رفتار شگفت انگیز سکانس های بازگشتی | مجله کوانتا

در ریاضیات، قوانین ساده می توانند جهان های پیچیدگی و زیبایی را باز کنند. دنباله معروف فیبوناچی را در نظر بگیرید که به صورت زیر تعریف می شود: با 1 و 1 شروع می شود و هر عدد بعدی حاصل جمع دو عدد قبلی است. چند عدد اول عبارتند از:

1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 34 …

ساده است، بله، اما این دستور العمل بی تکلف الگویی با اهمیت گسترده ایجاد می کند، الگویی که به نظر می رسد در تار و پود دنیای طبیعی بافته شده است. در حلقه های پوسته های ناتیلوس، استخوان های انگشتان ما، و چیدمان برگ ها روی شاخه های درخت دیده می شود. دامنه ریاضی آن به هندسه، جبر و احتمال، در میان سایر زمینه‌ها، گسترش می‌یابد. هشت قرن از زمانی که این دنباله به غرب معرفی شد - ریاضیدانان هندی مدت ها قبل از فیبوناچی آن را مطالعه کردند - اعداد همچنان توجه محققان را به خود جلب می کنند، گواهی بر این است که چقدر عمق ریاضی می تواند زیربنای ابتدایی ترین دنباله اعداد باشد.

در دنباله فیبوناچی، هر عبارت بر روی عبارت‌هایی که قبل از آن آمده است ساخته می‌شود. چنین توالی‌های بازگشتی می‌توانند طیف وسیعی از رفتارها را از خود نشان دهند که برخی از آنها به طرز شگفت‌انگیزی خلاف شهود هستند. به عنوان مثال، یک خانواده کنجکاو از دنباله ها را در نظر بگیرید که اولین بار در دهه 1980 توسط ریاضیدان آمریکایی توصیف شد. مایکل سوموس.

مانند دنباله فیبوناچی، یک دنباله سوموس با یک سری از یک ها شروع می شود. یک سوموس-k دنباله با شروع می شود k از آنها هر ترم جدید یک سوموس-k دنباله با جفت کردن عبارت های قبلی، ضرب هر جفت با هم، جمع کردن جفت ها و سپس تقسیم بر جمله تعریف می شود. k موقعیت های پشت سرهم.

سکانس ها خیلی جالب نیستند اگر k برابر با 1، 2 یا 3 است - آنها فقط یک سری از موارد تکراری هستند. اما برای k = 4، 5، 6 یا 7 دنباله ها خاصیت عجیبی دارند. با وجود اینکه تقسیم بندی های زیادی وجود دارد، کسری ها ظاهر نمی شوند.

سوموس گفت: «معمولاً ما این نوع پدیده را نداریم. «این یک عود فریبنده ساده است، شبیه به فیبوناچی. اما پشت این سادگی چیزهای زیادی نهفته است.»

دیگر ریاضیدانان همچنان به کشف ارتباطات شگفت انگیز بین دنباله های سوموس و حوزه های به ظاهر نامرتبط ریاضیات ادامه می دهند. یک مقاله ارسال شده در ماه جولای از آنها استفاده می کند راه حل ها را بسازید به سیستمی از معادلات دیفرانسیل که برای مدل‌سازی همه چیز از فعل و انفعالات شکارچی و طعمه گرفته تا امواجی که در پلاسماهای پرانرژی حرکت می‌کنند استفاده می‌شود. آنها همچنین برای مطالعه ساختار اشیاء ریاضی به نام جبرهای خوشه ای و متصل هستند منحنی های بیضوی - که کلید شکستن آخرین قضیه فرما بودند.

جانیس مالوفیک دانشجوی فارغ التحصیل در دانشگاه ایلینویز، اولین مدرکی را منتشر کرد که نشان می‌دهد توالی‌های Somos-4 و Somos-5 جدایی ناپذیر هستند (یعنی تمام اصطلاحات آنها اعداد صحیح هستند) در سال 1992. شواهد دیگر نتایج یکسان توسط ریاضیدانان مختلف تقریباً در همان زمان ظاهر شد، همراه با شواهدی مبنی بر اینکه دنباله های Somos-6 و Somos-7 یکپارچه هستند.

این خاصیت عجیب توالی های سوموس، ریاضیدانان را شگفت زده کرد. گفت: «سکانس‌های سومو به محض اینکه در مورد آنها مطلع شدم، من را مجذوب خود کردند جیمز پروپ، استاد ریاضیات در دانشگاه ماساچوست، لوول. «این واقعیت که Somos-4 از Somos-7 همیشه اعداد صحیح می دهد، مهم نیست که چقدر فاصله می گیرید، زمانی که چیزها را از منظری ساده لوحانه نگاه می کنید یک معجزه به نظر می رسید. بنابراین دیدگاه متفاوتی لازم بود.»

پراپ در اوایل دهه 2000، زمانی که او و همکارانش دریافتند که اعداد در دنباله Somos-4 در واقع چیزی را می شمارند، دیدگاه جدیدی پیدا کرد. عبارات موجود در دنباله با ساختارهای موجود در نمودارهای خاص مطابقت دارد. برای برخی از نمودارها، می‌توان راس‌ها (نقطه‌ها) را با یال‌ها (خطوط) جفت کرد تا هر رأس دقیقاً به یک راس دیگر متصل شود - هیچ رئوس جفت‌نشده‌ای وجود ندارد و هیچ راسی به بیش از یک یال متصل نیست. عبارات موجود در دنباله Somos-4 تعداد تطابق کامل مختلف را برای یک دنباله خاص از نمودارها محاسبه می کنند.

این کشف نه تنها دیدگاه جدیدی در توالی های Somos ارائه کرد، بلکه راه های جدیدی را برای تفکر و تجزیه و تحلیل تبدیل گراف ها معرفی کرد. پراپ و شاگردانش با گذاشتن یک نتیجه جشن گرفتند تی شرت.

پراپ گفت: "از نظر من بخش بزرگی از جذابیت ریاضی زمانی است که از مسیرهای مختلف به یک مقصد می‌رسی و به نظر می‌رسد چیزی معجزه‌آسا یا عمیق در حال وقوع است." نکته جالب در مورد این دنباله ها این است که دیدگاه های مختلفی وجود دارد که توضیح می دهد که چرا شما اعداد صحیح می گیرید. آنجا اعماق پنهانی وجود دارد.»

داستان برای سکانس های Somos با شماره بالاتر تغییر می کند. 18 جمله اول Somos-8 اعداد صحیح هستند، اما عبارت نوزدهم کسری است. هر دنباله سوموس پس از آن نیز حاوی مقادیر کسری است.

نوع دیگری از توالی که توسط ریاضیدان آلمانی فریتز گوبل در دهه 1970 ایجاد شد، نقطه مقابل جالبی برای دنباله های سوموس است. این nترم امین دنباله گوبل به عنوان مجموع مجذورات تمام عبارات قبلی به اضافه 1 تقسیم بر n. مانند دنباله های Somos، دنباله گوبل شامل تقسیم می شود، بنابراین ممکن است انتظار داشته باشیم که عبارت ها اعداد صحیح باقی نمانند. اما برای مدتی - با بزرگ شدن توالی - به نظر می رسد.

جمله دهم در دنباله گوبل حدود 10 میلیون، یازدهمین جمله 1.5 - حدود میلیارد است. جمله چهل و سوم برای محاسبه بسیار بزرگ است - حدود 11 میلیارد رقم دارد. اما در سال 267، ریاضیدان هلندی هندریک لنسترا نشان داد که بر خلاف 42 جمله اول، این جمله 43 یک عدد صحیح نیست.

دنباله های گوبل را می توان با جایگزین کردن مربع های حاصل از مجموع با مکعب ها، توان های چهارم یا حتی توان های بالاتر تعمیم داد. (طبق این قرارداد، دنباله اصلی او دنباله 2-Göbel نامیده می شود.) این دنباله ها همچنین روند شگفت انگیزی را از شروع با کشش گسترده ای از عبارت های صحیح نشان می دهند. در سال 1988، هنری ایبستت نشان داد که 89 عبارت اول از دنباله 3-Göbel (که از مکعب به جای مربع استفاده می کند) اعداد صحیح هستند، اما 90 اینطور نیست. تحقیقات بعدی بر روی سایر توالی های گوبل امتداد طولانی تری را نشان داد. به عنوان مثال، دنباله 31-گوبل با 1,077 عبارت عدد صحیح آغاز می شود.

در ماه جولای، رینوسوکه ماتسوهیرا، ریاضیدان دانشگاه کیوشو، توشیکی ماتسوساکا و کوکی سوچیدا مقاله ای را به اشتراک گذاشت نشان می دهد که برای یک kدنباله گوبل، بدون توجه به انتخاب k، 19 جمله اول دنباله همیشه اعداد صحیح هستند. آنها برای بررسی این سوال توسط یک مانگای ژاپنی به نام الهام گرفتند سیسو تن، که به "داستان اعداد صحیح" ترجمه می شود. آ قاب در کتاب کمیک از خوانندگان خواست تا حداقل مقدار ممکن را دریابند N_k، نقطه ای که در آن الف kدنباله گوبل از تولید عبارت های اعداد صحیح باز می ایستد. این سه ریاضیدان برای پاسخ به این سوال تصمیم گرفتند. ماتسوساکا گفت: "تداوم غیرمنتظره اعداد صحیح برای چنین مدت طولانی با شهود ما در تضاد است."

آنها الگوی تکرار رفتار را پیدا کردند k افزایش. آنها با تمرکز بر تعداد محدودی از موارد تکراری، محاسبات را قابل اجرا کردند و توانستند اثبات را کامل کنند.

نگاهی دقیق تر به سکانس N_k یک شگفتی دیگر را نشان می دهد: N_k اگر صرفاً تصادفی باشد، اغلب بیشتر از آن چیزی است که انتظار دارید. "با kدنباله گوبل فقط قابل توجه نیست که آنها اعداد صحیح هستند ریچارد گرین، ریاضیدان دانشگاه کلرادو. «آنچه قابل توجه است این است که اعداد اول اغلب ظاهر می شوند. این باعث می‌شود به نظر برسد که ممکن است چیز عمیق‌تری در حال وقوع باشد.»

اگرچه مقاله جدید مدرکی را ارائه می دهد که N_k همیشه حداقل 19 است، معلوم نیست که آیا همیشه محدود است یا وجود دارد k که دنباله شامل اعداد صحیح به طور نامحدود است. "N_k مرموز رفتار می کند ماتسوساکا گفت... میل اساسی برای درک الگوی زیربنایی آن وجود دارد. «شاید شبیه شادی باشد که در کودکی هنگام حل معماهایی که معلمان می‌دادند، احساس می‌کردم. حتی در حال حاضر، آن احساسات از آن زمان در من باقی مانده است.»

کوانتوم در حال انجام یک سری نظرسنجی برای ارائه خدمات بهتر به مخاطبانمان است. ما را بگیر نظرسنجی از خوانندگان ریاضی و شما برای برنده شدن رایگان وارد خواهید شد کوانتوم تجارت