. اما با این حال، ریاضی دانان و نظریه پردازان اعداد، مانند شما، از استدلال های آماری یا احتمالاتی در اندیشیدن به اعداد اول استفاده کرده اند. نمی‌دانم آیا می‌توانید با استفاده از چرخاندن سکه، چیزی شبیه به آن را برای من ترسیم کنید و به آنچه در ابتدا درباره آن صحبت می‌کردیم، اعداد فرد و زوج برگردید.

چوب (17:14): باشه. بنابراین برخلاف اعداد اول، ما در واقع الگوی اعداد زوج و فرد را به خوبی درک می کنیم. آنها فرد، زوج، فرد، زوج، البته. اما فرض کنید ما آن الگو را درک نکردیم. و ما از این استفاده می کنیم تا بفهمیم اگر به همه اعداد تا یک میلیون نگاه کنید، چند عدد فرد ممکن است پیدا کنید. می توانید تصور کنید، از آنجایی که دو احتمال وجود دارد، یک عدد می تواند فرد باشد یا یک عدد می تواند زوج باشد، که شاید یک نفر رفت و برای هر عدد سکه ای را برگرداند، و اگر سکه بالا می آمد، عدد فرد بود. و اگر سکه بالا می آمد، عدد زوج بود. و بنابراین می‌توانید از شخص سکه‌کننده‌تان بخواهید که در امتداد خط اعداد قدم بزند، یک سکه به هر عدد بزند، و مثلاً آن عدد را فرد یا زوج اعلام کند.

(18:03) حالا، از یک طرف، این مزخرف است. از سوی دیگر، مدل چرخاندن سکه برخی چیزها را درست می کند. برای مثال، اگر بگویید، تقریباً می دانید چند عدد از اعداد تا یک میلیون زوج هستند؟ می‌دانیم که تقریباً تعداد ورق‌های سکه‌ای که مثلاً به سمت بالا می‌آیند، اگر تعداد زیادی ورق زدن سکه را انجام دهید، مانند یک میلیون، تقریباً نیمی از آنها است. و بنابراین، آن مدل، هر چقدر که ممکن است احمقانه باشد، هنوز هم می تواند برخی پیش بینی ها را درست انجام دهد. و باید بگویم که ممکن است احمقانه به نظر برسد، زیرا ما پاسخ این سوال را قبلاً می دانیم. ایده این است که ما مدل‌هایی را برای الگوهای پیچیده‌تر بسازیم، مانند جایی که اعداد اول در میان اعداد ظاهر می‌شوند، به جای اینکه فقط در جایی که شانس‌ها ظاهر می‌شوند.

استروگاتز (18:55): بله. منظورم این است که فکر می‌کنم ما باید بر آن تأکید کنیم - اعداد اول چقدر عمیقاً مرموز هستند. هیچ فرمولی برای اعداد اول وجود ندارد، همانطور که فرمولی برای اعداد فرد وجود دارد. مثلاً اگر فکر می‌کنید، اوه، بیا، این است - ما در اینجا واقعاً در مورد چیزهای پوچ صحبت می‌کنیم، در واقع بسیار ارزشمند است که این مدل‌های آماری را داشته باشیم که می‌توانند ویژگی‌هایی را پیش‌بینی کنند که ویژگی‌های متوسط ​​هستند. مانند آنالوگ، نیمی از اعداد کوچکتر از یک عدد بزرگ فرد خواهند بود. این چیزی است که در مورد اعداد اول، یک سوال بسیار جدی و جالب است. کدام کسری از اعداد کوچکتر از یک عدد بزرگ اول هستند؟ و همانطور که شما می گویید، می توانید یک مدل آماری درست کنید. و سپس چه، همان مدل را می توان برای پیش بینی اینکه چند عدد اول دوقلو کمتر از یک عدد بزرگ وجود دارد استفاده کرد؟ آیا همان مدل در آن صورت کار خوبی می کند؟

چوب (19:41): بنابراین در مورد اعداد اول، اگر ما در حال ساختن یک مدل بودیم - می دانید، و ریاضیدانان مدلی وجود دارد به نام مدل کرامر اعداد اول - اگر ما در حال ساختن مدلی از اعداد اول با چرخاندن سکه بودیم که در آن تصور می‌کنیم شخصی در امتداد خط اعداد راه می‌رود، و در هر عدد، مثلاً، برای تصمیم‌گیری اینکه آیا آن عدد اول است یا نه، یک سکه را می‌چرخاند. تا جایی که در مورد اعداد اول می دانیم در آن مدل بگنجانیم. بنابراین اول از همه، می دانیم که اعداد بزرگ کمتر از اعداد کوچکتر اول هستند. بنابراین آن سکه ها باید وزن شوند. و ما - باید سعی کنیم دقیقاً وزنه هایی را که انتظار داریم قرار دهیم. و ما چیزهایی مانند این را می دانیم که شما نمی توانید دو عدد اول را در کنار یکدیگر داشته باشید، زیرا یکی از آنها باید فرد و یکی از آنها زوج باشد. بنابراین ما آن را در مدل قرار می دهیم. و سپس چیزهای بیشتری در مورد اعداد اول می دانیم.

(20:37) بنابراین مدل چیزی است که با این مدل چرخاندن سکه شروع می شود، اما سپس با همه این قوانین دیگر، و همه چیزهای دیگری که در مورد اعداد اول می دانیم، اصلاح می شود. و هنگامی که همه چیزهایی را که ما می دانیم در مدل قرار دادید، سپس از این چرخاندن سکه می پرسید، می دانید، مدل کنید، خوب، آیا می بینید که اغلب اوقات، سکه ها با فاصله 2 برابر اول می شوند؟ و مدل به شما می گوید، اوه، بله، ما این را می بینیم. در واقع، ما آن را با این نرخ بسیار خاص می بینیم که می توانیم فرمولی برای آن به شما بدهیم. و سپس، اگر تعداد اعداد اول دوقلو واقعی را نمودار کنید، در اعداد واقعی، جایی که هیچ سکه‌ای برگردانده نشده است، بر خلاف آنچه مدل پیش‌بینی می‌کند، می‌بینید که مدل پیش‌بینی بسیار دقیقی برای تعداد جفت‌های اعداد اول دوقلو به شما می‌دهد. در حالی که پیش می روید پیدا خواهید کرد. و بنابراین فکر می کنید، می دانید، شاید این مدل بداند در مورد چه چیزی صحبت می کند.

استروگاتز (21:31): این عالی است. منظورم این است که این خیلی مهم است، چیزی که به آن رسیدیم، این که - شما هنوز از کلمه کامپیوتر استفاده نکرده اید. اما من فرض می کنم که شما این کار را با دست انجام نمی دهید. افرادی که اعداد اول دوقلو را فهرست می کنند، نمی دانم، درباره چه چیزی صحبت می کنیم؟ تریلیون تریلیون تریلیون؟ منظورم این است که اینها اعداد بزرگی هستند که در مورد آنها صحبت می کنیم، اینطور نیست؟

چوب (21:49): خوب، برای فهرست کردن اعداد اول دوقلو، یعنی - کاملاً توسط رایانه انجام می شود. اما برای ساخت این مدل و رسیدن به فرمولی که مدل می دهد. می دانید، این کار با دست انجام می شود، اساساً توسط ریاضیدانانی که به مدل فکر می کنند و با آن کشف می کنند.

استروگاتز (22:07): خیلی باحال است. بنابراین این جایی است که مدل چیزهای خود را نشان می دهد، که مدل در واقع می تواند آنچه را که کامپیوتر می بیند پیش بینی کند. و برای انجام این پیش بینی نیازی به رایانه ندارد. این می تواند با دست، توسط مردم انجام شود و در واقع می تواند منجر به اثبات شود. به جز اینکه این شواهدی از ویژگی های مدل است، نه لزوماً هنوز اثبات چیزی که به آن علاقه دارید.

چوب (22:28): درست است. و در یک نقطه، کامپیوتر متوقف می شود. می دانید، فقط قدرت محاسباتی بسیار زیادی وجود دارد. اما آن فرمولی که می‌گیرید، مدلی که به شما می‌دهد، و می‌توانید ثابت کنید که درست است، دوباره، در مورد این وضعیت سکه‌گردانی مدل، آن فرمول ادامه خواهد داشت. می‌توانید اعداد بزرگ‌تر و بزرگ‌تر را در آن فرمول قرار دهید، بسیار بزرگ‌تر از آنچه رایانه‌تان می‌توانست با آن محاسبه کند.

استروگاتز (22:53): بنابراین شما کمی در مورد اینکه چگونه تصادفی می‌تواند به ارائه مدل‌هایی از پدیده‌های جالب در نظریه اعداد کمک کند، به ما می‌گفتید، و من مطمئن هستم که در سایر بخش‌های ریاضی نیز صادق است. آیا مواردی وجود دارد که می‌توانید از تصادفی بودن برای ارائه شواهد واقعی و نه فقط مدل‌ها استفاده کنید؟

چوب (23:10): کاملاً. شاخه دیگری از ریاضیات نظریه احتمال نام دارد. و در نظریه احتمال، قضایایی را در مورد سیستم های تصادفی و نحوه رفتار آنها اثبات می کنند. و ممکن است فکر کنید که خوب، اگر با چیزی تصادفی شروع کنید و کاری را با آن انجام دهید، همیشه چیزی تصادفی خواهید داشت. اما یکی از چیزهای فوق‌العاده زیبایی که در نظریه احتمال می‌یابد این است که گاهی اوقات می‌توان از چیزی تصادفی چیزی قطعی به دست آورد.

استروگاتز (23:45): خوب، چگونه کار می کند؟ مانند آنچه که؟

چوب (23:48): بله. بنابراین شما منحنی زنگ یا توزیع نرمال را دیده اید، ریاضیدانان آن را می نامند. در همه جا در طبیعت ظاهر می شود. اگر به فشار خون افراد، وزن نوزاد هنگام تولد یا مواردی دیگر نگاه کنید، به نظر می رسد. و ممکن است فکر کنید، آه، این منحنی زنگ، که این یک واقعیت طبیعی است. اما در واقع، یک قضیه به نام قضیه حد مرکزی در نظریه احتمال وجود دارد که به شما می گوید که در واقع، این منحنی زنگی به نوعی، نه یک واقعیت طبیعت، بلکه یک واقعیت ریاضیات است. قضیه حد مرکزی به شما می گوید که اگر یک دسته کامل از اثرات تصادفی کوچک را به طور مستقل ترکیب کنید، خروجی آن همیشه با توزیع خاصی مطابقت دارد. این شکل، این منحنی زنگ. ریاضیات، و تئوری احتمال، می‌توانند ثابت کنند که اگر داشته باشید - اگر تعداد زیادی چیزهای تصادفی مستقل کوچک را با هم ترکیب کنید، نتیجه همه آن ترکیب به شما توزیعی شبیه این منحنی زنگی را می‌دهد. و بنابراین - حتی اگر ندانید ورودی‌ها چگونه بودند. و این یک قضیه واقعا قدرتمند و یک ابزار واقعا قدرتمند در ریاضیات است.

استروگاتز (25:05): بله، قطعاً همینطور است. و من از تاکید شما بر این موضوع خوشم آمد که نیازی به دانستن این موضوع ندارید که با تأثیرات کوچک چه اتفاقی می افتد. این که، به نوعی، شسته می شود. آن اطلاعات مورد نیاز نیست. منحنی زنگ قابل پیش بینی است، حتی اگر ندانید ماهیت اثرات کوچک چیست. به شرطی که تعدادشان زیاد باشد و کم باشند. و آنها بر یکدیگر تأثیر نمی گذارند، درست است، آنها به نوعی مستقل هستند.

چوب (25:27): بله، قطعا. و بنابراین این یک ایده است، می دانید، گاهی اوقات در تئوری احتمال به آن جهانی بودن می گویند، که انواع خاصی از ماشین ها وجود دارد که اگر ورودی های تصادفی زیادی را وارد کنید، می توانید خروجی را پیش بینی کنید. مثلاً اینکه شما این منحنی زنگی یا این توزیع نرمال را دریافت خواهید کرد، حتی اگر ندانید چه چیزی را در دستگاه قرار داده اید. و زمانی که چیزهایی وجود دارد که ما به خوبی آنها را درک نمی کنیم، فوق العاده قدرتمند است، زیرا -

استروگاتز (25:56): اما، آیا شما به من می گویید - اوه، متاسفم که حرف شما را قطع می کنم - اما آیا به من می گویید که این در تئوری اعداد هم اکنون اتفاق می افتد؟ این که ما به نوعی در حال دریافت ایده جهانی بودن در نظریه اعداد هستیم؟ یا دارم خواب می بینم؟

چوب (26:09): خوب، تا حدودی، می توانم بگویم این رویای من است که شروع می شود. می دانید، ما فقط داریم، اولین گام ها را برای دیدن تحقق آن برمی داریم. پس این فقط رویای تو نیست، رویای من هم هست. برخی از کارهایی که امروز انجام می‌دهم و من و همکارانم روی آن کار می‌کنیم، تلاش می‌کنیم تا آن نوع رویا را به واقعیت تبدیل کنیم تا برخی از این سؤالات گیج‌کننده درباره اعداد که پاسخ آنها را نمی‌دانیم، شاید بتوانیم درک کنید که الگوهایی وجود دارد که بیرون می آیند، مانند یک منحنی زنگ، مانند یک توزیع معمولی، که می توانیم ثابت کنیم که از دستگاه خارج شده اند، حتی اگر ندانیم که در چه رازهایی قرار داده شده است.

استروگاتز (26:55): خب، در واقع این یک چشم انداز بسیار الهام بخش و هیجان انگیز است، و امیدوارم همه چیز محقق شود. خیلی ممنون که امروز با ما صحبت کردی، ملانی.

چوب (27:03): متشکرم. خیلی حال داد.

گوینده (27:06): اگر دوست دارید شادی چرا، بررسی کنید پادکست علمی مجله Quantaبا مجری گری من سوزان والوت یکی از تهیه کنندگان این برنامه. همچنین این پادکست را به دوستان خود بگویید و ما را لایک کنید یا جایی که گوش می دهید دنبال کنید. این به مردم کمک می کند تا پیدا کنند شادی چرا پادکست

استروگاتز (27: 26): شادی چرا یک پادکست از مجله Quanta، یک نشریه مستقل که توسط بنیاد سیمونز پشتیبانی می شود. تصمیمات تأمین مالی توسط بنیاد سیمونز هیچ تأثیری بر انتخاب موضوعات، مهمانان یا سایر تصمیمات سرمقاله در این پادکست یا در مجله Quanta. شادی چرا توسط سوزان والوت و پولی استرایکر تهیه شده است. ویراستاران ما جان رنی و توماس لین با حمایت مت کارلستروم، آنی ملکور و لیلا اسلومان هستند. موسیقی تم ما توسط ریچی جانسون ساخته شده است. لوگوی ما توسط جکی کینگ، و آثار هنری برای قسمت ها توسط مایکل درایور و ساموئل ولاسکو است. من میزبان شما هستم، استیو استروگاتز. اگر سؤال یا نظری در مورد ما دارید، لطفاً به ما در quanta@simonsfoundation.org ایمیل بزنید. متشکرم که گوش دادید.