Lyhyt historia hankalasta matemaattisesta laatoituksesta | Quanta-lehti

Joka päivä näemme esimerkkejä toistuvista motiiveista. Tämä symmetria ja säännöllisyys voi tuntua arkipäiväiseltä ja melkein näkymättömältä, kuten rakennuksen seinien tiilestä tai kuusikulmaisesta kuviosta hunajakennossa. Tai jos olemme onnekkaita kohtaamaan jotain, kuten Espanjan Alhambran elegantit laattatyöt tai MC Escherin luovat piirustukset, kuviot voivat inspiroida ja hämmästyttää meitä.

Vuosisatojen ajan matemaatikot ovat leikkineet näillä toistuvilla muodoilla ja saaneet niistä kiehtovia oivalluksia ja uusia mahdollisuuksia. Matematiikan kauneus kilpailee itse mallien kauneuden kanssa.

Yksinkertaisimmat laatat on tehty identtisistä monikulmioista, joiden sivut ovat yhtä pitkiä ja yhtä suuret kulmat yhdistetty täysreunasta täysreunaan. Mutta vaikka näitä "säännöllisiä" polygoneja on äärettömän monta - yksi jokaista sivumäärää kohti - on vain kolme säännöllistä laatoitusta, jotka on muodostettu muodoista, joissa on kolme, neljä tai kuusi sivua - eli kolmiot, neliöt ja kuusikulmiot.

Muita muotoja ei vain ole rakennettu sitä varten. Tavallisen viisikulmion (jossa on viisi sivua) sisäkulma on 108 astetta. Tämä ei jaa tasaisesti 360 asteeseen, joten jokainen yritys koota säännöllisiä viisikulmioita laatoitukseksi tuottaa väistämättä aukkoja, joita ei voida täyttää; sanomme, että säännöllinen viisikulmio ei voi laatoittaa konetta. Ja säännöllisillä monikulmioilla, joissa on enemmän kuin kuusi sivua, on sisäkulmat liian suuret kolmeen kohtaamaan yhdessä pisteessä, joten ne eivät myöskään voi.

Toinen näkemys säännöllisillä polygoneilla laatoituksesta tulee Johannes Kepleriltä, ​​joka tunnetaan nykyään parhaiten planeettojen liikettä koskevista löydöistään. Vuonna 1619 hän osoitti, että vaikka käyttäisit useampaa kuin yhtä säännöllistä polygonia, voit luoda vain kahdeksan uutta laatoituskuviota, joissa kunkin kärjen ympärillä oleva konfiguraatio on identtinen. (Jos saamme poiketa tästä rajoituksesta, on enemmän mahdollisuuksia.)

Kun sallimme epäsäännölliset polygonit, asiat muuttuvat mielenkiintoisemmiksi. Yllättäen jokainen kolmio voi laatoittaa tason, ja mikä yllättävämpää, myös jokainen nelikulmio.

Toisaalta on mahdotonta laatoittaa tasoa millään kuperalla monikulmiolla, jossa on yli kuusi sivua; sisäkulmien summa on aivan liian suuri. Jäljelle jää vain viisikulmiot ja kuusikulmiot.

Vuoden 1918 väitöskirjassaan Karl Reinhardt osoitti, että tasoon on mahdollista laatoittaa äärettömän monta kuperia kuusikulmiota – sellaisia, joissa ei ole sisennystä –, jotka hän ryhmitteli kolmeen perheeseen.

Kuperat viisikulmiot, jotka laatoittivat koneen, oli vaikeampaa luokitella. Reinhardt löysi viisi tällaisten viisikulmioiden perhettä; 50 vuotta myöhemmin Richard Kershner löysi kolme lisää. Sitten vuonna 1975 Martin Gardner kirjoitti ongelmasta Scientific American, joka tuo sen sekä ammatti- että amatöörimatemaatikoiden tietoon. Eräs tällainen amatööri, tietokoneohjelmoija nimeltä Richard James III, lähetti Gardnerille esimerkin yhdeksännestä perheestä ja kysyi: "Oletko samaa mieltä siitä, että Kershner missasi tämän?" Hänellä oli.

Marjorie Rice, kotiäiti, luki myös Gardnerin kolumnin ja alkoi pohtia ongelmaa keittiön pöytänsä ääressä. Hän puuhaili yli kaksi vuotta ja löysi neljä muuta perhettä viisikulmioiden laatoituksesta.

Tutkijat löysivät 14. laatoitettu viisikulmioperheen vuonna 1985, ja kolme vuosikymmentä myöhemmin toinen ryhmä löysi 15. perheen tietokonehaun avulla. Kukaan ei tiennyt, täydensikö tämä löytö luetteloa vai oliko piilossa vielä lisää perheitä. Tähän kysymykseen vastattiin vuonna 2017, kun Michaël Rao osoittautui että kaikki kuperat laatoituspentagonit – ja niiden mukana kaikki kuperat laatoituspolygonit – oli löydetty.

Kaikki nämä laatoitukset toistuvat. Toisin sanoen niillä on jaksollinen symmetria, mikä periaatteessa tarkoittaa, että jos jäljittäisimme laatoituksen paperille ja liu'uttaisimme sitä tiettyihin suuntiin, se olisi jälleen täsmälleen laatoituksen kanssa.

Myös muunlaiset symmetriat ovat mahdollisia. Esimerkiksi peilisymmetria tarkoittaa, että kuviomme asettuvat kohdakkain, jos käännämme jälkipaperimme ylösalaisin kiinteän viivan ympäri. Pyörimissymmetria tarkoittaa, että ne ovat linjassa, jos kierrämme paperiamme. Ja voimme yhdistää toimintoja saadaksemme liukuheijastussymmetrian, joka on kuin paperin liu'uttamista ja sen kääntämistä.

Vuonna 1891 venäläinen kristallografi Evgraf Fedorov osoitti, että on olemassa vain 17 tapaa, joilla nämä symmetriat voidaan yhdistää. Koska tämä rajoitus koskee kaikkia lentokoneen säännöllisiä koristeita, niitä kutsutaan yleisesti 17 "taustakuvaryhmäksi".

Kun tämä symmetriakuvioiden luokittelu on tuttu, on lähes mahdotonta nähdä jaksoittaista mallia, olipa se kuinka monimutkainen tahansa, eikä katsoa sitä dekoodattavana pulmana: Missä ja miten se tarkalleen toistuu? Missä ne symmetriat ovat?

Jokainen laatoitus ei tietenkään ole säännöllistä. On mahdollista ja usein helppoa sijoittaa laatat tasoon niin, että tuloksena oleva malli ei koskaan toistu. Esimerkissämme kuusikulmioista, neliöistä ja kolmioista voit tehdä tämän yksinkertaisesti kiertämällä yhtä kuusikulmiota ja sitä ympäröiviä polygoneja 30 astetta. Tuloksena olevalla laatoituksella ei enää ole translaatiosymmetrioita.

Vuonna 1961 loogikko Hao Wang arveli, että jos joukko muotoja laatoittaa tason, muotojen on kyettävä laatoimaan taso ajoittain. Vain muutamaa vuotta myöhemmin hänen jatko-opiskelijansa Robert Berger osoitti hänen olevan väärässä löytämällä massiivisen yli 20,000 XNUMX laatan joukon, jotka laatoivat konetta, mutta vain epäsäännöllisesti. Tällaisia ​​laattajoukkoja kutsutaan jaksollisiksi.

Vaikka Berger ja muut pystyivät pienentämään näiden jaksottaisten sarjojen kokoa merkittävästi, Roger Penrose vangitsi 1970-luvun puolivälissä maailman huomion löytämällä hyvin pieniä sarjoja omia jaksottaisia ​​laattojaan. Pienimmät sarjat vaativat vain kaksi laattaa.

Nämä muodot ja kuviot kiehtoivat matemaatikot, tiedemiehet ja suuren yleisön. Mutta he herättivät ilmeisen seuraavan kysymyksen: Onko olemassa yksittäinen jaksollinen laatta? Laatoitusteorian perimmäinen pyrkimys oli nyt löytää tällainen "einstein" -laatta - ei nimetty fyysikon mukaan, vaan saksalaisesta ilmauksesta "yksi kivi".

Vuonna 2010 Joshua Socolar ja Joan Taylor olivat hyvin lähellä einsteinin löytämistä. Ongelma heidän lähestymistavassaan oli se niiden laatta oli irrotettava; tämä olisi kuin tason laatoitus muodoilla, kuten Havaijin osavaltio, yksi kokonaisuus, joka koostuu erillisistä alueista, sen sijaan, että yhdistettäisiin Kalifornian kaltaisia ​​muotoja. Yhä useammin matemaatikot epäilivät, että jos einstein olisi olemassa, sen täytyisi olla jotain hyvin geometrisesti monimutkaista.

Maaliskuussa 2023 amatööri järkytti maailmaa jälleen. Eläkkeellä oleva painoteknikko ja matemaattinen harrastaja nimeltä David Smith oli löytänyt ei vain yhden aperiodisen monotiilin, vaan ääretön perhe näistä vaikeaselkoisista einsteineista. Hän silmukkasi Craig Kaplanin, Chaim Goodman-Straussin ja Joseph Samuel Myersin – tietojenkäsittelytieteen, matematiikan ja laatoitusteorian asiantuntijoita – ja yhdessä he esittelivät geometrisesti yksinkertaisen einsteinin nimeltä hattulaatta (joka internetin mielestä näytti T-paidalta ).

Reaktio oli nopea ja positiivinen. Löytäjät puhuivat konferensseissa ja pitivät puheita verkossa. Matemaattiset taiteilijat tarttuivat tilaisuuteen löytää luovia tapoja tuottaa Escherin kaltaisia ​​malleja näiden uusien geometrisesti mielenkiintoisten laattojen pohjalta. Hattulaatta esiintyi jopa erään myöhäisillan televisio-ohjelman monologissa.

Silti oli vielä parantamisen varaa. Kun haluat laatoittaa koneen hatulla, sinun on käännettävä noin seitsemäsosa laatoista ylösalaisin. Asunnonomistajan, joka haluaa laatoittaa kylpyhuoneensa hattulaatalla, on ostettava kahdenlaisia ​​laattoja: tavallinen laatta ja sen peilikuva. Oliko tämä todella tarpeellista?

Jo ennen kuin hattulaatan jännitys oli laantunut, joukkue teki uuden ilmoituksen. Smith oli löytänyt tuosta aperiodisten monotiilien äärettömästä perheestä sellaisen, jota hän kutsui "haamuksi", joka pystyi laatoittamaan tason ilman, että tarvitsisi heijastavia kopioita. Todellinen einstein oli vihdoin ilmestynyt.

Olemme nyt keskellä laatoitusten ja tessellaatioiden matemaattisen tutkimuksen elpymistä. Se on tukeutunut amatöörien merkittäviin panoksiin, inspiroinut matemaattisten taiteilijoiden luovuutta ja hyödyntänyt tietokoneiden voimaa työntämään tiedon rajoja eteenpäin. Ja sen avulla olemme saaneet uusia näkemyksiä symmetrian, geometrian ja muotoilun luonteesta.

korjaus: Lokakuu 30, 2023
Tämän artikkelin alkuperäisessä versiossa todettiin, että on mahdotonta laatoittaa tasoa millään monikulmiolla, jossa on yli kuusi sivua. Tämä on totta vain, jos monikulmio on kupera.

Quanta tekee sarjan kyselyjä palvellakseen paremmin yleisöämme. Ota meidän matematiikan lukijakysely ja pääset mukaan voittamaan ilmaiseksi Quanta kauppatavaraa.