برهان ریاضی "بنایی" مسئله حباب سه گانه و موارد دیگر را حل می کند

وقتی نوبت به درک شکل خوشه های حباب می رسد، ریاضیدانان هزاران سال است که به شهود فیزیکی ما دست می یابند. خوشه‌های حباب صابون در طبیعت اغلب به نظر می‌رسد که فوراً به حالت کم‌انرژی می‌رسند، حالتی که سطح کل دیواره‌هایشان (از جمله دیواره‌های بین حباب‌ها) را به حداقل می‌رساند. اما بررسی اینکه آیا حباب‌های صابون این وظیفه را به درستی انجام می‌دهند - یا فقط پیش‌بینی اینکه خوشه‌های حباب بزرگ چگونه باید باشند - یکی از سخت‌ترین مشکلات در هندسه است. تا اواخر قرن نوزدهم ریاضیدانان طول کشید تا ثابت کنند که کره بهترین حباب است، حتی اگر زنودوروس ریاضیدان یونانی بیش از 19 سال قبل این را بیان کرده بود.

بیان مسئله حباب به اندازه کافی ساده است: شما با فهرستی از اعداد برای حجم ها شروع می کنید، و سپس می پرسید که چگونه به طور جداگانه آن حجم های هوا را با استفاده از کمترین سطح محصور کنید. اما برای حل این مشکل، ریاضیدانان باید طیف وسیعی از اشکال مختلف ممکن را برای دیوارهای حباب در نظر بگیرند. و اگر قرار است مثلاً پنج جلد را محصور کنیم، ما حتی این تجمل را نداریم که توجه خود را به خوشه های پنج حباب محدود کنیم – شاید بهترین راه برای به حداقل رساندن سطح سطح شامل تقسیم یکی از حجم ها بر روی حباب های متعدد باشد.

حتی در تنظیم ساده‌تر صفحه دو بعدی (جایی که می‌خواهید مجموعه‌ای از مناطق را محصور کنید در حالی که محیط را به حداقل می‌رسانید)، هیچ‌کس بهترین راه برای احاطه کردن مثلاً 10 یا XNUMX ناحیه را نمی‌داند. همانطور که تعداد حباب ها افزایش می یابد، "به سرعت، شما واقعا نمی توانید هیچ حدس قابل قبولی دریافت کنید." امانوئل میلمن تکنیون در حیفا، اسرائیل.

اما بیش از ربع قرن پیش، جان سالیوان، اکنون از دانشگاه فنی برلین، متوجه شد که در موارد خاص، وجود دارد حدس راهنمایی داشتن مشکلات حباب در هر بعد معنا پیدا می کنند، و سالیوان دریافت که تا زمانی که تعداد جلدهایی که می خواهید محصور کنید حداکثر یک بزرگتر از بعد باشد، روش خاصی برای محصور کردن حجم ها وجود دارد که به معنای خاصی است. زیباتر از هر چیز دیگری - نوعی سایه از یک خوشه حباب کاملا متقارن روی یک کره. او حدس زد که این خوشه سایه باید همان خوشه ای باشد که سطح را به حداقل برساند.

در طول یک دهه پس از آن، ریاضیدانان مجموعه‌ای از مقالات پیشگامانه نوشتند که حدس سالیوان را در زمانی که شما می‌خواهید فقط دو جلد را ضمیمه کنید، اثبات می‌کردند. در اینجا، راه حل همان حباب دوتایی است که ممکن است در یک روز آفتابی در پارک دمیده باشید، که از دو قطعه کروی با دیواره ای صاف یا کروی بین آنها ساخته شده است (بسته به اینکه حجم دو حباب یکسان یا متفاوت باشد).

اما اثبات حدس سالیوان برای سه جلد، ریاضیدان فرانک مورگان از کالج ویلیامز حدس زد در سال 2007، "ممکن است صد سال دیگر طول بکشد."

اکنون، ریاضیدانان از این انتظار طولانی در امان مانده اند - و به چیزی بیش از یک راه حل برای مسئله حباب سه گانه دست یافته اند. در یک مقاله پست آنلاین در ماه مه، Milman و جو نیمن، از دانشگاه تگزاس، آستین، حدس سالیوان را برای حباب های سه گانه در ابعاد سه به بالا و حباب های چهارگانه در ابعاد چهار به بالا، با مقاله بعدی در مورد حباب های پنج گانه در ابعاد پنج به بالا در حال انجام اثبات کرده اند.

و وقتی صحبت از شش یا بیشتر حباب به میان می آید، میلمن و نیمن نشان داده اند که بهترین خوشه باید بسیاری از ویژگی های کلیدی نامزد سالیوان را داشته باشد، که به طور بالقوه ریاضیدانان را در مسیر اثبات حدس برای این موارد نیز آغاز می کند. گفت: "تصور من این است که آنها ساختار اساسی پشت حدس سالیوان را درک کرده اند." فرانچسکو مگی از دانشگاه تگزاس، آستین.

مورگان در ایمیلی نوشت، قضیه مرکزی میلمن و نیمن «بنایی» است. "این یک دستاورد درخشان با بسیاری از ایده های جدید است."

حباب های سایه

تجربیات ما با حباب‌های صابون واقعی، شهودی وسوسه‌انگیز در مورد اینکه خوشه‌های حباب بهینه چگونه باید باشند، حداقل در مورد خوشه‌های کوچک ارائه می‌دهند. حباب‌های سه‌گانه یا چهارگانه‌ای که از میان چوب‌های صابونی می‌زنیم، به نظر می‌رسد که دیواره‌های کروی دارند (و گاهی اوقات صاف) و تمایل دارند به جای مثلاً زنجیره‌ای طولانی از حباب‌ها، توده‌های محکمی تشکیل دهند.

اما اثبات اینکه اینها واقعاً ویژگی های خوشه های حباب بهینه هستند، چندان آسان نیست. به عنوان مثال، ریاضیدانان نمی دانند که آیا دیوارهای یک خوشه حباب به حداقل می رسد همیشه کروی هستند یا مسطح - آنها فقط می دانند که دیوارها دارای "میانگین انحنای ثابت" هستند، به این معنی که انحنای متوسط ​​از یک نقطه به نقطه دیگر ثابت می ماند. کره ها و سطوح مسطح این خاصیت را دارند، اما بسیاری از سطوح دیگر مانند استوانه ها و اشکال مواج به نام unduloids نیز این ویژگی را دارند. میلمن گفت: سطوح با میانگین انحنای ثابت "یک باغ وحش کامل" هستند.

اما در دهه 1990، سالیوان تشخیص داد که وقتی تعداد جلدهایی که می‌خواهید محصور کنید حداکثر یک بزرگتر از بعد است، یک خوشه نامزد وجود دارد که به نظر می‌رسد از بقیه برتری دارد - یک (و تنها یک) خوشه که ویژگی‌هایی را دارد که ما تمایل داریم. برای دیدن در دسته های کوچک حباب های صابون واقعی.

برای درک چگونگی ساخت چنین نامزدی، بیایید از رویکرد سالیوان برای ایجاد یک خوشه سه حباب در صفحه مسطح استفاده کنیم (بنابراین «حباب‌های» ما به جای اجرام سه‌بعدی، مناطقی در صفحه خواهند بود). با انتخاب چهار نقطه روی یک کره شروع می کنیم که همگی فاصله یکسانی از یکدیگر دارند. حال تصور کنید که هر یک از این چهار نقطه مرکز یک حباب کوچک است که فقط روی سطح کره زندگی می کند (به طوری که هر حباب یک دیسک کوچک است). چهار حباب روی کره را تا زمانی که شروع به برخورد با یکدیگر کنند باد کنید و سپس به باد کردن ادامه دهید تا به طور کلی تمام سطح را پر کنند. ما در نهایت به یک خوشه متقارن از چهار حباب می رسیم که کره را شبیه یک چهار وجهی پف کرده می کند.

در مرحله بعد، این کره را روی یک صفحه مسطح بی نهایت قرار می دهیم، گویی کره توپی است که روی یک طبقه بی پایان قرار گرفته است. تصور کنید که توپ شفاف است و یک فانوس در قطب شمال وجود دارد. دیواره‌های چهار حباب سایه‌هایی را روی زمین ایجاد می‌کنند و دیواره‌های یک خوشه حباب را در آنجا تشکیل می‌دهند. از چهار حباب روی کره، سه حباب به صورت حباب‌های سایه روی زمین بیرون می‌آیند. حباب چهارم (حباب حاوی قطب شمال) به وسعت بی‌نهایت کف خارج از خوشه‌ای از سه حباب سایه فرو می‌رود.

خوشه سه حباب خاصی که به دست می آوریم بستگی به این دارد که وقتی کره را روی زمین قرار می دهیم چگونه کره را قرار داده ایم. اگر کره را طوری بچرخانیم که نقطه متفاوتی به سمت فانوس در قطب شمال حرکت کند، معمولاً سایه متفاوتی خواهیم داشت و سه حباب روی زمین دارای نواحی متفاوتی خواهند بود. ریاضیدانان دارند ثابت که برای هر سه عددی که برای نواحی انتخاب می‌کنید، اساساً یک راه واحد برای قرار دادن کره وجود دارد تا سه حباب سایه دقیقاً آن مناطق را داشته باشند.

ما آزادیم که این فرآیند را در هر بعد انجام دهیم (اگرچه تجسم سایه‌های با ابعاد بالاتر سخت‌تر است). اما محدودیتی برای تعداد حباب هایی که می توانیم در خوشه سایه خود داشته باشیم وجود دارد. در مثال بالا، ما نمی توانستیم یک خوشه چهار حباب در هواپیما بسازیم. این امر مستلزم شروع با پنج نقطه در کره است که همگی فاصله یکسانی با یکدیگر دارند - اما قرار دادن این تعداد نقاط مساوی روی یک کره غیرممکن است (اگرچه می توانید این کار را با کره های با ابعاد بالاتر انجام دهید). روش سالیوان فقط برای ایجاد خوشه هایی از حداکثر سه حباب در فضای دو بعدی، چهار حباب در فضای سه بعدی، پنج حباب در فضای چهار بعدی و غیره کار می کند. خارج از این محدوده‌های پارامتر، خوشه‌های حباب به سبک سالیوان وجود ندارند.

اما در این پارامترها، روش سالیوان به ما خوشه های حباب در تنظیمات بسیار فراتر از آنچه شهود فیزیکی ما می تواند درک کند، می دهد. مگی گفت: «تجسم یک حباب 15 در [فضای 23 بعدی] غیرممکن است. "چطور حتی در خواب می بینید که چنین شیئی را توصیف کنید؟"

با این حال، نامزدهای حباب سالیوان از اجداد کروی خود مجموعه ای منحصر به فرد از خواص را به ارث می برند که یادآور حباب هایی است که در طبیعت می بینیم. دیوارهای آن‌ها همگی کروی یا مسطح هستند و هر جا که سه دیوار به هم می‌رسند، زوایای ۱۲۰ درجه را تشکیل می‌دهند، مانند یک شکل متقارن Y. هر یک از جلدهایی که می‌خواهید محصور کنید، به جای تقسیم شدن در چندین منطقه، در یک منطقه قرار دارند. و هر حباب دیگری (و بیرونی) را لمس می کند و یک خوشه محکم را تشکیل می دهد. ریاضیدانان نشان داده‌اند که حباب‌های سالیوان تنها خوشه‌هایی هستند که تمام این ویژگی‌ها را برآورده می‌کنند.

مگی گفت: وقتی سالیوان این فرضیه را مطرح کرد که اینها باید خوشه هایی باشند که مساحت سطح را به حداقل می رساند، اساساً می گفت: "بیایید زیبایی را فرض کنیم."

اما محققان حباب دلایل خوبی برای محتاط بودن این فرض دارند که فقط به دلیل زیبا بودن راه حل پیشنهادی، درست است. مگی گفت: "مشکلات بسیار معروفی وجود دارد ... جایی که شما انتظار دارید تقارن برای حداقل سازها وجود داشته باشد، و تقارن به طرز شگفت انگیزی از بین می رود."

به عنوان مثال، مشکل بسیار مرتبط پر کردن فضای نامحدود با حباب های هم حجم به گونه ای که مساحت سطح را به حداقل می رساند وجود دارد. در سال 1887، لرد کلوین، ریاضیدان و فیزیکدان بریتانیایی پیشنهاد کرد که راه حل ممکن است ساختاری زیبا شبیه لانه زنبوری باشد. برای بیش از یک قرن، بسیاری از ریاضیدانان معتقد بودند که این پاسخ محتمل است - تا سال 1993، زمانی که یک جفت فیزیکدان بهتر را شناسایی کردگزینه، اگرچه کمتر متقارن است. مگی گفت: «ریاضیات مملو از نمونه هایی است که در آن چنین اتفاقات عجیبی رخ می دهد.

هنر تاریک

زمانی که سالیوان حدس خود را در سال 1995 اعلام کرد، بخش دو حباب آن قبلاً برای یک قرن در اطراف شناور بود. ریاضیدانان حل کرده بودند مشکل دوبعدی حباب دو سال قبل و در دهه بعد آن را حل کردند فضای سه بعدی و بعد در بالاتر ابعاد. اما وقتی نوبت به مورد بعدی حدس سالیوان رسید - حباب های سه گانه - آنها می توانستند حدس را ثابت کند فقط در صفحه دو بعدی، جایی که رابط بین حباب ها بسیار ساده است.

سپس در سال 2018، میلمن و نیمن نسخه مشابهی از حدس سالیوان را در محیطی به نام مسئله حباب گاوسی اثبات کردند. در این تنظیمات، می‌توانید هر نقطه در فضا را دارای ارزش پولی بدانید: مبدا گران‌ترین نقطه است و هر چه از مبدا دورتر شوید، زمین ارزان‌تر می‌شود و منحنی زنگی را تشکیل می‌دهد. هدف ایجاد محفظه هایی با قیمت های از پیش انتخاب شده (به جای حجم های از پیش انتخاب شده)، به گونه ای است که هزینه مرزهای محفظه ها (به جای مساحت سطح مرزها) به حداقل برسد. این مشکل حباب گاوسی در علوم کامپیوتر برای گرد کردن طرح‌ها و سوالات حساسیت نویز کاربرد دارد.

میلمن و نیمن خود را ارسال کردند اثبات به سالنامه ریاضیات، مسلماً معتبرترین مجله ریاضیات (جایی که بعداً پذیرفته شد). اما این جفت قصد نداشتند آن را یک روز صدا کنند. روش های آنها برای مشکل کلاسیک حباب نیز امیدوارکننده به نظر می رسید.

آنها چندین سال ایده ها را به این سو و آن سو پرت کردند. میلمن گفت: «ما یک سند 200 صفحه ای از یادداشت ها داشتیم. در ابتدا احساس می شد که آنها در حال پیشرفت هستند. اما بعد به سرعت تبدیل به این شد که ما این مسیر را امتحان کردیم - نه. ما [این] جهت را امتحان کردیم - نه.» برای جلوگیری از شرط بندی، هر دو ریاضیدان پروژه های دیگری را نیز دنبال کردند.

سپس پاییز گذشته، میلمن برای تعطیلات به میدان آمد و تصمیم گرفت که نیمن را ملاقات کند تا این زوج بتوانند روی مشکل حباب فشار متمرکز کنند. میلمن گفت: «در طول تعطیلات، زمان خوبی برای امتحان انواع چیزهای پرخطر و با سود بالا است.

چند ماه اول به جایی نرسیدند. در نهایت، آنها تصمیم گرفتند که کار کمی ساده تر از حدس کامل سالیوان به خود بدهند. اگر به حباب های خود یک بعد اضافی اتاق تنفس بدهید، یک امتیاز دریافت می کنید: بهترین خوشه حباب دارای تقارن آینه ای در سطح صفحه مرکزی خواهد بود.

حدس سالیوان در مورد حباب های سه گانه در ابعاد دو به بالا، حباب های چهارگانه در ابعاد سه به بالا و غیره است. برای بدست آوردن تقارن پاداش، میلمن و نیمن توجه خود را به حباب های سه گانه در ابعاد سه به بالا، حباب های چهارگانه در ابعاد چهار به بالا و غیره محدود کردند. نیمن گفت: «در واقع تنها زمانی که از دریافت آن برای طیف کامل پارامترها دست کشیدیم، واقعاً پیشرفت کردیم.

با این تقارن آینه ای که در اختیار داشتند، میلمن و نیمن به یک استدلال اغتشاش رسیدند که شامل کمی باد کردن نیمی از خوشه حباب که بالای آینه قرار دارد و تخلیه نیمی که در زیر آن قرار دارد است. این آشفتگی حجم حباب ها را تغییر نمی دهد، اما می تواند سطح سطح آنها را تغییر دهد. میلمن و نیمن نشان دادند که اگر خوشه حباب بهینه دارای دیوارهایی باشد که کروی یا مسطح نیستند، راهی برای انتخاب این اغتشاش وجود خواهد داشت تا مساحت سطح خوشه را کاهش دهد - یک تناقض، زیرا خوشه بهینه از قبل کمترین سطح را دارد. منطقه ممکن است

استفاده از اغتشاشات برای مطالعه حباب ها ایده جدیدی نیست، اما نیمن گفت که کشف این که کدام اغتشاش ویژگی های مهم یک خوشه حباب را تشخیص می دهد، یک هنر تاریک است.

با نگاهی به گذشته، گفت: «وقتی [آشفتگی‌های میلمن و نیمن] را می‌بینید، کاملاً طبیعی به نظر می‌رسند. جوئل هاس از دانشگاه کالیفرنیا، دیویس.

اما مگی گفت که تشخیص آشفتگی‌ها به‌عنوان طبیعی بسیار آسان‌تر از ارائه آن‌ها در وهله اول است. او گفت: "این چیزی نیست که بتوانید بگویید "در نهایت مردم آن را پیدا می کردند." این واقعاً در سطح بسیار قابل توجهی نابغه است.»

میلمن و نیمن توانستند از اغتشاشات خود استفاده کنند تا نشان دهند که خوشه حباب بهینه باید تمام ویژگی‌های اصلی خوشه‌های سالیوان را برآورده کند، به جز یکی از آنها: این شرط که هر حباب باید یکدیگر را لمس کند. این آخرین نیاز، میلمن و نیمن را مجبور کرد تا با تمام راه هایی که حباب ها ممکن است به یک خوشه متصل شوند دست و پنجه نرم کنند. وقتی صحبت از سه یا چهار حباب به میان می‌آید، احتمالات زیادی برای در نظر گرفتن وجود ندارد. اما با افزایش تعداد حباب ها، تعداد الگوهای مختلف اتصال ممکن افزایش می یابد، حتی سریعتر از نمایی.

میلمن و نیمن در ابتدا امیدوار بودند که یک اصل فراگیر پیدا کنند که همه این موارد را پوشش دهد. میلمن گفت، اما پس از گذراندن چند ماه برای "شکستن سرمان"، آنها تصمیم گرفتند فعلاً خود را به یک رویکرد خاص تری بسنده کنند که به آنها امکان می داد حباب های سه گانه و چهارگانه را مدیریت کنند. آنها همچنین یک مدرک منتشر نشده را اعلام کرده اند که حباب پنج گانه سالیوان بهینه است، اگرچه هنوز ثابت نکرده اند که این تنها خوشه بهینه است.

مورگان در ایمیلی نوشت: کار میلمن و نیمن «یک رویکرد کاملاً جدید به جای توسعه روش‌های قبلی است». مگی پیش‌بینی کرد که احتمالاً می‌توان این رویکرد را حتی بیشتر از این هم پیش برد - شاید به خوشه‌هایی از بیش از پنج حباب، یا در موارد حدس سالیوان که تقارن آینه‌ای ندارند.

هیچ کس انتظار ندارد پیشرفت بیشتر به راحتی حاصل شود. اما این هرگز میلمن و نیمن را منصرف نکرده است. میلمن گفت: «بر اساس تجربه‌ام، تمام کارهای مهمی که به اندازه کافی خوش شانس بودم که بتوانم انجام دهم، مستلزم تسلیم نشدن بود.»