میشل تالاگراند برنده جایزه آبل برای کار تصادفی | مجله کوانتا

فرآیندهای تصادفی در اطراف ما اتفاق می افتد. یک روز باران می بارد اما روز دیگر نمی بارد. ارزش سهام و اوراق قرضه افزایش و از دست دادن. راهبندان به هم می پیوندند و ناپدید می شوند. از آنجایی که آنها توسط عوامل متعددی کنترل می شوند که به روش های پیچیده ای با یکدیگر تعامل دارند، پیش بینی رفتار دقیق چنین سیستم هایی غیرممکن است. در عوض، ما در مورد آنها از نظر احتمالات فکر می کنیم و نتایج را محتمل یا نادر توصیف می کنیم.

امروز، نظریه پرداز احتمال فرانسوی میشل تالاگراند جایزه آبل، یکی از بالاترین افتخارات در ریاضیات، به دلیل ایجاد درک عمیق و پیچیده از چنین فرآیندهایی دریافت شد. این جایزه که توسط پادشاه نروژ ارائه شده است، با الگوبرداری از نوبل و با 7.5 میلیون کرون نروژ (حدود 700,000 دلار) ارائه می شود. تالاگراند گفت: وقتی به او گفتند برنده شده است، "ذهنم خالی شد." زمانی که شروع کردم، نوع ریاضیاتی که من انجام می‌دهم اصلاً مد نبود. ریاضیات پایین تری در نظر گرفته می شد. این واقعیت که این جایزه به من داده شد، گواه مطلق این است.

سایر ریاضیدانان نیز موافق هستند. کار تالاگرند "نگاه من به جهان را تغییر داد." عساف نور از دانشگاه پرینستون امروز اضافه شد هلگه هولدنرئیس کمیته جایزه آبل، «توصیف و مدل‌سازی رویدادهای دنیای واقعی با فرآیندهای تصادفی بسیار محبوب شده است. جعبه ابزار تالاگراند بلافاصله بالا می آید.

تالاگراند زندگی خود را زنجیره ای از رویدادهای بعید می بیند. او به سختی مدرسه ابتدایی را در لیون گذراند: اگرچه به علم علاقه داشت، اما دوست نداشت درس بخواند. هنگامی که او 5 ساله بود، پس از جدا شدن شبکیه چشم، بینایی خود را از دست داد. در سن 15 سالگی، او دچار سه پارگی شبکیه در چشم دیگرش شد، که او را مجبور کرد یک ماه را در بیمارستان بگذراند، چشمانش را باندپیچی کرده بودند، از ترس اینکه نابینا شود. پدرش که استاد ریاضیات بود، هر روز به دیدارش می رفت و با آموزش ریاضی به او ذهنش را مشغول می کرد. تالاگراند: «من قدرت انتزاع را اینگونه آموختم در 2019 نوشت پس از برنده شدن جایزه شاو، یکی دیگر از جایزه های بزرگ ریاضی که با 1.2 میلیون دلار جایزه همراه است. (تالاگراند از مقداری از این پول، همراه با برنده‌های هابیل خود، برای ایجاد جایزه‌ای برای خود استفاده می‌کند، «به رسمیت شناختن دستاوردهای محققان جوان در زمینه‌هایی که زندگی‌ام را وقف آن کرده‌ام».)

او در حالی که بهبود یافت نیمی از مدرسه را از دست داد، اما به او الهام شد که تمرکزش را روی درس‌هایش بگذارد. او در ریاضیات عالی بود و پس از فارغ التحصیلی از کالج در سال 1974، در مرکز ملی تحقیقات علمی فرانسه، بزرگترین موسسه تحقیقاتی اروپا، استخدام شد و تا زمان بازنشستگی در سال 2017 در آنجا کار کرد. در این مدت دکترای خود را گرفت. در نگاه اول عاشق همسر آینده اش شد که آمارگیر بود (او سه روز پس از ملاقات با او از او خواستگاری کرد). و به تدریج به احتمال علاقه مند شد و صدها مقاله در این زمینه منتشر کرد.

این از پیش تعیین نشده بود. تالاگرند کار خود را با مطالعه فضاهای هندسی با ابعاد بالا آغاز کرد. او گفت: "به مدت 10 سال، من متوجه نشده بودم که در چه چیزی خوب هستم." اما از این انحرافش پشیمان نیست. در نهایت او را به نظریه احتمالات سوق داد، جایی که او گفت: "من این دیدگاه دیگر را داشتم ... که راهی را به من داد تا به مسائل متفاوت نگاه کنم." او را قادر ساخت تا فرآیندهای تصادفی را از طریق لنز هندسه با ابعاد بالا بررسی کند.

ناور گفت: «او شهود هندسی خود را برای حل سؤالات کاملاً احتمالی وارد می کند.

یک فرآیند تصادفی مجموعه ای از رویدادها است که نتایج آنها بر اساس شانس و به روشی قابل مدل سازی متفاوت است - مانند دنباله ای از چرخش سکه، یا مسیر اتم ها در یک گاز، یا مجموع بارندگی روزانه. ریاضیدانان می خواهند رابطه بین نتایج فردی و رفتار کل را درک کنند. چند بار باید یک سکه را برگردانید تا بفهمید که آیا عادلانه است؟ آیا یک رودخانه از سواحل خود طغیان می کند؟

تالاگراند بر فرآیندهایی تمرکز داشت که نتایج آنها بر اساس یک منحنی زنگی شکل به نام گاوسی توزیع می شود. چنین توزیع هایی در طبیعت رایج هستند و تعدادی ویژگی ریاضی مطلوب دارند. او می خواست بداند در این شرایط چه چیزی می توان با قطعیت در مورد نتایج شدید گفت. بنابراین او مجموعه ای از نابرابری ها را ثابت کرد که مرزهای بالایی و پایینی را برای نتایج احتمالی تعیین می کرد. هولدن گفت: «به دست آوردن یک نابرابری خوب یک اثر هنری است. این هنر مفید است: روش‌های تالاگراند می‌توانند تخمین بهینه‌ای از مثلاً بالاترین سطحی که یک رودخانه در 10 سال آینده ممکن است به آن صعود کند، یا بزرگی قوی‌ترین زلزله بالقوه را ارائه دهد.

وقتی با داده های پیچیده و با ابعاد بالا سروکار داریم، یافتن چنین حداکثر مقادیری می تواند دشوار باشد.

فرض کنید می‌خواهید خطر طغیان رودخانه را ارزیابی کنید - که به عواملی مانند بارندگی، باد و دما بستگی دارد. شما می توانید ارتفاع رودخانه را به عنوان یک فرآیند تصادفی مدل کنید. تالاگراند 15 سال را صرف توسعه تکنیکی به نام زنجیره‌سازی عمومی کرد که به او اجازه داد یک فضای هندسی با ابعاد بالا مرتبط با چنین فرآیند تصادفی ایجاد کند. ناور گفت که روش او "راهی را برای خواندن حداکثر از هندسه به شما می دهد."

این تکنیک بسیار عمومی است و بنابراین به طور گسترده قابل استفاده است. فرض کنید می خواهید یک مجموعه داده عظیم و با ابعاد بالا را تجزیه و تحلیل کنید که به هزاران پارامتر بستگی دارد. برای نتیجه‌گیری معنادار، می‌خواهید مهم‌ترین ویژگی‌های مجموعه داده را حفظ کنید و در عین حال آن را تنها بر حسب چند پارامتر مشخص کنید. (به عنوان مثال، این یکی از راه‌های تجزیه و تحلیل و مقایسه ساختارهای پیچیده پروتئین‌های مختلف است.) بسیاری از روش‌های پیشرفته این ساده‌سازی را با اعمال یک عملیات تصادفی که داده‌های با ابعاد بالا را به فضایی با ابعاد پایین‌تر نگاشت می‌کند، به دست می‌آورند. . ریاضی‌دانان می‌توانند از روش زنجیره‌ای عمومی تالاگراند برای تعیین حداکثر مقدار خطای این فرآیند استفاده کنند - به آنها اجازه می‌دهد شانس‌های حفظ نشدن برخی از ویژگی‌های مهم در مجموعه داده‌های ساده‌شده را تعیین کنند.

کار تالاگرند فقط به تجزیه و تحلیل بهترین و بدترین نتایج ممکن از یک فرآیند تصادفی محدود نمی شد. او همچنین بررسی کرد که در حالت متوسط ​​چه اتفاقی می افتد.

در بسیاری از فرآیندها، رویدادهای فردی تصادفی در مجموع می توانند به نتایج بسیار قطعی منجر شوند. اگر اندازه‌گیری‌ها مستقل باشند، مجموع‌ها بسیار قابل پیش‌بینی می‌شوند، حتی اگر پیش‌بینی هر رویداد منفرد غیرممکن باشد. به عنوان مثال، یک سکه منصفانه را برگردانید. شما نمی توانید از قبل چیزی در مورد آنچه اتفاق می افتد بگویید. 10 بار آن را بچرخانید و در حدود 66 درصد مواقع چهار، پنج یا شش هد - نزدیک به مقدار مورد انتظار پنج سر - خواهید داشت. اما سکه را 1,000 بار بچرخانید و در 450 درصد مواقع بین 550 تا 99.7 سر به دست خواهید آورد، نتیجه ای که حول و حوش ارزش مورد انتظار 500 متمرکز می شود.

ناور گفت: «اگرچه چیزی بسیار تصادفی است، تصادفی بودن خود را خنثی می کند. "آنچه در ابتدا به نظر یک آشفتگی وحشتناک به نظر می رسید در واقع سازماندهی شده است."

این پدیده که به عنوان غلظت اندازه گیری شناخته می شود، در فرآیندهای تصادفی بسیار پیچیده تری نیز رخ می دهد. تالاگراند مجموعه‌ای از نابرابری‌ها را ارائه کرد که امکان تعیین کمیت آن تمرکز را فراهم می‌کرد و ثابت کرد که در زمینه‌های مختلف ایجاد می‌شود. تکنیک های او نشان دهنده انحراف از کارهای قبلی در این منطقه بود. او در مقاله سال 2019 خود نوشت که اثبات اولین چنین نابرابری "یک تجربه جادویی" بود. او "در حالت شادی دائمی" بود.

او به خصوص به یکی از نابرابری های تمرکز بعدی خود افتخار می کند. او گفت: «به دست آوردن نتیجه‌ای که سعی می‌کند در مورد کیهان فکر کند و در عین حال یک مدرک یک صفحه‌ای دارد که توضیح آن آسان است، آسان نیست». (او با خوشحالی به یاد می آورد که یک بار از یک سرویس تاکسی استفاده می کرد که صاحب آن نام او را می شناخت، زیرا نابرابری را در یک کلاس احتمالی در مدرسه بازرگانی آموخته بود. او گفت: "این فوق العاده بود."

نابرابری‌های تمرکز تالاگراند مانند روش زنجیره‌ای عمومی او در ریاضیات ظاهر می‌شود. نائور گفت: «تعجب آور است که تا کجا پیش می رود. "نابرابری های طلاگراند پیچ ​​هایی هستند که چیزها را به هم متصل می کنند."

یک مشکل بهینه‌سازی را در نظر بگیرید که در آن شما باید اقلام با اندازه‌های مختلف را در سطل‌ها مرتب کنید - مدلی از تخصیص منابع. وقتی اقلام زیادی دارید، تشخیص کمترین تعداد سطل زباله بسیار دشوار است. اما نابرابری های تالاگرند می تواند به شما بگوید که اگر اندازه اقلام تصادفی باشد، احتمالاً به چند سطل نیاز خواهید داشت.

روش های مشابهی برای اثبات پدیده های تمرکز در ترکیبات، فیزیک، علوم کامپیوتر، آمار و سایر تنظیمات استفاده شده است.

اخیراً، تالاگراند درک خود از فرآیندهای تصادفی را برای اثبات یک حدس مهم در مورد شیشه های چرخشی، مواد مغناطیسی نامنظم ایجاد شده توسط فعل و انفعالات تصادفی و اغلب متناقض به کار برد. تالاگراند از این که گرچه عینک های اسپین از نظر ریاضی به خوبی تعریف شده اند، ناامید شده بود، فیزیکدانان بهتر از ریاضیدانان آنها را درک کردند. او گفت: «این خاری در پای ما بود. او نتیجه ای را ثابت کرد - در مورد به اصطلاح انرژی آزاد عینک های چرخشی - که پایه ای برای یک نظریه ریاضی بیشتر فراهم کرد.

نئور گفت، در طول زندگی حرفه‌ای‌اش، تحقیقات تالاگراند با "این توانایی برای گام برداشتن و یافتن اصول کلی که در همه جا قابل استفاده مجدد هستند" مشخص شده است. «او بازنگری می‌کند و بازنگری می‌کند، و از همه جهات به چیزی فکر می‌کند. و در نهایت او بینشی را ارائه می دهد که تبدیل به یک اسب کاری می شود که همه از آن استفاده می کنند."

تالاگراند گفت: "من دوست دارم چیزهای ساده را به خوبی درک کنم، زیرا مغز من بسیار کند است." بنابراین من برای مدت بسیار بسیار طولانی به آنها فکر می کنم. او می‌گوید که میل او به «درک چیزی عمیق، به شیوه‌ای خالص است، که این نظریه را بسیار آسان‌تر می‌کند. سپس نسل بعدی می توانند از آنجا شروع کنند و طبق شرایط خودشان پیشرفت کنند.»

در طول دهه گذشته، او با نوشتن کتاب‌های درسی به این مهم دست یافته است - نه فقط در مورد فرآیندهای تصادفی و عینک چرخشی، بلکه در مورد حوزه‌ای که اصلاً در آن کار نمی‌کند، نظریه میدان کوانتومی. او می خواست در مورد آن بیاموزد، اما متوجه شد که تمام کتاب های درسی که می تواند پیدا کند توسط فیزیکدانان و نه ریاضیدانان نوشته شده است. پس خودش یکی نوشت. او گفت: "بعد از اینکه دیگر نتوانید چیزهایی را اختراع کنید، می توانید آنها را توضیح دهید."