برخورد احتمال و نظریه اعداد - در یک لحظه

جاه طلبی های آنها همیشه بالا بود. زمانی که ویل ساوین و ملانی ماچت وود برای اولین بار در تابستان 2020 با یکدیگر همکاری کردند، تصمیم گرفتند تا در مورد اجزای کلیدی برخی از وسوسه انگیزترین حدس ها در نظریه اعداد تجدید نظر کنند. موضوعات مورد توجه آنها، گروه های طبقاتی، ارتباط نزدیکی با سؤالات اساسی در مورد چگونگی کارکرد حساب در زمانی که اعداد فراتر از اعداد صحیح هستند، مرتبط است. ساوین، در دانشگاه کلمبیا، و چوب، در هاروارد، می خواست پیش بینی هایی در مورد ساختارهایی انجام دهد که حتی از گروه کلاسی کلی تر و از نظر ریاضی ترسناک تر هستند.

حتی قبل از اینکه آنها پیش بینی های خود را به پایان برسانند، در ماه اکتبر ثابت کردند که یک نتیجه جدید که به ریاضیدانان این امکان را می دهد که یکی از مفیدترین ابزارهای نظریه احتمال را نه تنها برای گروه های کلاس، بلکه برای مجموعه اعداد، شبکه ها و بسیاری از اشیاء ریاضی دیگر نیز به کار ببرند.

وی گفت: "این تنها مقاله اساسی است که همه وقتی شروع به فکر کردن درباره این مشکلات می کنند به آن روی می آورند." دیوید زوریک-براون، ریاضیدان دانشگاه اموری. «دیگر به نظر نمی رسد که شما مجبور باشید چیزهایی را از ابتدا اختراع کنید.»

یک قانون طبقاتی

گروه کلاس نمونه ای از یک مجموعه ریاضی ساختار یافته به نام گروه است. گروه ها شامل بسیاری از مجموعه های آشنا هستند، مانند اعداد صحیح. چیزی که اعداد صحیح را به جای مجموعه ای از اعداد، به یک گروه تبدیل می کند، این است که می توانید عناصر آن را با هم جمع کنید و یک عدد صحیح دیگر به دست آورید. به طور کلی، یک مجموعه در صورتی یک گروه است که با عملیاتی همراه باشد که مانند جمع، دو عنصر را در عنصر سوم به نحوی ترکیب کند که برخی از الزامات اساسی را برآورده کند. به عنوان مثال، باید یک نسخه از صفر وجود داشته باشد، عنصری که هیچ یک از موارد دیگر را تغییر نمی دهد.

اعداد صحیح، که ریاضیدانان معمولاً آنها را $latex mathbb{Z}$ می نامند، نامحدود هستند. اما بسیاری از گروه ها دارای تعداد محدودی از عناصر هستند. به عنوان مثال، برای ایجاد گروهی که دارای چهار عنصر است، مجموعه {0، 1، 2، 3} را در نظر بگیرید. به جای جمع منظم، مجموع هر دو عدد را بر 4 تقسیم کنید و باقیمانده را بگیرید. (طبق این قوانین، 2 + 2 = 0، و 2 + 3 = 1.) این گروه $latex mathbb{Z}/4mathbb{Z}$ نامیده می شود.

به طور کلی، اگر می خواهید یک گروه با عناصر $latex n$ ایجاد کنید، می توانید اعداد صفر را از بین ببرید. n – 1 و باقیمانده را هنگام تقسیم بر در نظر بگیرید n. گروه حاصل $latex mathbb{Z}/nmathbb{Z}$ نامیده می‌شود، اگرچه این همیشه تنها گروهی نیست که n عناصر.

گروه کلاس زمانی ظاهر می شود که نظریه پردازان اعداد ساختار اعداد فراتر از اعداد صحیح را بررسی می کنند. برای این کار اعداد جدیدی را به اعداد صحیح اضافه می کنند مانند i (ریشه دوم −1)، $latex sqrt{5}$ یا حتی $latex sqrt{–5}$.

چیزهایی که در مورد اعداد به آن عادت کرده ایم، دیگر در این زمینه درست نیستند. یا حداقل، آنها لزوما درست نیستند جوردن النبرگ، ریاضیدان دانشگاه ویسکانسین، مدیسون.

به طور خاص، فاکتورگیری در پسوند اعداد صحیح متفاوت عمل می کند. اگر فقط به اعداد صحیح پایبند باشید، اعداد را می‌توان به اعداد اول (اعدادی که فقط بر خودشان و 1 تقسیم می‌شوند) تنها به یک روش فاکتور کرد. به عنوان مثال، 6 2 × 3 است و نمی توان آن را در سایر اعداد اول فاکتور گرفت. این خاصیت فاکتورسازی منحصر به فرد نامیده می شود.

اما اگر $latex sqrt{–5}$ را به سیستم اعداد خود اضافه کنید، دیگر فاکتورسازی منحصر به فرد ندارید. شما می توانید 6 را به دو روش مختلف به عدد اول تبدیل کنید. هنوز 2 × 3 است، اما همچنین $latex (1 + sqrt{–5})$ × $latex (1 – sqrt{–5})$ نیز هست.

گروه های کلاس از چنین پسوندهایی به اعداد صحیح ایجاد می شوند. وود گفت: "گروه های کلاس فوق العاده مهم هستند." "و بنابراین طبیعی است که تعجب کنیم: آنها معمولاً چگونه هستند؟"

اندازه گروه کلاس مرتبط با هر بسط اعداد صحیح، فشارسنج است برای اینکه چقدر فاکتورسازی منحصر به فرد شکسته می شود. اگرچه ریاضی‌دانان ثابت کرده‌اند که گروه‌های کلاس همیشه متناهی هستند، تشخیص ساختار و اندازه آنها پیچیده است. به همین دلیل در سال 1984، هنری کوهن و هندریک لنسترا چند حدس زد. حدس‌های آن‌ها که اکنون اکتشافی کوهن-لنسترا نامیده می‌شود، مربوط به تمام گروه‌های طبقاتی است که با اضافه کردن ریشه‌های مربع جدید به اعداد صحیح ظاهر می‌شوند. اگر همه آن گروه‌های کلاس دور هم جمع می‌شدند، کوهن و لنسترا پاسخ‌هایی را برای سؤالاتی پیشنهاد کردند: چه نسبتی از آنها شامل گروه $latex mathbb{Z}/3mathbb{Z}$ است؟ یا $latex mathbb{Z}/7mathbb{Z}$؟ یا نوع شناخته شده دیگری از گروه محدود؟

کوهن و لنسترا نظریه پردازان اعداد را تشویق کردند تا نه تنها نمونه های مجزا از گروه های طبقاتی، بلکه آماری را که زیربنای گروه های طبقاتی به عنوان یک کل است، در نظر بگیرند. پیش‌بینی‌های آن‌ها به چشم‌اندازی از ریاضیات به‌عنوان یک جهان با الگوهایی که باید در هر سطحی آشکار شوند، منعکس شد.

تقریباً 40 سال بعد، به طور گسترده ای اعتقاد بر این است که اکتشافات کوهن-لنسترا درست است، اگرچه هیچ کس به اثبات آنها نزدیک نشده است. نایجل بوستون، استاد بازنشسته در دانشگاه ویسکانسین، مدیسون، گفت که تأثیر آنها بر ریاضیات محسوس بوده است. او گفت: «آنچه کشف شده این وب شگفت انگیز است. "این زیرساخت عظیمی وجود دارد که ما فکر می کنیم جهان کنار هم قرار گرفته است."

تنها بازی در شهر

ریاضیدانان که قادر به مقابله مستقیم با اکتشافات نبودند، به مسائل قابل حل تری رسیدند که امیدوار بودند وضعیت را روشن کند. از آن کار، مجموعه‌ای مفید از کمیت‌ها پدیدار شد که ریاضیدانان شروع به نام‌گذاری لحظه‌ها کردند، پس از اصطلاحی که در نظریه احتمال استفاده می‌شود.

به احتمال زیاد، لحظه ها می توانند به شما کمک کنند تا توزیع های پشت اعداد تصادفی را مشخص کنید. به عنوان مثال، توزیع دمای بالای روزانه در 1 ژانویه در شهر نیویورک را در نظر بگیرید - این احتمال وجود دارد که در 1 ژانویه سال آینده، 10 درجه فارنهایت، یا 40 درجه، یا 70 یا 120 باشد. همه شما باید کار کنید. با داده های گذشته است: سابقه بالاترین روزانه در 1 ژانویه هر سال از آغاز تاریخ ثبت شده.

اگر میانگین این دماها را محاسبه کنید، کمی یاد خواهید گرفت، اما نه همه چیز. میانگین دمای بالای 40 درجه به شما امکان نمی دهد که دما بالای 50 درجه یا کمتر از 20 باشد.

اما اگر اطلاعات بیشتری به شما داده شود، این تغییر می کند. به طور خاص، شما ممکن است میانگین مربع دما را یاد بگیرید، کمیتی که به عنوان لحظه دوم توزیع شناخته می شود. (میانگین لحظه اول است.) یا ممکن است میانگین مکعب ها را یاد بگیرید، که به عنوان لحظه سوم شناخته می شود، یا میانگین توان های چهارم - لحظه چهارم.

در دهه 1920، ریاضیدانان متوجه شده بودند که اگر لحظه های این سری به اندازه کافی آهسته رشد کنند، پس دانستن همه لحظات به شما امکان می دهد استنباط کنید که تنها یک توزیع ممکن آن لحظه ها را دارد. (اگرچه این لزوماً به شما اجازه نمی دهد مستقیماً آن توزیع را محاسبه کنید.)

وود گفت: «این واقعاً غیر شهودی است. «اگر به توزیع پیوسته فکر می کنید، شکلی دارد. به نوعی احساس می‌شود که بیش از آن چیزی است که بتوان آن را در یک دنباله از اعداد ثبت کرد.»

ریاضیدانان علاقه مند به اکتشافی کوهن-لنسترا دریافتند که، همانطور که لحظات در نظریه احتمال را می توان برای رسیدن به توزیع احتمال استفاده کرد، لحظه هایی که به روشی خاص برای گروه های کلاس تعریف می شوند می توانند عدسی باشند که از طریق آن می توانیم اندازه و ساختار آنها را ببینیم. . جیکوب تسیمرمن، ریاضیدان دانشگاه تورنتو، گفت که نمی تواند تصور کند که چگونه توزیع اندازه گروه های کلاس را می توان مستقیماً محاسبه کرد. او گفت که استفاده از لحظات «بیش از آسان‌تر است. این تنها بازی در شهر است.»

این لحظه جادویی

در حالی که هر لحظه در احتمال با یک عدد صحیح مرتبط است - توان سوم، توان چهارم و غیره - کمیت های جدیدی که توسط نظریه پردازان اعداد معرفی شده اند، هر کدام با یک گروه مطابقت دارند. این لحظات جدید به این واقعیت بستگی دارد که شما اغلب می توانید یک گروه را با جمع کردن عناصر مختلف با هم به یک گروه کوچکتر کاهش دهید.

برای محاسبه لحظه مرتبط با یک گروه G، تمام گروه های کلاس ممکن را بردارید - برای هر جذر جدید که به اعداد صحیح اضافه می کنید، یکی. برای هر گروه کلاس، تعداد روش‌های مختلفی را که می‌توانید آن را جمع کنید بشمارید G. سپس، میانگین آن اعداد را بگیرید. این فرآیند ممکن است پیچیده به نظر برسد، اما کار با آن بسیار ساده‌تر از توزیع واقعی پشت پیش‌بینی‌های کوهن و لنسترا است. اگرچه خود اکتشافی کوهن-لنسترا برای بیان پیچیده است، لحظات توزیعی که آنها پیش‌بینی می‌کنند همه 1 است.

النبرگ گفت: "این باعث می شود فکر کنید، وای، شاید لحظه ها راه طبیعی برای نزدیک شدن به آن باشند." "به نظر می رسد که بتوان ثابت کرد که چیزی برابر با 1 است، باورپذیرتر از اثبات این است که برابر با یک محصول نامحدود دیوانه کننده است."

وقتی ریاضی‌دانان توزیع‌ها را روی گروه‌ها مطالعه می‌کنند (گروه‌های طبقاتی یا غیره) در نهایت برای هر گروه معادله‌ای به دست می‌آیند. G، با احتمالات در حال حاضر، مثلاً، نسبت گروه های طبقاتی را نشان می دهد که شبیه $latex mathbb{Z}/3mathbb{Z}$ هستند. با بی‌نهایت معادلات، و بی‌نهایت گروه‌های کلاسی ممکن، حل احتمالات دشوار است. واضح نیست که انجام این کار حتی منطقی باشد.

وود گفت: "وقتی مبلغ بی نهایتی داشته باشید، ممکن است همه چیز اشتباه شود."

با این حال، ریاضیدانان، که هنوز قادر به یافتن راه‌های دیگری برای مطالعه توزیع‌ها نبودند، مدام به مسئله لحظه بازگشتند. در کار منتشر شده در سالنامه ریاضیات در سال 2016، النبرگ به همراه آکشی ونکاتش و کریگ وسترلند، از لحظات استفاده کرد برای مطالعه آمار گروه های طبقاتی در محیطی کمی متفاوت با آنچه کوهن و لنسترا در نظر گرفته بودند. این ایده بود استفاده مجدد چند بار. اما هر بار که محققان از لحظات استفاده می‌کردند، بر ویژگی‌های مشکل خاص خود تکیه می‌کردند تا ثابت کنند که مجموعه بی‌نهایت معادلات راه‌حلی دارد. این بدان معناست که تکنیک های آنها قابل انتقال نیست. ریاضیدان بعدی که نیاز به استفاده از لحظه ها داشت، باید مسئله لحظه را دوباره حل کند.

در آغاز همکاری، ساوین و وود نیز قصد داشتند این مسیر را طی کنند. آنها از لحظاتی برای پیش بینی نحوه توزیع نسخه های پیچیده تر گروه های کلاس استفاده می کردند. اما با گذشت یک سال از پروژه خود، آنها تمرکز خود را به خود مشکل لحظه معطوف کردند.

منحرف شدن

همکاران، ساوین و وود را به طور غیرمعمولی نسبت به کار خود پرشور توصیف می کنند. هر دو بسیار باهوش هستند. زوریک-براون گفت، اما افراد باهوش زیادی وجود دارند. "آنها فقط این نگرش مثبت را نسبت به انجام ریاضیات دارند."

در ابتدا، ساوین و وود می خواستند از لحظات برای گسترش پیش بینی های کوهن-لنسترا به تنظیمات جدید استفاده کنند. اما خیلی زود از بحث مشکل لحظه ای خود ناراضی شدند. ساوین به یاد می آورد: «ما نیاز داشتیم که استدلال های مشابهی را مکرراً بنویسیم. علاوه بر این، او افزود، زبان ریاضی که آنها استفاده می‌کردند «به نظر نمی‌رسید که در قلب آن چیزی باشد که استدلال انجام می‌داد... ایده‌ها وجود داشتند، اما ما راه درستی برای بیان آن‌ها پیدا نکرده بودیم».

ساوین و وود بیشتر به دنبال اثبات خود بودند و سعی می کردند بفهمند واقعاً چه چیزی در زیر همه اینها وجود دارد. آنها به اثباتی رسیدند که مشکل لحظه را نه فقط برای کاربرد خاص آنها، بلکه برای هر توزیع گروه ها - و برای انواع ساختارهای ریاضی دیگر حل می کرد.

آنها مشکل را به مراحل کوچک و قابل کنترل تقسیم کردند. آنها به جای تلاش برای حل کل توزیع احتمال در یک حرکت، تنها بر بخش کوچکی از لحظات تمرکز کردند.

به عنوان مثال، برای حل مسئله لحظه برای توزیع احتمال بر روی گروه ها، هر لحظه با یک گروه مرتبط است G. در ابتدا، ساوین و وود به سیستمی از معادلات نگاه می‌کردند که فقط لحظه‌ها را برای فهرست محدودی از گروه‌ها در بر می‌گرفت.. سپس به آرامی گروه‌هایی را به لیست اضافه می‌کردند و هر بار به لحظات بیشتری نگاه می‌کردند. آنها با پیچیده تر کردن تدریجی مسئله، هر مرحله را به یک مشکل قابل حل تبدیل کردند. ذره ذره، آنها به یک راه حل کامل از مشکل لحظه ای دست یافتند.

وود توضیح داد: "این لیست ثابت به نوعی شبیه عینکی است که شما می زنید، و هر چه گروه های بیشتری را بخواهید در نظر بگیرید، عینک شما بهتر است."

هنگامی که آنها در نهایت گرد و غبار آخرین جزئیات اضافی را پاک کردند، خود را با بحث و جدلی دیدند که پیچیدگی آن به ریاضیات هم رسید. نتیجه آنها برای گروه های کلاس، برای گروه های مرتبط با اشکال هندسی، برای شبکه های نقطه و خطوط، و همچنین برای مجموعه های دیگر با پیچیدگی های ریاضی بیشتر کار می کند. در تمام این موقعیت‌ها، ساوین و وود فرمولی پیدا کردند که مجموعه‌ای از لحظات را می‌گیرد و توزیعی را که دارای آن لحظه‌ها است، بیرون می‌دهد (تا زمانی که لحظه‌ها به سرعت رشد نکنند، از جمله نیازهای دیگر).

النبرگ گفت: «این بسیار به سبک ملانی است. "برای اینکه بگوییم، بیایید یک قضیه بسیار کلی را ثابت کنیم که بسیاری از موارد مختلف را به طور یکنواخت و ظریف مدیریت می کند."

ساوین و وود اکنون در حال بازگشت به هدف اصلی خود هستند. در اوایل ژانویه، آنها به اشتراک گذاشتند یک مقاله جدید که تصحیح می کند پیش‌بینی‌های اشتباه کوهن-لنسترا در اواخر دهه 1980 توسط کوهن و همکارش ژاک مارتینه ساخته شد. فراتر از آن، آنها هنوز نتایج بیشتری در صف خود دارند، با برنامه هایی برای گسترش اکتشافی به موقعیت های جدیدتر. ساوین گفت: "من نمی دانم که آیا این پروژه هرگز پایان خواهد یافت."

تسیمرمن گفت، مشکل لحظه‌ای که ساوین و وود حل کردند «یک خاری در پشت سر شما برای سؤالات مختلف بود». "من فکر می کنم بسیاری از ریاضیدانان قرار است نفس راحتی بکشند."