ارتباط پنهانی که نظریه اعداد را تغییر داد | مجله کوانتا

سه نوع اعداد اول وجود دارد. اولی یک نقطه پرت منفرد است: 2، تنها زوج اول. پس از آن، نیمی از اعداد اول با تقسیم بر 1، باقیمانده 4 را باقی می‌گذارند. نیمی دیگر از 3 باقی می‌مانند. -5 اعداد اول و باقیمانده-13 اعداد اول باید اساساً رفتارهای متفاوتی داشته باشند. اما آنها انجام می دهند.

یک تفاوت کلیدی ناشی از خاصیتی به نام دوسویه درجه دوم است که برای اولین بار توسط کارل گاوس، مسلماً تأثیرگذارترین ریاضیدان قرن نوزدهم، اثبات شد. گفت: "این یک عبارت نسبتاً ساده است که در همه جا، در همه انواع ریاضیات، نه فقط در تئوری اعداد، کاربرد دارد." جیمز ریکاردز، ریاضیدان دانشگاه کلرادو، بولدر. "اما به اندازه کافی واضح نیست که واقعا جالب باشد."

نظریه اعداد شاخه ای از ریاضیات است که با اعداد کامل (مثلاً برخلاف اشکال یا کمیت های پیوسته) سروکار دارد. اعداد اول - اعدادی که فقط بر 1 و خودشان بخش پذیرند - در هسته آن قرار دارند، همان طور که DNA هسته زیست شناسی است. دوسویه درجه دوم تصور ریاضیدانان را از میزان امکان اثبات در مورد آنها تغییر داده است. اگر اعداد اول را به عنوان یک رشته کوه در نظر بگیرید، عمل متقابل مانند یک مسیر باریک است که به ریاضیدانان اجازه می دهد تا به قله هایی که قبلاً دست نیافتنی بودند صعود کنند و از آن قله ها حقایقی را که پنهان شده بودند ببینند.

اگرچه این یک قضیه قدیمی است، اما همچنان کاربردهای جدیدی دارد. تابستان امسال، ریکاردز و همکارش کاترین استنجبه همراه دو دانش آموز یک حدس پذیرفته شده را رد کرد در مورد اینکه چگونه می توان دایره های کوچک را در یک دایره بزرگتر قرار داد. نتیجه ریاضیدانان را شوکه کرد. پیتر سارناک، یک نظریه پرداز اعداد در موسسه مطالعات پیشرفته و دانشگاه پرینستون، در کنفرانسی بلافاصله پس از تیمش با استنج صحبت کرد. + نوشته شده در کاغذ آنها سرناک به یاد می آورد: «او به من گفت که یک مثال متقابل دارد. فوراً از او پرسیدم، آیا در جایی از رفتار متقابل استفاده می‌کنید؟ و این همان چیزی بود که او از آن استفاده می کرد.»

الگوها در جفت اعداد اول

برای درک متقابل، ابتدا باید محاسبات مدولار را درک کنید. عملیات مدولار بر محاسبه باقیمانده ها زمانی که بر عددی به نام مدول تقسیم می کنید متکی هستند. به عنوان مثال، 9 مدول 7، 2 است، زیرا اگر 9 را بر 7 تقسیم کنید، باقیمانده 2 باقی می ماند. در سیستم اعداد مدول 7، 7 عدد وجود دارد: {0، 1، 2، 3، 4، 5 ، 6}. می توانید این اعداد را جمع، تفریق، ضرب و تقسیم کنید.

درست مانند اعداد صحیح، این سیستم‌های اعداد می‌توانند مربع‌های کامل داشته باشند - اعدادی که حاصل ضرب یک عدد دیگر هستند. به عنوان مثال، 0، 1، 2 و 4 مربع های کامل مدول 7 هستند (0 × 0 = 0، 1 × 1 = 1، 2 × 2 = 4، و 3 × 3 = 2 mod 7). هر مربع معمولی برابر با 0، 1، 2 یا 4 مدول 7 خواهد بود. (به عنوان مثال، 6 × 6 = 36 = 1 mod 7.) از آنجا که سیستم های اعداد مدولار محدود هستند، مربع های کامل رایج تر هستند.

متقابل درجه دوم از یک سوال نسبتاً ساده ناشی می شود. دو عدد اول داده می شود p و q، اگر می دانید p یک مدول مربع کامل است q، میشه بگید یا نه q یک مدول مربع کامل است p?

معلوم می شود که تا زمانی که هر دو p or q با تقسیم بر 1، اگر p یک مدول مربع کامل است q، و سپس q همچنین یک مدول مربع کامل است p. گفته می شود که دو عدد اول متقابل هستند.

از طرف دیگر، اگر هر دوی آنها 3 باقیمانده باقی بگذارند (مثلاً 7 و 11) آنگاه پاسخ متقابل نمی دهند: اگر p یک مدول مربع است q، این بدان معنی است که q یک مدول مربع نخواهد بود p. در این مثال، 11 یک مدول مربع 7 است، زیرا 11 = 4 mod 7 و ما از قبل می دانیم که 4 یکی از مربع های کامل مدول 7 است. نتیجه می شود که 7 یک مدول مربعی 11 نیست. اگر لیستی از مدول های معمولی را در نظر بگیرید. مربع ها (4، 9، 16، 25، 36، 49، 64، ...) و به باقی مانده های آنها نگاه کنید، مدول 11، سپس 7 هرگز ظاهر نمی شود.

این، برای استفاده از یک اصطلاح فنی، واقعا عجیب است!

قدرت تعمیم

مانند بسیاری از ایده های ریاضی، عمل متقابل تأثیرگذار بوده است، زیرا می توان آن را تعمیم داد.

بلافاصله پس از اینکه گاوس اولین اثبات متقابل درجه دوم را در سال 1801 منتشر کرد، ریاضیدانان سعی کردند این ایده را فراتر از مربع ها گسترش دهند. چرا قدرت های سوم یا قدرت های چهارم نه؟ آنها تصور کردند که شاید یک قانون متقابل مکعبی یا قانون متقابل چهارگانه وجود داشته باشد. کیت کنراد، نظریه پرداز اعداد در دانشگاه کانکتیکات.

کنراد گفت، اما آنها گیر کردند، "زیرا الگوی آسانی وجود ندارد." زمانی که گاوس عمل متقابل را به قلمرو اعداد مختلط وارد کرد، این تغییر کرد، که جذر منهای 1 را با هم جمع می‌کنند. i، به اعداد معمولی. او این ایده را مطرح کرد که نظریه پردازان اعداد می توانند نه تنها اعداد صحیح معمولی، بلکه سایر سیستم های ریاضی اعداد صحیح مانند، مانند اعداد صحیح گوسی را تحلیل کنند، که اعداد مختلطی هستند که قسمت های واقعی و خیالی هر دو اعداد صحیح هستند.

با اعداد صحیح گاوسی، کل مفهوم آنچه به عنوان اول به حساب می آید تغییر کرد. به عنوان مثال، 5 دیگر اول نیست، زیرا 5 = (2 + i) × (2 − i). کنراد گفت: "شما باید از نو شروع کنید، انگار که دوباره در مدرسه ابتدایی هستید." در سال 1832، گاوس یک قانون متقابل کوارتتیکی را برای اعداد صحیح مختلط که نام او را یدک می کشند، اثبات کرد.

ناگهان، ریاضیدانان یاد گرفتند که از ابزارهایی مانند محاسبات مدولار و فاکتورسازی در این سیستم های اعداد جدید استفاده کنند. به گفته کنراد، تقابل درجه دوم الهام بخش بود.

الگوهایی که بدون اعداد مختلط گریزان بودند اکنون شروع به ظهور کردند. در اواسط دهه 1840 گوتولد آیزنشتاین و کارل ژاکوبی اولین قوانین مکعب متقابل را اثبات کردند.

سپس، در دهه 1920، امیل آرتین، یکی از بنیانگذاران جبر مدرن، آنچه را کنراد "قانون نهایی متقابل" می نامد، کشف کرد. تمام قوانین متقابل دیگر را می توان به عنوان موارد خاصی از قانون متقابل آرتین در نظر گرفت.

یک قرن بعد، ریاضیدانان هنوز در حال ابداع شواهد جدیدی از اولین قانون متقابل درجه دوم گاوس و تعمیم آن به زمینه های ریاضی جدید هستند. داشتن بسیاری از شواهد متمایز می تواند مفید باشد. کنراد گفت: "اگر می خواهید نتیجه را به یک تنظیم جدید گسترش دهید، شاید یکی از استدلال ها به راحتی منتقل شود، در حالی که سایر استدلال ها این کار را نکنند."

چرا تعامل متقابل بسیار مفید است

متقابل درجه دوم در زمینه های تحقیقاتی متنوعی مانند نظریه گراف، توپولوژی جبری و رمزنگاری استفاده می شود. در دومی، یک الگوریتم رمزگذاری کلید عمومی تأثیرگذار در سال 1982 توسط شفی گلدواسر و سیلویو میکالی به ضرب دو عدد اول بزرگ بستگی دارد p و q با هم و خروجی نتیجه، Nبه همراه یک عدد x، که یک مدول مربع نیست N. الگوریتم استفاده می کند N و x برای رمزگذاری پیام های دیجیتال به رشته هایی با اعداد بزرگتر. تنها راه برای رمزگشایی این رشته این است که تصمیم بگیرید که آیا هر عدد در رشته رمزگذاری شده یک مدول مربع است یا خیر. N - بدون دانستن مقادیر اعداد اول عملاً غیرممکن است p و q.

و البته، متقابل درجه دوم به طور مکرر در نظریه اعداد ظاهر می شود. به عنوان مثال، می توان از آن برای اثبات اینکه هر عدد اول برابر با 1 مدول 4 را می توان به صورت مجموع دو مربع نوشت (برای مثال، 13 برابر با 1 مدول 4، و 13 = 4 + 9 = 2 است.² + 3²). در مقابل، اعداد اول برابر با 3 مدول 4 را هرگز نمی توان به صورت مجموع دو مربع نوشت.

سرناک خاطرنشان کرد که از روش متقابل ممکن است برای حل سؤالات باز استفاده شود، مانند اینکه کدام اعداد را می توان به صورت مجموع سه مکعب نوشت. مشخص است که اعدادی که برابر با 4 یا 5 مدول 9 هستند با مجموع سه مکعب برابر نیستند، اما برخی دیگر یک راز باقی می مانند. (در سال 2019، اندرو بوکر سرفصل های ایجاد شده هنگامی که او کشف کرد که (8,866,128,975,287,528)³ + (-8,778,405,442,862,239)³ + (-2,736,111,468,807,040)³ = 33.)

Stange گفت، با همه کاربردهای فراوان و بسیاری از شواهد مختلف، چیزی در مورد عمل متقابل وجود دارد که همچنان یک راز باقی مانده است.

«آنچه اغلب با یک اثبات ریاضی اتفاق می‌افتد این است که می‌توانید هر مرحله را دنبال کنید. شما می توانید باور کنید که این حقیقت دارد. "و شما هنوز هم می توانید از انتهای دیگر بیرون بیایید با این احساس، "اما چرا؟"

درک، در سطح احشایی، آنچه که 7 و 11 را از 5 و 13 متفاوت می کند، ممکن است برای همیشه دور از دسترس باشد. او گفت: «ما فقط می‌توانیم سطوح زیادی از انتزاع را مدیریت کنیم. "این در همه جا در نظریه اعداد نشان داده می شود ... و با این حال فقط یک قدم فراتر از چیزی است که به نظر می رسد واقعاً می توانید بدانید."

کوانتوم در حال انجام یک سری نظرسنجی برای ارائه خدمات بهتر به مخاطبانمان است. ما را بگیر نظرسنجی از خوانندگان ریاضی و شما برای برنده شدن رایگان وارد خواهید شد کوانتوم تجارت