Vuosisataa myöhemmin uusi matematiikka tasoittaa yleisen suhteellisuusteorian | Quanta-lehti

Albert Einsteinin yleinen suhteellisuusteoria on onnistunut erittäin hyvin kuvaamaan painovoiman toimintaa ja sitä, kuinka se muokkaa maailmankaikkeuden laajamittaista rakennetta. Se on tiivistetty fyysikko John Wheelerin sanontaan: "Avaruus-aika kertoo aineelle, kuinka liikkua; aine kertoo aika-avaruudelle kuinka kaareva." Silti yleisen suhteellisuusteorian matematiikka on myös syvästi intuitiivista.

Koska sen perusyhtälöt ovat niin monimutkaisia, jopa yksinkertaisimpiakin väitteitä on vaikea todistaa. Esimerkiksi vasta vuonna 1980 matemaatikot osoittivat osana yleisen suhteellisuusteorian päälausetta, että eristetyn fyysisen järjestelmän tai avaruuden, jossa ei ole massaa, täytyy olla litteä.

Tämä jätti ratkaisematta kysymyksen siitä, miltä tila näyttää, jos se on melkein tyhjiö, jolla on vain pieni määrä massaa. Onko se välttämättä lähes tasainen?

Vaikka saattaa tuntua itsestään selvältä, että pienempi massa johtaisi pienempään kaareutumiseen, asiat eivät ole niin leikattuja ja kuivia yleisen suhteellisuusteorian suhteen. Teorian mukaan tiheät ainepitoisuudet voivat "vääntää" osan avaruudesta tehden siitä erittäin kaarevan. Joissakin tapauksissa tämä kaarevuus voi olla äärimmäistä, mikä saattaa johtaa mustien aukkojen muodostumiseen. Tämä voi tapahtua jopa tilassa, jossa on pieniä määriä ainetta, jos se on riittävän voimakkaasti keskittynyt.

Eräässä äskettäin paperi, Conghan Dong, jatko-opiskelija Stony Brook Universitystä ja Antoine SongKalifornian teknologiainstituutin apulaisprofessori osoitti, että kaarevien tilojen sarja, jossa on yhä pienempi massamäärä, suppenee lopulta tasaiseksi tilaksi, jonka kaarevuus on nolla.

Tämä tulos on huomionarvoinen edistysaskel yleisen suhteellisuusteorian matemaattisessa tutkimuksessa - pyrkimys, joka tuottaa edelleen voittoja yli vuosisadan Einsteinin teoriansa laatimisen jälkeen. Dan Lee, matemaatikko Queens Collegesta, joka tutkii yleisen suhteellisuusteorian matematiikkaa, mutta ei ollut mukana tässä tutkimuksessa, sanoi, että Dongin ja Songin todiste heijastaa syvää ymmärrystä kaarevuuden ja massan vuorovaikutuksesta.

Mitä He Todistivat

Dongin ja Songin todistus koskee kolmiulotteisia tiloja, mutta harkitse ensin kaksiulotteista esimerkkiä havainnollistamisen vuoksi. Kuvittele tasainen tila, jossa ei ole massaa tavallisena, sileänä paperiarkina. Tila, jonka massa on pieni, saattaa tässä tapauksessa näyttää samanlaiselta kaukaa katsottuna – eli enimmäkseen tasaiselta. Tarkempi tarkastelu saattaa kuitenkin paljastaa joitain teräviä piikkejä tai kuplia, jotka ponnahtaa esiin siellä täällä - seurauksia aineen ryhmittymisestä. Nämä satunnaiset paljastumat tekisivät paperista hyvin hoidetun nurmikon kaltaisen, jonka pinnasta tulee toisinaan sieniä tai varsia.

Dong ja Song osoittautuivat a otaksuma jonka matemaatikot muotoilivat vuonna 2001 Gerhard Huisken ja Tom Ilmanen. Oletuksen mukaan avaruuden massan lähestyessä nollaa tulee myös sen kaarevuuden kasvaa. Huisken ja Ilmanen kuitenkin ymmärsivät, että tätä skenaariota mutkistaa kuplien ja piikien esiintyminen (jotka eroavat toisistaan ​​matemaattisesti). He olettivat, että kuplat ja piikit voitiin leikata pois siten, että jokaisen leikkauksen jälkeen tilan pintaan jäävä raja-alue oli pieni. He ehdottivat, mutta eivät pystyneet todistamaan, että tila, joka jäi jäljelle näiden hankalia lisäkkeiden poistamisen jälkeen, olisi lähes tasaista. He eivät myöskään olleet varmoja, kuinka tällaiset leikkaukset pitäisi tehdä.

"Nämä kysymykset olivat vaikeita, enkä odottanut näkeväni ratkaisua Huisken-Ilmasen arveluihin", Lee sanoi.

Oletuksen ytimessä on kaarevuuden mittaus. Avaruus voi kaareutua eri tavoilla, eri määriin ja eri suuntiin - kuten satula (kaksiulotteinen), joka kaareva ylös eteenpäin ja taaksepäin, mutta alaspäin vasemmalle ja oikealle. Dong ja Song jättävät nämä yksityiskohdat huomiotta. He käyttävät skalaarikaarevuudeksi kutsuttua käsitettä, joka edustaa kaarevuutta yhtenä numerona, joka tiivistää täydellisen kaarevuuden kaikkiin suuntiin.

Dong and Songin uusi teos, sanoi Daniel Stern Cornellin yliopistosta on "yksi vahvimmista tuloksista, joita meillä on tähän mennessä, joka osoittaa meille, kuinka skalaarikaarevuus ohjaa koko tilan geometriaa". Heidän artikkelinsa havainnollistaa, että "jos meillä on ei-negatiivinen skalaarikaarevuus ja pieni massa, ymmärrämme avaruuden rakenteen erittäin hyvin."

Todiste

Huisken-Ilmasen arvelu koskee tasaisesti laskevien tilojen geometriaa. Se määrää tietyn menetelmän kertoa kuinka lähellä pieni massainen tila on tasaista tilaa. Tätä mittaa kutsutaan Gromov-Hausdorffin etäisyydeksi, joka on nimetty matemaatikoiden mukaan Mihael Gromov ja Felix Hausdorff. Gromov-Hausdorffin etäisyyden laskeminen on kaksivaiheinen prosessi.

Ensimmäinen askel on löytää Hausdorffin etäisyys. Oletetaan, että sinulla on kaksi ympyrää, A ja B. Aloita mistä tahansa pisteestä A:ssa ja selvitä, kuinka kaukana se on lähimpään pisteeseen B:ssä.

Toista tämä jokaiselle pisteelle A. Suurin löytämäsi etäisyys on ympyröiden välinen Hausdorffin etäisyys.

Kun sinulla on Hausdorff-etäisyys, voit laskea Gromov-Hausdorff-etäisyyden. Voit tehdä tämän sijoittamalla esineesi suurempaan tilaan, jotta niiden välinen Hausdorffin etäisyys on mahdollisimman pieni. Kahden identtisen ympyrän tapauksessa, koska voit laittaa ne kirjaimellisesti päällekkäin, Gromov-Hausdorff-etäisyys niiden välillä on nolla. Tällaisia ​​geometrisesti identtisiä objekteja kutsutaan "isometrisiksi".

Etäisyyden mittaaminen on tietysti vaikeampaa, kun verrattavat kohteet tai tilat ovat samanlaisia, mutta eivät samoja. Gromov-Hausdorffin etäisyys antaa tarkan mittauksen kahden alun perin eri tilassa sijaitsevien esineiden muotojen välisistä yhtäläisyyksistä (tai eroista). "Gromov-Hausdorff-etäisyys on yksi parhaista tavoistamme sanoa, että kaksi välilyöntiä ovat lähes isometrisiä, ja se antaa luvun tälle "melkein", Stern sanoi.

Ennen kuin Dong ja Song pystyivät vertaamaan pienimassaista tilaa ja täysin tasaista tilaa, heidän täytyi leikata pois ärsyttävät ulkonemat – kapeat piikit, joissa aine on tiiviisti pakattu, ja vielä tiheämpiä kuplia, joissa saattaa olla pieniä mustia aukkoja. "Leikkasimme ne niin, että raja-alue [jossa viipale tehtiin] on pieni", Song sanoi, "ja osoitimme, että alue pienenee, kun massa laskee."

Vaikka tämä taktiikka saattaa kuulostaa huijaukselta, Stern sanoi, että on sallittua todistaa olettamus tehdä eräänlainen esikäsittely leikkaamalla pois kuplia ja piikkejä, joiden pinta-ala kutistuu nollaan massan pienentyessä.

Hän ehdotti tilalle, jolla on pieni massa, rypistynyttä paperiarkkia, jossa on vielä tasoittamisen jälkeen teräviä ryppyjä ja taitoksia. Voit poistaa näkyvimmät epätasaisuudet käyttämällä rei'itystyökalua, jolloin jää hieman epätasainen paperi, jossa on reikiä. Kun reikien koko pienenee, myös paperin maaston epätasaisuus pienenee. Voisi sanoa, että rajalla reiät kutistuisivat nollaan, kummut ja harjut häviäisivät ja jäljelle jäisi tasaisen sileä paperi - aito tasainen tila.

Sen Dong ja Song yrittivät todistaa. Seuraava askel oli nähdä, kuinka nämä avonaiset tilat – karkeista piirteistään leikattuina – pinoutuvat äärimmäisen tasaisuuden standardiin. Heidän strategiassaan käytettiin erityistä karttaa, joka on tapa vertailla kahta tilaa yhdistämällä yhden tilan pisteitä toisen tilan pisteisiin. Heidän käyttämänsä kartta kehitettiin a paperi kirjoittanut Stern ja kolme kollegaansa - Hubert Bray, Demetre Kazaras ja Marcus Khuri. Tämä menettely voi määrittää tarkasti, kuinka lähellä kaksi välilyöntiä ovat.

Tehtävänsä yksinkertaistamiseksi Dong ja Song omaksuivat toisen matemaattisen tempun Sterniltä ja hänen kirjoittajiltaan, joka osoitti, että kolmiulotteinen avaruus voidaan jakaa äärettömästi moniin kaksiulotteisiin siivuihin, joita kutsutaan tasojoukoiksi, aivan kuten kovaksi keitetty muna voi jakaa. segmentoida kapeiksi levyiksi munaleikkurin kireillä langoilla.

Tasojoukot perivät niiden muodostaman kolmiulotteisen tilan kaarevuuden. Keskittämällä huomionsa tasokokonaisuuksiin suuremman kolmiulotteisen tilan sijaan Dong ja Song pystyivät vähentämään ongelman ulottuvuuden kolmesta kahteen. Se on erittäin hyödyllistä, Song sanoi, koska "tiedämme paljon kaksiulotteisista objekteista… ja meillä on paljon työkaluja niiden tutkimiseen."

Jos he onnistuisivat osoittamaan, että jokainen tasosarja on "eräänlainen litteä", Song sanoi, että tämä antaisi heille mahdollisuuden saavuttaa yleistavoitteensa osoittaa, että kolmiulotteinen tila, jolla on vähän massaa, on lähellä litteää. Onneksi tämä strategia onnistui.

Seuraavat vaiheet

Tulevaisuudessa Song sanoi, että yksi kentän tulevista haasteista on tehdä todisteesta selkeämpi laatimalla tarkka menettely kuplien ja piikkien poistamiseksi ja kuvaamalla paremmin pois leikatut alueet. Mutta toistaiseksi hän myönsi, että "meillä ei ole selkeää strategiaa sen saavuttamiseksi."

 Toinen lupaava keino, Song sanoi, olisi tutkia a erillinen olettamus jonka muotoili vuonna 2011 Lee ja Christina Sormani, matemaatikko City University of New Yorkista. Lee-Sormanin arvelussa esitetään samanlainen kysymys kuin Huiskenin ja Ilmasen esittämä, mutta se perustuu erilaiseen tapaan mitata muotojen välistä eroa. Sen sijaan, että otettaisiin huomioon kahden muodon välinen maksimietäisyys, kuten Gromov-Hausdorff-etäisyys tekee, Lee-Sormanin lähestymistapa kysyy tilan tilavuus heidän välillään. Mitä pienempi tilavuus, sitä lähempänä ne ovat.

Song puolestaan ​​toivoo tutkivansa skalaarikaarevuutta koskevia peruskysymyksiä, jotka eivät ole fysiikassa motivoituneita. "Yleisessä suhteellisuusteoriassa käsittelemme hyvin erikoisia tiloja, jotka ovat lähes tasaisia ​​äärettömyydessä, mutta geometriassa välitämme kaikenlaisista tiloista."

"On toivoa, että nämä tekniikat voisivat olla arvokkaita muissa ympäristöissä", jotka eivät liity yleiseen suhteellisuusteoriaan, Stern sanoi. "On suuri joukko asiaan liittyviä ongelmia", hän sanoi, ja se odottaa selvittämistä.

Quanta tekee sarjan kyselyjä palvellakseen paremmin yleisöämme. Ota meidän matematiikan lukijakysely ja pääset mukaan voittamaan ilmaiseksi Quanta kauppatavaraa.